數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型

數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型2024/3/28數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型一、時間序列的基本特征二、時間序列模型的基本概念三、ARMA模型設(shè)定及其識別四、ARMA模型估計與檢驗五、ARMA模型建模步驟內(nèi)容數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型一、時間序列的基本特征同一現(xiàn)象在不同時間上的相繼觀察值排列而成的數(shù)列形式上由現(xiàn)象所屬的時間和現(xiàn)象在不同時間上的觀察值兩部分組成排列的時間可以是年份、季度、月份或其他任何時間形式數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型國內(nèi)生產(chǎn)總值等時間序列年份國內(nèi)生產(chǎn)總值(億元)年末總?cè)丝?萬人)人口自然增長率(‰)居民消費水平(元)19901991199219931994199519961997199818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674772.479552.811433311582311717111851711985012112112238912362612481014.3912.9811.6011.4511.2110.5510.4210.069.538038961070133117812311272629443094一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列數(shù)據(jù)時間序列數(shù)據(jù)有嚴格的時間先后順序。在利用時間序列數(shù)據(jù)建立模型時需要認識到，我們獲得的樣本不再具有從總體中隨機抽取的性質(zhì)。我們所面對的是一個實際實現(xiàn)的隨機過程。一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列的分類時間序列平均數(shù)序列絕對數(shù)序列相對數(shù)序列時期序列時點序列一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列的編制原則時間長短要一致總體范圍要一致指標內(nèi)容要一致計算方法和口徑要一致Remark：這僅限于經(jīng)典的時間序列，在高頻數(shù)據(jù)中，時間長短可以不一致，例如交易時間間隔可以不一致.一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列圖形的繪制先把時間序列描繪在坐標圖上，坐標的橫軸表示時間t，坐標的縱軸表示所分析的經(jīng)濟變量一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型某企業(yè)從1990年1月到2002年12月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬元）

一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型從這個點圖可以看出?？偟内厔菔窃鲩L的，但增長并不是單調(diào)上升的；有漲有落。但這種升降不是雜亂無章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)系。除了增長的趨勢和季節(jié)影響之外，還有些無規(guī)律的隨機因素的作用。一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析分析時間序列變化的影響因素-每一個經(jīng)濟變量的變化，在不同時期受不同因素影響，經(jīng)濟變量的時間序列綜合地反映了各種因素的影響影響時間序列變化的主要因素分類-長期趨勢因素-季節(jié)變化因素-周期變化因素-不規(guī)則變化因素一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列的分解經(jīng)濟變量的時間序列通?？梢苑纸獬伤牟糠郑矗洪L期趨勢，用T（Trend）表示季節(jié)波動，用S（Seasonal）表示循環(huán)波動，用C（Cyclical）表示不規(guī)則波動，用I（Irregular）表示這四種因素對時間序列變化的影響有二種基本假設(shè)乘積形式：Y=T×S×C×I和的形式：Y=T+S+C+I一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ttYYY=T+S+C+IY=T×S×C×I一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列的基本特征時間序列變化的基本特征是指各種時間序列表現(xiàn)出的具有共性的變化規(guī)律，如趨勢變化、周期性變化等根據(jù)時間序列變化的基本特征，它們可以分為：-呈水平形變化的時間序列-呈趨勢變化的時間序列-呈周期變化的時間序列-具有沖動點的時間序列-具有轉(zhuǎn)折變化的時間序列-呈階梯形變化的時間序列一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型呈水平型變化的時間序列經(jīng)濟變量的發(fā)展變化比較平穩(wěn)，沒有明顯的上升或下降趨勢，也沒有較大幅度的上下波動如處于市場飽和狀態(tài)的產(chǎn)品銷售量，生產(chǎn)過程中出現(xiàn)的穩(wěn)定的次品率。Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型呈趨勢變化的時間序列上升或下降的趨勢變化，長期趨勢變化Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型呈周期型變化的時間序列Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型具有沖動點（Impulse）變化的時間序列Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型具有階梯型變化的時間序列Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列的轉(zhuǎn)折性變化Ytt一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列數(shù)據(jù)的分解趨勢隨機循環(huán)或者季節(jié)性Xttime一、時間序列的基本特征數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型二、時間序列模型的基本概念目標：根據(jù)變量的歷史研究變量為什么用這些時間序列模型？-簡單-理論的缺乏-預(yù)測數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析模型的適用性經(jīng)典回歸模型的建模思路：對一個時間序列Xt的變動進行解釋或預(yù)測，是通過某個單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為結(jié)構(gòu)式模型（StructuralModel）。經(jīng)典模型的建模的困難：如果Xt波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結(jié)構(gòu)式模型來解釋Xt的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應(yīng)的量化數(shù)據(jù)，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析模型的適用性經(jīng)典模型預(yù)測性能差：即使能估計出一個較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難，甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑：通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進而對時間序列未來行為進行推斷。二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析模型的適用性問題1：時間序列過去是否有明顯的增長趨勢？如果增長趨勢在過去的行為中占主導(dǎo)地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導(dǎo)地位呢？問題2：時間序列顯示出循環(huán)周期性行為，我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？解決方法：采用隨機時間序列分析建模，就是要通過序列過去的變化特征來預(yù)測未來的變化趨勢。二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析發(fā)展的兩個階段平穩(wěn)時間序列分析—Box-Jenkins(1976)非平穩(wěn)時間序列分析—Engle-Granger(1987)時間序列模型不同于經(jīng)濟計量模型的兩個特點是：-這種建模方法不以經(jīng)濟理論為依據(jù)，而是依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機制描述時間序列的變化。-明確考慮時間序列的平穩(wěn)性。如果時間序列非平穩(wěn)，建立模型之前應(yīng)先通過差分或者協(xié)整把它變換成平穩(wěn)的時間序列，再考慮建模問題。二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型時間序列分析理論框架圖二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型隨機過程的基本概念隨機過程stochasticprocess

設(shè)T是某個集合，俗稱足標集，對任意固定t

T，Yt是隨機變量，t

T的全體{Yt；t

T}稱為T上的隨機函數(shù)。記為{Yt}對每個固定的t，Yt是隨機變量。通常T取為：1）T=[-

,

],T=[0,

]2)T=…-2,-1,0,1,2,…T=1,2,3,…二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型隨機過程的基本概念隨機過程的樣本Sample或?qū)崿F(xiàn)Realization對給定的樣本點

，{Yt(

)}

Y1,Y2,Y3,…,Yn,

y11,y12,y13,…,y1n

y21,y22,y23,…,y2n

記為{yt

}二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型隨機過程的基本概念隨機過程的參數(shù)

-均值函數(shù)meanfunction-自協(xié)方差函數(shù)autocovariancefunction-自相關(guān)函數(shù)autocorrelationfunctionRemark：自協(xié)方差函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)都是對線性關(guān)系的一種度量方式，它與線性時間序列模型是等價的，包含了同等的信息，但對于非線性關(guān)系無能為力二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型平穩(wěn)過程嚴平穩(wěn)一個隨機過程如果是嚴平穩(wěn)的，那么對所有的，所有的，所有的，聯(lián)合概率分布函數(shù)滿足下式：弱平穩(wěn)（二階平穩(wěn)）二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型Remark:平穩(wěn)概念介紹嚴平穩(wěn)具有理論價值，但可操作性差弱平穩(wěn)更具有現(xiàn)實意義，均值和方差易于觀測只要一階矩和二階矩存在，嚴平穩(wěn)一定能推出弱平穩(wěn)；柯西列均值、方差都不存在，但是嚴平穩(wěn)的正態(tài)分布只需用均值和方差兩個參數(shù)就可以完全描述，正態(tài)隨機過程的聯(lián)合分布可以用均值，方差，協(xié)方差完全描述。正態(tài)隨機過程下的弱平穩(wěn)與嚴平穩(wěn)是一致的.二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型一個重要的隨機過程：白噪聲白噪聲就是一種特殊的二階平穩(wěn)過程。對于任一和白噪聲并沒有對分布給出界定，白噪聲并不意味著i.i.d，只有服從Gauss過程時，白噪聲與i.i.d才是等價的可以存在高階矩的序列依賴或者是非線性依賴，例如下面的過程仍為白噪聲二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型平穩(wěn)過程例1—i.i.d序列一個最簡單的隨機時間序列是獨立同分布標準正態(tài)分布序列：二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型平穩(wěn)過程例2—自回歸過程AR(1)

二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型樣本自相關(guān)函數(shù)的計算和判斷二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型檢驗自相關(guān)系數(shù)是否為0原假設(shè)：

i=

i+1=…0用前面介紹的方法計算出樣本自相關(guān)系數(shù)，服從正態(tài)分布N(0,1/T)每個在兩個標準差之間，則認為真正的

i等于0二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型偏自相關(guān)函數(shù)一般的，偏相關(guān)系數(shù)如下定義：Yt與Yt-k的偏相關(guān)系數(shù)是去掉Yt-1，Yt-2，…….，Yt-k+1的線性影響后簡單相關(guān)系數(shù)。用公式表示如下：

*k=Corr(Yt-E*(Yt|Yt-1，Yt-2,…,Yt-k+1),Yt-k)二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型樣本偏自相關(guān)函數(shù)

t=

11

t-1+

1t

t=

12

t-1+

22

t-2＋

2t

t=

13

t-1+

23

t-2＋

33

t-3＋

3t………用OLS法估計上面的方程;

11是1－階樣本偏相關(guān)系數(shù)；

22是2－階樣本偏相關(guān)系數(shù);Remark：對原始序列要進行均值化處理.二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型檢驗偏自相關(guān)系數(shù)是否為0當樣本長度充分大時，原假設(shè)

*k=0，k>p偏相關(guān)系數(shù)近似服從正態(tài)分布N（0，1/T）在近似5%顯著水平下，如果-2/T1/2<

*k<2/T1/2,推斷

*k=0，k>p成立二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型白噪聲的相關(guān)圖樣本容量=400，白噪聲序列當樣本自相關(guān)系數(shù)落在[-0.1,0.1]區(qū)間內(nèi)時，可以判斷自相關(guān)系數(shù)為0二、時間序列模型的基本概念數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型平穩(wěn)線性ARMA模型幾個重要的平穩(wěn)隨機過程-白噪聲-MA-AR-ARMA-ARIMA建立ARMA模型-定階，估計，檢驗，預(yù)測三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型平穩(wěn)時間序列幾個重要的平穩(wěn)過程和模型白噪聲過程MA過程AR過程ARMA過程平穩(wěn)過程的參數(shù)自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)偏自相關(guān)函數(shù)模型平穩(wěn)可逆條件三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型滑動平均模型（MA）

1-階滑動平均模型

和

為參數(shù)或系數(shù)。{Yt}是1-階滑動平均過程。用MA（1）表示例如Yt=0.1+

t＋0.3

t－1三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型MA(1)另一種表達方式本質(zhì)是一個只包括常數(shù)項的回歸模型，但殘差存在自相關(guān)。三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型q-階滑動平均模型定義其中

t是白噪聲過程三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型

自回歸模型（AR）

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t

其中{

t

}是白噪聲過程，

p

0表達式是p-階自回歸模型{

t}為p-階自回歸過程,表示為AR(p)

c,

1,…,

p是未知參數(shù)或系數(shù)。三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型自回歸滑動平均混合過程ARMA

t=c+

1

t-1+

2

t-2+…+

p

t-p+

t

+

1

t-1+…+

q

t–q其中{

t

}是白噪聲過程,

p

0,

q

0表達式是p-階自回歸q－階滑動平均混合模型{

t}為p-階自回歸q-階滑動平均混合過程,表示為ARMA(p,q)

c,

1,…,

p，

1，…，

q是未知參數(shù)或系數(shù)。三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型MA過程例下面是一個MA(2)模型,計算它的自相關(guān)函數(shù)，并畫圖

t=

t+0.2

t－1＋0.1

t－2

1＝(

1＋

2

1)/(1＋

12＋

22)＝(0.2+0.2*0.1)/(1+0.12+0.22)=0.2

2＝(

2)/(1＋

12＋

22)＝0.1/(1+0.12+0.22)=0.095三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型MA過程ACF圖基本結(jié)論MA(q)過程的自相關(guān)函數(shù)q步截尾三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(1)過程的參數(shù)三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(1)參數(shù)

t=0.1+0.5

t-1+

t

t=0.1-0.5

t-1+

t

=0.1/(1-0.5)=0.2

=0.1/(1+0.5)

j=0.5j

j=(-0.5)j

三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMA過程的平穩(wěn)性條件模型平穩(wěn)條件特征方程

(z)=1-

1

z-

2

z2-…-

p

zp=0特征方程的根在單位圓外。如果特征方程的根在單位圓內(nèi)，則模型平穩(wěn)。使得模型滿足平穩(wěn)條件的參數(shù)所在的范圍為平穩(wěn)域.注：平穩(wěn)性只與自回歸系數(shù)

1,…，

p有關(guān)，與滑動平均系數(shù)無關(guān)。三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型自回歸模型的平穩(wěn)域例下面的AR（2）模型是否平穩(wěn)？

t=0.6

t-1-0.08

t-2+

t特征方程:1-0.6z+0.08z2=0根為5和2,都在單位圓外,所以平穩(wěn).三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型根據(jù)自相關(guān)函數(shù)與偏自相關(guān)函數(shù)定階根據(jù)樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)定階一般要求樣本長度大于50,才能有一定的精確程度自相關(guān)函數(shù)和樣本偏相關(guān)函數(shù)定階的準則MA(q)AR(p)ARMA(p，q)自相關(guān)函數(shù)q步截尾拖尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)拖尾p步截尾拖尾三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARIMA（p,d,q)過程和模型隨機過程不平穩(wěn)：從圖形看不重復(fù)穿越一條水平線，樣本自相關(guān)函數(shù)收斂速度慢。差分以后是一個ARMA過程注意不要過度差分d表示差分的次數(shù)三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型MA(1)Yt

＝

t＋0.5

t－1三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型MA(1)的ACF和PACF三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(1)Yt=0.6Yt-1+

t三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(1)的ACF和PACF三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMAYt=-0.7Yt-1+

t

-

0.7

t-1三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMA過程的ACF和PACF三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型隨機游走Yt=Yt-1+

t三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型隨機游走動的自相關(guān)函數(shù)三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMA模型的其他識別方法采用ACF和PACF定階AIC或者BIC準則選擇，越小越好一般到特殊，最后顯著法（Lastsignificant）Remark:在高頻時間序列中（日內(nèi)數(shù)據(jù)），條件均值模型可能是MA(1)模型三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMA模型的其他識別方法ACF和PACF定階-對純粹的AR模型或者MA模型可以定階-可以判別某個過程為ARMA過程，但不能定階-由于估計誤差的存在，很難判斷拖尾和截尾，這種方法在實際應(yīng)用中存在缺陷AIC或者BIC準則選擇，越小越好-特別適用于ARMA模型，當然也適用于AR模型或者MA模型一般到特殊，最后顯著法（Lastsignificant）-選擇一個高階的AR模型，逐漸遞減，直到最后一個變量顯著，這與AR模型PACF定階異曲同工.三、ARMA的模型設(shè)定與識別數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型ARMA模型的估計AR模型采用OLS法估計AR模型可采用自相關(guān)函數(shù)的直接估計MA模型采用最大似然法估計ARMA模型采用最大似然法估計四、ARMA的模型估計與檢驗數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(p)模型的YuleWalker方程估計在AR(p)模型的識別中，曾得到利用

k=

-k，得到如下方程組：此方程組被稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)

1,

2,,

p與自相關(guān)函數(shù)

1,

2,,

p的關(guān)系，

四、ARMA的模型估計與檢驗數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型

第一步，利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計值第二步，然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數(shù)的估計值由于于是從而可得

2的估計值

四、ARMA的模型估計與檢驗數(shù)學(xué)模型講座時間序列模型AR(p)的最小二乘估計假設(shè)模型AR(p)的參數(shù)估計值已經(jīng)得到，即有殘差的平方和為：(*)根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計值是下列方程組的解：即j=1,2,…,p(**)解該方程組，就可得