2012年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)含答案

2012年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2012?重慶）命題“若p則q”的逆命題是（）A．若q則pB．若￢p則￢qC．若￢q則￢pD．若p則￢q2．（5分）（2012?重慶）不等式＜0的解集為（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）3．（5分）（2012?重慶）設(shè)A，B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點(diǎn)，則|AB|=（）A．1B．C．D．24．（5分）（2012?重慶）（1﹣3x）5的展開式中x3的系數(shù)為（）A．﹣270B．﹣90C．90D．2705．（5分）（2012?重慶）=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2012?重慶）設(shè)x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，則|+|=（）A．B．C．2D．107．（5分）（2012?重慶）已知a=log23+log2，b=，c=log32則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)=b＜cB．a(chǎn)=b＞cC．a(chǎn)＜b＜cD．a(chǎn)＞b＞c8．（5分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)f（x）在x=﹣2處取得極小值，則函數(shù)y=xf′（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）（2012?重慶）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）10．（5分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．（5分）（2012?重慶）首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和S4=．12．（5分）（2012?重慶）若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=．13．（5分）（2012?重慶）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，則sinB=．14．（5分）（2012?重慶）設(shè)P為直線y=x與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e=．15．（5分）（2012?重慶）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（13分）（2012?重慶）已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{an}的通項公式（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．17．（13分）（2012?重慶）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．18．（13分）（2012?重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球三次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求乙獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率．19．（12分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=的值域．20．（12分）（2012?重慶）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求異面直線CC1和AB的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．21．（12分）（2012?重慶）如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O，長軸在x軸上，上頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點(diǎn)分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．（Ⅰ）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過B1作直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB2⊥QB2，求△PB2Q的面積．2012年重慶市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1．（5分）（2012?重慶）命題“若p則q”的逆命題是（）A．若q則pB．若￢p則￢qC．若￢q則￢pD．若p則￢q考點(diǎn)：四種命題．專題：簡易邏輯．分析：將原命題的條件與結(jié)論互換，可得逆命題，從而可得解答：解：將原命題的條件與結(jié)論互換，可得逆命題，則命題“若p則q”的逆命題是若q則p．故選A．點(diǎn)評：本題考查了命題與逆命題的相互關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）（2012?重慶）不等式＜0的解集為（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，﹣2）C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考點(diǎn)：其他不等式的解法．專題：計算題．分析：直接轉(zhuǎn)化分式不等式為二次不等式求解即可．解答：解：不等式＜0等價于（x﹣1）（x+2）＜0，所以表達(dá)式的解集為：{x|﹣2＜x＜1}．故選C．點(diǎn)評：本題考查分式不等式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想計算能力．3．（5分）（2012?重慶）設(shè)A，B為直線y=x與圓x2+y2=1的兩個交點(diǎn)，則|AB|=（）A．1B．C．D．2考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì)．專題：計算題．分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，根據(jù)圓心在直線y=x上，得到AB為圓的直徑，根據(jù)直徑等于半徑的2倍，可得出|AB|的長．解答：解：由圓x2+y2=1，得到圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑r=1，∵圓心（0，0）在直線y=x上，∴弦AB為圓O的直徑，則|AB|=2r=2．故選D點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．4．（5分）（2012?重慶）（1﹣3x）5的展開式中x3的系數(shù)為（）A．﹣270B．﹣90C．90D．270考點(diǎn)：二項式系數(shù)的性質(zhì)．專題：計算題．分析：由（1﹣3x）5的展開式的通項公式Tr+1=?（﹣3x）r，令r=3即可求得x3的系數(shù)．解答：解：設(shè)（1﹣3x）5的展開式的通項公式為Tr+1，則Tr+1=?（﹣3x）r，令r=3，得x3的系數(shù)為：（﹣3）3?=﹣27×10=﹣270．故選A．點(diǎn)評：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，著重考查二項式（1﹣3x）5的展開式的通項公式的應(yīng)用，屬于中檔題．5．（5分）（2012?重慶）=（）A．﹣B．﹣C．D．考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：計算題．分析：將原式分子第一項中的度數(shù)47°=17°+30°，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，合并約分后，再利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出值．解答：解：===sin30°=．故選C點(diǎn)評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．6．（5分）（2012?重慶）設(shè)x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，則|+|=（）A．B．C．2D．10考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角．專題：計算題．分析：通過向量的垂直，求出向量，推出，然后求出模．解答：解：因為x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，所以x﹣2=0，所以=（2，1），所以=（3，﹣1），所以|+|=，故選B．點(diǎn)評：本題考查向量的基本運(yùn)算，模的求法，考查計算能力．7．（5分）（2012?重慶）已知a=log23+log2，b=，c=log32則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)=b＜cB．a(chǎn)=b＞cC．a(chǎn)＜b＜cD．a(chǎn)＞b＞c考點(diǎn)：不等式比較大?。畬ｎ}：計算題．分析：利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可求得a=log23，b=log23＞1，而0＜c=log32＜1，從而可得答案．解答：解：∵a=log23+log2=log23，b===＞1，∴a=b＞1，又0＜c=log32＜1，∴a=b＞c．故選：B．點(diǎn)評：本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)既對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題之關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)f（x）在x=﹣2處取得極小值，則函數(shù)y=xf′（x）的圖象可能是（）A．B．C．D．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．專題：證明題．分析：利用函數(shù)極小值的意義，可知函數(shù)f（x）在x=﹣2左側(cè)附近為減函數(shù)，在x=﹣2右側(cè)附近為增函數(shù)，從而可判斷當(dāng)x＜0時，函數(shù)y=xf′（x）的函數(shù)值的正負(fù)，從而做出正確選擇．解答：解：∵函數(shù)f（x）在x=﹣2處取得極小值，∴f′（﹣2）=0，且函數(shù)f（x）在x=﹣2左側(cè)附近為減函數(shù)，在x=﹣2右側(cè)附近為增函數(shù)，即當(dāng)x＜﹣2時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞﹣2時，f′（x）＞0，從而當(dāng)x＜﹣2時，y=xf′（x）＞0，當(dāng)﹣2＜x＜0時，y=xf′（x）＜0，對照選項可知只有C符合題意．故選：C．點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象間的關(guān)系，函數(shù)極值的意義及其與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，篩選法解圖象選擇題，屬基礎(chǔ)題．9．（5分）（2012?重慶）設(shè)四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和a，且長為a的棱與長為的棱異面，則a的取值范圍是（）A．（0，）B．（0，）C．（1，）D．（1，）考點(diǎn)：異面直線的判定；棱錐的結(jié)構(gòu)特征．專題：計算題；壓軸題．分析：先在三角形BCD中求出a的范圍，再在三角形AED中求出a的范圍，二者相結(jié)合即可得到答案．解答：解：設(shè)四面體的底面是BCD，BC=a，BD=CD=1，頂點(diǎn)為A，AD=在三角形BCD中，因為兩邊之和大于第三邊可得：0＜a＜2（1）取BC中點(diǎn)E，∵E是中點(diǎn)，直角三角形ACE全等于直角DCE，所以在三角形AED中，AE=ED=∵兩邊之和大于第三邊∴＜2得0＜a＜（負(fù)值0值舍）（2）由（1）（2）得0＜a＜．故選：A．點(diǎn)評：本題主要考察三角形三邊關(guān)系以及異面直線的位置．解決本題的關(guān)鍵在于利用三角形兩邊之和大于第三邊這一結(jié)論．10．（5分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣4x+3，g（x）=3x﹣2，集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，N={x∈R|g（x）＜2}，則M∩N為（）A．（1，﹢∞）B．（0，1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，1）考點(diǎn)：指、對數(shù)不等式的解法；交集及其運(yùn)算；一元二次不等式的解法．專題：計算題；壓軸題．分析：利用已知求出集合M中g(shù)（x）的范圍，結(jié)合集合N，求出g（x）的范圍，然后求解即可．解答：解：因為集合M={x∈R|f（g（x））＞0}，所以（g（x））2﹣4g（x）+3＞0，解得g（x）＞3，或g（x）＜1．因為N={x∈R|g（x）＜2}，M∩N={x|g（x）＜1}．即3x﹣2＜1，解得x＜1．所以M∩N={x|x＜1}．故選：D．點(diǎn)評：本題考查集合的求法，交集的運(yùn)算，考查指、對數(shù)不等式的解法，交集及其運(yùn)算，一元二次不等式的解法，考查計算能力．二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分）11．（5分）（2012?重慶）首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和S4=15．考點(diǎn)：等比數(shù)列的前n項和．專題：計算題．分析：把已知的條件直接代入等比數(shù)列的前n項和公式，運(yùn)算求得結(jié)果．解答：解：首項為1，公比為2的等比數(shù)列的前4項和S4==15，故答案為15．點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）（2012?重慶）若f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=4．考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．專題：計算題．分析：由題意可得，f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立，代入整理可得（a﹣4）x=0對于任意的x都成立，從而可求a解答：解：∵f（x）=（x+a）（x﹣4）為偶函數(shù)∴f（﹣x）=f（x）對于任意的x都成立即（x+a）（x﹣4）=（﹣x+a）（﹣x﹣4）∴x2+（a﹣4）x﹣4a=x2+（4﹣a）x﹣4a∴（a﹣4）x=0∴a=4故答案為：4．點(diǎn)評：本題主要考查了偶函數(shù)的定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題13．（5分）（2012?重慶）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，則sinB=．考點(diǎn)：余弦定理；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．專題：計算題．分析：由C為三角形的內(nèi)角，及cosC的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinC的值，再由a與b的值，利用余弦定理列出關(guān)于c的方程，求出方程的解得到c的值，再由sinC，c及b的值，利用正弦定理即可求出sinB的值．解答：解：∵C為三角形的內(nèi)角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案為：點(diǎn)評：此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．14．（5分）（2012?重慶）設(shè)P為直線y=x與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）左支的交點(diǎn)，F(xiàn)1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，則雙曲線的離心率e=．考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：設(shè)F1（﹣c，0），利用F1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，P為直線y=x上的點(diǎn)，可得（﹣c，）在雙曲線﹣=1上，由此可求雙曲線的離心率．解答：解：設(shè)F1（﹣c，0），則∵F1是左焦點(diǎn)，PF1垂直于x軸，P為直線y=x上的點(diǎn)∴（﹣c，）在雙曲線﹣=1上∴∴∴=故答案為：點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率，屬于中檔題．15．（5分）（2012?重慶）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）考點(diǎn)：列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；古典概型及其概率計算公式．專題：概率與統(tǒng)計．分析：語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課兩兩不相鄰的排法可分為兩步，先把其它三門藝術(shù)課排列有種排法，第二步把語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課插入由那三個隔開的四個空中，有種排法，由此可求得在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率．解答：解：語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課兩兩不相鄰的排法可分為兩步，先把其它三門藝術(shù)課排列有種排法，第二步把語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課插入由那三個隔開的四個空中，有種排法，故所有的排法種數(shù)為．∴在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查概率的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)具體情況選用插空法，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題（共6小題，滿分75分）16．（13分）（2012?重慶）已知{an}為等差數(shù)列，且a1+a3=8，a2+a4=12．（Ⅰ）求{an}的通項公式（Ⅱ）記{an}的前n項和為Sn，若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，求正整數(shù)k的值．考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)；等差數(shù)列的通項公式．專題：計算題．分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=2，d=2，從而得到{an}的通項公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1），再由=a1Sk+2，求得正整數(shù)k的值．解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差等于d，則由題意可得，解得a1=2，d=2．∴{an}的通項公式an=2+（n﹣1）2=2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得{an}的前n項和為Sn==n（n+1）．∵若a1，ak，Sk+2成等比數(shù)列，∴=a1Sk+2，∴4k2=2（k+2）（k+3），k=6或k=﹣1（舍去），故k=6．點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．17．（13分）（2012?重慶）已知函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若f（x）有極大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最小值．考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．專題：綜合題；探究型；方程思想；轉(zhuǎn)化思想．分析：（Ⅰ）由題設(shè)f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16，可得解此方程組即可得出a，b的值；（II）結(jié)合（I）判斷出f（x）有極大值，利用f（x）有極大值28建立方程求出參數(shù)c的值，進(jìn)而可求出函數(shù)f（x）在[﹣3，3]上的極小值與兩個端點(diǎn)的函數(shù)值，比較這此值得出f（x）在[﹣3，3]上的最小值即可．解答：解：（Ⅰ）由題f（x）=ax3+bx+c，可得f′（x）=3ax2+b，又函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16∴，即，化簡得解得a=1，b=﹣12（II）由（I）知f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2）=0，解得x1=﹣2，x2=2當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，故f（x）在∈（﹣∞，﹣2）上為增函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣2，2）時，f′（x）＜0，故f（x）在（﹣2，2）上為減函數(shù)；當(dāng)x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0，故f（x）在（2，+∞）上為增函數(shù)；由此可知f（x）在x1=﹣2處取得極大值f（﹣2）=16+c，f（x）在x2=2處取得極小值f（2）=c﹣16，由題設(shè)條件知16+c=28得，c=12此時f（﹣3）=9+c=21，f（3）=﹣9+c=3，f（2）=﹣16+c=﹣4因此f（x）在[﹣3，3]上的最小值f（2）=﹣4點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解第一小題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)在點(diǎn)x=2處取得極值c﹣16”，將其轉(zhuǎn)化為x=2處的導(dǎo)數(shù)為0與函數(shù)值為c﹣16兩個等量關(guān)系，第二小時解題的關(guān)鍵是根據(jù)極大值為28建立方程求出參數(shù)c的值．本題考查了轉(zhuǎn)化的思想及方程的思想，計算量大，有一定難度，易因為不能正確轉(zhuǎn)化導(dǎo)致無法下手求解及計算錯誤導(dǎo)致解題失敗，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，嚴(yán)防出現(xiàn)在失誤．此類題是高考的?？碱}，平時學(xué)習(xí)時要足夠重視．18．（13分）（2012?重慶）甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球三次時投籃結(jié)束．設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響．（Ⅰ）求乙獲勝的概率；（Ⅱ）求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率．考點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；概率的基本性質(zhì)．專題：計算題．分析：（Ⅰ）分別求出乙第一次投球獲勝的概率、乙第二次投球獲勝的概率、乙第三次投球獲勝的概率，相加即得所求．（Ⅱ）由于投籃結(jié)束時乙只投了2個球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了，把這兩種情況的概率相加，即得所求．解答：解：（Ⅰ）∵乙第一次投球獲勝的概率等于=，乙第二次投球獲勝的概率等于??=，乙第三次投球獲勝的概率等于=，故乙獲勝的概率等于++=．（Ⅱ）由于投籃結(jié)束時乙只投了2個球，說明第一次投球甲乙都沒有投中，第二次投球甲沒有投中、乙投中，或第三次投球甲投中了．故投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率等于+×=．點(diǎn)評：本題主要考查相互獨(dú)立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．19．（12分）（2012?重慶）設(shè)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π）在x=處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點(diǎn)的距離為．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)g（x）=的值域．考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：（Ⅰ）通過函數(shù)的周期求出ω，求出A，利用函數(shù)經(jīng)過的特殊點(diǎn)求出φ，推出f（x）的解析式；（Ⅱ）利用（Ⅰ）推出函數(shù)g（x）=的表達(dá)式，通過cos2x∈[0，1]，且，求出g（x）的值域．解答：解：（Ⅰ）由題意可知f（x）的周期為T=π，即=π，解得ω=2．因此f（x）在x=處取得最大值2，所以A=2，從而sin（）=1，所以，又﹣π＜φ≤π，得φ=，故f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+）；（Ⅱ）函數(shù)g（x）=======因為cos2x∈[0，1]，且，故g（x）的值域為．點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查計算能力．20．（12分）（2012?重慶）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求異面直線CC1和AB的距離；（Ⅱ）若AB1⊥A1C，求二面角A1﹣CD﹣B1的平面角的余弦值．考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；點(diǎn)、線、面間的距離計算；二面角的平面角及求法．專題：計算題；證明題；壓軸題．分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件得到CD⊥AB以及CC1⊥CD，進(jìn)而求出C的長即可；（Ⅱ）解法一；先根據(jù)條件得到∠A1DB1為所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角，再根據(jù)三角形相似求出棱柱的高，進(jìn)而在三角形A1DB1中求出結(jié)論即可；解法二：過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個平面的法向量的坐標(biāo)，最后代入向量的夾角計算公式即可求出結(jié)論．解答：解：（Ⅰ）解：因為AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，故CD⊥AB，又直三棱柱中，CC1⊥面ABC，故CC1⊥CD，所以異面直線CC1和AB的距離為：CD==．（Ⅱ）解法一；由CD⊥AB，CD⊥BB1，故CD⊥平面A1ABB1，從而CD⊥DA1，CD⊥DB1，故∠A1DB1為所求的二面角A1﹣CD﹣B1的平面角．因A1D是A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1⊥A1C，由三垂線定理的逆定理得AB1⊥A1D，從而∠A1AB1，∠A1DA都與∠B1AB互余，因此∠A1AB1=∠∠A1DA，所以RT△A1AD∽RT△B1A1A，因此=，得=AD?A1B1=8，從而A1D==2，B1D=A1D=2．所以在三角形A1DB1中，cos∠A1DB1==．解法二：過D作DD1∥AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，由第一問知：DB，DC，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，射線DB，DC，DD1分別為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣XYZ．．設(shè)直三棱柱的高為h，則A（﹣2，0，0），A1（﹣2，0，h）．B1（2，0，h）．C（0，，0）從而=（4，0，h），=（2，，﹣h）．由AB1⊥A1C得?=0，即8﹣