高中生如何求數(shù)列前n項(xiàng)和

關(guān)于高中生如何求數(shù)列前n項(xiàng)和簡介

一.關(guān)于等差與等比數(shù)列

二.等差與等比的和差積商三.含根式的數(shù)列求和四.對(duì)數(shù)數(shù)列的求和五.三角數(shù)列的求和六.含排列組合的數(shù)列求和七.交錯(cuò)數(shù)列的求和八.自然數(shù)方冪數(shù)列及應(yīng)用

九.簡單的遞推數(shù)列求和十復(fù)數(shù)方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用十一.導(dǎo)數(shù)方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用歡迎指正第2頁,共32頁，2024年2月25日，星期天一.關(guān)于等差與等比數(shù)列

高中課本我們已經(jīng)學(xué)過等差數(shù)列與等比數(shù)列，這是兩個(gè)最基本的數(shù)列，很多數(shù)列將以此為基礎(chǔ)進(jìn)行研究。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1+（n-1）d

其前n項(xiàng)和是：sn=（a1+an）n/2

或sn=(2a1+(n-1)d)n/2

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=a1qn-1

其前n項(xiàng)和是：sn=（a1-anq）/（1-q）或sn=a1（1-qn）/（1-q）只有靈活掌握以上公式的運(yùn)用，才能更深一步解決復(fù)雜數(shù)列的求和。第3頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題

有些已知條件不能直接看出它是等差數(shù)列或等比數(shù)列，必須對(duì)條件進(jìn)行變換。例題：已知等差數(shù)列a1=5，d=10，其前k項(xiàng)和為Bk，構(gòu)造數(shù)列An=Bnk-B（n-1）k，求數(shù)列An的前n項(xiàng)和Sn。解：an=a1+（n-1）d=5+10（n-1）=-5+10nBk=（a1+ak）k/2=（5-5+10k）k/2=5k2An=Bnk-B（n-1）k=5（nk）2-5（（n-1）k）2

=5（2n-1）k2An+1-An=5（2n+1）k2-5（2n-1）k2=10k2A1=5k2，A2=15k2，A3=25k2………….

因此An是公差為10k2的等差數(shù)列,所以

Sn=(A1+An)n/2=(5k2+5（2n-1）k2)n/2=5k2n2

第4頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題例題：已知數(shù)列{an}有a1=5且an=a1+a2+……+

an-1(n

2)求其前n項(xiàng)和Sn。解：an=a1+a2+……+an-2+

an-1(n

2)=an-1+an-1=2an-1

即當(dāng)n

2時(shí)an/an-1=2，{an}是以2為公比的等比數(shù)列5，5，10，20，40，80，…….an=5x2n-2

所以Sn=5+5+5x2+……+5x2n-2=5+(5x2n-2x2-5)/(2-1)=5x2n-1

第5頁,共32頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)通過以上分析我們知道,求數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1.利用已知條件求出其通項(xiàng)公式是關(guān)鍵.2.其次是判斷其是否是兩種基本數(shù)列(等比或等差).3.最后運(yùn)用通項(xiàng)公式求其前n項(xiàng)和,并注意通項(xiàng)公式成立的條件,如在例題2中(n2)通項(xiàng)公式才成立.第6頁,共32頁，2024年2月25日，星期天二.等差與等比的和差積商所謂等差數(shù)列與等比數(shù)列的和差積商，是指等差數(shù)列與等比數(shù)列它們自身，以及它們之間通過加減、乘、除等運(yùn)算所組成的新復(fù)合數(shù)列。并不是所有的復(fù)合數(shù)列，都能求出其前n項(xiàng)和的一般表達(dá)式，高中范圍內(nèi)，只要求掌握很少幾種復(fù)合數(shù)列前n項(xiàng)和的求法。等差數(shù)列與等差數(shù)列的和差，仍是等差數(shù)列。等比數(shù)列與等比數(shù)列的的積商仍是等比數(shù)列。等比數(shù)列的乘方開方仍是等比數(shù)列。等差指數(shù)數(shù)列是等比數(shù)列。以上幾種情況比較簡單，我們著重討論以下幾種情況。第7頁,共32頁，2024年2月25日，星期天1.等差數(shù)列與等比數(shù)列的和差

等差數(shù)列與等比數(shù)列的和差也比較簡單，主要是把數(shù)列分成等差數(shù)列與等比數(shù)列兩部分分別求和,然后再相加。

an=（a+nd）+（bqn）

Sn=（a+d+a+nd）n/2+（bqn-bq）/（q-1）

=na+（n+1）nd/2+bq（qn-1）/（q-1）例題：求數(shù)列0.3，0.33，0.333，0.3333……前n項(xiàng)和。解：an=0.3…33（n個(gè)3）=0.9…99/3=（1-0.0…001）/3=（1-1/10n）/3=1/3-（1/3）10-n

所以Sn=0.3+0.33+0.333+……+0.3…33=1/3（n-（1/10+1/102+1/103+……+1/10n））

=1/27（9n-1+1/10n）以下數(shù)列的求和也是這種類型.

求數(shù)列81,891,8991,89991………的和.

求出它的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵.第8頁,共32頁，2024年2月25日，星期天2.等比數(shù)列與等比數(shù)列和差

第9頁,共32頁，2024年2月25日，星期天3等差數(shù)列與等差數(shù)列的積商第10頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第11頁,共32頁，2024年2月25日，星期天4等差數(shù)列與等比數(shù)列的積商第12頁,共32頁，2024年2月25日，星期天5小結(jié)等差與等比數(shù)列和差積商求法應(yīng)注意以下幾點(diǎn):1.首先找出通項(xiàng)公式,并盡量化成等差等比或其復(fù)合形式.2.變換通項(xiàng)公式,應(yīng)用基本等差與等比公式求和.3.變換通項(xiàng)公式,應(yīng)用“拆項(xiàng)法”求和,應(yīng)注意變換的靈活性.4.變換通項(xiàng)公式應(yīng)用“求差法”求和.第13頁,共32頁，2024年2月25日，星期天三.含根式的數(shù)列求和第14頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第15頁,共32頁，2024年2月25日，星期天四.對(duì)數(shù)數(shù)列的求和第16頁,共32頁，2024年2月25日，星期天五.三角數(shù)列的求和第17頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第18頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第19頁,共32頁，2024年2月25日，星期天六.含排列組合的數(shù)列求和第20頁,共32頁，2024年2月25日，星期天小結(jié)在以上內(nèi)容中大都是用拆項(xiàng)求和法，它在數(shù)列求和中是一種常用的基本方法。拆項(xiàng)求和法，就是先將所給的數(shù)列的每一項(xiàng)分成幾項(xiàng)，從而得到一系列等式。然后將這些等式相加，使之消去許多同類項(xiàng)就得到所給的數(shù)列的和。1、運(yùn)用拆項(xiàng)求法的成敗，在于能否分列數(shù)列的第N項(xiàng)。2、拆項(xiàng)求和時(shí)，交叉相消后還要剩余哪些項(xiàng)，必須搞清。第21頁,共32頁，2024年2月25日，星期天七.交錯(cuò)數(shù)列的求和第22頁,共32頁，2024年2月25日，星期天八.自然數(shù)方冪數(shù)列及應(yīng)用第23頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第24頁,共32頁，2024年2月25日，星期天九.簡單的遞推求和第25頁,共32頁，2024年2月25日，星期天例題第26頁,共32頁，2024年2月25日，星期天十.復(fù)數(shù)方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用第27頁,共32頁，2024年2月25日，星期天十一、導(dǎo)數(shù)方法在數(shù)列求和中的運(yùn)用第28頁,共32頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)高中生數(shù)列求和的一般思路1、首先觀察數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求出其通項(xiàng)公式。2、分析通項(xiàng)公式，判斷這個(gè)數(shù)列是等比、等差或其和、差、積、商或其它形式。（常數(shù)數(shù)列即可看成等比，也可看成等差）3、等差數(shù)列的積一定可用自然數(shù)方冪求和（自然數(shù)方冪一定可用拆項(xiàng)法求得）。4、等差與等比的積一定可用“求差法”求積。5、若不符合以上條件，判斷它能否使用拆項(xiàng)求和法。第29頁,共32頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)6、若是三角數(shù)列，可判斷能否用復(fù)數(shù)法，其中角成等差的正余弦函數(shù)數(shù)列一定能用復(fù)數(shù)法求和。7、若已知道一個(gè)預(yù)知相聯(lián)系的函數(shù)數(shù)列之和可分析能否用導(dǎo)數(shù)法求和，數(shù)項(xiàng)數(shù)列分析能否構(gòu)造成函數(shù)數(shù)列的特例。8、在所有數(shù)列求和方法中，最難