人教版八年級數(shù)學(xué)下冊尖子生培優(yōu)必刷題專題一次函數(shù)與圖形的面積問題(原卷版+解析)

八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與圖形的面積問題題型一一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積題型一一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積【例題1】(2023春?灤州市期末）已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點A（﹣6，0）的直線l1與直線l2：y＝2x相交于點B（m，4），與y軸交于點M．（1）求直線l1的表達(dá)式．（2）求△BOM的面積．【變式1-1】(2023秋?廣饒縣校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點C（0，12）的直線AC與直線OA相交于點A（8，4）．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）求△AOC的面積．【變式1-2】如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（﹣2，﹣1），B（1，3）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求點C和點D的坐標(biāo)；（3）求△AOB的面積．【變式1-3】(2023春?天河區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（3，5）與（﹣4，﹣9），與x軸、y軸分別交于點A、點B．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）若坐標(biāo)原點為O，求△ABO的面積．【變式1-4】已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B（0，2），且與正比例函數(shù)y=43x的圖象交于點C（1）求m的值；（2）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式；（3）求這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的△AOC的面積．【變式1-5】（2023?惠陽區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A(43，53)，點D的坐標(biāo)為（0，1），直線（1）求直線AD的解析式．（2）求△ABC的面積．【變式1-6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y=43x的圖象交點為C（（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（2）求△BOC的面積；（3）若點D在第二象限，△DAB為等腰直角三角形，則點D的坐標(biāo)為．題型二利用一次函數(shù)求不規(guī)則的四邊形的面積題型二利用一次函數(shù)求不規(guī)則的四邊形的面積【例題2】(2023秋?宿豫區(qū)期末）如圖，直線l分別與x軸、y軸交于點A（4，0）、B（0，5），把直線l沿y軸向下平移3個單位長度，得到直線m，且直線m分別與x軸、y軸交于點C、D．（1）求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求四邊形ABDC的面積．【變式2-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=12x+3與x軸、y軸交點分別為點A和點B，直線l2過點B且（1）求直線l2的解析式；（2）求四邊形ABCD的面積．【變式2-2】如圖，直線AC：y=12x+2分別交x軸和y軸于A，C兩點，直線BD：y＝﹣x+b分別交x軸和y軸于B，D兩點，直線AC與BD交于點E，且OA＝（1）求直線BD的解析式和E的坐標(biāo)．（2）若直線y＝x分別與直線AC，BD交于點H和F，求四邊形ECOF的面積．【變式2-3】(2023春?南城縣校級月考）如圖，已知直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A、C兩點，直線BC過點C交x軸于點B，且OB＝2OC＝3OA，點D為AC的中點．（1）求k的值以及直線BC的解析式；（2）過點D作DE⊥y軸交BC于點E，連接OE，求四邊形AOEC的面積；【變式2-4】已知直線m經(jīng)過兩點（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x軸、y軸的交點是B、A，直線n過點（2，﹣2），且與y軸交點的縱坐標(biāo)是﹣3，它和x軸、y軸的交點是D、C；（1）分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；（2）計算四邊形ABCD的面積；（3）若直線AB與DC交于點E，求△BCE的面積．【變式2-5】(2023春?饒平縣校級期末）如圖，直線y＝2x+m（m＞0）與x軸交于點A（﹣2，0），直線y＝﹣x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點，并與直線y＝2x+m（m＞0）相交于點D，若AB＝4．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）求出四邊形AOCD的面積；（3）若E為x軸上一點，且△ACE為等腰三角形，求點E的坐標(biāo)．題型三根據(jù)面積的值求函數(shù)解析式或坐標(biāo)題型三根據(jù)面積的值求函數(shù)解析式或坐標(biāo)【例題3】已知一次函數(shù)的圖象過點（0，3），且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為3，則這個一次函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3 C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3【變式3-1】(2023秋?阜新縣校級期末）一次函數(shù)y＝kx+10的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于5，則該直線的表達(dá)式為．【變式3-2】(2023春?上海期中）已知直線y＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是6，且經(jīng)過（2，0），則這條直線的表達(dá)式是．【變式3-3】(2023秋?南海區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB過點A（a，12）、B（12，﹣a），點A在第二象限，點O為坐標(biāo)原點，連接OA、OB，△AOB的面積為90，則直線AB的函數(shù)表達(dá)式是．【變式3-4】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．已知OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，則這個一次函數(shù)的解析式為（）A．y=?12x+2 B．y＝﹣2C．y=23x+16 D．y=?【變式3-5】(2023秋?高郵市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點A（4，0），與直線l2：y=12x相交于點M（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）點C為x軸上一點，若△ABC的面積為6，求點C的坐標(biāo)．【變式3-6】(2023春?永川區(qū)期末）如圖，直線y＝﹣x+10與x軸、y軸分別交于點B，C，點A的坐標(biāo)為（8，0），P（x，y）是直線y＝﹣x+10在第一象限內(nèi)一個動點．（1）求△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的x的取值范圍；（2）當(dāng)△OPA的面積為10時，求點P的坐標(biāo)．【變式3-7】(2023春?單縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線n過點A（0，﹣2）且與直線l交于點B（3，2），直線l與y軸正半軸交于點C．（1）求直線n的函數(shù)表達(dá)式；（2）若△ABC的面積為9，求點C的坐標(biāo)；（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．【變式3-8】(2023春?北辰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點B（4，0）的直線AB與直線OA相交于點A（3，1），動點M在線段OA和射線AC上運動．（1）求直線AB的解析式；（2）直線AB交y軸于點C，求△OAC的面積；（3）當(dāng)△OAC的面積是△OMC面積的3倍時，求出這時點M的坐標(biāo)．題型四由圖形面積的關(guān)系求函數(shù)解析式或坐標(biāo)題型四由圖形面積的關(guān)系求函數(shù)解析式或坐標(biāo)【例題4】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸分別交于點A和B，已知點A和B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3）．（1）求直線AB的解析式；（2）若C是x軸上的一動點，試探究當(dāng)點C運動到何處時，△CAB的面積等于△ABO面積的一半，請直接寫出點C的坐標(biāo)．【變式4-1】(2023春?烏拉特前旗期末）如圖所示，直線L1的解析表達(dá)式為y＝﹣3x+3，且L1與x軸交于點D．直線L2經(jīng)過點A，B，直線L1，L2交于點C．（1）求直線L2的解析表達(dá)式；（2）求△ADC的面積；（3）在直線L2上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【變式4-2】(2023秋?青島期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點A，C，經(jīng)過點C的直線與x軸交于點B（6，0）．（1）求直線BC的解析式；（2）點G是線段BC上一動點，若直線AG把△ABC的面積分成1：2的兩部分，請求點G的坐標(biāo)；【變式4-3】(2023秋?墾利區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點C（0，12）的直線AC與直線OA相交于點A（8，4）．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）求△OAC的面積；（3）動點M在線段OA和射線AC上運動，是否存在點M，使△OMC的面積是△OAC的面積的12？若存在，求出此時點M【變式4-4】如圖1，直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，點C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若點P是射線AB上的一點，S△PAC＝S△PCO，求點P的坐標(biāo)；【變式4-5】如圖，直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別相交于E、F，點E的坐標(biāo)為（﹣9，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，0），點P（x，y）是直線l上的一個動點．（1）求出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)△OPA的面積為3.6時，求點P的坐標(biāo)．（3）若直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分時，求點P的坐標(biāo)．【變式4-6】(2023秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，y2=?13x+b的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E（1）填空：m＝，b＝；（2）求△ACD的面積；（3）在線段AD上是否存在一點M，使得△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．題型五一次函數(shù)平分圖形面積問題題型五一次函數(shù)平分圖形面積問題【例題5】(2023秋?吳江區(qū)月考）如圖，一次函數(shù)y=34x+6的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，過點B的直線l平分△ABO的面積，則直線A．y=12x+6 B．y＝2x+6 C．y=2【變式5-1】(2023春?單縣期末）如圖，已知直線l1：y＝﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的表達(dá)式為．【變式5-2】(2023?南京模擬）四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），當(dāng)過點（0，1）的直線l將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時，直線l所表示的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y=?23x+1 B．y=23x+1 C．y＝2x+1 D．【變式5-3】(2023?沂源縣一模）如圖，四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），當(dāng)過點B的直線l將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為．【變式5-4】(2023春?皇姑區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=3x+b與x軸交于點A（﹣4，0）與y軸交于點C，過點C的直線BC與x軸正半軸交于點B，△OBC的面積是△OAC（1）求點B的坐標(biāo)；（2）線段BC上有點P，當(dāng)直線AP把△ABC分成面積相等的兩部分時，直接寫出直線AP的解析式；（3）在射線OC和射線OB上分別取點E和點F，且EF∥BC，將△OEF沿直線EF翻折得到△O1EF，點O的對應(yīng)點為點O1，若點O1到直線OC和直線BC的距離相等，直接寫出點O1的坐標(biāo)．【變式5-5】y2），則①AB兩點的距離=(x1?x2)2+解決問題：如圖，平行四邊形ABCD中，點B在x軸負(fù)半軸上，點D在第一象限，A，C兩點的坐標(biāo)分別為（0，4），（3，0），邊AD的長為6．（1）若點P是直線AD上一動點，當(dāng)PO+PC取得最小值時，求點P的坐標(biāo)及PO+PC的最小值；（2）已知直線l：y＝kx+b過點（0，﹣2），且將平行四邊ABCD分成面積相等的兩部分，求直線l的解析式；（3）若點N在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，在x軸上是否存在點F，使以A、C、F、N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點F的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．八年級下冊數(shù)學(xué)《第十九章一次函數(shù)》專題一次函數(shù)與圖形的面積問題題型一一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積題型一一次函數(shù)與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積【例題1】(2023春?灤州市期末）已知：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，過點A（﹣6，0）的直線l1與直線l2：y＝2x相交于點B（m，4），與y軸交于點M．（1）求直線l1的表達(dá)式．（2）求△BOM的面積．【分析】（1）先求出點B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）把x＝0代入解析式，求出M坐標(biāo)，利用三角形面積公式解答即可；【解答】解：（1）∵點B（m，4）直線l2：y＝2x上，∴4＝2m，∴m＝2，∴點B（2，4），設(shè)直線l1的表達(dá)式為y＝kx+b，將A（﹣6，0），B（2，4）代入得：0=6k+b4=2k+b解得k=1∴直線l1的表達(dá)式為y=12（2）將x＝0代入y=12x+3，得：∴M（0，3），∴OM＝3，∴△BOM的面積=12OM?|xB|【點評】本題考查兩條直線平行、相交問題，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用待定系數(shù)法，學(xué)會利用圖象，根據(jù)條件確定自變量取值范圍．【變式1-1】(2023秋?廣饒縣校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點C（0，12）的直線AC與直線OA相交于點A（8，4）．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）求△AOC的面積．【分析】（1）設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系數(shù)法求得直線AC解析式為y＝﹣x+12；（2）利用三角形面積公式求得即可．【解答】解：（1）設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將C（0，12），A（8，4）代入得：b=128k+b=4解得k=?1b=12∴直線AC解析式為y＝﹣x+12；（2）∵C（0，12），A（8，4），∴S△OAC=1【點評】本題是兩條直線相交問題，考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及三角形面積求法等知識；熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式解題關(guān)鍵．【變式1-2】如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過A（﹣2，﹣1），B（1，3）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．（1）求一次函數(shù)的解析式；（2）求點C和點D的坐標(biāo)；（3）求△AOB的面積．【分析】（1）先把A點和B點坐標(biāo)代入y＝kx+b得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組得到k、b的值，從而得到一次函數(shù)的解析式；（2）令x＝0，y＝0，代入y=43x+53即可確定（3）根據(jù)三角形面積公式和△AOB的面積＝S△AOD+S△BOD進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）把A（﹣2，﹣1），B（1，3）代入y＝kx+b得?2k+b=?1k+b=3解得k=4所以一次函數(shù)解析式為y=43x（2）令y＝0，則0=43x+53所以C點的坐標(biāo)為（?5把x＝0代入y=43x+53所以D點坐標(biāo)為（0，53（3）△AOB的面積＝S△AOD+S△BOD=12×=5【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法之一，需要熟練掌握．【變式1-3】(2023春?天河區(qū)期末）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點（3，5）與（﹣4，﹣9），與x軸、y軸分別交于點A、點B．（1）求這個一次函數(shù)的解析式；（2）若坐標(biāo)原點為O，求△ABO的面積．【分析】（1）設(shè)出一次函數(shù)的解析式是y＝kx+b，然后把經(jīng)過的點的坐標(biāo)代入，求解得到k、b的值即可得解；（2）根據(jù)一次函數(shù)的解析式求出點A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，然后利用三角形的面積公式列式進(jìn)行計算即可求解．【解答】解：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式是y＝kx+b，則3k+b=5?4k+b=?9解得k=2b=?1∴一次函數(shù)的解析式為y＝2x﹣1；（2）當(dāng)x＝0時，y＝﹣1，當(dāng)y＝0時，2x﹣1＝0，解得x=1∴點A、B的坐標(biāo)是A（12，0），B∴OA=12，S△OAB=12OA?OB=1【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，待定系數(shù)法是求函數(shù)解析式常用的方法之一，需要熟練掌握．【變式1-4】已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B（0，2），且與正比例函數(shù)y=43x的圖象交于點C（1）求m的值；（2）求一次函數(shù)y＝kx+b的表達(dá)式；（3）求這兩個函數(shù)圖象與x軸所圍成的△AOC的面積．【分析】（1）根據(jù)兩直線相交的問題，把C（m，4）代入y=43x（2）把B點和C點坐標(biāo)分別代入y＝kx+b，得到關(guān)于k和b的方程組，然后解方程求出k和b即可得到一次函數(shù)解析式；（3）先確定A點坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式求解．【解答】解：（1）∵點C在正比例函數(shù)y=43∴43∴m＝3；（2）∵點C（3，4）B（0，2）在一次函數(shù)圖象上，∴3k+b=4b=2解得k=2∴一次函數(shù)的表達(dá)式為y=23（3）當(dāng)y＝0時，23x+2＝0，解得x∴A（﹣3，0），∴△AOC的面積=1【點評】本題考查了兩直線相交或平行問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．【變式1-5】（2023?惠陽區(qū)校級開學(xué)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A(43，53)，點D的坐標(biāo)為（0，1），直線（1）求直線AD的解析式．（2）求△ABC的面積．【分析】（1）設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法將A(43，（2）根先求得BC＝5，再根據(jù)三角形面積計算公式進(jìn)行計算即可．【解答】解：（1）設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+b，∵直線AD過點A(43，∴43解得k=1∴直線AD的解析式為：y=1（2）∵直線AD的解析式為y=1∴當(dāng)y＝0時，則12解得x＝﹣2，∴B（﹣2，0），∴BC＝5，∴△ABC的面積=1【點評】本題主要是兩直線相交問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形面積，解題時注意：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．【變式1-6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數(shù)y=43x的圖象交點為C（（1）求一次函數(shù)y＝kx+b的解析式；（2）求△BOC的面積；（3）若點D在第二象限，△DAB為等腰直角三角形，則點D的坐標(biāo)為．【分析】（1）把C點坐標(biāo)代入正比例函數(shù)解析式可求得m，再把A、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式可求得k、b，可求得答案；（2）根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（3）由題意可分兩種情況，即A為直角頂點和B為直角頂點，分別設(shè)對應(yīng)的D點為D2和D1，過點D1作D1E⊥y軸于點E，過點D2作D2F⊥x軸于點F，可證明△BED1≌△AOB（AAS），可求得D1的坐標(biāo)，同理可求得D2的坐標(biāo)，可得出D點的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵點C在正比例函數(shù)圖象上，∴43m＝4，解得：m∵點C（3，4）、A（﹣3，0）在一次函數(shù)圖象上，∴代入一次函數(shù)解析式可得?3k+b=03k+b=4，解這個方程組得k=∴一次函數(shù)的解析式為y=23（2）在y=23x+2中，令x∴B（0，2）∴S△BOC=1（3）過點D1作D1E⊥y軸于點E，過點D2作D2F⊥x軸于點F，如圖，∵點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，∴AB＝BD2，∵∠D1BE+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠EBD1，∵在△BED1和△AOB中，∠∴△BED1≌△AOB（AAS），∴BE＝AO＝3，D1E＝BO＝2，即可得出點D的坐標(biāo)為（﹣2，5）；同理可得出：△AFD2≌△AOB，∴FA＝BO＝2，D2F＝AO＝3，∴點D的坐標(biāo)為（﹣5，3），∵∠D1AB＝∠D2BA＝45°，∴∠AD3B＝90°，∴D3（?52，綜上可知點D的坐標(biāo)為（﹣2，5）或（﹣5，3）或（?52，故答案為：（﹣2，5）或（﹣5，3）或（?52，【點評】本題考查了兩直線相交，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識點，能求出一次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵．題型二利用一次函數(shù)求不規(guī)則的四邊形的面積題型二利用一次函數(shù)求不規(guī)則的四邊形的面積【例題2】(2023秋?宿豫區(qū)期末）如圖，直線l分別與x軸、y軸交于點A（4，0）、B（0，5），把直線l沿y軸向下平移3個單位長度，得到直線m，且直線m分別與x軸、y軸交于點C、D．（1）求直線l對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求四邊形ABDC的面積．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先求出直線l沿y軸向下平移后的直線解析式，再求出C點和D點坐標(biāo)，再根據(jù)四邊形ABDC的面積＝S△OAB﹣S△ODC求解即可．【解答】解：（1）設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b（k≠0，k，b為常數(shù)），∵直線l分別與x軸、y軸交于點A（4，0）、B（0，5），∴4k+b=0b=5解得k=?5∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=?5（2）直線l沿y軸向下平移3個單位長度得y=?54x+5?∴直線m的解析式為y=?5當(dāng)x＝0時，y＝2，∴點D坐標(biāo)為（0，2），∴OD＝2，當(dāng)y=?54x+2=0時，∴點C坐標(biāo)為（85∴OC=8∵OA＝4，OB＝5，∴四邊形ABDC的面積＝S△OAB﹣S△ODC=1=42【點評】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換，待定系數(shù)法求解析式，四邊形的面積等，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=12x+3與x軸、y軸交點分別為點A和點B，直線l2過點B且（1）求直線l2的解析式；（2）求四邊形ABCD的面積．【分析】（1）根據(jù)直線l1的解析式求出A（﹣6，0），B（0，3）．根據(jù)上加下減的平移規(guī)律求出直線l3的解析式為y=12x﹣1，求出C（2，0），D（0，﹣1）．根據(jù)直線l2過點B、C，利用待定系數(shù)法求出直線l（2）根據(jù)S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC，即可求出四邊形ABCD的面積．【解答】解：（1）∵直線l1：y=12x+3與x軸、y軸交點分別為點A和點∴y＝0時，12x+3＝0，解得xx＝0時，y＝3，∴A（﹣6，0），B（0，3）．∵將直線l1：y=12x+3向下平移4個單位長度得到直線l∴直線l3的解析式為：y=12x+3﹣4，即y=∵y＝0時，12x﹣1＝0，解得xx＝0時，y＝﹣1，∴C（2，0），D（0，﹣1）．設(shè)直線l2的解析式為y＝kx+b，∵直線l2過點B（0，3）、點C（2，0），∴b=32k+b=0，解得k=?∴直線l2的解析式為y=?32（2）∵A（﹣6，0），B（0，3），C（2，0），D（0，﹣1），∴AC＝2﹣（﹣6）＝8，OB＝3，OD＝1，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC=12AC?OB+1=12×＝12+4＝16．【點評】本題是關(guān)于求一次函數(shù)解析式，兩直線交點以及利用坐標(biāo)來求相關(guān)圖形面積的綜合問題．【變式2-2】如圖，直線AC：y=12x+2分別交x軸和y軸于A，C兩點，直線BD：y＝﹣x+b分別交x軸和y軸于B，D兩點，直線AC與BD交于點E，且OA＝（1）求直線BD的解析式和E的坐標(biāo)．（2）若直線y＝x分別與直線AC，BD交于點H和F，求四邊形ECOF的面積．【分析】（1）先求直線AC：y=12x+2與x軸和y軸的交點A，C，由OA＝OB得點坐標(biāo)，代入直線BD：y＝﹣x+b，求出b，即可知直線BD的解析式；再把直線BD的解析式與直線AC：y=12（2）由（1）知點C，D，E的坐標(biāo)，再聯(lián)立y＝x和直線BD的解析式，求出點F的坐標(biāo)，由三角形DOF的面積減去三角形DCE的面積，即可求出四邊形ECOF的面積．【解答】解：（1）∵直線AC：y=12x+2分別交x軸和y軸于A，∴A（﹣4，0），C（0，2），∵OA＝OB，∴OA＝OB＝4，B（4，0），∵直線BD：y＝﹣x+b分別交x軸和y軸于B，D兩點，∴0＝﹣4+b，∴b＝4，D（0，4）∴直線BD：y＝﹣x+4．解y=12∴E（43，8綜上，直線直線BD的解析式為：y＝﹣x+4，點E坐標(biāo)為（43，8（2）由（1）知：C（0，2），D（0，4），E（43，8且由y=xy=?x+4，得點F∴S四邊形ECOF＝S△DOF﹣S△DCE＝4×2÷2﹣（4﹣2）×4＝4?=8故四邊形ECOF的面積為83【點評】本題是關(guān)于求一次函數(shù)解析式，兩直線交點以及利用坐標(biāo)來求相關(guān)圖形面積的綜合問題．【變式2-3】(2023春?南城縣校級月考）如圖，已知直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A、C兩點，直線BC過點C交x軸于點B，且OB＝2OC＝3OA，點D為AC的中點．（1）求k的值以及直線BC的解析式；（2）過點D作DE⊥y軸交BC于點E，連接OE，求四邊形AOEC的面積；【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出點C的坐標(biāo)，然后根據(jù)OB＝2OC＝3OA求出點A和點B的坐標(biāo)，將點A坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出k的值，運用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；（2）根據(jù)點D為AC的中點得出點D和點E的坐標(biāo)，然后根據(jù)S\user2四邊形AOEC【解答】解：（1）∵直線y＝kx+3分別交x軸、y軸于A、C兩點，∴當(dāng)x＝0時，y＝3，∴點C（0，3），即OC＝3，∵OB＝2OC＝3OA，∴OB＝6，OA＝2，∴點A（﹣2，0），B（6，0），即0＝﹣2k+3，解得：k=3設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，∵B（6，0），C（0，3），∴0=6m+n3=n解得m=?1∴直線BC的解析式為y=?1（2）∵點D為AC的中點，∴點D(?1，3∵DE⊥y軸交BC于點E，∴點E的縱坐標(biāo)為32∵點E在直線BC上，∴32解得：x＝3，∴點E(3，3設(shè)DE與y軸交于點F，則S四邊形AOEC＝S△AOC+S△COE=12AO?OC+12OC【點評】本題考查了一次函數(shù)與幾何綜合，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，是解本題的關(guān)鍵．【變式2-4】已知直線m經(jīng)過兩點（1，6）、（﹣3，﹣2），它和x軸、y軸的交點是B、A，直線n過點（2，﹣2），且與y軸交點的縱坐標(biāo)是﹣3，它和x軸、y軸的交點是D、C；（1）分別寫出兩條直線解析式，并畫草圖；（2）計算四邊形ABCD的面積；（3）若直線AB與DC交于點E，求△BCE的面積．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可分別求出直線AB的解析式為y＝2x+4；直線CD的解析式為y=12（2）利用坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征確定A點坐標(biāo)為（0，4）＝B點坐標(biāo)為（﹣2，0）、D點坐標(biāo)為（6，0），然后根據(jù)三角形面積公式和四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△CBD進(jìn)行計算；（3）根據(jù)一次函數(shù)的交點問題通過解方程組y=2x+4y=12x?3得到E點坐標(biāo)，然后利用△BCE的面積＝S△EBD﹣【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，把（1，6）、（﹣3，﹣2）代入得k+b=6?3k+b=?2解得k=2b=4所以直線AB的解析式為y＝2x+4；設(shè)直線CD的解析式為y＝mx+n，把（2，﹣2）、（0，﹣3）代入得2m+n=?2n=?3解得m=1所以直線CD的解析式為y=12如圖所示；（2）把x＝0代入y＝2x+4得y＝4，則A點坐標(biāo)為（0，4）；把y＝0代入y＝2x+4得2x+4＝0，解得x＝﹣2，則B點坐標(biāo)為（﹣2，0）；把y＝0代入y=12x﹣3得12x﹣3＝0，解得x所以四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△CBD=12×（3）解方程組y=2x+4y=12所以E點坐標(biāo)為（?143，所以△BCE的面積＝S△EBD﹣S△CBD=12×=28【點評】本題考查了兩直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．【變式2-5】(2023春?饒平縣校級期末）如圖，直線y＝2x+m（m＞0）與x軸交于點A（﹣2，0），直線y＝﹣x+n（n＞0）與x軸、y軸分別交于B、C兩點，并與直線y＝2x+m（m＞0）相交于點D，若AB＝4．（1）求點D的坐標(biāo)；（2）求出四邊形AOCD的面積；（3）若E為x軸上一點，且△ACE為等腰三角形，求點E的坐標(biāo)．【分析】（1）先把A點坐標(biāo)代入y＝2x+m得到m＝4，則y＝2x+4，再利用AB＝4可得到B點坐標(biāo)為（2，0），則把B點坐標(biāo)代入y＝﹣x+n可得到n＝2，則y＝﹣x+2，然后根據(jù)兩直線相交的問題，通過解方程組y=?x+2y=2x+4得到D（2）先確定C點坐標(biāo)為（0，2），然后利用四邊形AOCD的面積＝S△DAB﹣S△COB進(jìn)行計算即可；（3）先利用A、C兩點的坐標(biāo)特征得到△ACO為等腰直角三角形，AC＝22，然后分類討論：當(dāng)AE＝AC＝22時，以A點為圓心，22畫弧交x軸于E1點和E2點，再寫出它們的坐標(biāo)；當(dāng)CE＝CA時，E3點與點A關(guān)于y軸對稱，即可得到它的坐標(biāo)；當(dāng)EA＝EC時，E4點為坐標(biāo)原點．【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝2x+m得﹣4+m＝0，解得m＝4，∴y＝2x+4，∵AB＝4，A（﹣2，0），∴B點坐標(biāo)為（2，0），把B（2，0）代入y＝﹣x+n得﹣2+n＝0，解得n＝2，∴y＝﹣x+2，解方程組y=?x+2y=2x+4得x=?∴D點坐標(biāo)為（?23，（2）當(dāng)x＝0時，y＝﹣x+2＝2，∴C點坐標(biāo)為（0，2），∴四邊形AOCD的面積＝S△DAB﹣S△COB=12×=10（3）∵A（﹣2，0），C（0，2），∴AC＝22，當(dāng)AE＝AC＝22時，E1點的坐標(biāo)為（22?2，0），E2點的坐標(biāo)為（﹣22當(dāng)CE＝CA時，E3點的坐標(biāo)為（2，0），當(dāng)EA＝EC時，E4點的坐標(biāo)為（0，0），綜上所述，點E的坐標(biāo)為（22?2，0）、（﹣22【點評】本題考查了兩條直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．也考查了分類討論思想的運用．題型三根據(jù)面積的值求函數(shù)解析式或坐標(biāo)題型三根據(jù)面積的值求函數(shù)解析式或坐標(biāo)【例題3】已知一次函數(shù)的圖象過點（0，3），且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為3，則這個一次函數(shù)的表達(dá)式為（）A．y＝1.5x+3 B．y＝﹣1.5x+3 C．y＝1.5x+3或y＝﹣1.5x+3 D．y＝1.5x﹣3或y＝﹣1.5x﹣3【分析】設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），與x軸的交點是（a，0），根據(jù)三角形的面積公式即可求得a的值，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)這個一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），與x軸的交點是（a，0）．∵一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）圖象過點（0，3），∴b＝3．∵這個一次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為3，∴12×3×|解得：a＝2或﹣2．把（2，0）代入y＝kx+3，解得：k＝﹣1.5，則函數(shù)的解析式是y＝﹣1.5x+3；把（﹣2，0）代入y＝kx+3，得k＝1.5，則函數(shù)的解析式是y＝1.5x+3．故選：C．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形的面積，正確求得與x軸的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】(2023秋?阜新縣校級期末）一次函數(shù)y＝kx+10的圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于5，則該直線的表達(dá)式為．【分析】先求出一次函數(shù)y＝kx+10與x軸，y軸的交點，然后再利用它與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于5，進(jìn)行計算即可解答．【解答】解：當(dāng)x＝0時，代入y＝kx+10中可得：y＝10，∴y＝kx+10與y軸的交點為（0，10），當(dāng)y＝0時，代入y＝kx+10中可得：kx+10＝0，解得：x=?∴y＝kx+10與x軸的交點為（?10由題意得：12×10?|解得：k＝±10，經(jīng)檢驗：k＝±10是原方程的根．∴該直線的表達(dá)式為：y＝﹣10x+10或y＝10x+10，故答案為：y＝﹣10x+10或y＝10x+10．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求出一次函數(shù)y＝kx+10與x軸，y軸的交點是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】(2023春?上海期中）已知直線y＝kx+b（k≠0）與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積是6，且經(jīng)過（2，0），則這條直線的表達(dá)式是．【分析】先根據(jù)面積求出三角形在y軸上邊的長度，再分正半軸和負(fù)半軸兩種情況討論求解．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)與y軸交點坐標(biāo)為（0，b）則12×2×|解得|b|＝6，∴b＝±6，①當(dāng)b＝6時，與y軸交點為（0，6）∴2k+b=0b=6，解得k=?3∴函數(shù)解析式為y＝﹣3x+6；②當(dāng)b＝﹣6時，與y軸的交點為（0，﹣6）∴2k+b=0b=?6解得k=3∴函數(shù)解析式為y＝3x﹣6．∴這個一次函數(shù)的解析式是y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．故答案為：y＝﹣3x+6或y＝3x﹣6．【點評】本題考查的是待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，先根據(jù)三角形面積求出與y軸的交點，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，本題需要注意有兩種情況．【變式3-3】(2023秋?南海區(qū)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB過點A（a，12）、B（12，﹣a），點A在第二象限，點O為坐標(biāo)原點，連接OA、OB，△AOB的面積為90，則直線AB的函數(shù)表達(dá)式是．【分析】過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，證明△AOC≌△OBD，可得∠AOC＝∠OBD，由∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，根據(jù)△AOB的面積為90得出a＝﹣6，利用待定系數(shù)法即可求解．【解答】解：過點A作AC⊥x軸于C，過點B作BD⊥x軸于D，∵點A（a，12）、B（12，﹣a），點A在第二象限，∴OC＝BD＝﹣a，AC＝OD＝12，在△AOC和△OBD中，OC=DB∠ACO=∠ODB=90°∴△AOC≌△OBD（SAS），∴∠AOC＝∠OBD，∴∠AOC+∠BOD＝∠OBD+∠BOD＝90°，∴∠AOB＝90°，∵點A（a，12）、B（12，﹣a），∴OA＝OB=a∵△AOB的面積為90，∴12×OA×OB∴a＝﹣6或6（舍去），∴點A（﹣6，12）、B（12，6），設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx+b，∴?6k+b=1212k+b=6，解得a=?∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y=?13故答案為：y=?13【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，三角形的面積等，作輔助線，證明△AOC≌△OBD是解題的關(guān)鍵．【變式3-4】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．已知OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，則這個一次函數(shù)的解析式為（）A．y=?12x+2 B．y＝﹣2C．y=23x+16 D．y=?【分析】首先根據(jù)題意設(shè)A（x，0），B（0，y），再根據(jù)“OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，”可得方程組12xy=4x+y=6，再解出x、y的值，進(jìn)而得到A【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點．∴設(shè)A（x，0），B（0，y），∵OA+OB＝6（O為坐標(biāo)原點）．且S△ABO＝4，∴12解得：x=2y=4或x=4∴A（2，0）、B（0，4）或A（4，0）、B（0，2），當(dāng)A（2，0）、B（0，4）時0=2k+bb=4，解得b=4當(dāng)A（4，0）、B（0，2）時，0=4k+bb=2，解得k=?∴這個一次函數(shù)的解析式為y=?12x+2或y＝﹣2故選：D．【點評】此題主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)題意計算出一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的點的坐標(biāo)．【變式3-5】(2023秋?高郵市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝kx+b（k≠0）經(jīng)過點A（4，0），與直線l2：y=12x相交于點M（1）求直線l1的函數(shù)表達(dá)式；（2）點C為x軸上一點，若△ABC的面積為6，求點C的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）先求點B的坐標(biāo)，設(shè)C（x，0），根據(jù)三角形面積公式構(gòu)建方程求解即可．【解答】解：（1）∵點M（m，1）在y=1∴12解得：m＝2，∴M（2，1），∵M(jìn)（2，1），A（4，0）在y＝kx+b（k≠0）上，∴2k+b=14k+b=0解得：k=?1∴y=?1（2）當(dāng)x＝0時，y＝2，∴B（0，2），設(shè)C（x，0），∵S△ABC＝6，∴12解得：x＝10或﹣2，∴點C的坐標(biāo)為（﹣2，0），（10，0）．【點評】本題考查了兩條直線相交問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式并且求出點C坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-6】(2023春?永川區(qū)期末）如圖，直線y＝﹣x+10與x軸、y軸分別交于點B，C，點A的坐標(biāo)為（8，0），P（x，y）是直線y＝﹣x+10在第一象限內(nèi)一個動點．（1）求△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的x的取值范圍；（2）當(dāng)△OPA的面積為10時，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式S△OPA=12OA?y，然后把y轉(zhuǎn)換成x，即可求得△OPA的面積S與（2）把s＝10代入S＝﹣4x+40，求得x的值，把x的值代入y＝﹣x+10即可求得P的坐標(biāo)．【解答】解（1）∵A（8，0），∴OA＝8，S=12OA?|yP|=12×8×（﹣x（2）當(dāng)S＝10時，則﹣4x+40＝10，解得x=15當(dāng)x=152時，y=?15∴當(dāng)△OPA的面積為10時，點P的坐標(biāo)為（152，5【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征和一次函數(shù)的性質(zhì)，把求三角形的面積和一次函數(shù)的圖象結(jié)合起來，綜合性比較強(qiáng)．【變式3-7】(2023春?單縣期末）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，直線n過點A（0，﹣2）且與直線l交于點B（3，2），直線l與y軸正半軸交于點C．（1）求直線n的函數(shù)表達(dá)式；（2）若△ABC的面積為9，求點C的坐標(biāo)；（3）若△ABC是等腰三角形，且AB＝BC，求直線l的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）用待定系數(shù)法求直線n的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)△ABC的面積為9可求得AC的長，可得出結(jié)論；（3）過點B作BD⊥y軸于點D，則CD＝AD＝4，得C（0，6），設(shè)直線l的解析式為：y＝kx+b，將B，C代入即可．【解答】解：（1）設(shè)直線n的解析式為：y＝kx+b，∵直線n：y＝kx+b過點A（0，﹣2），點B（3，2），∴b=?23k+b=2，解得：k=∴直線n的函數(shù)解析式為：y=4（2）∵若△ABC的面積為9，∴9=1∴AC＝6，∵OA＝2，∵點C在y軸正半軸，∴C（0，4）；（3）當(dāng)AB＝BC時，過點B作BD⊥y軸于點D，∴CD＝AD＝4，∴C（0，6），設(shè)直線l的解析式為：y＝kx+b，將B（3，2），C（0，6）代入得：3k+b=2b=6解得k=?4∴直線l的解析式為：y=?4【點評】本題是一次函數(shù)的綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式3-8】(2023春?北辰區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點B（4，0）的直線AB與直線OA相交于點A（3，1），動點M在線段OA和射線AC上運動．（1）求直線AB的解析式；（2）直線AB交y軸于點C，求△OAC的面積；（3）當(dāng)△OAC的面積是△OMC面積的3倍時，求出這時點M的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2）求得C的坐標(biāo)，即OC的長，利用三角形的面積公式即可求解；（3）當(dāng)△OAC的面積是△OMC面積的3倍時，根據(jù)面積公式即可求得M的橫坐標(biāo)，然后代入解析式即可求得M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)直線AB的解析式是y＝kx+b，根據(jù)題意得：4k+b=03k+b=1解得：k=?1b=4則直線的解析式是：y＝﹣x+4；（2）在y＝﹣x+4中，令x＝0，解得：y＝4，S△OAC=1（3）當(dāng)M在線段OA時，設(shè)OA的解析式是y＝mx，把A（3，1）代入得：3m＝1，解得：m=1則直線的解析式是：y=13∵△OAC的面積是△OMC面積的3倍時，∴當(dāng)M的橫坐標(biāo)是13在y=13x中，當(dāng)x＝1時，y則M的坐標(biāo)是（1，13當(dāng)M在射線AC上時在y＝﹣x+4中，x＝1時，則y＝3，則M的坐標(biāo)是（1，3）；當(dāng)M的橫坐標(biāo)是﹣1時，在y＝﹣x+4中，當(dāng)x＝﹣1時，y＝5，則M的坐標(biāo)是（﹣1，5）；綜上所述：M的坐標(biāo)是：M1（1，13）或M2（1，3）或M3【點評】本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及三角形面積求法等知識，利用M點橫坐標(biāo)為±1分別求出其縱坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．題型四由圖形面積的關(guān)系求函數(shù)解析式或坐標(biāo)題型四由圖形面積的關(guān)系求函數(shù)解析式或坐標(biāo)【例題4】一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與x軸和y軸分別交于點A和B，已知點A和B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3）．（1）求直線AB的解析式；（2）若C是x軸上的一動點，試探究當(dāng)點C運動到何處時，△CAB的面積等于△ABO面積的一半，請直接寫出點C的坐標(biāo)．【分析】（1）由待定系數(shù)法直接求得答案即可；（2）設(shè)出C點的坐標(biāo)，表示出△CAB的面積，與△ABO面積建立方程，求得答案即可．【解答】解：（1）把（4，0）、（0，3）代入一次函數(shù)y＝kx+b得，4k+b=0b=3解得：k=?3所以函數(shù)解析式為y=?34（2）設(shè)C點的坐標(biāo)為（x，0），由題意得，12|4﹣x|×3=解得：x＝2或x＝6．所以點C坐標(biāo)為C1（2，0），C2（6，0）．【點評】此題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及利用點的坐標(biāo)求有關(guān)面積的問題，滲透分類探討的思想和方法．【變式4-1】(2023春?烏拉特前旗期末）如圖所示，直線L1的解析表達(dá)式為y＝﹣3x+3，且L1與x軸交于點D．直線L2經(jīng)過點A，B，直線L1，L2交于點C．（1）求直線L2的解析表達(dá)式；（2）求△ADC的面積；（3）在直線L2上存在異于點C的另一點P，使得△ADP與△ADC的面積相等，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求直線L2的解析表達(dá)式；（2）先解方程組y=32x?6y=?3x+3確定C（2，﹣3），再利用（3）由于△ADP與△ADC的面積相等，根據(jù)三角形面積公式得到點P與點C到AD的距離相等，則P點的縱坐標(biāo)為3，對于函數(shù)y=32x﹣6，計算出函數(shù)值為3所對應(yīng)的自變量的值即可得到【解答】解：（1）設(shè)直線L2的解析表達(dá)式為y＝kx+b，把A（4，0）、B（3，?32）代入得4k+b=03k+b=?所以直線L2的解析表達(dá)式為y=32（2）解方程組y=32x?6y=?3x+3得當(dāng)y＝0時，﹣3x+3＝0，解得x＝1，則D（1，0），所以△ADC的面積=12×（3）因為點P與點C到AD的距離相等，所以P點的縱坐標(biāo)為3，當(dāng)y＝3時，32x﹣6＝3，解得x所以P點坐標(biāo)為（6，3）．【點評】本題考查了兩條直線相交或平行的問題：兩條直線的交點坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解．若兩條直線是平行的關(guān)系，那么它們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．【變式4-2】(2023秋?青島期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝2x+6與x軸，y軸分別交于點A，C，經(jīng)過點C的直線與x軸交于點B（6，0）．（1）求直線BC的解析式；（2）點G是線段BC上一動點，若直線AG把△ABC的面積分成1：2的兩部分，請求點G的坐標(biāo)；【分析】（1）根據(jù)題意，求得點C的坐標(biāo)，結(jié)合B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）求出S△ABC＝27，設(shè)G（m，﹣m+6），分兩種情況：①S△ABG：S△ACG＝1：2時，②S△ABG：S△ACG＝2：1時，分別求得m的值，進(jìn)而求得G點的坐標(biāo)；【解答】解：（1）由y＝2x+6得：A（﹣3，0），C（0，6），∵點B（6，0）．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+b（k≠0）：∴6k+b=0b=6，解得：k=?1∴直線BC的解析式為y＝﹣x+6；（2）∵A（﹣3，0），C（0，6），B（6，0）．∴AB＝9，∴S△ABC=1設(shè)G（m，﹣m+6），（0＜m＜6），①當(dāng)S△ABG：S△ACG＝1：2時，即S△ABG=13S△∴12×9（﹣∴m＝4，∴G（4，2）；當(dāng)S△ABG：S△ACG＝2：1時，即S△ABG=23S△∴12×9（﹣∴m＝2，∴G（2，4）．綜上，點G的坐標(biāo)為（4，2）或（2，4）；【點評】本題為一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識點有待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積及分類討論思想等．在（1）中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用步驟，在（2）中利用三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】(2023秋?墾利區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點C（0，12）的直線AC與直線OA相交于點A（8，4）．（1）求直線AC的表達(dá)式；（2）求△OAC的面積；（3）動點M在線段OA和射線AC上運動，是否存在點M，使△OMC的面積是△OAC的面積的12？若存在，求出此時點M【分析】（1）設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將C（0，12），A（8，4）代入，即可由待定系數(shù)法求得直線AC解析式為y＝﹣x+12；（2）過A作AH⊥OC于H，由A（8，4）得AH＝8，故S△OAC=12OC?AH（3）①若M在線段OA上時，由△OMC的面積是△OAC的面積的12，知M為OA中點，即得M（4，2），②當(dāng)M在射線AC上時，△OMC的面積是△OAC的面積的12，則M為AC的中點，可得M（4，8），由等底同高的三角形面積相等可得，【解答】解：（1）設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，將C（0，12），A（8，4）代入得：12=b4=8k+b，解得k=?1∴直線AC解析式為y＝﹣x+12；（2）過A作AH⊥OC于H，如圖：∵A（8，4），AH⊥OC，∴AH＝8，∵C（0，12），∴OC＝12，∴S△OAC=12OC?AH（3）存在，①若M在線段OA上時，如圖：∵△OMC的面積是△OAC的面積的12∴M為OA中點，而A（8，4），∴M（4，2），②當(dāng)M在射線AC上時，如圖：∵△OMC的面積是△OAC的面積的12∴M為AC的中點，而A（8，4），C（0，12），∴M（4，8），由等底同高的三角形面積相等可知，若M在C上方的射線AC上的M'處，CM'＝CM時，△OM'C的面積也等于△OAC的面積的12此時C為線段MM'的中點，而C（0，12），M（4，8），∴M'（﹣4，16），綜上所述，M的坐標(biāo)為：（4，2）或（4，8）或（﹣4，16）．【點評】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積等，難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中線平分三角形面積．【變式4-4】如圖1，直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，點C（0，2），若S△ABC＝2S△ACO．（1）求b的值；（2）若點P是射線AB上的一點，S△PAC＝S△PCO，求點P的坐標(biāo)；【分析】（1）利用△ABC和△ACO的面積公式求解；（2）分兩種情況討論，點P在第一象限或者在第二象限，分別列出對應(yīng)面積的表達(dá)式求解；【解答】解：（1）∵直線y＝﹣x+b分別交x，y軸于A，B兩點，∴點A（b，0），點B（0，b），∴S△ABC=12×BC×OA=12×(b?2)×b∵S△ABC＝2S△ACO，∴12解得b＝6；（2）由（1）知b＝6，直線AB表達(dá)式為y＝﹣x+6，∴A點坐標(biāo)（6，0），B點坐標(biāo)（0，6），設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx+b，將點A、C代入得，6k+b=0b=2，解得k=?∴直線AC的解析式為y=?13①當(dāng)點P在第一象限時，過點P作PQ⊥x軸，交AC于點Q，設(shè)Q（x，?13x+2），則點P（x，﹣方法一：∴PQ＝﹣x+6﹣（?13x+2）∴S△PAC＝S△PCQ+S△PAQ=1＝12﹣2x，S△PCO=＝x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝x，解得：x＝4，則P點坐標(biāo)（4，2）；方法二：∵S△PAC＝S△BCA﹣S△BCP，∴S△PAC==1＝12﹣2x，∵S△PCO=1∴S△PAC＝S△PCO，∴12﹣2x＝x，解得x＝4，∴P（4，2）；②當(dāng)P點在第二象限時，設(shè)點P（x，﹣x+6），∴S△PAC＝S△PBC+S△ABC=1＝12﹣2x，S△PCO=＝﹣x，∵S△PAC＝S△PCO，即12﹣2x＝﹣x，解得：x＝12，∴第二象限x＜0，x＝12不符合題意舍去，∴P點坐標(biāo)（4，2）；【點評】本題是一次函數(shù)綜合題目，主要考查直角坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積計算，解題關(guān)鍵是熟練計算坐標(biāo)系內(nèi)三角形面積，求出點E和點C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的表達(dá)式．【變式4-5】如圖，直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別相交于E、F，點E的坐標(biāo)為（﹣9，0），點A的坐標(biāo)為（﹣6，0），點P（x，y）是直線l上的一個動點．（1）求出△OPA的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)△OPA的面積為3.6時，求點P的坐標(biāo)．（3）若直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分時，求點P的坐標(biāo)．【分析】（1）思想求出直線EF的解析式，則P（x，23x+6），根據(jù)三角形的面積公式，利用分段函數(shù)表示S（2）利用（1）中結(jié)論，列出方程，解方程即可；（3）由S△EOF=12×9×6＝27，直線OP分△OEF的面積為1：2兩部分，可得S△PEO＝9或18，可得12×9×（23x【解答】解：（1）∵直線y＝kx+6經(jīng)過點E（﹣9，0），∴﹣9k+6＝0，∴k=2∴y=23∴P（x，23x∴S=12?OA?|23x（2）由題意2x+18＝3.6或﹣2x﹣18＝3.6，解得x＝﹣7.2或x＝﹣10.8，∴當(dāng)△OPA的面積為3.6時，點P的坐標(biāo)為（﹣7.2，1.2）或（﹣10.8，﹣1.2）．（3）∵S△EOF=12×9×6＝27，直線OP∴S△PEO＝9或18，∴12×9×（23x+6）＝9或12解得x＝﹣6或﹣3，此時點P坐標(biāo)為（﹣6，2）或（﹣3，4）．【點評】本題考查三角形綜合題、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、三角形的面積公式等知識，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考壓軸題．【變式4-6】(2023秋?廣陵區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1＝x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，y2=?13x+b的圖象與x軸，y軸分別交于點D，E（1）填空：m＝，b＝；（2）求△ACD的面積；（3）在線段AD上是否存在一點M，使得△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）由C（m，5）是一次函數(shù)y1＝x+2與y2=?13x+（2）由兩個一次函數(shù)解析式分別求出它們與x軸的交點坐標(biāo)，得到AD的長，從而算出△ACD的面積；（3）由已知條件可得△ABM的面積，進(jìn)而得出AM的長，即可得點M的坐標(biāo)；【解答】解：（1）∵C（m，5）是一次函數(shù)y1＝x+2與y2=?13x+∴m+2＝5，解得m＝3，∴?13×3+b故答案為：3，6；（2）一次函數(shù)y1＝x+2中，當(dāng)y1＝0時，x＝﹣2；當(dāng)x＝0時，y1＝2，∴A（﹣2，0），B（0，2），一次函數(shù)y2=?13x+6中，當(dāng)y2＝0時，∴D（18，0），∴AD＝18﹣（﹣2）＝20，∴S△ACD=1∴△ACD的面積為50；（3）如圖：在線段AD上存在一點M，使得△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21，∵△ABM的面積與四邊形BMDC的面積比為4：21，∴S△ABM=44+21S△ACD∴12AM?OB＝8，即12∴AM＝8，∵點M在線段AD上，∴點M的坐標(biāo)為（6，0）；【點評】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積、直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的數(shù)學(xué)思想解答．題型五一次函數(shù)平分圖形面積問題題型五一次函數(shù)平分圖形面積問題【例題5】(2023秋?吳江區(qū)月考）如圖，一次函數(shù)y=34x+6的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，過點B的直線l平分△ABO的面積，則直線A．y=12x+6 B．y＝2x+6 C．y=2【分析】由一次函數(shù)y=34x+6求得A、B的坐標(biāo)，根據(jù)題意求得【解答】解：∵一次函數(shù)y=34x+6的圖象與x軸，y軸分別交于點A，∴令y＝0，則求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6，∴A（﹣8，0），B（0，6），∵過點B的直線l平分△ABO的面積，∴AC＝OC，∴C（﹣4，0），設(shè)直線l的解析式為y＝kx+6，把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0，解得k=3∴直線l的解析式為y=32故選：D．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得C點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】(2023春?單縣期末）如圖，已知直線l1：y＝﹣2x+4與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，那么過原點O且將△AOB的面積平分的直線l2的表達(dá)式為．【分析】先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征寫出A、B點的坐標(biāo)，再求出AB的中點坐標(biāo)，根據(jù)三角形面積公式可判斷直線l2經(jīng)過AB的中點，然后利用待定系數(shù)法求直線解析式．【解答】解：當(dāng)x＝0時，y＝﹣2x+4＝4，則B（0，4）；當(dāng)y＝0時，﹣2x+4＝0，解得x＝2，則A（2，0），所以線段AB的中點坐標(biāo)為（1，2），設(shè)直線l2的解析式為y＝kx，把（1，2）代入得k＝2，所以直線l2的解析式為y＝2x．故答案為y＝2x．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，求正比例函數(shù)，只要一對x，y的值就可以，因為它只有一個待定系數(shù)．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．【變式5-2】(2023?南京模擬）四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），當(dāng)過點（0，1）的直線l將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時，直線l所表示的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y=?23x+1 B．y=23x+1 C．y＝2x+1 D．【分析】先判斷四邊形ABCD是平行四邊形，即可判斷直線l經(jīng)過四邊形對角線的交點，求得交點坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得．【解答】解：∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），∴點A向右平移2個單位，再向下平移3個單位與B點重合，點D向右平移2個單位，再向下平移3個單位與C點重合，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴過四邊形ABCD對角線的交點的直線1將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，∵A（﹣3，2），B（﹣1，﹣1），C（4，﹣2），D（2，1），∴對角線的交點為（12∵過點（0，1）的直線1將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，∴直線l經(jīng)過點（0，1）和（12設(shè)直線l的解析式為y＝kx+b，∴b=112k+b=0∴直線l所表示的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣2x+1，故選D．【點評】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，明確直線經(jīng)過的點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】(2023?沂源縣一模）如圖，四邊形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），當(dāng)過點B的直線l將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分時，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為．【分析】根據(jù)題意畫出直線BM，再設(shè)解析式，代入點坐標(biāo)，分別求出DC和BC得解析式，根據(jù)鉛垂高×水平寬÷2等于△BMC的面積，即可求出m的值，再代入B、M點坐標(biāo)即可求出解析式．【解答】解：如圖所示，作直線BM交CD于點M，過點M作MN∥y軸，交BC于點N．設(shè)直線BM將四邊形ABCD的面積分成面積相等的兩部分，設(shè)直線DC的解析式為y＝k1x+b1，代入點D（0，3），C（3，0），得y＝﹣x+3，設(shè)直線BC的解析式為y＝k2x+b2，代入點B（﹣2，﹣1），C（3，0），得y=1設(shè)M（m，﹣m+3），則N（m，15∵四邊形ABCD的面積為S＝S△ADC+S△ABC=(4+3)×3∴S△BMC＝（﹣m+3?1解得m=2∴M點坐標(biāo)為（23設(shè)BM的解析式為y＝kx+b，代入B（﹣2，﹣1）和M（23解得k=5∴BM的解析式為y=5【點評】本題考查了一次函數(shù)和三角形面積，正確求出一次函數(shù)解析式并表示出△BMC的面積是解決本題的關(guān)鍵．【變式5-4】(2023春?皇姑區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AC：y=3x+b與x軸交于點A（﹣4，0）與y軸交于點C，過點C的直線BC與x軸正半軸交于點B，△OBC的面