八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)章節(jié)重點(diǎn)復(fù)習(xí)考點(diǎn)講義(北師大版)專題15二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用綜合題(原卷版+解析)

專題15二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用（綜合題）易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)01：常見的一些等量關(guān)系1.和差倍分問題：增長量＝原有量×較大量＝＋多余量，總量＝倍數(shù)×2.增收節(jié)支問題：（1）增長（遞減）率公式：原來的量×（1+）=后來的量；原來的量×（1-遞減率）=；（2）利潤公式：利潤=總收入-；利潤＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×；標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋)

（3）銀行利率公式：利息=本金×利率×.

本息和（本利和）＝本金＋＝＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋).

年利率＝×12.月利率＝年利率×.細(xì)節(jié)剖析：增收節(jié)支問題常常借助列表分析問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過程．3.行程問題：

速度×?xí)r間=路程.

順?biāo)俣?.

逆水速度=4.數(shù)字問題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為知識(shí)點(diǎn)02：實(shí)際問題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成的重要方法，它的關(guān)鍵是把聯(lián)系起來，找出題目中的．一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是：②同類量的要統(tǒng)一；③要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問題中的兩個(gè)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)，根據(jù)列出方程組）；解：解方程組，求出；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否實(shí)際情形；答：寫出答案．細(xì)節(jié)剖析：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“”，而且在寫答案前要根據(jù)，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；兩步，都要寫清；（3）一般來說，設(shè)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022?義烏市模擬）某商場按定價(jià)銷售某種商品時(shí)，每件可獲利45元；按定價(jià)的8.5折銷售該商品8件與將定價(jià)降低35元銷售該商品12件所獲利潤相等．該商品的進(jìn)價(jià)、定價(jià)分別是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元2．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個(gè)寬是60厘米的大長方形，則每個(gè)小長方形的周長是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米3．（2022春?婺城區(qū)期末）《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2．圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖2所示的算籌圖中有一個(gè)圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中x的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為（）A．| B．|| C．||| D．||||4．（2020秋?項(xiàng)城市期末）如圖，利用兩塊相同的長方體木塊（陰影部分）測量一件長方體物品的高度，首先按左圖方式放置，再按右圖方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則長方體物品的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm5．（2020秋?項(xiàng)城市期末）小明步行速度為5千米/時(shí)，騎車速度為15千米/時(shí)．如果小明先騎車2小時(shí)，然后步行3小時(shí)，那么他的平均速度是（）A．5千米/時(shí) B．9千米/時(shí) C．10千米/時(shí) D．15千米/時(shí)6．（2020?紹興）同型號(hào)的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km，它們各自單獨(dú)行駛并返回的最遠(yuǎn)距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車?yán)^續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠(yuǎn)可距離A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km二．填空題7．（2022春?開州區(qū)月考）重陽佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味，核桃味、綠豆味重陽糕（分別記為A、B、C）進(jìn)行混裝，推出了甲、乙兩種盒裝重陽糕，盒裝重陽糕的成本是盒中所有A、B、C的成本與盒裝包裝成本之和，每盒甲裝有6個(gè)A，2個(gè)B，2個(gè)C，每盒乙裝有2個(gè)A，4個(gè)B，4個(gè)C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的倍．每盒乙的利潤率為20%，每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%．當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽糕的總銷售額為31000元，總利潤率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤是元．8．（2023?邵陽）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人，物品的價(jià)值是多少？該問題中物品的價(jià)值是錢．9．（2023?紹興）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有兩．10．（2020秋?黃島區(qū)期末）如圖，是由7塊顏色不同的正方形組成的長方形，已知中間小正方形的邊長為1，則這個(gè)長方形的面積為．11．（2018秋?海曙區(qū)期末）如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為4，3，兩陰影部分的面積分別為a，b（a＞b），則a﹣b等于．（2023春?奉化區(qū)校級(jí)期末）學(xué)生問老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說：“我像你這么大時(shí)，你剛1歲；你到我這么大時(shí)，我已37歲了”．那么老師現(xiàn)在的年齡是歲．三．解答題13．（2023秋?硯山縣期末）疫情期間為保護(hù)學(xué)生和教師的健康，某學(xué)校儲(chǔ)備“抗疫物資”，用19000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)900盒，甲、乙兩種口罩的售價(jià)分別是20元/盒，25元/盒．（1）求甲、乙兩種口罩各購進(jìn)了多少盒？（2）現(xiàn)已知甲、乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個(gè)/盒，25個(gè)/盒，按照市教育局要求，學(xué)校必須儲(chǔ)備足夠使用10天的口罩，該校師生共計(jì)900人，每人每天2個(gè)口罩，問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足市教育局的要求？14．（2022?歷下區(qū)模擬）某廠計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品若干件，已知兩種產(chǎn)品的成本價(jià)和銷售價(jià)如表：類別價(jià)格A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品成本價(jià)（元/件）400300銷售價(jià)（元/件）560450（1）第一次工廠用220000元資金生產(chǎn)了A，B兩種產(chǎn)品共600件，求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？（2）第二次工廠生產(chǎn)時(shí)，工廠規(guī)定A種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不得超過B種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的一半．工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品共3000件，應(yīng)如何設(shè)計(jì)生產(chǎn)方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？15．（2022?高唐縣二模）在期末一節(jié)復(fù)習(xí)課上，八年（一）班的數(shù)學(xué)老師要求同學(xué)們列二元一次方程組解下列問題：在我市“精準(zhǔn)扶貧”工作中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為扶貧村莊修建3000m的村路，甲隊(duì)每天修建150m，乙隊(duì)每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的張紅同學(xué)，根據(jù)題意，列出的兩個(gè)二元一次方程，等號(hào)后面忘記寫數(shù)據(jù)，得到了一個(gè)不完整的二元一次方程組，張紅列出的這個(gè)不完整的方程組中未知數(shù)p表示的是，未知數(shù)q表示的是；張紅所列出正確的方程組應(yīng)該是；（2）李芳同學(xué)的思路是想設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路．下面請(qǐng)你按照李芳的思路，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別修建了多少天？16．（2022春?龍鳳區(qū)期末）某景點(diǎn)的門票價(jià)格如下表：購票人數(shù)（人）1～5051～99100以上（含100）門票單價(jià)（元）484542（1）某校七年級(jí)1、2兩個(gè)班共有102人去游覽該景點(diǎn)，其中1班人數(shù)少于50人，2班人數(shù)多于50人且少于100人．如果兩班都以班為單位單獨(dú)購票，則一共支付4737元，兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？（2）該校八、九年級(jí)自愿報(bào)名瀏覽該景點(diǎn)，其中八年級(jí)的報(bào)名人數(shù)不超過50人，九年級(jí)的報(bào)名人數(shù)超過50人，但不超過80人．若兩個(gè)年級(jí)分別購票，總計(jì)支付門票費(fèi)4914元；若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購票，總計(jì)支付門票費(fèi)4452元，問八年級(jí)、九年級(jí)各報(bào)名多少人？17．（2022?渠縣二模）為了保護(hù)環(huán)境，某市公交公司決定購買一批共10臺(tái)全新的混合動(dòng)力公交車，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)，其中每臺(tái)的價(jià)格，年省油量如表：AB價(jià)格（萬元/臺(tái)）ab節(jié)省的油量（萬升/年?臺(tái)）2.42經(jīng)調(diào)查，購買一臺(tái)A型車比購買一臺(tái)B型車多20萬元，購買2臺(tái)A型車比購買3臺(tái)B型車少60萬元（1）請(qǐng)求出a和b的值；（2）若購買這批混合動(dòng)力公交車每年能節(jié)省22.4萬升汽油，求購買這批混合動(dòng)力公交車需要多少萬元？18．（2022春?武岡市期末）某景點(diǎn)的門票價(jià)格規(guī)定如表購票人數(shù)1﹣50人51﹣100人100人以上每人門票價(jià)12元10元8元某校八年（1）（2）兩班共102人去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班不足50人，（2）班多于50人，如果兩班都以班為單位分別購票，則一共付款1118元（1）兩班各有多少名學(xué)生？（2）如果你是學(xué)校負(fù)責(zé)人，你將如何購票？你的購票方法可節(jié)省多少錢？19．（2023?任城區(qū)校級(jí)三模）目前，新型冠狀病毒在我國雖可控可防，但不可松懈，某校欲購置規(guī)格分別為300ml和500ml的甲、乙兩種免洗手消毒液若干瓶，已知購買2瓶甲和1瓶乙免洗手毒液需要55元，購買3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙兩種免洗手消毒液的單價(jià)；（2）為節(jié)約成本，該校購買散裝免洗手消毒液進(jìn)行分裝，現(xiàn)需將9.6L的免洗手消毒液全部裝入最大容量分別為300ml和500ml的兩種空瓶中（每瓶均裝滿），若分裝時(shí)平均每瓶需損耗20ml，請(qǐng)問如何分能使總損耗最小，求出此時(shí)需要的兩種空瓶的數(shù)量．20．（2022?澄邁縣模擬）有兩塊試驗(yàn)田，原來可產(chǎn)花生470千克，改用良種后共產(chǎn)花生532千克，已知第一塊田的產(chǎn)量比原來增加16%，第二塊田的產(chǎn)量比原來增加10%，問這兩塊試驗(yàn)田改用良種后，各增產(chǎn)花生多少千克？專題15二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用（綜合題）易錯(cuò)點(diǎn)撥易錯(cuò)點(diǎn)撥知識(shí)點(diǎn)01：常見的一些等量關(guān)系1.和差倍分問題：增長量＝原有量×增長率較大量＝較小量＋多余量，總量＝倍數(shù)×倍量.2.增收節(jié)支問題：（1）增長（遞減）率公式：原來的量×（1+增長率）=后來的量；原來的量×（1-遞減率）=后來的量；（2）利潤公式：利潤=總收入-總支出；利潤＝售價(jià)－成本(或進(jìn)價(jià))＝成本×利潤率；標(biāo)價(jià)＝成本(或進(jìn)價(jià))×(1＋利潤率)

（3）銀行利率公式：利息=本金×利率×期數(shù).

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期數(shù)＝本金×(1＋利率×期數(shù)).

年利率＝月利率×12.月利率＝年利率×.細(xì)節(jié)剖析：增收節(jié)支問題常常借助列表分析問題中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，這種方法清晰明了，能夠充分突出解題過程．3.行程問題：

速度×?xí)r間=路程.

順?biāo)俣?靜水速度+水流速度.

逆水速度=靜水速度-水流速度.4.數(shù)字問題：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設(shè)間接未知數(shù)，例如：若一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)兩位數(shù)可以表示為10b+a．知識(shí)點(diǎn)02：實(shí)際問題與二元一次方程組1.列方程組解應(yīng)用題的基本思想列方程組解應(yīng)用題，是把“未知”轉(zhuǎn)換成“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的等量關(guān)系．一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量：②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)要相等.2.列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)：用兩個(gè)字母表示問題中的兩個(gè)未知數(shù)；列：列出方程組（分析題意，找出兩個(gè)等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組）；解：解方程組，求出未知數(shù)的值；驗(yàn)：檢驗(yàn)求得的值是否正確和符合實(shí)際情形；答：寫出答案．細(xì)節(jié)剖析：（1）解實(shí)際應(yīng)用問題必須寫“答”，而且在寫答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫清單位名稱；（3）一般來說，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.易錯(cuò)題專訓(xùn)易錯(cuò)題專訓(xùn)一．選擇題1．（2022?義烏市模擬）某商場按定價(jià)銷售某種商品時(shí)，每件可獲利45元；按定價(jià)的8.5折銷售該商品8件與將定價(jià)降低35元銷售該商品12件所獲利潤相等．該商品的進(jìn)價(jià)、定價(jià)分別是（）A．95元，180元 B．155元，200元 C．100元，120元 D．150元，125元【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)每件商品定價(jià)x元，進(jìn)價(jià)y元，由題意表示出銷售8件和銷售12件的利潤，進(jìn)而列出方程組，求出方程組的解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)每件商品定價(jià)x元，進(jìn)價(jià)y元，根據(jù)題意得：，解得：，即該商品每件進(jìn)價(jià)155元，定價(jià)每件200元，故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找出正確等量關(guān)系，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋?福田區(qū)校級(jí)期末）如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長方形紙片拼成一個(gè)寬是60厘米的大長方形，則每個(gè)小長方形的周長是（）A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，由大長方形的寬為60厘米，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)小長方形地磚的長為x厘米，寬為y厘米，根據(jù)題意得：，解得：，則每個(gè)小長方形的周長＝2（x+y）＝120（厘米），故選：D．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2022春?婺城區(qū)期末）《九章算術(shù)》中的算籌圖是豎排的，為看圖方便，我們把它改為橫排，如圖1，圖2．圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)x，y的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)．把圖1所示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來，就是，在圖2所示的算籌圖中有一個(gè)圖形被墨水覆蓋了，如果圖2所表示的方程組中x的值為3，則被墨水所覆蓋的圖形為（）A．| B．|| C．||| D．||||【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)據(jù)為a，根據(jù)題意列出方程組，把x＝3代入，求得a的值便可．【規(guī)范解答】解：設(shè)被墨水所覆蓋的圖形表示的數(shù)據(jù)為a，根據(jù)題意得，，把x＝3代入，得由③得，y＝5，把y＝5代入④得，12+5a＝27，∴a＝3，故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，此題是一道材料分析題，先要讀懂材料所給出的用算籌表示二元一次方程組的方法，再解方程組．4．（2020秋?項(xiàng)城市期末）如圖，利用兩塊相同的長方體木塊（陰影部分）測量一件長方體物品的高度，首先按左圖方式放置，再按右圖方式放置，測量的數(shù)據(jù)如圖，則長方體物品的高度是（）A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)長方體木塊的長為xcm，寬為ycm，長方體物品的高為acm，由圖中數(shù)據(jù)建立方程組求出其解即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：設(shè)長方體木塊的長為xcm，寬為ycm，長方體物品的高為acm，由題意得：，兩式相加得：2a＝150，解得：a＝75（cm），故選：C．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，列出方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2020秋?項(xiàng)城市期末）小明步行速度為5千米/時(shí)，騎車速度為15千米/時(shí)．如果小明先騎車2小時(shí)，然后步行3小時(shí)，那么他的平均速度是（）A．5千米/時(shí) B．9千米/時(shí) C．10千米/時(shí) D．15千米/時(shí)【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)小明走的總路程為x千米，平均速度是為y千米/時(shí)，由題意列出二元一次方程組，解方程組即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)小明走的總路程為x千米，平均速度是為y千米/時(shí)，由題意得：，解得：，即小明的平均速度是9千米/時(shí)；方法二：設(shè)小明的平均速度是為y千米/時(shí)，由題意得：（2+3）y＝2×15+3×5，解得：y＝9，即小明的平均速度是9千米/時(shí)；故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；設(shè)出未知數(shù)，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2020?紹興）同型號(hào)的甲、乙兩輛車加滿氣體燃料后均可行駛210km，它們各自單獨(dú)行駛并返回的最遠(yuǎn)距離是105km．現(xiàn)在它們都從A地出發(fā)，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車再行駛返回A地，而乙車?yán)^續(xù)行駛，到B地后再行駛返回A地．則B地最遠(yuǎn)可距離A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)甲行駛到C地時(shí)返回，到達(dá)A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時(shí)燃料用完，根據(jù)題意得關(guān)于x和y的二元一次方程組，求解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)甲行駛到C地時(shí)返回，到達(dá)A地燃料用完，乙行駛到B地再返回A地時(shí)燃料用完，如圖：設(shè)AB＝xkm，AC＝y(tǒng)km，根據(jù)題意得：，解得：．∴乙在C地時(shí)加注行駛70km的燃料，則AB的最大長度是140km．或者：設(shè)AC＝y(tǒng)km即可，從甲車的角度考慮問題，甲車給乙車注入燃料，要想最遠(yuǎn)，需滿足以下兩個(gè)條件：①注滿乙車；②剛好夠甲車從C回到A．從A到C，甲、乙兩車都行駛了AC，即乙車行駛ykm，也即甲車注入燃料量可行駛ykm，注入后甲車剩余油量可行駛ykm（剛好返回A地），所以對(duì)于甲車，y+y+y＝210，所以y＝70．從乙車角度，從C出發(fā)是滿燃料，所以AB為：105+70÷2＝140（km）．故選：B．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組在行程問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系正確列出方程組是解題的關(guān)鍵．二．填空題7．（2022春?開州區(qū)月考）重陽佳節(jié)來臨之際，某糕點(diǎn)店對(duì)桂圓味，核桃味、綠豆味重陽糕（分別記為A、B、C）進(jìn)行混裝，推出了甲、乙兩種盒裝重陽糕，盒裝重陽糕的成本是盒中所有A、B、C的成本與盒裝包裝成本之和，每盒甲裝有6個(gè)A，2個(gè)B，2個(gè)C，每盒乙裝有2個(gè)A，4個(gè)B，4個(gè)C，每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1個(gè)A成本的15倍，每盒乙的盒裝包裝成本是每盒甲的盒裝包裝成本的倍．每盒乙的利潤率為20%，每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%．當(dāng)該店銷售這兩種盒裝重陽糕的總銷售額為31000元，總利潤率為24%時(shí)，銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤是2500元．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，C的單價(jià)為z元，當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為a盒，乙的銷售量為b盒，甲每盒裝的重陽糕的成本是15x＝6x+2y+2z，即y+z＝4.5x，乙每盒裝的重陽糕的成本是2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝20x，得出乙每盒的成本是甲每盒的成本的，設(shè)甲每盒的成本為m，則乙每盒的成本為m，乙每盒的售價(jià)為1.6m，求出甲每盒的售價(jià)為m，根據(jù)甲乙的利潤得（m﹣m）a+（1.6m﹣m）b＝（ma+bm）×24%，得出b＝a，由ma+1.6mb＝31000，解得ma＝7500，即可得出結(jié)果．【規(guī)范解答】解：設(shè)A的單價(jià)為x元，B的單價(jià)為y元，C的單價(jià)為z元，當(dāng)銷售這兩種盒裝重陽糕的銷售利潤率為24%時(shí)，該店銷售甲的銷售量為a盒，乙的銷售量為b盒，甲每盒裝的重陽糕的成本是：15x＝6x+2y+2z，化簡得：y+z＝4.5x，乙每盒裝的重陽糕的成本是：2x+4y+4z＝2x+4（y+z）＝2x+4×4.5x＝20x，∵＝，∴乙每盒的成本是甲每盒的成本的，設(shè)甲每盒的成本為m，則乙每盒的成本為m，乙每盒的售價(jià)為：m（1+20%）＝1.6m，∵每盒乙的售價(jià)比每盒甲的售價(jià)高20%，∴甲每盒的售價(jià)為：＝m，根據(jù)甲乙的利潤得：（m﹣m）a+（1.6m﹣m）b＝（ma+bm）×24%，化簡得：0.28ma＝0.16mb，∴b＝a，∵ma+1.6mb＝31000，∴ma+1.6m×a＝31000，解得：ma＝7500，∴銷售甲種盒裝重陽糕的總利潤是：ma﹣ma＝ma＝×7500＝2500（元），故答案為：2500．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)；由題意列出方程是解題的關(guān)鍵．8．（2023?邵陽）《九章算術(shù)》中有一道闡述“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？意思是：幾個(gè)人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人，物品的價(jià)值是多少？該問題中物品的價(jià)值是53錢．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)有x人，物品的價(jià)值為y錢，由題意：幾個(gè)人一起去購買某物品，如果每人出8錢，則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．列出方程組，解方程組即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)有x人，物品的價(jià)值為y錢，依題意，得：，解得：，即該問題中物品的價(jià)值是53錢，故答案為：53．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．9．（2023?紹興）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有46兩．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，可以列出銀子總數(shù)相等的二元一次方程組，本題得以解決．【規(guī)范解答】解：設(shè)有x人，銀子y兩，由題意得：，解得，故答案為46．【考察注意點(diǎn)】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．10．（2020秋?黃島區(qū)期末）如圖，是由7塊顏色不同的正方形組成的長方形，已知中間小正方形的邊長為1，則這個(gè)長方形的面積為63．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)左下角的小正方形邊長為x，左上角最大的正方形的邊長為y，根據(jù)矩形的長和寬列出方程組求解即可．【規(guī)范解答】解：設(shè)左下角的小正方形邊長為x，左上角最大的正方形的邊長為y，由題意得：，解得：，∴矩形的長＝2+2+2+3＝9，寬＝2+5＝7，S矩形＝7×9＝63，故答案為：63．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．11．（2018秋?海曙區(qū)期末）如圖，兩個(gè)正方形的邊長分別為4，3，兩陰影部分的面積分別為a，b（a＞b），則a﹣b等于7．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】設(shè)空白處的面積為x，根據(jù)題意列出關(guān)系式，相減即可求出a﹣b的值．【規(guī)范解答】解：設(shè)空白處圖形的面積為x，根據(jù)題意得：a+x＝16，b+x＝9，則a﹣b＝7．故答案為：7．【考察注意點(diǎn)】此題考查了二元一次方程組，根據(jù)題意列出關(guān)系式是解本題的關(guān)鍵．12．（2023春?奉化區(qū)校級(jí)期末）學(xué)生問老師：“您今年多大了”老師風(fēng)趣地說：“我像你這么大時(shí)，你剛1歲；你到我這么大時(shí)，我已37歲了”．那么老師現(xiàn)在的年齡是25歲．【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】本題中明顯的等量關(guān)系有兩個(gè)：學(xué)生現(xiàn)在的年齡﹣年齡差＝1；老師現(xiàn)在的年齡+年齡差＝37，據(jù)此可以現(xiàn)設(shè)學(xué)生和老師現(xiàn)在的年齡為x、y，再列方程組求解．【規(guī)范解答】解；設(shè)老師現(xiàn)在x歲，學(xué)生現(xiàn)在y歲，則解得答：老師現(xiàn)在25歲．故填25．【考察注意點(diǎn)】做本題不僅要找準(zhǔn)等量關(guān)系，更要明白：年齡差是個(gè)不變的量．三．解答題13．（2023秋?硯山縣期末）疫情期間為保護(hù)學(xué)生和教師的健康，某學(xué)校儲(chǔ)備“抗疫物資”，用19000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)900盒，甲、乙兩種口罩的售價(jià)分別是20元/盒，25元/盒．（1）求甲、乙兩種口罩各購進(jìn)了多少盒？（2）現(xiàn)已知甲、乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個(gè)/盒，25個(gè)/盒，按照市教育局要求，學(xué)校必須儲(chǔ)備足夠使用10天的口罩，該校師生共計(jì)900人，每人每天2個(gè)口罩，問購買的口罩?jǐn)?shù)量是否能滿足市教育局的要求？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，結(jié)合用19000元購進(jìn)甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計(jì)900盒，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）利用購進(jìn)口罩的總數(shù)量＝每盒的個(gè)數(shù)×購進(jìn)數(shù)量，可求出購進(jìn)口罩的總數(shù)量，利用市教育局的要求數(shù)＝2×該校師生人數(shù)×10，可求出學(xué)校需要口罩的總數(shù)量，比較后即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)甲種口罩購進(jìn)了x盒，乙種口罩購進(jìn)了y盒，依題意得：，解得：，答：甲種口罩購進(jìn)了700盒，乙種口罩購進(jìn)了200盒．（2）20×700+25×200＝14000+5000＝19000（個(gè)），2×900×10＝18000（個(gè)），∵19000＞18000，∴購買的口罩?jǐn)?shù)量能滿足市教育局的要求．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）利用購進(jìn)口罩的總數(shù)量＝每盒的個(gè)數(shù)×購進(jìn)數(shù)量，求出購進(jìn)口罩的總數(shù)量．14．（2022?歷下區(qū)模擬）某廠計(jì)劃生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品若干件，已知兩種產(chǎn)品的成本價(jià)和銷售價(jià)如表：類別價(jià)格A種產(chǎn)品B種產(chǎn)品成本價(jià)（元/件）400300銷售價(jià)（元/件）560450（1）第一次工廠用220000元資金生產(chǎn)了A，B兩種產(chǎn)品共600件，求兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？（2）第二次工廠生產(chǎn)時(shí)，工廠規(guī)定A種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不得超過B種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的一半．工廠計(jì)劃生產(chǎn)兩種產(chǎn)品共3000件，應(yīng)如何設(shè)計(jì)生產(chǎn)方案才能獲得最大利潤，最大利潤是多少？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）設(shè)生產(chǎn)了A種產(chǎn)品x件，B種產(chǎn)品y件，由表中數(shù)據(jù)列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)m件，總利潤為w元，由題意：工廠規(guī)定A種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量不得超過B種產(chǎn)品生產(chǎn)數(shù)量的一半．列出一元一次不等式，得m≤1000，再求出w＝10m+450000，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)生產(chǎn)了A種產(chǎn)品x件，B種產(chǎn)品y件，由題意得：，解得：，答：生產(chǎn)了A種產(chǎn)品400件，B種產(chǎn)品200件；（2）設(shè)A種產(chǎn)品生產(chǎn)m件，由題意得：m≤（3000﹣m），∴m≤1000，設(shè)總利潤為w元，由題意得：w＝（560﹣400）m+（450﹣300）（3000﹣m）＝10m+450000，∵10＞0，∴w隨m的增大而增大，∴當(dāng)m＝1000時(shí)，w最大＝460000，此時(shí)3000﹣m＝2000，答：生產(chǎn)A種產(chǎn)品1000件，B種產(chǎn)品2000件，才能獲得最大利潤，最大利潤是460000元．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出一元一次不等式．15．（2022?高唐縣二模）在期末一節(jié)復(fù)習(xí)課上，八年（一）班的數(shù)學(xué)老師要求同學(xué)們列二元一次方程組解下列問題：在我市“精準(zhǔn)扶貧”工作中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為扶貧村莊修建3000m的村路，甲隊(duì)每天修建150m，乙隊(duì)每天修建200m，共用18天完成．（1）粗心的張紅同學(xué)，根據(jù)題意，列出的兩個(gè)二元一次方程，等號(hào)后面忘記寫數(shù)據(jù)，得到了一個(gè)不完整的二元一次方程組，張紅列出的這個(gè)不完整的方程組中未知數(shù)p表示的是甲工程隊(duì)修建的天數(shù)，未知數(shù)q表示的是乙工程隊(duì)修建的天數(shù)；張紅所列出正確的方程組應(yīng)該是；（2）李芳同學(xué)的思路是想設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路．下面請(qǐng)你按照李芳的思路，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別修建了多少天？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題意即可完成填空；（2）根據(jù)題意列出方程組即可解決問題．【規(guī)范解答】解：（1）方程組中未知數(shù)p表示的是：甲工程隊(duì)修建的天數(shù)，未知數(shù)q表示的是：乙工程隊(duì)修建的天數(shù)，列出正確的方程組應(yīng)該是：．故答案為：甲工程隊(duì)修建的天數(shù)，乙工程隊(duì)修建的天數(shù)，；（2）設(shè)甲工程隊(duì)修建了xm村路，乙工程隊(duì)修建了ym村路，根據(jù)題意，得，解得，所以甲工程隊(duì)修建的天數(shù)：1800÷150＝12（天），乙工程隊(duì)修建的天數(shù)：1200÷200＝6（天）．答：甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)分別修建了12天、6天．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系．16．（2022春?龍鳳區(qū)期末）某景點(diǎn)的門票價(jià)格如下表：購票人數(shù)（人）1～5051～99100以上（含100）門票單價(jià)（元）484542（1）某校七年級(jí)1、2兩個(gè)班共有102人去游覽該景點(diǎn)，其中1班人數(shù)少于50人，2班人數(shù)多于50人且少于100人．如果兩班都以班為單位單獨(dú)購票，則一共支付4737元，兩個(gè)班各有多少名學(xué)生？（2）該校八、九年級(jí)自愿報(bào)名瀏覽該景點(diǎn)，其中八年級(jí)的報(bào)名人數(shù)不超過50人，九年級(jí)的報(bào)名人數(shù)超過50人，但不超過80人．若兩個(gè)年級(jí)分別購票，總計(jì)支付門票費(fèi)4914元；若合在一起作為一個(gè)團(tuán)體購票，總計(jì)支付門票費(fèi)4452元，問八年級(jí)、九年級(jí)各報(bào)名多少人？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）設(shè)七年級(jí)1班有x名學(xué)生，2班有y名學(xué)生，由題意列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)八年級(jí)報(bào)名a人，九年級(jí)報(bào)名b人，分兩種情況：①若a+b＜100，②若a+b≥100，由題意分別列出方程組，解方程組即可．【規(guī)范解答】解：（1）設(shè)七年級(jí)1班有x名學(xué)生，2班有y名學(xué)生，由題意得：，解得：，答：七年級(jí)1班有49名學(xué)生，2班有53名學(xué)生；（2）設(shè)八年級(jí)報(bào)名a人，九年級(jí)報(bào)名b人，分兩種情況：①若a+b＜100，由題意得：，解得：，（不合題意舍去）；②若a+b≥100，由題意得：，解得：，符合題意；答：八年級(jí)報(bào)名48人，九年級(jí)報(bào)名58人．【考察注意點(diǎn)】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．注意（2）要分兩種情況作答．17．（2022?渠縣二模）為了保護(hù)環(huán)境，某市公交公司決定購買一批共10臺(tái)全新的混合動(dòng)力公交車，現(xiàn)有A、B兩種型號(hào)，其中每臺(tái)的價(jià)格，年省油量如表：AB價(jià)格（萬元/臺(tái)）ab節(jié)省的油量（萬升/年?臺(tái)）2.42經(jīng)調(diào)查，購買一臺(tái)A型車比購買一臺(tái)B型車多20萬元，購買2臺(tái)A型車比購買3臺(tái)B型車少60萬元（1）請(qǐng)求出a和b的值；（2）若購買這批混合動(dòng)力公交車每年能節(jié)省22.4萬升汽油，求購買這批混合動(dòng)力公交車需要多少萬元？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)“購買一臺(tái)A型車比購買一臺(tái)B型車多20萬元，購買2臺(tái)A型車比購買3臺(tái)B型車少60萬元，“即可列出關(guān)于a、b的二元一次方程組，求解即可；（2）設(shè)購買A型車x臺(tái)，B型車y臺(tái)，根據(jù)購買的車輛總數(shù)為10和購買這批混合動(dòng)力公交車每年能節(jié)省22.4萬升汽油，列出方程組，解得x和y的值，再根據(jù)總費(fèi)用＝120x+100y，即可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）根據(jù)題意得：解得：．（2）設(shè)購買A型車x臺(tái)，B型車y臺(tái)，根據(jù)題意得：解得：∴120×6+100×4＝1120（萬元）答：購買這批混合動(dòng)力公交車需要1120萬元．【考察注意點(diǎn)】本題考查了二元一次方程組在實(shí)際問題中的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出方程組，是解題的關(guān)鍵．18．（2022春?武岡市期末）某景點(diǎn)的門票價(jià)格規(guī)定如表購票人數(shù)1﹣50人51﹣100人100人以上每人門票價(jià)12元10元8元某校八年（1）（2）兩班共102人去游覽該景點(diǎn)，其中（1）班不足50人，（2）班多于50人，如果兩班都以班為單位分別購票，則一共付款1118元（1）兩班各有多少名學(xué)生？（2）如果你是學(xué)校負(fù)責(zé)人，你將如何購票？你的購票方法可節(jié)省多少錢？【易錯(cuò)思路引導(dǎo)】（1）設(shè)一班學(xué)生x名，二班學(xué)生y名，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①兩班共102人；②（1）班花費(fèi)+（2）班花費(fèi)＝1118元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可；（2）計(jì)算