2024年電大經(jīng)濟數(shù)學基礎期末練習題

〈經(jīng)濟數(shù)學基礎〉期末復習參照練習題

-單項選擇題

1、設;?(x)=▲,則/(/(%))=(cCx)

X

2、曲線y=sinx+1在點(0,1)處的切線方程為(AAy=x+1)。

11i

3、若］/(兄)*公二一"+c,則/(%)=(BB—)

4、設A,B為同階可逆矩，則下列等式成立的是(CC(AB)T=BTAT)

5、線形方程組112"解的狀況是(DD無解)

項+%2=0

Y—1

1.函數(shù)y=--------時定義域為(DD、尤>1且CW2)

ta(x-l)

2.設/(x)=ln(x—1)，則/Xx)在x=2處的切線方程是(AA.x—y=2)

3.下列等式中對時的是(BB、」-dx=d(、6))

4、設A為3x4矩陣，8為5x2矩陣，若乘積矩陣AC?B故意義，則C為(BB5義4)矩陣。

F11Tx.1「11

5.線性方程組1=解的狀況是(DD有唯一解)

1-1x90

1.下列結論中(DD奇函數(shù)的圖形是有關坐標原點對稱)是對的時。

sinx一八

2.函數(shù)/(%)=丁在x=0處連續(xù)，則左=(CC1)

kx=0

3.下列等式成立的是(CC、2xdx=—d(2x))

ln2

4、設A,B是同階方陣，且A是可逆矩陣，滿足A+AB=/,則A-=(AA、I+B)。

5、設線性方程組Amx?X=b有無窮多解的充足必要條件是(DD、r(A)=r(A)=r(A)<n)

x-4

1.函數(shù)y=J--------時定義域是(BB、［-2,2)u(2,+oo))

Vx-2

2.若](x)=cos三，則lim/(x+Ax)—/(x)=(AA.。)

4-Ax

3.下列函數(shù)中,(DD、--cosx2)是xsin/時原函數(shù)。

2

4.設A是加矩陣,B是sx,矩陣，且AC'B故意義，則。是(DD、sxn)矩陣。

再+2X2-4X3=1匹=-11

5.用消元法解方程組x2+x3=0得到的解為(CC、<%=2）。

、一冗3=2、冗3二-2

1.下列各函數(shù)對中，(DD、f(x)=sin2x+cos2x,g(x)=l)中的兩個函數(shù)相等。

X

2.已知/（%）=------1,當（AA、％—0)時，/(X)為無窮小量。

sinx

3、p°二dx=(CC>-)

Jlx32

4、設A是可逆矩陣，且A+AB=I,則A—、(CC>I+B）

「13214-

0-112-6

5.設線性方程組AX=b的增廣矩陣為,則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為

01-1-26

02-2-412

（BB、2）

1.下列各函數(shù)中的兩個函數(shù)相等的是(CC.y=lnx3,g(x)=31nx)

2.下列函數(shù)在區(qū)間(—8,+8)上單調(diào)增長的是(CC.3工)

3.若尸(x)是/(x)的一種原函數(shù)，則下列等式成立的是(BB.f'(x)dx=F(x)-F(a))

Ja

4.設A,B為同階可逆矩陣，則下式成立的是(DD.(AB)T=BTAT)

5.設線性方程組人*=8有唯一解，則線性方程組AX=0的解的狀況是(AA.只有零解)

二、填空題

——5<x<0

6、函數(shù)/Xx)=,"的定義域是—[-5,2)—。

x2-10<x<2

「x-sinx八

7、hm-----------=____0____,o

3X

8、函數(shù)/(x)=-sinxaI原函數(shù)是cosx+c。

9、設A,B均為n階矩陣，則等式（A-J?）?=A?-2AB+B2成立的充足必要條件是_A,B任意

1021

X,1二-2XQ—

10、齊次線性方程組AX=O的系數(shù)矩陣為A=010-2則此方程組的一般解為一:

x=2X

000024

6、若函數(shù)/(x+2)=/+4x—5,則/(x)=X2-9

--p

7、設需求量q對價格p的函數(shù)為Mp）=500e2,則需求彈性為E〃=——§―-

8.dsinxdx=sinxdr

9.若r(A,Z?)=4/(A)=3,則線性方程組AX=b—無解.

'100"「100一

10.設A=020,則A-1=0I0O

00-300-I

6、函數(shù)y=—--------73-%的I定義域為_____(-3,-2)(-2,3)

ln(x+3)

7、需求量9對價格P的函數(shù)為4（p）=100/5則需求彈性為Ep=-―1

8.dx-_0_?

23

9、當a3時，矩陣4=是對稱矩陣。

一a-I

1116

10、線性方程組=且4=0-132則/=_-1一時，方程組有無窮多解。

00t+10

6.已知生產(chǎn)某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C（q）=80+2%則當產(chǎn)量4=50單位時，該產(chǎn)品的平均成本為―3.6

Y—3

7、函數(shù)/(x)=22—時間斷點是%]=1,%=2

x—3x+22

8、j(xcosx+l)^=2o

-1-11-

9、20—1的I秩為_____2o

1-34

x-=0

10、若線性方程組〈1「有非。解，則丸=_-1_。

玉+AX2=0

—1

6、若函數(shù)于3='，則于（X+h）―）（X）

1+xh(l+x)(l+x+A)

x2-l]

7、已知/(x)=<731XN1,若〃x)在(9,”)內(nèi)持續(xù)，則a=2_.

ax=l

8、若/'（X）存在且持續(xù)，則［Jdf（x）r=__/⑺

1-20-4

9、設矩陣A=,I為單位矩陣，則（1—A）、

43-2-2

10、已知齊次線性方程組AX=0中A為3*5矩陣，且該方程組有非0解，則r（A）＜_3一

QX0—X

6.函數(shù)/（%）=--—的圖型有關—坐標原點.對稱

7.曲線/（x）=sinx在（肛0）處的切線斜率是_-1_。

9.兩個矩陣A,B既可以相加又可以相乘的充足必要條件是_A,B為同階矩陣

10.線性方程組AX=B有解的充足必要條件是—r(A)=r(A)_0

三計算題

11>由方程cos(x+y)+e，=x確定y和1的隱函數(shù)，求y'。

解[cos(x+y)]'+(e,)'=x'

-sin(x+y)[l+_yf]+eyy'-1

[ey-sin(x+y)]y'=1+sin(x+y)

,l+sin(x+y)

y—■

ey-sin(x+y)

11.設丁=cos?-e*,求dy。

解yf=(cos五-e~x2Y=2xe~x2-

26

dy=(2xe^x-)dx

11>已知y=lnsin12,求y(x)

1(sinx2)'=-^-^-cosx2

解yr=(Insinx2)'==2xcotx2

sinx2sinx

1+ln(l—x)jx，小

11>y二一：-------求y(0)

l-x

-1

(l-x)[lln(l-x)]_

解、了=上工++h(1x)

(If(If

y（o）=o

11>設y=cos2'-sin，，求y'

解yf=(cos2X-sinx2)'=-2xln2sin2%-2xcosx2

11.已知y=sin%+co"%,求y

解：=(sinx)"+(cos5x)f=cosx+5cos4xsinx

7

11y=(%——)/%求V

x

7

解/=(x--)fe2x

x

=(l+^-)e2x+2(x--)e2x

xx

47

=e2x(l+2x——+—)

%x

cosx

11.y=2--——求y

l-x

解y=（2，y—（2），

l-x

=2,M2_(cosx)'(l-x)-cosx(l-x)'

_(I-%)2

ci_cosx-(l-x)sinx

=2Inz------------------------

(17)2

11.y=]ncos/求y(，^)

iQr

解y=(lncos%2)'=-------(cosx2)r=---------sinx2=-2xtanx2

cos%cos%

V(。)=-2,Atan(7)2=

11.y=Vl+ln2x求dy

解y,=(Vl+ln2x),=-(l+ln2x)"3(i+ln2x),=-(l+ln2x)-3^1i^

33x

2--

dy-——(1+ln2x)3Inxdx

3x

11.y=cos—+求dy

2

rr222

r2x

解V=(COSy)+(e-y=-SiDy(y),-21%=_xsin±__

.x2_

dy—(—xsin-----2e)dx

11.y=cos3(l-2x)dy

V=(cos3(l-2x))f=-3COS2(1-2x)sin(l-2x)(1-2x)f=2cos2(l-2x)sin(l-2x)

11、exy+y]nx=sin2xyr

(exyy+(yInx)r=(sin2%)'

*(%，+R)+yinx+—=2cos2%

x

(/'%+ln%)y'=2cos2x-exyy--

x

2cos2x-exy--

yf=-------------

exyx+lnx

U.由方程yln(l+x)+eq=/確定的隱函數(shù)，求y'

解[yln(l+%)]'+(e孫)'=(e2),

y'ln(l+x)+丁+6移(3+孫')=0

1+x

[ln(l+%)+xexy]yr=——----yexy

1+x

y+(l+x)yexy

y=-

(1+x)[ln(l+x)+xexy]

11.由方程siny+xeM=0確定的隱函數(shù)，求y'

解(sin/'+(九")'=O'

yfcosy+ey+xeyy'=0

(cosy+xey)y'=-ey

，~ey

11由方程y=l+xe＞確定的隱函數(shù)求4V

dxx=0

解y'=l'+(%/)'

y=ey+xeyy,

y，=—

-l-xey

dy

當x=0,y=1=y'(O)=------r=e

dxx=Q1—0x3

11.由方程cos(x+y)+ey=x確定的隱函數(shù)求dy

解[cos(x+y)]r+{eyy=x'

(1+yr)sin(x+y)+e，y'=1

(ey-sin(x+y)]yr=l+sin(x+y)

l+sin(x+y)

yf-

ey-sin(x+y)

7l+sin(x+y)

dy=-------------ax7

ey-sin(x+y)

r1617

12>/----dx

JoVx+9-Vx

到「161f16Jx+9+61

解I-/~j=dx=I/~j=/~j=^———(Vx+9+4x)dx=12

JoVx+9-VxJo(J九+9-Vx)(Vx+9+Vx)9

兀

12.Hxsin2xdx

Jo

71

冗]J兀冗

解xsmlxdx=-[—xcos2x+—J^COS2XJJV]=—

12.rl￡nxe(1+ec)dx

/?In3xx02fin3c12In356

解￡e(l+e)dx=^(l+/)2d(l+1)=：(l+/)30

T

12、[xlnxdx

reJ21產(chǎn)Gel

解xlnxtZx={—xIn%——xdx}=—+—

Ji22J1J144

12.計算/曲立氏

解：=jln%d(lnx)=—(Inx)2+c

x2

12、j(x2-5x+7)cos2x(ix

解、J，—5X+7)COS2JVZZX=-2(x2-5x+7)sin2x+4(2x-5)cos2x+16sin2x+c

i

i

x

A2erl-1-1

角星、C—dx=exd(—)=exel-e~x

J1x2JTX-1

^Cxe-2xdx=--xe-2x1-(e-2xdx=--e-2+-e-2xU=--(3e-2-1)

J。2[0J。J![_2|0J4

冗

12.xcoslxdx

Jo

產(chǎn)1f-Rsin2^x=-cos2x^

解2%cos2Azzx=-xsin2x

J。202Jo402

12.Jxsin(l-x)<ix

r3+xsinx.

12.------------ax

Jx

r3+xsinx,r3,r.,

解------------ax=-ax+sinxor=31nx-cosx+

Jx」x」

x

12.-dx

4+x2

-Y1r11

解\-------dx-[-------d(4+/)=_]n(4+%2)+c

J4+x22J4+x22

12.

—%+

12.f2dx

Jixvl+lnx

解『,1dx=『,1J(1+Inx)=2jl+lnx2=2(73-1)

xjl+lnxJlJl+lnx1

-102「-1-

13、設矩陣A=-124,B=-2，求(21-Ar)B

3113

解

~20o--113」11-3-

由于21—A，=020021=OO-l

002241-2-41

-11-3~-1-1-2-9---10-

因此（2/—A?）上i=00-1-20+0-3-3

-2-413-2+8+39

一1o--or

13.設矩陣A=0-1,B=0i，求（BTA)-1

-1212

解

「r「101「r

T001-12

BTA=0-1=

112-13

L」[T2」L」

――12101「一1210]「10—32-

-1301J[01-11」[01-11

因此（加4『=

10-212-3

13、設矩陣A=],B=，計算（ABDI

-200-12

lr10

10-27-4

解:(AB，T=2-1

1—2(J-32

LJ-32

7-410101210121012

-3201'-3201fo237—01ii

12

因此（AB’）T

22

,22.

-113

13、設人=1-15求(/+A)i

1-2-1

解

013100105010100-106-5

105010f013100010-53-3

1-200010012-110012-11

-106-5

因此（/+A）T-53-3

2-11

-151

13、設矩陣A=,B=，求(A—/)%

3-6-1

10-25

013-7

31-2-3-5

(A-7)'5=

-7-15+712

13.已知AX=B,其中A

1231oolFl23100

解.357010-0-1-2-310

58100010-2-5-501

123ioolFl00-64-1

52

00-11-21001-12-1

-64-1

即A=5-52

-12-1

-64

X=A-lB=5-5

-12

021210

13.設矩陣4=,B=計算（波丁尸

1-1001-1

20

02121

解ABT=11

1-101-1

0-1

11

21101-10110

且[ABTI]1233

1-1010112

3301

33

11

(ABr)1=-

31-2

-01o-

13.設矩陣A=-111,求逆矩陣(/-A)-'

-103_

1-1100

解101010

10001

1-1010010002-102-1

01-1-110->010-111因此（/—A）-=-12-1

01-2-10100101-101-1

13.設矩陣A

解+C=

63

10-2

13.設矩陣A,B=12計算(AB)-1

1-20

41

63

10-2-21

解AB=2

1-204-1

1

-2110-2110-20-1-1101

T22

4-101012101210121

11

(AB)122

21

-2-3

13.解矩陣方程X

342

-2-310111111111043

解T

3401340101-3-201-2

-i

-2-343

即

34-3-2

43-12

X=

-3-221

121-1

13.解矩陣方程X

3520

1210123010-52

解->-?

35010-31013

-i

12-52

即

353-1

1-1121-123

因此X=

2035203-104

xx+x3=2

14.設線性方程組《

Xi+2X2-x3=0

+x2-ax3=b

討論當。力為何值時，方程組無解，有唯一解,無窮多解。

101210121012

解〉01-1-102-2-201-1-1

21—ab01-a-2b-4001-<7-lb-3

當a=-方程組無解；

當aw-1,方程組有唯一解；

當a=—13=3方程組有無窮多解。

%1+%2+=0

14.求線性方程組2%1-％2+8%3+3%4=0的一般解。

2x1+3X2-X4=Q

111011101031

解.由于A=2-18301-2-301-2-1

230-10-3630000

元1+3元3+14=0

%-2x2-x3=0

再——3/一

則一般解為：《

%=2/+%4

2x1+5X2+/+15X4=7

、當為何值時，線性方程組修+

14bJ2X2—%+4%=2有解，有解時求一般解。

+3%2+2尤3+11%4=b

「251157"11-142一'12-142

解A=11-142f251157f01373

13211b13211b0000b-5

12-142

因此當b=5是方程組有解，且由A=01373

00000

再=7X+10X-4

得解為《34

%2=-3%—7%+3

2尤1一5%2+2%3一3%4-0

14、求線性方程組]玉+2%—%+3%=°時一般解。

—2%]+14%2—6%3+12%4=0

-2-52-3「-12-13-~12-13

解、A=12-13f2-52-3T0-94-9

-214-612-214-612018-819

12-13

2-52-3

0000

$+2X2-X3+3X4=0

2再一5%2一%3-3x4—0

1

匹=-X-^4

一般解為《3

4

XX

2=-3_%4

七-3X2+2X3=0

14、設線性方程組2%1-5X2+3X3=0問2為何值時方程組有非0解,并求一般解。

3/-8X2+AX3=0

1-321-3

解A=2-5301

3-8201

因此當4=5時，方程有非0解，一般解為

-3X+2X=0

<2一3

x2-x3=0

Xj-x2+x4=2

、求線性方程組的一般解

14%1-2X2+x3+4X4=3

2%i-3X2+x3+5X4=5

1-10121Fl-1012

解A=1-2143-0-1131

2-31550-1130

x；-x2+x4=2

一x2+/+3%4—1

%1=x+2X+1

方程組的一般解為:34

巧=七+3x—1

尤］-W=2

14.當2為何值時，線性方程組%1-2X2+/+4X4=3有解,在有解的狀況下求方程組的一般解

2xx-3X2+x3+5X4=2+2

1-10121-10121-1012

解A=1-1143T0-11310-1131

2-3152+20-1132-200002-3

當2=3時，方程組有解，原方程組化為

X1~X3~2%4=1

<

%2一冗3—%4=—]

得解「口+…4

%2=-1+13+3尤4

五、應用題

15.設生產(chǎn)某種產(chǎn)品q單位時的成本函數(shù)為:C(q)=100+0.25/+6q(萬元)

求：(1)當q=10時的總成本、平均成本和邊際成本；

(2)當產(chǎn)量q為多少時，平均成本最??？

.解⑴總成本C(10)=100+0.25x102+6x10=185

平均成本4(10)=色④=型"=—=18.5

q1010

邊際成本C\q)=0.5q+6C'(10)=0.5x10+6=11

(2)C(^)=-^=—0.25^+6

qq

I(Y)

令C(q)=——廠+0.25=0,得q=20

q’

當產(chǎn)量為20時平均成本最小。

15.設生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為C'(q)=84(萬元/百臺)，邊際收入為R(q)=100-2q(萬元/百臺)，其中q是

產(chǎn)量，問

(1)產(chǎn)量為多少時，利潤最大？

(2)從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺,利潤將會發(fā)生怎么的變化？

解(1)L'(q)=R(q)—C'(q)=(100-2q)—8q=100—10q

令Z/(q)=O,得q=10

產(chǎn)量為10百臺時利潤最大。

1212

(2)AL=^rL\q}dq=￡r(100-10q)dq=-20

從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元。

15.設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為200(百元)，每生產(chǎn)一種單位產(chǎn)品，成本增長5(百元)，且已知需求函數(shù)

^=100-2°,這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，

(1)試分別列出該產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(q)和總收入函數(shù)H(q)體現(xiàn)式；

⑵求使該產(chǎn)品利潤最大的產(chǎn)量及最大利潤。

解(1)總成本函數(shù)。(幻=200+5q

?1,

總收入函數(shù)R(q)=pq=5Qq--q~

(2)利潤函數(shù)為L(q)=R(q)—C(q)=45q—gq?—200

令〃⑷=45—q=0得產(chǎn)量q=45,

即當產(chǎn)量為45單位時利潤最大

1,

最大利潤￡(45)=45x45--x452-200=812.5

15.已知某產(chǎn)品的邊際成本為C(q)=2(元/件)，固定成本為0,邊際收入R(q)=12-0.024,求：

(1)產(chǎn)量為多少時利潤最大？

⑵在最大利潤的基礎上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？

解：(1)邊際利潤L\q)=R\q)-C\q)=12-0.02^-2=10-Q.Q2q

令〃⑷=0,得q=500

當產(chǎn)量為500是利潤最大。

(2)當產(chǎn)量由500件增長至550件時，利潤變化量為

刈=￡(10—0.02q)dq=(10q—0.01/)惴=_25(元)

即利潤將減少25元。

15、已知某產(chǎn)品的邊際成本為C'(q)=4q-3(萬元/百臺)，q為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求

(1)該產(chǎn)品的平均成本；

(2)最低平均成本。

解⑴成本函數(shù)為C(q)=jC'(q)dq=卜的—3)dq=2/—3q+18

則平均成本函數(shù)為e(/=C@=2q—3+竺

qq

(2)C'(q)(2q-3H---)'=2----

qq

令3①)=2-2=0得9=3

q

—1o

最低平均成本為?3)=2x3-3+y=9(萬元/百臺)

15,某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q千件時的總成本函數(shù)為C⑷=1+2q+(萬元)，單位銷售價格為p=3—2q(萬元/千件),

試求

(1)產(chǎn)量為多少時可使利潤抵達最大？

(2)最大利潤是多少？

解(1)由己知得R(q)=qp=q(8-2q)=8q-2q2-8q-2q2

利潤函數(shù)

L(q)=R(q)—C)(q)^Sq-2q2-(1+2q+q2)6q-l-3q2

從而有

L，(q)-6-6q

令L'(q)=6-6q=0解q=l,

產(chǎn)量為1千件時利潤最大。

(2)最大利潤為

L(l)=6xl-l-3xl2=2(萬元)

15設生產(chǎn)某種產(chǎn)品q臺時的邊際成本C'(q)=2.54+1000(元/臺)，邊際收入R(q)=2q+2000,試求獲得最

大利潤時的產(chǎn)量。

解:邊際利潤為

L'(q)=R'(q)-C'(q)

=2^+2000-(2.5^+1000)

=—0.5q+1000

令L'(q)=0得q=2000

當產(chǎn)量為2023時利潤最大。

15設某產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q)=]/+34+100(萬元)

其中q是產(chǎn)量(單位:臺)，求使平均成本最小的產(chǎn)量，并求最小平均成本是多少？

解:平均成本C(q)=9④=—<?+—

q25q

1100

有°⑷、MLn

解得q=50

即當產(chǎn)量為50臺時，平均成本最小，最小平均成本為

C(50)=—^+3+—=7(萬元)

_25q4=50

15o生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定費用是1000萬元，每生產(chǎn)1臺該品種產(chǎn)品，其成本增長10萬元,又知對該產(chǎn)品的需求

為q=120-2。(其中q是產(chǎn)銷量(單位:臺)，p是價格(單位：萬元)，求

(1)使該產(chǎn)品利潤最大的產(chǎn)量；

(2)該產(chǎn)品的邊際收入。

解：(1)設總成本函數(shù)為C(q),收入函數(shù)為R(q),利潤函數(shù)為L(q)于是

C⑷=10q+1000

1,

R(q)=qp=6Qq--q-

1,

L(q)=R(q)-C(q)=5Qq--q2-1000

L'(q)=50_q=0

得q=50

即生產(chǎn)50臺時該種產(chǎn)品能獲最大利潤。

(3)由于R(q)=604一g/,故邊際收入R(g)=60-q(萬元/臺)。

15某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品,其固定成本為2023元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為

q=1000-10p,試求：(1)成本函數(shù)，收入函數(shù)；(2)產(chǎn)量為多少時利潤最大？

解：(1)成本函數(shù)為C(q)=60q+2000由于q=1000—10”，即p=100—jq

因此收入函數(shù)為R(q)=pq=(100—2q)q=100^-q2

(2)由于利潤函數(shù)為L(q)=H⑷—C(q)=40q—記才_2000

L'(q)=40—[q令L'(q)=40—