重難點18 三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總（解析版）-2024年高考數(shù)學重難點題型突破（新高考通用）

重難點專題18三角函數(shù)中w取值范圍問題八大題型匯總

0UII

題型1單調(diào)性與3取值范圍問題...................................................1

題型2圖像平移伸縮與3取值范圍問題............................................5

題型3對稱軸與3取值范圍問題...................................................9

題型4對稱中心與3取值范圍問題................................................12

題型5零點與3取值范圍問題....................................................15

題型6最值與3取值范圍問題....................................................23

題型7極值與3取值范圍問題....................................................26

題型8新定義...................................................................30

題型1單調(diào)性與3取值范圍問題

一我t點

已知函數(shù)y=Asin（a）x+@）（/1>0,3>0）,在［%,?］上單調(diào)遞增（或遞減），求3的取值范

圍

第一步：根據(jù)題意可知區(qū)間出,全］的長度不大于該函數(shù)最小正周期的一半，

即犯一/W=工，求得。<3W

N3X?-X、

第二步：以單調(diào)遞增為例，利用［3%+0,3X2+冋U［-］+2k再5+2kn］,解得3的范圍；

第三步：結(jié)合第一步求岀的3的范圍對k進行賦值，從而求出3（不含參數(shù)）的取值范圍.

【例題1］（2023?全國?高三專題練習）規(guī)定：Max{a,b}={K2設(shè)函數(shù)/（x）=

Max{sino?x,cos3無}（3>0）,若函數(shù)/（x）在上單調(diào)遞增，則實數(shù)3的取值范圍是

【答案】停,l］u［果4］（注：可以用不等關(guān)系表示）

【分析】討論/（X）=COS3X（3>0）和/'（x）=sincox（to>0）的條件，xe（黑）時，a）xe

儈苫），根據(jù)正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解不等式即可.

【詳解】函數(shù)/(%)=Max(sina)x,coso)x](6)>0),

當3%€卜乎+2klI,；+2knj(kEZ)時;/(%)=cosa)x(a)>0),

當srw[?+2fcn片+2fcrr](keZ)時，/(x)=sincox(a)>0),

Xe（黑）時，3X6（等，等），八X）在（甥）上單調(diào)遞增,

3n3n.

—>---------Fn2fcn(―>-+2kn

則有《34(keZ閾為:(keZ),

等42m小/2/m

解彳量4-6/c<co<1+4fc(fcEZ),當k=0時,有解:<co<1；

或一+6fc<co<4k（k6Z）,當k=1時，有解f<co<4.

44

實數(shù)3的取值范圍是艮1]U序41

故答案為:u樣,可

【變式1-1]1.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）若函數(shù)f（x）=sin（3x+》（3>0）在[。罔上

恰有兩個零點，且在卜2盤上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（）

A..4]B.件4]C.序今D?《時

【答案】B

【分析】有函數(shù)在[0,引區(qū)間上有兩個零點可知2n<<o-^+J<3n,由f（x）在卜2盤上

單調(diào)遞增可求出3的取值范圍，然后聯(lián)立即可求出答案.

【詳解】解：由題意得：

???函數(shù)/'（%）=sin（?x+以3>0）在閉上恰有兩個零點,

...2TTW3皆+S<3n,

解得：3W3<?①,

又?.?/（%）在卜已引上單調(diào)遞增，

126-2

工3+1<2，解得：0<3S4②，

12612

（CD>0

由①②式聯(lián)立可知3的取值范圍是件,4

故選：B

【變式1-1】2.（2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考開學考試）已知函數(shù)/'（X）=sin（3X-+

>0）在（0《）上單調(diào)遞增，在C,與上單調(diào)遞減，則3的取值范圍是（）

A?［羽B(yǎng).層］C.［/D.展］

【答案】A

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性及已知區(qū)間單調(diào)性求參數(shù)范圍即可.

【詳解】當%￡（03）時，3X—；￡（―,

因為/（X）在（05）上單調(diào)遞增,所以,解得0<34:

當％6（,習時，3X-;603—,

因為0<3S,所以3x—；e（一9,2TT）.

因為/'（x）在d）上單調(diào)遞減，所以g3—^>T且,解得3

又0<3W,所以3的取值范圍是由3

故選：A

【變式1-1］3.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)"X）=Isinwxl+|cos3x|@>0）在

區(qū)間弓刀）上單調(diào)遞增，則3的取值范圍是（）

A-（°-；］

C.（。白D鵬,l）

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，化簡/CO=1+產(chǎn)啓i,結(jié)合余弦型函數(shù)的性質(zhì)，列岀不等式組，

即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（%）=|sintox|+|costox|=J（|sinex|+|cos3%|）2=-y14-2|sincox||cosa）x|

=Jl+2|sin3xcos3x|=y/1+|sin2ajx|=Jl+,

令2kli<4a）x<2kn+n,kEZ,解得竺<x<絲已"，kGZ,且a>0,

2（i）4a）

即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為爲歿円,keZ且3>0,

要使得f（x）在區(qū)間?刀）上單調(diào)遞增，

'knn

-W-

則滿足（2鑿）；4，k€Z,解得2k<0）<^l,fceZ,其中3>0,

、4a）一

（2k11

又由2k+i，解得因為keZ,所以k=0,

|>026

所以0<3W即實數(shù)3的取值范圍為（O,；］.

故選：A.

【變式1-1J4.（2023春安徽阜陽?高三?？茧A段練習）已知函數(shù)f（x）=cos（3X-媒（3>

0）在［冊］上單調(diào)遞增，且當xe［若］時，"%）>0恒成立,則3的取值范圍為（）

A.（喝喑罔B./U階］C?（詞U階］D*咼喑,8］

【答案】B

【分析】由已知，分別根據(jù)函數(shù)”X）在區(qū)間總用上單調(diào)遞增，在xe吟圖時"⑺>0恒成

立，列岀不等關(guān)系，通過賦值，并結(jié)合3的本身范圍進行求解.

【詳解】由已知，函數(shù)fG）=cos刖T）（3>0）在管用上單調(diào)遞增，

所以2k］Tt—TT<a>x-<2自71（自GZ）,解得：―^―<x<—^―+（k】GZ）,

3333333

n2k1n2n

:一：］，解得：W—4--

（4-a）3a）

8kl+g（*i￡Z）①

又因為函數(shù)f(%)=cos即Y)(3>0)在Xe[*]上/⑺>。恒成立,

所以2k2n——^<2k2T［十］也26Z),解得：-￡-<x<把p+費出€Z),

ZoL(i)633660

由于借田等T，等+部行Z)所以；］&+3解得%-詳3W6k2+

\3—36co

|出“)②

o>>0

—4v〃)vq

又因為3>o,當心=心=。時，由①②可知：/解得3E(0,［

2//5

------V3V-

3一一2

{3>0

28

8-W-T,解得36［8,V

—232<.0)<.1—27-LL-

所以3的取值范圍為(0曰u[8,3

故選：B.

【點睛】在處理正弦型、余弦型三角函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，通常使用整體代換的方法，將整

體范圍滿足組對應(yīng)的單調(diào)性或者對應(yīng)的條件關(guān)系，羅列出等式或不等式關(guān)系，幫助我們進行

求解.

題型2圖像平移伸縮與3取值范圍問題

、I,

，上則重點

結(jié)合圖象平移求3的取值范圍

L平移后與原圖象重合

思路1:平移長度即為原函數(shù)周期的整倍數(shù)；

思路2:平移前的函數(shù)“X)=平移后的函數(shù)g(x).

2、平移后與新圖象重合：平移后的函數(shù)/(x)=新的函數(shù)g(x).

3、平移后的函數(shù)與原圖象關(guān)于y軸對稱：平移后的函數(shù)為偶函數(shù)；

4、平移后的函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于x軸對稱：平移前的函數(shù)/(*)=平移后的函數(shù)-g(x);

5、平移后過定點：將定點坐標代入平移后的函數(shù)中。

【例題2](2023春?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習)將函數(shù)g(x)=sin3%(3>0)的圖象向

左平移生(0<<P<n)個單位長度得到函數(shù)“X)的圖象，/(0)=|，/'(X)為"切的導(dǎo)函數(shù)，

Ci)N

且/'(0)<o,若當Xe[0,TT]時，/Q)的取值范圍為卜1彳],則3的取值范圍為()

22

A.-<co<1B.-<6)<1

33

2,21

Cr.-<0)<-D,-<w<-

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得f(x),結(jié)合f(0),r(0)可求得⑺；利用整體代換的

方式，結(jié)合余弦型函數(shù)的值域可求得結(jié)果.

【詳解】/(x)=g(X+?)=sin[3(x+()]=sin(<ox+<p),f'[x}=3cos(3K+<p),

/(0)=sing=；,/'(0)=3cos(p<0,

,?,3>0,?,?cosq)<0,又0V@<Tl,???0=史，

6

???/(x)=sin(3%+等=sin(1+3%+；)=cos；

當。E時，a)x+jG1，

?."(%)6[—1,^1,?,?!(<TlCO4-,解得：：W3W

LMJOOJO

故選：D.

【變式2-l】l.(2022秋河北石家莊?高三石家莊市第十五中學?？计谥袑⒑瘮?shù)/(x)=sinx

的圖象先向右平袱個單位長度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膩A(3>0)倍，縱坐標

O(1)

不變，得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g(x)在&堂上沒有零點，則3的取值范圍是()

A?(/U務(wù)B.(O,|]C.(O,|)U[|,1]D,(O,1]

【答案】A

【分析】先由三角函數(shù)圖象平移規(guī)則求得函數(shù)g(x)=sin(3x-?),再利用正弦曲線的零點即

可求得3的取值范圍

【詳解】將函數(shù)/(x)=sinx的圖象先向右平移三個單位長度，得到產(chǎn)sin(無《)

再把所得函數(shù)圖象的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膩A(3>0)倍，縱坐標不變，

3

得到函數(shù)g(x)=sin(3x《)

由函數(shù)g(x)在頂，岑)上沒有零點，則江則722n

S->2TI,可得0<341

假設(shè)函數(shù)9(%)在頂浮)上有零點,

則儂工-^二/nr,/ceZ,則無=絲+3，/ceZ

3co3a)

由六場+白<孚,可得g+(<co<2k+

233323933

又0<341,則36&|)“拉]

則由函數(shù)g(x)在國學)上沒有零點，且0<341,可得36(0,|]U[|,|]

故選：A

2

【變式2-1]2.(2023秋?山西運城?高三統(tǒng)考階段練習)已知函數(shù)/。)=2sinWxcos(^-

》-siMaxQ>0),現(xiàn)將該函數(shù)圖象向右平繪個單位長度彳導(dǎo)到函數(shù)g(x)的圖象，且g(x)

在區(qū)間G，號)上單調(diào)遞增，貝必的取值范圍為

【答案】(0,1]ug3

【分析】根據(jù)給定條件，化簡函數(shù)/"(X),結(jié)合圖象平移求出函數(shù)g(x),進而求出單調(diào)遞增區(qū)

間，再列出不等式求解作答.

【詳解】函數(shù)/(x)=sina)x[l+cos(tox—)]—sin2o)x=sino)x(l+sintox)—sin2tox=

sincox,

因此g(%)=f(x—J=sin(cox一；)，3>0,

由2kn--<tox--<2fcn+-,fcGZ,解得旳--<x<—4--,/cGZ,

242(i)43343

即函數(shù)g(x)在呼-強等+書(keZ)上單調(diào)遞增,

2詳.黑[KkeZ,

--------1-------N-

3434

1/81

>4k>

3?

一----

2239

由

應(yīng)

或

布

3即

k6Z1:-k6Z<f<fGZO

8<-c--c=

—

<k+114/cO88

3-1>

C，

k=1,

當k=0時，0<3W1,當k=1時，：Wto4?，

所以3的取值范圍為（0,1]U￡號.

故答案為：（0刀U[|,y]

【變式2-1]3.（2023春?廣東珠海?高三珠海市第一中學?？茧A段練習）將函數(shù)y=sinx的

圖象向左平就個單位長度，再把圖象上的所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模á?gt;0）倍，縱坐標

不變得到函數(shù)/。），已知函數(shù)/（?在區(qū)間&引上單調(diào)遞增，則3的取值范圍為.

【答案】36（0尚U[|,3]

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像平移變換，寫出函數(shù)y=/（x）的解析式，再由函數(shù)y=/（%）在區(qū)間

怎，手）上單調(diào)遞增，列出不等式組求出3的取值范圍即可

【詳解】將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移9個單位長度得到y(tǒng)=sin（x+的圖象，

再將圖象上每個點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼膩A（3>0）倍（縱坐標不變），

3

得到函數(shù)y=/（x）=sin（ax+以的圖象，

???函數(shù)y=/⑺在區(qū)間&乎）上單調(diào)遞增，

T処nnn

以

即

所>->-①

----

24234

nnn

+-<+<

3X--

4444

處nn

+->

--

4231^

以

解得

所+<<+-②

---3--

絲n24k33

TT

+--

4.42

由①②可得3W(0尚U[1/3j,

故答案為：3€(*]U[|/3j.

【變式2-1]4.(2023?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測)將函數(shù)/(x)=cos2x的圖象向右平陰個

單位長度后，再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的丄(3>1),得到函數(shù)g(x)的圖

(1)

象，若在區(qū)間[0JI)內(nèi)有5個零點,則3的取值范圍是()

A23〉,29D23,729

12121212

r29.,35K29,,35

C.一<(JI)<一D.—<o)<一

12121212

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可得g(x)=C0S(23X-f,再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象

可得?<2am-上等，求解即可.

【詳解】將函數(shù)/G)=cos2%的圖象向右平移W個單位長度，得到/[-2)=cos[2(x-

]]=cos(2x-5的圖象，

再將所得圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的5(3>1),得到函數(shù)g(x)=COS(2s-以的

圖象.

xG[O,TT)時,2a)x—G[—；,23TT—,

y=cosx在y軸右方的零點為x=?當，.，T，?，等，”.

因為函數(shù)g(x)的圖象在區(qū)間[O,TT)內(nèi)有5個零點，

所以費<23TT—]W手，解得"<0;<g.

故選:D.

題型3對稱軸與3取值范圍問題

屮，.卜、r則?1王?6、、、

三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為5,相鄰的對稱軸和對

稱中心之間的“水平間隔"為]也就是說，我們可以根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究其周期

性，進而可以研究3的取值。

【例題3］（2023秋?福建福州?高三統(tǒng)考開學考試）若定義在R上的函數(shù)f（x）=sinwx+

COS3X（3>0）的圖象在區(qū)間［0,加上恰有5條對稱軸，則3的取值范圍為（）

A?空9B.停用C.［鍔）D.［碧）

【答案】A

【分析】求出函數(shù)的對稱軸方程為X=空処,kEZ,原題等價于0<怨MWTT有5個整

4a）43

數(shù)k符合，解不等式4X4+1<46）<4X5+1即得解.

【詳解】由已知，（）伝（

fx=in3%+'

令3%+-=fcn+-；kEZ得無=,kEZ,

42t43""一

依題意知，有5個整數(shù)k滿足0<華妙Wn,即0W4k+1W43,

4co

所以k=0,1,2,3,4，則4X4+1W4o）<4x5+1,故?S?m，

故選：A.

【變式3-1］1.（2022秋廣東深圳?高三?？茧A段練習）已知函數(shù)/"（x）=sin（3%+9（3>0）

在區(qū)間［0,川上有且僅有4條對稱軸，則下列四個結(jié)論正確的是（）

A./（x）在區(qū)間（0,n）上有且僅有3個不同的零點

B.正）的最小正周期可能置

C.3的取值范圍是樣片）

D.f（x）在區(qū)間（0,自上單調(diào)遞增

【答案】C

【分析】根據(jù)已知，利用整體代換技巧以及三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解判斷.

【詳解】因為函數(shù)/（X）=sin（3X+9（3>0）在區(qū)間［0,TT］上有且僅有4條對稱軸，

所以04月￥5有4個整數(shù)k符合，

由04^2115得，o<^^<l,0<l+4/c<4(o,

則k=0,123,所以1+4X3443<1+4x4,所以％3守,故C正確；

對于A,當xe(0,n),a)x+EG/3TT+,因為曰,所以3n+之W(9患)<

當5+滬糖,陰時，/(x)在區(qū)間(0,n)上有且僅有3個不同的零點，

當s+旨K，引時，/(X)在區(qū)間(0,TT)上有且僅有4個不同的零點，故A錯誤；

對于B,周期T=空，因為白43<匕則《<丄44，所以芻VT4冷

O)44176)131713

因為江偌圖，故B錯誤;

對于D,當xe(0送),3X+"&患+：)<因為上31,

所以*+*雷,智)，因為智W,所以/(X)在區(qū)間(0,白上不一定單調(diào)遞增，故D錯誤.

故選：C.

【變式3-1]2.(2023?廣東深圳??？家荒?將函數(shù)y=sin(2%+§的圖像上所有點的縱

坐標保持不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼乃?eN*)倍后，所得函數(shù)gQ)的圖像在區(qū)間(0,TT)上有目

3

僅有兩條對稱軸和兩個對稱中心，則3的值為.

【答案】2

【分析】先求函數(shù)g(x)的解析式，畫出大致圖像，再結(jié)合已知條件即可求出3的值.

【詳解】由題可知g(x)=sin(2x=sin(a)x+；).

因為xe(0,n),所以3x+Ee偉3n+g).

所以y=sinx,xe(或311)的圖像大致如圖所示,

2兀5n3Kx

要使g(x)的圖像在區(qū)間(0,TI)上有且僅有兩條對稱軸和兩個對稱中心,

則2TT<3TT+^<^,解得三<(i><^,

因為3GN*,所以3=2.

故答案為：2

【變式3-1]3.(2023秋?浙江?高三浙江省普陀中學校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)“支)=

2COS+9(3>0),若/(x)在區(qū)間[0，m內(nèi)有且僅有3個零點和3條對稱軸，則3的取

值范圍是()

A?(謂B.燈片C.R則D.(消

【答案】A

【分析】利用整體換元法,結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】函數(shù)/'(x)=2cos(a)x+?)(3>0).

當XG[O,TI)時,令1=O)X+],則t6,

若f(%)在[0,m有且僅有3個零點和3條對稱軸，

則y=2cost在te[23n+5有且僅有3個零點和3條對稱軸，

則3TT<3TI+—<-IT,解得“<CO<—.

6263

故選：A.

題型4對稱中心與3取值范圍問題

*卜塾重點

三角函數(shù)的對稱軸比經(jīng)過圖象的最高點或最低點，函數(shù)的對稱中心就是其圖象與X軸的交點

（零點），也就是說我們可以利用函數(shù)的最值、零點之間的“差距”來確定其周期，進而可

以確定3的取值.

【例題4]（2020秋?陜西寶雞?高三?？茧A段練習）已知函數(shù)/（x）=sin（3Y+-）（3>0）的

圖象的一個對稱中心為頂,0），且/'（力=]貝必的最小值為

A.-B.1C.-D.2

33

【答案】A

【分析】由函數(shù)圖象的對稱中心為償,o）列方程，由/■（9=g整理出方程并求解，聯(lián)立方

程組表示出3,結(jié)合kGZ及3>0得到3的范圍，從而求解.

【詳解】因為函數(shù)/0）=/3工+0）（3>0）的圖象的一個對稱中心為《，0），所以

/Q）=0,整理得：sin（3/+0）=0,

所以3]+。=kn（kEz）,

又/（9=9'即：sin（3?+0）=J

所以3?+0=2自尢+€z）或3：+（/）=241兀+譬（k￡z）

co]+0=kn（kEz）

=2/Ci7T+?（k6Z）得：3=4（/c-2fcx）-|>y,

（co>0

co-+0=kn（kEz）

3?（p=2比兀+<&ez）得:3=4（卜一2后）一日之|,

{co>0

所以的最小值為g

故選A

【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)性質(zhì)，及解三角方程，注意kez及3>0這個要求

【變式4-1]1.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/⑺=3tan償+或（3>0）的圖

象的兩個相鄰對稱中心之間的距離為m，則3=（）

4

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)得出7==,繼而由周期公式得出3.

【詳解】解:設(shè)/⑺的最小正周期為T,由函數(shù)"X)=3tan管+以(3>0)的圖象上相

鄰兩

個對稱中心之間的距離為》，知￡=,7=9

4242

又因為7=気所以]=著，即気=?=2,則3=4.

222

故選：B.

【變式4-1]2.(2022?四川綿陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)若存在實數(shù)se(-=,0),使得函數(shù)y=

sin(g+勺(3>0)的圖象的一個對稱中心為?,0),則3的取值范圍為()

A.出+8)B.&1)

C.&+8)D.[l,g

【答案】C

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的對稱性逬行求解即可.

【詳解】由于函數(shù)y=sin(3x+5(a>0)的圖象的一個對稱中心為0),所以3伊+==

,Jin

eZ),所以0=,

(i)

.TT

由于we(—泉0),則一5cm<0,

(kn<^(k<]

因為3>0,所以可得：13>-2k+|>0=13>-2k+[=3>]

IfcezIkeZ

故選：C

【變式4-1]3.(2023?四川成都?川大附中?？寄M預(yù)測)已知函數(shù)"%)=

2岳OS3XSin(3X+》的圖象在?上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，則實數(shù)3的取值范

圍為

【答案】(-斗，-爭U空斗)

【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和二倍角公式化簡/(X)，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸和對稱中

心可求岀結(jié)果.

【詳解】/(%)=2V2cos6)xsin(o>x+：)=2&cos3x(sin3xcos；+coscoxsin

=sin2wx+cos2wx+1=&sin(23尤+；)+1,

當3=。時，f(X)為常數(shù)，不合題意，

當3>0,OWxW丄時，2a)x+-<0)+-,

2444

要使f(x)在［o*］上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，

則nW3+2<4,即邛33<?，

4244

當3<0,0<%<-時，3+2工2a)x4--<-,

2444

要使/(X)在"曰上恰有一條對稱軸和一個對稱中心，

則-TT<?+即一任<3W-処.

4244

故答案為：(-斗，-爭U弓冷).

題型5零點與3取值范圍問題

一車F劃t點

已知三角函數(shù)的零點個數(shù)問題求3的取值范圍

對于區(qū)間長度為定值的動區(qū)間，若區(qū)間上至少含有k個零點，需要確定含有k個零點的區(qū)

間長度，一般和周期相關(guān)，若在在區(qū)間至多含有k個零點，需要確定包含k+1個零點的區(qū)

間長度的最小值.

【例題5】2023秋?山西大同?高三統(tǒng)考開學考試舊知函數(shù)f(x)=2cos(3%+R)(3>0,0<

<P<TT)的最小正周期為T,若f(T)=V3,且〃x)在區(qū)間［0,1］上恰有3個零點，則3的取值范

圍是()

A席制B.段等)C.缺，陰D.摟芳)

【答案】D

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期公式和f(7)=6求出3=2，再根據(jù)余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.

O

【詳解】由題意f(x)=2cos(3尤+9)(3>0,0<w<n)的最小正周期為T,則7=—,

(1)

又/(T)=V3,可得COS(3x+<P)=y,即COSW=y,

又0<s<n,所以W=B，

o

f(x)=2cos(3X+?在區(qū)間[0,1]上恰有3個零點，

o

當X6[0,1]時，3X+]E+勺，

ooo

結(jié)合函數(shù)y=cos'的圖象如圖所示：

2.

則y=cosx在原點右側(cè)的零點依次為‘冷，野，?，…，

所以苧S3+,<g,解得m<3<等<即3的取值范圍為[與，等).

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)余弦函數(shù)的圖象求解是解題關(guān)鍵.

【變式5-1]1.(2023秋?河南洛陽?高三伊川縣第一高中校聯(lián)考開學考試)已知函數(shù)f(x)=

sin即+f3>0)在(0,以上沒有零點，貝!I。的取值范圍是()

A.(0,l]B.(0,|]C.(0,|)D.(|,1)

【答案】B

【分析】先由x6(0與得5++根據(jù)題意得詈+詳元，進而可得出的取值

范圍.

【詳解】因為Xe(o,2),所以3X+Te&際+)

因為/⑺在(0彳)上沒有零點，所以詈+上五，解得“士?

又因為3>0,所以0<3W

故選：B

【變式5-1]2.(2022?全國?高三專題練習)已知函數(shù)f(x)=sin(wx+w)(3>0"CR)

在區(qū)間管考)上單調(diào)，且滿足/管)=-/(?)-

(1)若/償一x)=f(x),則函數(shù)/⑺的最小正周期為

(2)若函數(shù)/(x)在區(qū)間詈，詈)上恰有5個零點，則3的取值范圍為

【答案】n!<co<3

【分析】(1)由題可得f(x)對稱中心，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件判斷3的大概取值范圍，

再結(jié)合條件可得函數(shù)的對稱軸即可得到3的值從而得岀最小正周期；

(2)根據(jù)函數(shù)的對稱中心及3的大概取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象可得:+27'〈等W

OO

與+|r,從而解出.

【詳解】因為函數(shù)/⑺=Sin3x+0)在區(qū)間管用上單調(diào)，且滿足(管)=-f,

.?/(X)對稱中心為(g,o),

代入可得§3+卬=kill,爲€Z,①

?"(X)在區(qū)間管冷)上單調(diào)，且/⑺對稱中心為償,0),

口.,-5n----2n-=n--2-n---n-——n<—7n

636‘36212’

.??/(X)在區(qū)間頂,扌)上單調(diào)，

.7'5nTTnT、27r

>-----=—,/>一

2-623'—3

.-.0<O)<3.

(1)"償—x)=/(x),

"(X)關(guān)于X=瑞對稱,代入可得居3+中=5+…，的eZ,②

①-②可得T+女汽,fc6Z,即3=—2+4k,k6Z,又0<3W3,

.'.co=2,7=*=TT；

(2)"(x)對稱中心為(9,0),?/(?)=0,

"(X)在區(qū)間詈，詈)上恰有5個零點，

."G)相鄰兩個零點之間的距離為3，五個零點之間即27,六個零點之間即：T,

二只需多+27<等三千+)即可，

3o5L

所以I<3W?，又1O<3w3,

O

■-3<口43?

故答案為：TT；?<3W3.

【變式5-1］3,(2022秋?山東臨沂?高三?？计谀?若函數(shù)/⑺=2sin(s-=)+1(3>0)

在［0,川上恰有三個零點，則()

A.3的取值范圍為［2,個)

B.f(x)在［0,川上恰有兩個極大值點

C./(x)在［0,手上有極大值點

D./(x)在［。目上單調(diào)遞增

【答案】AD

【分析】利用整體代換先求出3X-2在區(qū)間［0,川上的取值范圍，再根據(jù)零點個數(shù)可求得3的

取值范圍，可判斷A；根據(jù)極值點定義可得/?(》)在em的極值點個數(shù)是由3的取值決定的，

可能有一個也可能有兩個即可判斷B；同理/(x)在",畳上可能有極大值點，也可能沒有，即

C錯誤；由x=?時，三等.<M可得/CO在［。吟］上單調(diào)遞增可判斷D.

【詳解】由題可知，xe［0,用時，5--［一9?一］,

oLooj

若函數(shù)/(%)=2sin(3X-J+1(3＞0)在[O,TT]上恰有三個零點，根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)可

知當W3TT—?＜等解得2s3V當，即選項A正確；

由243＜當可知，當2W3s類寸，半W加一上[,此時/'(X)在[0用上只有1個極大

336oZ

值點，

當*3〈弓時，苧＜3*?＜等J(X)在[0用上恰有兩個極大值點；所以B錯誤；

當“押，=7二＜彳，

不妨取3=2,此時詈-合,即當X6[0用時，3X-]e[-輔],由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)

可知f(x)在[0用上沒有極大值點；即C錯誤;

、1，TT_inconn7n-7-711n

當x=Zn時/W"一"石，而五＜5，

所以當久e[o用時，3-雜卜,詈-丁由正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知/(%)在?上單調(diào)遞

增，即D正確；

故選：AD.

【變式5-1]4.(2023?上海?高三專題練習)若存在實數(shù)w,使函數(shù)f(x)=cos(o)%+租)-

13＞0)在乂G[n,3n]上有且僅有2個零點,則3的取值范圍為

【答案】/

【分析】利用y=COSX的圖像與性質(zhì),直接求出函數(shù)f(x)的零點，再利用題設(shè)條件建立不等

<p+2/cn———<p+2kTt__.—^――4p+2kT(cp+Zfcn...,,__

關(guān)s系二-------二一<2n且旦」------比—>2n,從而求1X出結(jié)果.

3333

【詳解】因為/(%)=cos(tox+(p)-1(co>0),由/(%)=0，得到cos(3%+(/?)=|,

所以s+0=5+2fcn(/c6Z)或3%+p=-1+2kx(k6Z),

--<p+2kn一、亠-?-<P+2fcn_

所以無=-------(kEZ)或X=-----------(々€Z),

(i)(i)

又因為存在實數(shù)w，使函數(shù)f(x)在XGE，3m上有且僅有2個零點，所以

_匸二42Tx且工^—丄竺>2n,即工42Tl且工>2n,解得i3<

3333333

5

3,

故答案為：!<a)<|

【變式5-1]5.(2023.全國?高三專題練習)設(shè)36R,函數(shù)/(%)=

psm(Wx+-),x>。，。(乃=若/(X)在(_上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)與g(%)的圖

2

l|x+4?jx+j,x<0,\32丿

象有三個交點，貝!|3的取值范圍是()

A.開B.(氣

C.彊)D.K，0)U/

【答案】B

n(D7T7T

T+6-I

一詈三心，從而可

2sin->i

{62

求得f(x)在(-上單調(diào)遞增這個條件3的范圍再根據(jù)函數(shù)/'(X)與g(x)的圖象有三個交點,

則在x6(-8,0)上函數(shù)/0)與9(%)的圖象有兩個交點，即方程3/+6s:+1=0在xG

(-8,0)上有兩個不同的實數(shù)根，從而可得第二個條件下的3的范圍，取交集即可得出答案，

注意說明x>0時，函數(shù)八x)與g(x)的圖象只有一個交點.

【詳解】解：當xe|o,5時，3x+'e玲詈+?)，

因為/Xx)在(-K)上單調(diào)遞增，

fno)nn

-------r--V-

26~2

所以《一等三一；解得W3W|,

2sin->i

I62

又因函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個交點，

所以在xG(-8,0)上函數(shù)，0)與9。)的圖象有兩個交點，

即方程|"+4a)x+j=3X在xG(-co,0)上有兩個不同的實數(shù)根，

即方程3/+6ax+1=。在xG(-8,0)上有兩個不同的實數(shù)根，

(A=36OJ2-12>0

所以L-3<0，解得3>手，

x02+6(ox0+1>0

當3e爲]時,

當x>0時，令/'(x)-g(x)=2sin(cox+^-a)x,

由/(x)-9(x)=1>0,

當3X+￡=鄂寸，3X=g,

此時,/(x)-g[x}=2-y<0,

結(jié)合圖象，所以x>0時，函數(shù)/(%)與。(尤)的圖象只有一個交點,

綜上所述，“6(日,|].

故選：B.

【變式5-1]6.（2020?全國?高三專題練習）函數(shù)“無）=號二+cos?等，且3>]久eR,

若/Q）的圖像在％e（3n,4TT）內(nèi)與久軸無交點，則3的取值范圍是.

【答案】玲，爲嚕，爲

【詳解】?"(?的圖像在久e(3TT,4n)內(nèi)與x軸無交點

.T

.2>71

..、sincox-1,7scV2.,，九、

?/(%)=——------FCOS2—=ysin(o)x+-)

二.一<3V1

2

?.由對稱中心可知3+^=kn

4

:.x—((kji-JkwZ

;假設(shè)在區(qū)間(3n,4TI)內(nèi)存在交點，可知<3<號一白