甘肅2024屆高三年級一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（附答案）

甘肅省一月份高考診斷考試-數(shù)學(xué)

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑,如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

參考公式:錐體的體積公式：V=^sH其中s為錐體的底面積小為錐體的高）.

0

一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的）

1.已知集合A=｛工|,B=｛川/—2工-3V0｝,則AnB=（）

量

A.[q,3）B.C.（3,+℃,）D.（-1,+cx5）

如

㈱2.若復(fù)數(shù)z滿足（3—i）z=l-2i,其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.在等差數(shù)列（2,｝中，。2兇8是方程/十優(yōu)工-8=0的兩根，若4+。6=成+1，則相的值為（）

■￡

A.-6B.-2C.2D.6

然4.眾數(shù)、平均數(shù)、中位數(shù)都描述了數(shù)據(jù)的集中趨勢，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在如圖

露所示的分布形態(tài)中，平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系是（由小到大排列）（

A.眾數(shù)〈中位數(shù)（平均數(shù)B.平均數(shù)（眾數(shù)V中位數(shù)

能

C.中位數(shù)〈平均數(shù)〈眾數(shù)D.眾數(shù)（平均數(shù)＜中位數(shù)

/+2N,?Z&0,

5.已知函數(shù)/（已=?jnx若函數(shù)g（i）=f（2）一加有3個零點，則根的取值范圍為

-----,z＞0,

x

：，+8

A.[。，多B-（T《C.D.(—8,—1)

6.已知平行四邊形ABCD,若點P是邊AD的中點，A0=3QB，直線AC與PQ相交于點M.

則整=()

C3D

A.|B.當(dāng)C-To

b>-f

7,已知sin^a+y)—sina="|■，則sin(2a-f)=)

D?-H

A.擊B.一強(qiáng)c24

25

）=」?，若才＞0,則，（工）)

B,有極小值，無極大值

A.有極大值，無極小值

D.既無極大值也無極小值

C.既有極大值又有極小值

甘肅省一月份高考診斷考試.數(shù)學(xué).第1頁（共4頁）

二：多項選擇題（本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目#

全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.已知函數(shù)“工）=A5由（23工+火）“>0,￡0>0,0〈夕〈式）在一個周期內(nèi)的圖象如圖所示，圖象與》軸

的交點為（0,點），則下列結(jié)論正確的是（）

A.f（工）的最小正周期為7ry,

B./（z）的最大值為2啡、

C.直線工=卷是/⑺圖象的一個對稱軸必、品

D./⑺在區(qū)間［一5,0］上單調(diào)遞增\\J

10.已知a>0,，>0,若。+2〃=1,則（）

A.ab的最大值為卷B.a2+房的最小值為1

21

C.1+石的最小值為8D.2。+4”的最小值為2聲

11.已知直線/過拋物線C：y2=4］的焦點F,且與拋物線C交于人（可，yl）,B（lZ2，y2）兩點，點M為C

的準(zhǔn)線與7軸的交點，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若—十工2=5,則|AB|=7

B.過C的焦點的最短弦長為4

C.當(dāng)過戶=2而切寸，直線I的傾斜角為名

D.存在2條直線Z,使得|AF|?|BM|=|BF|?|AM|成立

12.已知直三棱柱ABGAiBiQ內(nèi)接于球O,AAi=8,AB，AC,AB=AC=4,點D,E為AB,AC的

中點，點Q為側(cè)面BCGB1上一動點，且4Q=4,則下列結(jié)論正確的是（）

O

A.點A到平面AiBC的距離為下

B.存在點Q,使得CQ_L平面AiDE

C.過點D作球的截面，截面的面積最小為4n

D.點Q的軌跡長為2方

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知=+加（。>1）是奇函數(shù)，則愕=.

Q/-1

14.傳說古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓

柱的高相等圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn),在一個“圓柱容球”模型中，若球的體積為4右小

則該模型中圓柱的表面積為______.

15.如圖，點Fi*2是雙曲線Ci：\一,=1（。>0,4>0）的左、右焦點，同時也是雙\\好

曲線C?：磊一條=i的左、右頂點，過點B的直線交雙曲線a的左、右兩支fAzfUL一j

分別于A,B兩點，交雙曲線C2的右支于點M（與點&不重合），且△BF1F2r\\

與AABF2的周長之差為6,則雙曲線Ci的方程為__________?〃\

］6.某學(xué)校有A,B兩個餐廳，已知同學(xué)甲每天中午都會在這兩個餐廳中選擇一個就餐’如果甲當(dāng)天，手擇

了某個餐廳，他第二天會有60%的可能性換另一個餐廳就餐，假如笫］天甲選擇］A餐廳?如小"

天選擇A餐廳的概率P，，為?

甘肅省一月份高考診斷考試.數(shù)學(xué)?第2頁（共4頁）

四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步腺）

17.（10分）已知AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,dc,且ccosB+6cosC=~2aCOSB

（D求角B的大小；

（2）若A的角平分線交邊BC于點D,且A0=6;c=&,求邊〃.

18.（12分）如圖.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形，側(cè)棱PA_L底面ABCD,且PA=AJ3,

點E,F分別為PB,PD的中點.

（1）若平面PBCCI平面PAD=Z,證明：2_]_平面PAB；

（2）求平面AEF與平面PAB夾角的余弦值.

19.（12分）第18屆亞洲杯將于2024年1月12日在卡塔爾舉行，該比賽預(yù)計會吸引億萬球迷觀看.為了

了解某校大學(xué)生喜愛觀看足球比賽是否與性別有關(guān)，該大學(xué)記者站隨機(jī)抽取了10。名學(xué)生進(jìn)行

統(tǒng)計，其中女生喜愛觀看足球比賽的占女生人數(shù)的十,男生有10人表示不喜歡看足球比賽.

（1）完成下面2X2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，判斷能否認(rèn)為喜愛觀看足球比

賽與性別有關(guān)聯(lián)？

男女合計

喜愛看足球比賽

不喜愛看足球比賽

合計60

（2）在不喜愛觀看足球比賽的觀眾中，按性別用分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人,再從這8人中隨機(jī)抽

取2人參加校記者站的訪談節(jié)目，設(shè)抽到的男生人數(shù)為X,求X的分布列和期望.

n{ad-be)2

附：/=其中〃=a+〃+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(0+d)'

a0.10.050.010.0050.001

42.7063.8416.6357.87910.828

甘肅省一月份高考診斷考試?數(shù)學(xué)?第3頁（共4頁）

20.（12分）已知數(shù)列｛與｝的前“項和為S”，且S”=2a”-2,｛斯??！保鞘醉棡?,公差為2的等差數(shù)列

⑴求｛a?｝,｛1）?）的通項公式j(luò)

（2）若數(shù)列｛/>“）的前〃項和為了”，且不等式；1》"（3—方）對一切恒成立，求實數(shù)入的取值范圍.

21.（12分）已知函數(shù)/（x）=（x+a）ln（x+l）.

⑴當(dāng)a=2時，求曲線/（外在點（0,f（0））處的切線方程;

（2）若函數(shù)八工）一①在（0,+8）單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

22.（12分）已知橢圓C：q+〈=l（a>6>0）的離心率。=坐，短軸長為2.

a6lr乙

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點（4,2）且斜率不為［的動直線/與橢圓C交于M,N兩點，點P是直線）=丁2?上一定點，

設(shè)直線PM,PN的斜率分別為M#2,若ME為定值，求點P的坐標(biāo).

甘肅省一月份高考診斷考試.數(shù)學(xué).第4頁（共4頁）

甘肅省一月份高考診斷考試?數(shù)學(xué)參考答案

1.選AA==，4?一]}=[“7小:}，由才2—2衛(wèi)因為AM=AP+PM=Q+油一3=（1一〃）”十砂,

“義=1一i

—3V0,解得一1<尤<3,即B=(—1,3),所以Ap|B=所以《4_解得/=詔，

m<3>=[十,3).故選A.曰=/，

所以甌=］>'即登=￡t二條故選C

1—9；

2.選D因為(3—i)2=l—2i,所以n=.=

(1—2i)(3+i)_3+i—6i—2i2_1一；i,則復(fù)數(shù)z在7.選B因為sin(。+年)一sina

(3-i)(3+i)102

復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（;，—占），位于第四象限.cos(a+-^~)=-^-，所以sin(2a一t

故選D.——cos12(a+看)]=1-2COS2

3.選B因為。2，〃8是方程/+mx—8=0的兩根，所以

。2+。8'一相，。2。8=—8,△=/+32〉0.在等差數(shù)列8.選D令g(z)=9,則g'(z)小

{CLn}中，々2+〃8=“4+”6=2a5，又。4+“6=^5+1，所以

2a5=堵+1,所以。5=1，所以一根=2。5=2,所以

加=—2.故選B.

4.選A眾數(shù)是最高矩形的中點橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二e

列的中點處.因為直方圖在右邊拖尾，所以平均數(shù)大于中由/(%)=1g(l),得f(R)=g(I)+Ng'(N)=g(￡)+lnX,

位數(shù)，在第三、四列的位置，因此有眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均/'(z)=g'(z)+；=ln：+l.

數(shù).故選A.

當(dāng)上e（0,；）時，/'（工）〈0,/（工）單調(diào)遞減；當(dāng)

5.選B當(dāng)iW。時，/（i）=/+2］,

當(dāng)丁￡（一8,—1）時，"l）單調(diào)遞減；

（/，+8）時,/（力>o,/（z）單調(diào)遞增.所以/（x）mn=

當(dāng)久￡（—1,0）時，/（1）單調(diào)遞增.

所以當(dāng)1W。時"（X）min=/（—1）=一Ld）=g（十）+丘：=0,所以f（z）>0,所以/（z）在

rz、In1、1Inoc

當(dāng)x>0時，/（%）=——，貝rIf（力）=——一，

其芷（0,+8）上單調(diào)遞增，所以/（了）既無極大值也無極小值.

當(dāng)（0,e）時，-（］）〉0,函數(shù)/（無）單調(diào)遞增；9.選ABD設(shè)/（1）=Asin（2公r+0（A〉0,3>0,0<yC7r）的

當(dāng)iG（e,+8）時，（］）V0,函數(shù)/（］）單調(diào)遞減.最小正周期為T,

所以當(dāng)文>0時"（i）max="e）由圖象可知些一金二白,解得T=n,A正確；

ee

畫出函數(shù)/'（%）的圖象如圖所示：因為s>0,所以23=爺=2,解得s=l,

故f（1）=Asin（2j：+a）.

將（自㈤代入解析式得小山（看+鄉(xiāng)）=人，

因為0〈卬〈兀,所以（p=-^-.

因為函數(shù)/（%）經(jīng)過點（0,石），所以Asin1~=VJ,故A=2,

"x）的最大值為2,B正確；

由上述分析知/（I）=2sin（2］十個），當(dāng)久=，時，21+

由圖可知一l<Cm<C—.

e年=2",點償,0）是函數(shù)小）的對稱中心，

所以利的取值范圍為(一1,一~).故選B.

直線z=萼不是對稱軸，C錯誤；

-->--?--?A---

6.選C設(shè)AP=a,AQ=b,則AC=2a+至b,尸Q=b—a.

當(dāng)"：e］一?。］時，2.工+^e］—等,號］,

i^AM=XAC,PM=lLlPQ,

,,4因為，=sinz在］—告，件］上單調(diào)遞增，故”工〉在區(qū)間

貝IAM=2Ati+后—/b,

一年,o］上單調(diào)遞增，D正確.故選ABD.

PM=fjb—a.

1

以A為原點，AB,AC,AAj所在直線為軸建系

10.選ACD對于A,由2ab=a-，即

(圖略)，則C(0,4,0),D(2,0,0),E(0,2,0),Ai(0,0,

—

,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,且CL+2b=1,即a=,b—8)，設(shè)Q(/,4一入，〃)，則CQ=(A,A,平面AiDE的

oN4

時，取等號，所以A正確；法向量為〃=(4,4,1),CQ與法向量冷不平行，所以不存

對于B,因為滔+"=(1—26)2+52=5*—妨+1=在點Q,使得CQ,平面&DE,B錯誤；

56-4+小，當(dāng)且僅當(dāng)6==時，。2+*取到最小三棱柱的外接球。即為以AB,AC,AAi為鄰邊的長方

體的外接球，當(dāng)0。與過點D的截面垂直時，截面的面

值自，所以B錯誤；積最小，

5

球心。后,同,則過點。作球的

對于C,由2+]=(a+26)f—+=4+致+()0(2,2,4),0=240=2

截面，截面半徑的最小值為，(2而2—(2&=2,所以

4+271=8,當(dāng)且僅當(dāng)妝=R，且。+26=1,即a=W",

截面的面積最小為4n,C正確；

ab2

6=；時，取等號，所以C正確；過點Ai作A1H±B1C1于H(圖略)，則AxH=2#,

HQ=，AiQ2—AiH?=716-8=272,

對于D,于+心》2,2a-46=2,2°+26=2，§■，當(dāng)且僅當(dāng)

則點Q的軌跡是以點H為圓心，2四為半徑的一段圓

a=26,且a+26=1,即。=；,6=；時，取等號，所以D

弧，其圓心角為"，點Q的軌跡長即為2-Jin,D正確.

正確.故選ACD.13.解析：由函數(shù)/(%)=與二+相，可得/(一?=:1

11.選AB由拋物線的定義可得|AB|=|AF|+|BF|=alQ"-1

,1,

心+12+夕=5+2=7,故A正確；~rm=-------rm.

當(dāng)過拋物線C的焦點且與n軸垂直時弦長最短，此時弦ax-l

長為4,故B正確；因為/(])是奇函數(shù)，所以/(￡)+/(—1)=0,即上一；

設(shè)直線I的方程為i=my+l,ax—1

,fjc—my^r1,

由24得yo2—4my—4=0,于是得+)2=~\~m——--+加=0,解得m——

[*=4%,

4加，^22=-4,答案：一;

當(dāng)AF=2FB時,yi=-2丁2，而丁1+丁2=4利，

14.解析：設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,母線長為2R.

?1)2=—4,解得y

2則球的體積為*TTR3=4倡"，所以R=4^.

傾斜角不是件，故C錯誤;

所以圓柱表面積為27rR2+2"RX2R=6xR2=18K.

由F(l,0),M(—1,0),則|AF|=1(4—I"+黃=答案：18元

d(加了]+11]"+貴=，(]+蘇)賢,15.解析：因為△BF/z與/1ABF2的周長之差為6,所以

\BF\+\FF\-\AB\-\AF\=\FF\-C\AF\

|BF|=1(乃一l1+j/g二[(加及+-1)2+受1122122

一|AFi|)=2c—2a=6.

(1+m2)3^2,

又點Fi，F(xiàn)?是雙曲線C?：、一[=1的左、右頂點，所

|AM|=J(i]+])2+*4a"4〃

2

(1+m)3；i+4mj/1+4,以c=2a,所以a=3,c=6,6=39，

IBMI=J(攵2+1)2+>所以雙曲線G的方程為卷一務(wù)=1.

=[(1+序)yg+4利丁2+4，

答案?上一式=1

由1陰?IM=|BF)?\AM\，則(周『=(篇)1

16.解析：若甲在第(〃一1)天選擇了A餐廳，那么在第71天

yl(1+m2)江+4加s+4

可得號化簡可得(根切？2+有40%的可能性選擇A餐廳，

(1+m2+4a?2+4

若甲在第"一1)天選擇了B餐廳，那么在第"天有

V1+)2)(V1—、2)=°，

60%的可能性選擇A餐廳.

由yiWy2,則根)1及+)1+)2=0,將丁1+)2=4利，

yi?2=-4代入，則一4m+4m=0恒成立，故D錯誤.所以第〃天選擇A餐廳的概率

故選AB.Pn=0.4PLi+。.6(1—Pn—1)(n^2N*),

12.選ACD設(shè)點A到平面ABC的距離為人因為Pn=~0.2PLi+0.6,所以P?-0.5=-0.2(P?_1-0.5).

VA-A]BC=VA]-ABC，所以｝SaA]BC*=^/\ABC,又由題意得，Pi=1,所以｛P〃一0.5｝是以0.5為首項，

-0.2為公比的等比數(shù)列，

AAi,S△鈿c=8,AAi8,SAA1BC=24,所以九=,即所以P〃一0.5=0.5X(—0.2)〃T,

所以P*=0.5+0.5X(-0.2)”T.

點A到平面A/C的距離為5，A正確；

答案：0.5+0.5X(—0.2)"T

2

17.解：(1)因為AE(0,兀)，所以sinA>0.19.解：（1）由題意得2X2列聯(lián)表:

由正弦定理可得一2cosBsinA=sinCeosB+sinBcosC男女合計

=sin(B+C)=sinA,

喜愛看足球比賽501060

（2分）

所以cosB=一：.2分

不喜愛看足球比賽103040

又BC(0,及)，故B=-^.4分合計6040100

4n零假設(shè)為Ho：喜愛觀看足球比賽與性別無關(guān)聯(lián).

(2)在△ABD中根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得

100X(50X30—10X10)2_1225

所以sin/ADB=*^=§,心34.028>

6分60X40M60X4036

/\LyZ

10.828=20.0()1.4分

根據(jù)小概率值Q=0.001的獨立性檢驗，推斷Ho不成

立，即認(rèn)為喜愛觀看足球比賽與性別有關(guān)聯(lián).5分

4（2）按照分層隨機(jī)抽樣的方式抽取8人，其中男生2人,

結(jié)合B=^，所以/ADB=于,女生6人，......-........6分

則X的可能取值為0,1,2,7分

所以NBAD=/DAC=考,(x=i)=譬T

91

所以/ACB=/BAC=*'8分C11

P（X=2）=|=羽,10分

所以△ABC是等腰三角形，且a=c

所以X的分布列為

所以b=2acos==氓.10分

6X012

18.解：（1）證明：因為平面平面153111分

7

PBC,所以AD〃平面PBC...................--…:2分2828

又因為平面平面平面

PBCCIPA_D=/,ADUPAD,E(X)=OX11+1X~|~+2XX12分

Zo/ZoN

所以AD//1.---------------------------------：3分

20.解：(1)當(dāng)1時，即=2<2]—2,解得即=2.1分

因為PA_L底面ABCD,ADU平面ABCD,所以AD±PA.

當(dāng)時,Sn=2an—2,Sn_i=1<2?-i—2,

又因為AD±AB,ABAFA=A,

兩式相減得=2a〃一2a,-----------2分

所以AD_L平面PAB.---------5分

即工=2（"，2）,所以｛為｝是首項、公比均為2的等

所以Z_L平面PAB.------------6分a乳一1

（2）由（1）知,AB,AD,AP兩兩相互垂直，如圖，以點A比數(shù)列，故?！?2".4分

2n—12n—1

為坐標(biāo)原點，AB,AD,AP所在直線分別為X軸、了軸、又?與=2〃-1,故與=6分

a.2n.

n軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=2,則A（0,0,0）,

/r>\I_2Tl1?r-ry_1I3I5

(2)幻=-^―,則T=y+^-+^-，①

B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(l,0,l),F(0,l,l),n+…2n

AE=(1,O,1),AF=(O,1,1).7分11Q5?w—1

習(xí)+尹+…+1'②7分

設(shè)平面AEF的一個法向量為,

AE?町=0,①一②，得=：+2/2-1

X~\-Z—Q9

即?則./+…+S2"1

y+z=O.

[AF?町=0,272-1_32〃+3

令尤=1,貝可y=1,T+"2"T2〃+i22〃+]9

町一2〃+3

=(1,1,1),9分所以T〃=3一9分

2〃

又平面PAB的一個法向量為

不等式;—TQ對一切xGN*恒成立，

=（。，1，。），10分B

2/+3%

4即轉(zhuǎn)化為A>對一切〃GN*恒成立.

所以平面AEF與平面PAB2〃

2爐+3%

夾角的余弦值等于ICOS〈町,?2>|=令f(n)("CN*)，則Wl，10分

III?2I2〃

12n2+7/z+52n2-\-3n_-2n2+7?+5

叵12分又/(w+l)—f(n)=

73X13'2"+i2"2"+i

3

當(dāng)幾=1時)—/(k)>0；

3^2--2-^o)2(1—210)+22(―^o+4)-4+

當(dāng)九》2時，f(??+1)—/(zz)<CO,

12—々)？2(16—4io)+12(-2々)+1)-8+9死

所以/(1)</(2)>/(3?/(4?-,

1

7

貝可入》/(〃)max=/(2)=

所以實數(shù)a的取值范圍為［卷，+8).…-……--12分若為定值，則根據(jù)約分可得

」91

21.解：(1)當(dāng)a=2時"(z)=(z+2)ln(z+l),_與+4—_4+5劭口1_一5死

n-且TP4-oIA

，(z)=ln(z+l)+41,-----------------------------------1分1-JCQ16—41()-8+9為'

力十1

解得XQ=~^~----------------------------------------------------10分

/(0)=0,/(0)=2,-------------------------------------------3分

所以〃￡)在點(0,/(0))處的切線方程為y=2z.--4分

(2)令g(￡)=/(￡)—^=(x+a)ln(x+l)—x,

因為g(z)在(O,+s)單調(diào)遞增，771