應(yīng)用隨機(jī)過程課件第04章平穩(wěn)隨機(jī)過程

CH3平穩(wěn)隨機(jī)過程

3/29/20241平穩(wěn)隨機(jī)過程各態(tài)歷經(jīng)過程復(fù)隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程提綱3/29/20242平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程定義：一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，如果它的n維概率密度〔或n維分布函數(shù)〕不隨時(shí)間起點(diǎn)選擇的不同而改變，即對任何的n和，X(t)的n維概率密度滿足嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性與所選取的時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化3/29/20243平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)1：假設(shè)X(t)為平穩(wěn)過程，那么它的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)

令，有3/29/20244平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)1：X(t)的均值，均方值和方差也都是常數(shù)，不再是時(shí)間的函數(shù)3/29/20245平穩(wěn)隨機(jī)過程兩個(gè)平穩(wěn)過程的典型例子〔相同的均值與方差〕3/29/20246平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)2：平穩(wěn)過程X(t)的二維概率密度只與t1,t2的時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間起點(diǎn)t1無關(guān) 令，且，那么3/29/20247平穩(wěn)隨機(jī)過程嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)2：X(t)的自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)都僅是時(shí)間間隔的函數(shù)

當(dāng)時(shí)，3/29/20248平穩(wěn)隨機(jī)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程/廣義平穩(wěn)過程〔只在相關(guān)理論范圍內(nèi)考慮的平穩(wěn)隨機(jī)過程〕定義：假設(shè)隨機(jī)過程滿足X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)3/29/20249平穩(wěn)隨機(jī)過程寬平穩(wěn)隨機(jī)過程一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過程只要均方值有界，就是廣義平穩(wěn)的，反之那么不一定一個(gè)廣義平穩(wěn)的高斯過程必定是嚴(yán)平穩(wěn)的本書以后的內(nèi)容中，但凡提到平穩(wěn)過程時(shí)，除特別指明外，通常都指寬平穩(wěn)過程3/29/202410平穩(wěn)隨機(jī)過程例：設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過程 式中Y是隨機(jī)變量，試分別討論兩個(gè)隨機(jī)過程的平穩(wěn)性解：對于隨機(jī)過程 常數(shù)常數(shù)3/29/202411平穩(wěn)隨機(jī)過程為寬平穩(wěn)過程對于隨機(jī)過程的均值與時(shí)間有關(guān)，自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間t1,t2均有關(guān)，所以不是平穩(wěn)過程3/29/202412平穩(wěn)隨機(jī)過程例：設(shè)有狀態(tài)連續(xù)，時(shí)間離散的隨機(jī)過程 式中t只能取整數(shù)值，即t=1,2,…,式中A是在(0,1)上均勻分布的隨機(jī)變量，試討論X(t)的平穩(wěn)性解：(1)可以證明X(t)是寬平穩(wěn)的3/29/202413平穩(wěn)隨機(jī)過程 所以，X(t)是寬平穩(wěn)的(2)討論X(t)是否是嚴(yán)平穩(wěn)的 令過程的狀態(tài)為3/29/202414平穩(wěn)隨機(jī)過程 這說明，過程的一維變量x與a是雙值關(guān)系，于是求得過程的一維概率密度為 可見，X(t)的一維概率密度與時(shí)間t有關(guān)，因此X(t)只是寬平穩(wěn)的，不是嚴(yán)平穩(wěn)過程3/29/202415平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)1.平穩(wěn)過程的均方值就是自相關(guān)函數(shù)在時(shí)的非負(fù)值2.自相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù) 證：3/29/202416平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)3.自相關(guān)函數(shù)在具有最大值物理意義：同一時(shí)刻隨機(jī)過程自身的相關(guān)性最強(qiáng)注意：不排除時(shí)，也有可能出現(xiàn)同樣的最大值，如周期平穩(wěn)過程

證：任何正函數(shù)的數(shù)學(xué)期望恒為非負(fù)值，即3/29/202417平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)對于平穩(wěn)過程，有代入前式得所以3/29/202418平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)4.假設(shè)平穩(wěn)過程X(t)滿足條件X(t)=X(t+T)，那么稱它為周期平穩(wěn)過程周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必為周期函數(shù)，且它的周期與過程的周期相同證：3/29/202419平穩(wěn)隨機(jī)過程例：設(shè)隨機(jī)過程為 式中，為常數(shù)，Φ為上均勻分布的隨機(jī)變量，N(t)為一般平穩(wěn)過程，對于所有t而言，Φ與N(t)皆統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，求得其相關(guān)函數(shù)為 結(jié)論：相關(guān)函數(shù)也含有與隨機(jī)過程X(t)的周期分量相同周期的周期分量3/29/202420平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)5.不包含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足證：對于此類非周期平穩(wěn)過程，當(dāng)τ增大時(shí)，隨機(jī)變量X(t)與X(t+τ)之間相關(guān)性會減弱，在的極限情況下，兩者相互獨(dú)立，故有3/29/202421平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)6.假設(shè)平穩(wěn)過程含有平均分量〔均值〕為，那么自相關(guān)函數(shù)將含有固定分量，即 而且，假設(shè)在滿足上一性質(zhì)的條件下，那么有 證： 因此3/29/202422平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)對于非周期平穩(wěn)過程有當(dāng)，有3/29/202423平穩(wěn)隨機(jī)過程例：平穩(wěn)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為 求X(t)的均值，均方值和方差解： 式中，是X(t)的周期分量的自相關(guān)函數(shù)，此分量的均值為零，是X(t)的非周期分量的自相關(guān)函數(shù)，由性質(zhì)5可得3/29/202424平穩(wěn)隨機(jī)過程

所以，有3/29/202425平穩(wěn)隨機(jī)過程例：平穩(wěn)過程X(t)的相關(guān)函數(shù)為

求X(t)的均值解：利用性質(zhì)5得利用性質(zhì)6得3/29/202426平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)7.自相關(guān)函數(shù)必須滿足 并對所有的w都成立平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)不含有階躍函數(shù)因子，也即自相關(guān)函數(shù)曲線圖形不會出現(xiàn)平頂，垂直邊或在幅度上的任何不連續(xù)3/29/202427平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)考慮兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)，如果它們的互相關(guān)函數(shù)僅是單變量τ的函數(shù)，即 稱X(t)和Y(t)為聯(lián)合寬平穩(wěn)或?qū)捚椒€(wěn)相依3/29/202428平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)1. 注：一般而言，互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù) 證：3/29/202429平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2.

證：由上式成立，必須滿足判別式即得證3/29/202430平穩(wěn)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)3. 證：由性質(zhì)2得 因任意正數(shù)的幾何平均值小于等于它的算術(shù)平均值，故3/29/202431各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的提出研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，需要對一個(gè)過程進(jìn)行大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)或觀察，能否以一個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)觀察到的一個(gè)樣本函數(shù)作為提取整個(gè)過程數(shù)字特征的充分依據(jù)？辛欽證明：有一種〔在具備一定的補(bǔ)充條件下〕平穩(wěn)隨機(jī)過程，對其任一個(gè)樣本函數(shù)所作的各種時(shí)間平均，從概率意義上趨近于此過程的各種統(tǒng)計(jì)平均，稱之為各態(tài)歷經(jīng)過程3/29/202432各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的提出對各態(tài)歷經(jīng)過程的理解：這類過程的各個(gè)樣本函數(shù)都同樣地經(jīng)歷了整個(gè)過程的所有可能狀態(tài)，因此，從這類隨機(jī)過程的任何一個(gè)樣本函數(shù)中就能得到隨機(jī)過程的全部統(tǒng)計(jì)信息，即可以用任何一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來替代對過程的大量樣本的統(tǒng)計(jì)平均3/29/202433各態(tài)歷經(jīng)過程例：在較長時(shí)間T內(nèi)觀測一個(gè)已工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的一個(gè)噪聲二極管的輸出電壓。對其進(jìn)行采樣，對在T時(shí)間內(nèi)采得的k個(gè)電壓值進(jìn)行算術(shù)平均，求得其時(shí)間平均為3/29/202434各態(tài)歷經(jīng)過程對一個(gè)工作在穩(wěn)定狀態(tài)下的噪聲二極管，在工作條件不變的情況下，對它進(jìn)行k次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)，取出它的k個(gè)條件樣本函數(shù)，并對任一時(shí)刻的狀態(tài)的所有取值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均當(dāng)時(shí)，從概率意義上看噪聲電壓在時(shí)間上的平均值與它的統(tǒng)計(jì)平均值相等3/29/202435各態(tài)歷經(jīng)過程3/29/202436各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的定義嚴(yán)各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 如果一個(gè)隨機(jī)過程X(t)，它的各種時(shí)間平均〔時(shí)間足夠長〕以概率1收斂于相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)平均，即工程上只在相關(guān)理論的范圍內(nèi)考慮各態(tài)歷經(jīng)過程，故引入寬各態(tài)歷經(jīng)過程

3/29/202437各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的定義時(shí)間平均 1.隨機(jī)過程的時(shí)間均值 對每個(gè)樣本函數(shù)都有一個(gè)確定的時(shí)間均值，所以隨機(jī)過程的時(shí)間均值是個(gè)隨機(jī)變量3/29/202438各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的定義時(shí)間平均 2.隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān) 對每個(gè)樣本函數(shù)都有一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)，所以隨機(jī)過程的時(shí)間自相關(guān)函數(shù)是個(gè)隨機(jī)過程3/29/202439各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的定義寬各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 設(shè)X(t)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程 1.如果 以概率1成立，那么稱過程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性 2.如果 以概率1成立，那么稱過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性

3/29/202440各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)過程的定義寬各態(tài)歷經(jīng)過程的定義 3.如果過程X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性，那么稱X(t)為寬各態(tài)歷經(jīng)過程 注：“以概率1成立”是對過程X(t)的所有樣本函數(shù)來說的3/29/202441各態(tài)歷經(jīng)過程各態(tài)歷經(jīng)性的實(shí)際意義對一般隨機(jī)過程，其時(shí)間平均是個(gè)隨機(jī)變量各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時(shí)間平均趨于一個(gè)非隨機(jī)確實(shí)定量對各態(tài)歷經(jīng)過程可以直接用它的任一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均來代替對整個(gè)過程統(tǒng)計(jì)平均的研究3/29/202442各態(tài)歷經(jīng)過程例：討論隨機(jī)過程X(t)=Y的各態(tài)歷經(jīng)性，式中Y是方差不為零的隨機(jī)變量3/29/202443各態(tài)歷經(jīng)過程解：常數(shù)常數(shù) 故隨機(jī)過程X(t)為寬平穩(wěn)的 但 可見，是個(gè)隨機(jī)變量，時(shí)間均值隨Y的取值不同而變化，于是3/29/202444各態(tài)歷經(jīng)過程

所以X(t)不是寬各態(tài)歷經(jīng)過程 此例說明：平穩(wěn)過程不一定具有各態(tài)歷經(jīng)性3/29/202445復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)變量定義 其中X和Y均為實(shí)隨機(jī)變量復(fù)隨機(jī)變量Z是實(shí)隨機(jī)變量X,Y組成的二維隨機(jī)變量，Z的統(tǒng)計(jì)特性可以用X和Y的聯(lián)合概率分布完整的描述3/29/202446復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)變量Z的數(shù)學(xué)期望復(fù)隨機(jī)變量Z的方差其中Dz與Dx,Dy的關(guān)系3/29/202447復(fù)隨機(jī)過程兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的相關(guān)矩定義 其中 表示復(fù)共軛，即當(dāng)時(shí)，3/29/202448復(fù)隨機(jī)過程兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的關(guān)系假設(shè)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足 那么稱Z1,Z2統(tǒng)計(jì)獨(dú)立假設(shè)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足

或 那么稱Z1,Z2不相關(guān)3/29/202449復(fù)隨機(jī)過程兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的關(guān)系假設(shè)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)變量滿足 那么稱Z1,Z2正交3/29/202450復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程定義 其中X(t),Y(t)均為實(shí)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程Z(t)的統(tǒng)計(jì)特性可以由X(t),Y(t)得2n維聯(lián)合概率密度函數(shù)完整的描述，其概率密度為3/29/202451復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望復(fù)隨機(jī)過程的方差其中與Dx(t),Dy(t)的關(guān)系3/29/202452復(fù)隨機(jī)過程復(fù)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)復(fù)隨機(jī)過程的自協(xié)方差函數(shù)當(dāng)時(shí)，自協(xié)方差函數(shù)就是方差，即3/29/202453復(fù)隨機(jī)過程假設(shè)Z(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程3/29/202454復(fù)隨機(jī)過程兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的互協(xié)方差函數(shù)假設(shè)兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程聯(lián)合平穩(wěn)，那么3/29/202455復(fù)隨機(jī)過程兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程的關(guān)系如果對任意有 那么稱兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程互不相關(guān)如果對任意有 那么稱兩個(gè)復(fù)隨機(jī)過程正交3/29/202456復(fù)隨機(jī)過程例：隨機(jī)過程X(t)由N個(gè)復(fù)數(shù)信號之和構(gòu)成，即 式中，為角頻率〔常數(shù)〕，為第k個(gè)信號的幅度，是隨機(jī)變量，是在上均勻分布的隨機(jī)相位，現(xiàn)假設(shè)對所有變量 都是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，求X(t)的自相關(guān)函數(shù)3/29/202457復(fù)隨機(jī)過程解： 因?yàn)榻y(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以3/29/202458復(fù)隨機(jī)過程

由于 于是有3/29/202459高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程的概念如果隨機(jī)過程X(t)的任意n維概率分布都是高斯分布，那么稱它為高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程X(t)的n維概率密度函數(shù) 其中是n維矢量，是協(xié)方差矩陣3/29/202460高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程的概念其中3/29/202461高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程的概念高斯隨機(jī)過程的n維概率分布完全由均值矢量和協(xié)方差矩陣確定，且有關(guān)時(shí)間的因素，全部包含在均值矢量和協(xié)方差矩陣中3/29/202462高斯隨機(jī)過程高斯隨機(jī)過程的性質(zhì)1.高斯過程嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)是等價(jià)的 分析：寬平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程的所有均值及方差為常數(shù)，而協(xié)方差函數(shù)僅與時(shí)間差有關(guān)，因此寬平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程的n維概率密度可表示成時(shí)間差的函數(shù) 當(dāng)所有點(diǎn)沿時(shí)間軸移動一個(gè)時(shí)間常量，由于時(shí)間差