立體幾何大題綜合-2023年新高考數(shù)學(xué)（首屆新高考江西、廣西、貴州、甘肅專用）

V題03首屆新高考-立體幾何大題綜合（首屆新高考江西、

廣西、貴州、甘肅專用）

一、解答題

1.（2023?安徽亳州?安微省亳州市第一中學(xué)校考凰爍測(cè)）已知四棱錐PT5CD中,

側(cè)面“，如為等邊三角形，底面WB8為直角梯形，A8//CD,乙（BC=9O。，

BC=CD=g.4B=2,PA±BD.

（1球證：平面R1D_L平面WBCD;

（2或直線才與平面PBD所成角的正弦值.

2.（2023?湖北黃岡濡水縣第一中學(xué)?？寄；诇y(cè)）如圖，在三棱臺(tái)4&C--空C中,

AB、=2,.4_B=AC=4,AA,=CC,=-^5,BB,=3,ZJAC=—.

（i加明：平面Hxcql平面WBC；

（2）1殳。是BC的中點(diǎn)，求平面TNCC與平面4山夾角的余弦值.

3.（2023?湖」原施??？寄M蔭即如圖，在多面體H3CDE中，平面NCD，平面"C,

BE_L平面.4BC,MB。和"CD均為正三角形，AC=2.5E=$，點(diǎn)M為線段CD

上一點(diǎn).

D

(怵證：DE工AM;

jr

(2錯(cuò)EM與平面.48所成角為-,求平面4MB與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

4.(2023?山東泰安?統(tǒng)考骸測(cè))四棱錐S-.必CD中，底面WB8為矩形,

AD=?SA="SAB=6Q,ASAD=45,平面S.1D與平面SBC的交線為/一

(1球證：直線/平行于平面WBC。；

(2冰二面角的余弦值.

5.(2023?山東殿?統(tǒng)考匐物洲)如圖1,在平行四邊形4BCM中，W3=2BC=2O,

ZMLD=60。，。為CW的中點(diǎn)，/=，而=而，沿.4。將AlQ翻折到

的位置，如圖2,PF±AC.

(1)1正明：HF/平面尸即；

(2球平面P5C和平面PCD的夾角.

6.(2023?福建寧德??？记葴y(cè))如圖，已知多面體E4CBD中，E31底面HCB。,

￡5=1,.45=2,其中底面由以4B為直徑的半圓.4CB及正三角形A3D組成

E

（1浩5c=1,求證iBC"平面WDE

jif

（2泮圓AB上是否存在點(diǎn)V,使得二面角時(shí)-HE-。是直二面角話存在，求出疏：的

IJA1

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

7.（2023?福建廈門(mén)?統(tǒng)考模蛔測(cè)）箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊

形.如圖，四邊形WBCD為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為。,,4B=0,BD=5C=2,將5D

沿BD折到＞43。的位置，形成三棱錐8co.

（1球2?到平面4OC的距離；

（2片HC=1時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)尸，使得直線3/與平面POC所成角的正弦值

為:？若存在，求噌的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4AD

8.（2023?安敏合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄；诇y(cè)）如圖所示的幾何體是圓柱的一部分,

它是由矩形WB8（及其內(nèi)部）以邊.4D所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),得到的，￡是取的

（D設(shè)N是詼上的一點(diǎn)，且⑷V_LCD,求乙F￡W的大小：

（2心.45=2,3=4時(shí)，求二面角（:一兒壯一尸的余弦值.

9.（2023?遼寧,遼寧殆中學(xué)?？假雬好8測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中X3_.4Q,

（1底線段CD上找出點(diǎn)尸，將四邊形如迎沿時(shí)翻折，形成幾何體4班-。仃\若

無(wú)論二面角H-E尸-5多大，都能夠使得幾何體H'BE-OCF為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)尸的具

體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）.

（2底（D的條件下，若二面角H-Er-3為直二面角，求棱臺(tái)4班-DCF的體積，

并求出此時(shí)二面角B-HO-E的余弦值.

??

10.（2023山西校聯(lián)考闡爍測(cè)）如圖，斜四棱柱X38-型1G9的底面.的。為等

腰梯形，旦-空'/8,點(diǎn)4在底面的射影點(diǎn)。在四邊形-出a內(nèi)部，目

AD=BC=CD=AA1=2,AB—4,AO=1,e4X5C.

（1球證：平面.1881平面ACCH；

（2底線段BQ上是否存在一點(diǎn)“，使得平面MBC與平面.458夾角的余弦值為尊，

若存在，求言的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

11.（2023?河北?統(tǒng)考?；诇y(cè)）在圓柱。。：中，等腰梯形W38為底面圓。的內(nèi)接四

邊形，目AD=DC=8C=1,矩形W8FE是該圓柱的軸截面，CG為圓柱的一條母線,

CG=1.

（1冰證：平面QCG〃平面4DE；

（2）1殳而=N詼，2e[0,l],試確定火的值，使得直線心與平面W5G所成角的正弦值

為媽.

35

12.（2023?湖南長(zhǎng)沙?長(zhǎng)郡中學(xué)?？假霠q測(cè)）如圖，在直角梯形.45CD中，WD”BC,

ADLCD,四邊形CDE尸為平行四邊形，對(duì)角線CE和。尸相交于點(diǎn)A,平面CDEF_L

平面.458,BC=2AD,ZDCF=60“，G是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.

（1片點(diǎn)G為線段BE的中點(diǎn)時(shí)，證明：XG"平面CDEF;

（2港XD=LCD=DE=2,且直線QG與平面CDE尸成45角，求二面角E-QG-尸的

正弦值.

13.（2023?廣東候山?華南師大附中南海實(shí)聆高中?？级鴾y(cè)）如圖，在四棱錐

P-ABCD中，AB"CD,ABLAD,BC=CD=2AB=2,E為PC中點(diǎn).

（1電棱PD上是否存在點(diǎn)2,使得八。//平面EBD?說(shuō)明理由；

（2錯(cuò)PC，平面RLD,PC=PD,求平面PAD與平面E4B所成角的余弦值.

14.（2023?廣東廣州?廣州六中校考三模）四棱錐P-ABCD中，WD〃5C,

AB=AD=2BC=2,ZABC=60°,PA±CD,PD_L/C,點(diǎn)E是棱PD上靠近點(diǎn)尸的

三等分點(diǎn).

（戊正明：R4J■平面.第8

（2浩平面R1C與平面與C的夾角的余弦值為巖，求四棱錐P-一麗的體積.

15.（2023?廣東深圳?深圳中學(xué)?？寄；诇y(cè)）如圖，5c且3=2BC,.4D±CD,

EG//'Dg,EG=￡D,CD〃/U且CD=22DGJ■平面.138,DA=DC=DG=2.

（1球平面ESC與平面8C尸的夾角的正弦值；

（2港點(diǎn)尸在線段DG上，且直線8尸與平面3GE所成的角為60。，求線段DP的長(zhǎng).

16.（2023?廣東深圳?統(tǒng)考?；诇y(cè)）在正三角形A5C中，E、尸、尸分別是-,45、-UC、

5c邊上的點(diǎn)，滿足.4：EB=CF：E4=CP：PB=1:2（如圖1）.將△/￡??沿時(shí)折

起到所的位置，使二面角即-3成直二面角，連結(jié)（如圖2）

（1球證：嚴(yán)〃平面同砂；

（2或證：4EJ_平面3日；

（3球直線AE與平面.《BP所成角的大小.

17.（2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模）如圖，已知在平面四邊形中，J5=5C=2,

AC=CD=①,乙18=90°,現(xiàn)將UBC沿XC翻折到"4C的位置，使得也＞=2.

（I球證：平面RLDJL平面HCD；

（2）點(diǎn),H在線段CD上，當(dāng)二面角M-WP-D的大小為J時(shí)，確定￡點(diǎn)的位置.

0

18.(2023?江蘇常州?江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)?？嫉隍釡y(cè)》如圖，在三棱臺(tái).45C_.43￡

中，BB.=5C.=C,C=1BC=2,ABJLBC,平面其8_L平面BB,C,C.

(1)證明：43工平面班6。；

(2港二面角B-CC-A的大小是:，求側(cè)面與底面WBC所成二面角的正弦值.

0

19.(2023?江蘇蘇州?翱取海)在如圖所示的圓錐中，已知尸為圓錐的頂點(diǎn)，。為底面

的圓心，其母線長(zhǎng)為6,邊長(zhǎng)為的等邊dLBC內(nèi)接于圓錐底面，麗=2而且

(1)1正明：平面D3CJ-平面ZU。;

(2期E為AB中點(diǎn)，射線OE與底面圓周交于點(diǎn)A/,當(dāng)二面角H-C的余弦值為看

時(shí)，求點(diǎn)”到平面58的距離.

20.(2023?遼寧沈陽(yáng)東［倩才學(xué)校?？寄M測(cè))如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體

一出用GA中，P為線段3。上動(dòng)點(diǎn).

(1)1正明：，「"平面送瓦九

(2心直線BP與平面43CD所成的角正弦值為當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D到平面4BP的距離.

21-(2儂?江源穌題中鐘考三模)如圖，該幾何體是由等高的半個(gè)圓柱叫個(gè)

圓柱拼接而成，點(diǎn)G為邨8的中點(diǎn)，且C,E,D,G四點(diǎn)共面一

(1)證明：平面BDF_L平面BCG;

(2錯(cuò)平面尸與平面W5G所成二面角的余弦值為半，目線段長(zhǎng)度為2,求點(diǎn)G到

直線D尸的距離.

22.(2023?重慶沙坪切重慶南開(kāi)中學(xué)?？祭龍F(tuán)(測(cè))如圖所示，正三棱柱"C-H8C

中各條棱長(zhǎng)均為2,點(diǎn)時(shí),ME分別為棱AC,.3.48的中點(diǎn).

(1求異面直線MV和CE所成角的正切值；

(2球點(diǎn)B到平面MEV的距離.

23.(2023?云南?校聯(lián)考第版測(cè))如圖，正上“。是圓柱底面圓。的內(nèi)接三角形，其邊

長(zhǎng)為a.WD是圓。的直徑，2!是圓柱的母線，E是WD與BC的交點(diǎn)，圓柱的軸截面是

正方形.

C

(1圮圓柱的體積為匕，三棱錐p--的的體積為匕，求g;

(2)1殳F是線段PE上一點(diǎn)，且FE=gpF,求二面角A-FC-O的余弦值.

?

24.(2023黑龍江哈爾濱哈爾濱三中?？寄；诇y(cè))在長(zhǎng)方體-型1G。中,

-4B=BC=2CC,,點(diǎn)P為棱C。上任意一點(diǎn).

(1球證：平面皿。，1平面PBD;

(2港點(diǎn)E為棱CC上靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)P在棱C。上什么位置時(shí)，平面BDE與

平面尸如夾角的余弦值為嚕.

25.(2023?吉林長(zhǎng)春吉大附中筵學(xué)校校考而測(cè))如圖，WB是圓。的直徑，點(diǎn)C

是圓o上異于aB的點(diǎn)，直線PC一平面ABC,￡尸分別是PA,PC的中點(diǎn).

(1圮平面的與平面WBC的交線為/,證明：//平面PCB;

___1-

(2*殳(1)中的直線/與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為D,且點(diǎn)。滿足DQ=-CP.記直線股與

平面W3C所成的角為6，異面直線股與所所成的角為a,二面角E-/-C的大小為￡,

求證：sind=snasinyS.

26.(2023?江蘇?金陵中學(xué)校聯(lián)考三模)如圖，圓錐中，WE1為底面圓。的直徑，

AE=AD>al5c為底面圓。的內(nèi)接正三角形，圓錐的高。0=18,點(diǎn)尸為線段。O上

一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

（哨R?=3#時(shí)，證明：RU平面P3C；

（2心尸點(diǎn)在什么位置時(shí)，直線PE和平面P3C所成角的正弦值最大.

27.（2023?廣東深圳?校考二模）如圖1所示，等邊5L3C的邊長(zhǎng)為2a,。是巨8邊上

的高，E,尸分別是AC,3c邊的中點(diǎn).現(xiàn)將d"C沿CD折盤(pán)，如圖2所示一

（2浙會(huì)后若H3=a,求二面角A-BD-E的余弦值.

28.（2023?湖南邵陽(yáng)邵陽(yáng)市第二中學(xué)校考?；诇y(cè)）如圖，在"C中，?B90?,P

為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PDHBC交.4C于點(diǎn)D,現(xiàn)將dZU沿PD翻折至^PDA'.

Q浩PB=CB=2PD=4,fij'PUP,線段dC上是否存在一點(diǎn)E（不包括端點(diǎn)），

使得銳二面角E-M-C的余弦值為二叵，若存在求出彩的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理

14EC

由-

29.（2023?湖南衡陽(yáng)?？疾q測(cè)）如圖，AMM是等腰直角三角形，。時(shí),

四邊形4BCM是直角梯形，AB±BC,MC±BC,且4B=2BC=2CM=2,平面

.n平面43cM.

'B

(1球證：ADIBM}

(2港點(diǎn)E是線段加上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)E在何位置時(shí),三棱錐"一曲的體積為叁?

30.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考二模)已知三棱錐D-W8C中，△58是邊長(zhǎng)為3的正三角

形，，4B=4C=JD,.m與平面B8所成角的余弦值為

(怵證：3;

(2球二面角D-AC-B的平面角的正弦值.

V題03首屆新高考-立體幾何大題綜合(首屆新高考江西、

廣西、貴州、甘肅專用)

一、解答題

1.(2023?安徽亳州?安微省亳州市第一中學(xué)?？蓟藸q測(cè))已知四棱錐PT5CD中,

側(cè)面“，如為等邊三角形，底面WB8為直角梯形，A8//CD,乙(BC=9O。，

BC=CD=g.4B=2,PA±BD.

(1球證：平面R1D_L平面WBCD;

(2或直線PC與平面PBD所成角的正弦值.

【答案】(1施明見(jiàn)解析

【分析】⑴由題意，利用勾股定理逆定理證明皿上皮＞,由已知H4_LBD,證明即1

平面PAD,從而證明平面PAD_L平面;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)四棱錐P-4BCD中，ZL4BC=90c,BC=CD=g.4B=2,

則BD=JBC，+O=2^/2，.4。=^(4-2)"+2'=)AB=4,

二BD：+切=.*

二ADLBD,

又RJ_LBD,且R4cJD=4,JDu平面外￡),

平面RID,又BDu平面4B8,

二平面且灰:。/平面PAD,即平面PADJ■平面ABCD；

(2)如圖建直空間直角坐標(biāo)系，則00。0),5(0,2^2,0),^-72.72,0),P(,

111,

所以05=(0,20⑼，斤=(-2在"-&)，而=(立0,m)，

設(shè)平面尸即的法向量為F=（x,j，二），則.絲=2汐,

[nDP=^2x+46:=Q

令x=6,則二=-1，所以5=（"0,-1）,

設(shè)直線PC與平面尸即所成角為8,貝

4|PC2x48

所以直線PC與平面PBD所成角的正弦值為哈

2.（2023?湖W演岡灌水縣第一中學(xué)校考?；诇y(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中,

（1證明：平面4-4CC;l平面WBC；

（2）1殳。是BC的中點(diǎn)，求平面4-4CC與平面4W夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】3）由線面垂直證面面垂直，根據(jù)題中條件，在平面-"。中，."垂直于兩平

面的交線AC,只需再證其與平面.44CC內(nèi)的另外一條與.4C相交的直線垂直即可.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，兩平面法向量的夾角余弦值的絕對(duì)值即為平面H4CC,與平

面4山夾角的余弦值.

【詳解】（D證明:

由三棱臺(tái)乂線C--仍c知：

在梯形其￡33、中，取4B的中點(diǎn)E,連接4七，

因4旦=2,-1B=.4C=4

故,4,5,=AE,四邊形4包,是平行四邊形，

B、E=44,=下,

EB=—AB=2.BB=3

2''

所以線￡+罰=5后，

:一ZBEB、=3,即gE_LJB,

因4mA.4,,所以BA±AAf,

又因HC=g,所以AU/C,

又因必CUC一，所以加_L平面4/CC,,

因A4u平面-15C,

所以平面4/CC，平面WBC;

(2)解：

取AC的中點(diǎn)。，4C的中點(diǎn)尸，連接8,OF,則OD<!AB,

因48工/C,所以O(shè)D_LHC,

由條件知：四邊形A-4CC是等腰梯形，所以。尸_LNC,

平面A,ACC,c平面ABC=AC

OFU平面入acc,

平面44CCJL平面W5C

：.OF±^.4BC,

分別以at,OD,。尸所在直線為x軸，丁軸，二軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則在等腰梯形4.4CC中，由平面幾何知識(shí)可得：OF=/-(2-廳=2,

.?.4(20,0),25(0,2,0),4(1.0,2),石=(-2.2,0),^=(-1,0,2)

設(shè)平面*!￡＞的法向量方=(Xy.z),

,2x+2j=0

則由得

J1A.AD(-X+2;=0

令x=2,得丁=2,二=1,

所以衣=(2.21),

又平面44CC,的法向量v=(0,1,0),

設(shè)平面與平面一冬山的夾角為6

eaI必可2x12

~-J

川8s|/z|-|v|^+2+rxl~3■

3.(2023?湖1留瓶??？寄；诇y(cè)》如圖，在多面體H5CDE中，平面.4CD_L平面HBC,

5EJ＞平面4BC,dL3C和“CD均為正三角形，.4C=2,5E=J5,點(diǎn)K為線段CD

上一點(diǎn).

(1球證：DEA.AM3

(2港EA/與平面.4CD所成角為g,求平面4W3與平面ACD所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2<

【分析】（1）取.其■中點(diǎn)。，利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)證明。即可

推理作答.

（2）利用3）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解作答.

【詳解】3）取HC中點(diǎn)。，連接D。、0B,在正A.4CD和正ALBC中，AC=2,

則DO±AC,BO±AC,DO=8。=小，而平面ACDJL平面.ABC,

平面乂CDCI平面.1BC=/C,DOu平面&CD,30u平面T8C,于是8一平面.45C,

501平面4CD,

又BE_L平面zL8C,即有而DO=EB=W,因此四邊形DOBE是平行四邊

形，則。E//Q5,

從而DE1平面43C,/Afu平面ADC,

所以DE_LHM

（2）由（1）知，平面3DC,ZEWD為瓦/1與平面，DC的所成角，即乙EWD=；,

DE一出

在RtAEDM中，-那以為X中點(diǎn)，

tan—3

3

由（1）知，/。GOD兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-邛二,

顯然平面以。的一個(gè)法向量為n=（100），設(shè)平面ML3的一個(gè)法向量為元=（幾-二），

n.■AB=V^.v+j=0

,令x=l,得%=0,-退*3),

,,----..|nn,|1姮

I8S<H,%)|=='二=—/

13'

所以平面一一6與平面ACD所成銳二面角的余弦值為嚕.

4.（2023?山東泰安?統(tǒng)考博■測(cè)）四棱錐S-.括8中，底面一婚8為矩形，

4D=&,$4=2,N￡4B=60,NS4D=45,平面S.1D與平面SBC的交線為人

（1球證：直線/平行于平面.婚8；

（2球二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】3）根據(jù)題意證得.0〃平面SBC,結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理證得WD"直線

I,再由線面平行的判定定理，即可證得〃/平面.”8：

<2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)屈=（。立C）,取與的方向向量e=（0:L0）,

根據(jù)乙￡43=60,Z￡4D=45,利用向量的夾角公式，求得不=（點(diǎn),1Q,進(jìn)而求得

平面一切S和平面H器的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

【詳解】（D證明：因?yàn)榈酌?空8是矩形，可得X小加，

又因?yàn)槠矫鍿BC,BCu平面S8C,所以AD〃平面SBC,

因?yàn)?Du平面S.1D,且平面SlDc平面SBC=/,所以WD，/直線/,

又因?yàn)?<Z平面A88,4Du平面W3C。，所以〃/平面WBCD

（2）解：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，-AD,AB,垂直于平面WB8的直線.4Z分別為x軸'丁軸和二

軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則即,0。刀（&。0）,則赤=（含0,0）,

設(shè)方=9也c）,取萬(wàn)的方向向量L0）,

因?yàn)镹S姐=60',ZX4D=45,

可得8s國(guó)而卜霜|二百名=￥

S嚼=1^1，

又因?yàn)镾4=2,可得「45卜/r+b‘+L=2,即=4,

解得"或力=“=1,即屈=（衣U）,

設(shè)平面gs■法向量為碗=（“.3），則/"竺一,、一0,

取二i=l>可得x=Oji=-i,所以法=（OTD,

_fw?=y,=0

設(shè)平面心的法向量為〃-）'貝%.國(guó):瓜+1,十二「0'

取取二：=—a,可得與=lj'=0,所以〃=Q0,-淄），

艇;產(chǎn)何力=而=而忑=-亍，

由圖象可得，二面角。-立-B為銳二面角,

所以二面角D-'-B的余弦值為當(dāng)

5.（2023?山東森?統(tǒng)考?；诇y(cè)）如圖1,在平行四邊形4BCW中，WB=2BC=2O,

__1一

Z.M1D=60。，D為CM的中點(diǎn)，AF=—FC,j/f=HD，沿.也將AMID翻折到^PAD

（1就B月：HF"平面廣即：

（2或平面用。和平面RA的夾角.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）確定出D為正三角形，XCcBD=G,證明m7ADG,得到證明.

（2）確定40_L平面2*，AC±BC,建立空間直角坐標(biāo)系，確定平面PCD和平面PBC

的法向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.

【詳解】（DPA=PD=43,ZR4D=60°,JXD為正三角形，

AH=HD＞則N為期中點(diǎn)，

設(shè).4Cc3Z）=G,CD-AB,CD=-.4B,故國(guó)=力故G為且。的三等分點(diǎn)，

/尸為XC的三等分點(diǎn)，即尸為.4G的中點(diǎn)、，椒HF3DG,

DGu平面PBD,HFN平面PBD,故H尸,/平面PBD.

(2)由題設(shè)易得司=6,ZZL4B=60°,

BD：=AD:+.4B--2zlD-.4BcosZLB.lD=3+12-2x^/3x2,V3xy=?,

^AD:^BD:=AB2,即JD1BD,HF"DG,故皿_LH尸，

AD1PH,PHCHF=H,PH、HF在面JW內(nèi)，故40_L平面際

P尸在面PR尸內(nèi)，HlADlPF,y.PF±AC,ACC\,4D=A,&C.在面，3co內(nèi),

故平面W3CD

在汝以陽(yáng)中,PF=QPH；HF：J2[一仁]=&,

由題意易得乙婚0600,Z5.4O30%貝"N4cB=90、故HC/8C,

過(guò)點(diǎn)。作平面.488的垂線為二軸，以與，國(guó)分別為x軸、丁軸正方向，建立如圖所示

坐標(biāo)系.

尸(M

則C(0￡0),3(0,5Ao),.4(3Q0),P(2Q0),,

CD而=僅0,&),而=(0,出,0),

ti-CD=—x——-v=0

設(shè)平面汽N*的一個(gè)法向量為n=(x..v,r),貝小22',

水而=2x+應(yīng)二=0

令x=i,貝打=史二=-75,所以〃=(1*3-

m-CB=忑y、=0

設(shè)平面的一個(gè)法向量為M=(x?y?-),則

PBCf

mCP=2xl+42zl=Q

令X,=1,則J；=o,所以冽

設(shè)平面PBC和平面pc。的夾角為e,eqo,兀］

則8sg=|cos^m,?jJ|=1+2

2

jr

所以平面P8C和平面口的夾角為彳

6.(2023?福謝德校等國(guó)陰)如圖，已知多面體￡4CSD中，E51底面.4C3D,

EB=\,,15=2,其中底面由以WB為直徑的半圓.4C5及正三角形43。組成

(1港501,求證3C#平面4DE

4\f

(2泮圓AB上是否存在點(diǎn)M,使得二面角M-AE-D是直二面角話存在，求出卷土的

DAl

值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(5正明見(jiàn)詳解

(2府在，=3/

DM

【分析】(1)根據(jù)題意分析可得NG15=3O。，進(jìn)而可證必_L/C,AD8C,根據(jù)線

面平行的判定定理分析證明J

(2)建系，設(shè)3/(cos&sin&0)/e(0,Ji),分別求平面.曲、平面M4E的法向量,結(jié)

合面面垂直的向量關(guān)系運(yùn)算求解

Dp1

【詳解】3)由題意可得：HC/BC,則sinNClB===：,

目NGIB為銳角，則NGLB=30。，

因?yàn)槿切?的為正三角形，則ZZL4S=60°,

P1^ZLQ4C=ZZllB-rZC15=90°,即AD_L4C,

所以血BC,

4Du平面WDE,3C<Z平面ADE,

可得8C/平面，DE

⑵如圖，以的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，4B為"札.43的中垂線為1軸建立空間直

角坐標(biāo)系，

則用1,0,0)0—19。以0,一^0)二(一1。1),

I1MMUUU

可得.4￡=(-2,0,1),JD=(TT5,0),

一n-AE=-2x+二=0

設(shè)平面4DE的法向量”=(xj:)，貝I_rf-n,

n-.4D=-x-j3y=Q

令xf,則J，=T"M,即;=?T2?

設(shè)M(cos8,sin8,0),8c(0,n),平面的法向量加=(。也c),

uuuin-AE=-2ct+c=0

因?yàn)?4A/=(8sd-Lsin仇0),貝4_入-An，

mAM=(cos8-l)a+bsi“=0

令q=sin6,貝IJ.T=1-8Sd二=2sin，,即冽=(sin6,l—8s8：2sin8),

若二面角M-AE-D是直二面角，貝U〃?洲=/sinJ-(1-8S6卜4A5sin￡=0,

整理得5-73sin8+8s6=1,

聯(lián)立方程產(chǎn)解得「一印或黑：

sm-^+cos-6=1八37cos^=l

L8sg=----i

38

sm”您,

fl*。

因?yàn)閐￡(0⑺，貝i」sine＞0,可得＜3：即

COS^=-—

38

+0

所以月時(shí)**=嘴3M叵

丁，

可得當(dāng)誨:塞=5小時(shí),二面角小皿。是直二面角.

7.(2023?福建摩門(mén),統(tǒng)考匐蜥測(cè))箏形是指有一條對(duì)角線所在直線為對(duì)稱軸的四邊

形.如圖，四邊形-空8為箏形，其對(duì)角線交點(diǎn)為。，弱=也產(chǎn)。=國(guó)?=2,將入血＞

沿助折到的位匿，形成三棱錐』-Nd

(1球3到平面』OC的距離；

(2心HC=1時(shí)，在棱上是否存在點(diǎn)尸，使得直線B/與平面心所成角的正弦值

為：？若存在，求黑的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

4AD

【答案】⑴1

八十女A'PHP7

(2府在，近=§或赤而

【分析】(D根據(jù)線面垂直的判定可得的工平面48,進(jìn)而可得3到平面』oc的距

離d=：BD=L

(2)以。為原點(diǎn)，。2。及。。所在直線分別為x軸，F(xiàn)軸，二軸建立空間直角坐標(biāo)系,

再設(shè)港=Z75=j尼根據(jù)線面角的空間向量求法求解即可

【詳解】（1）因?yàn)閦LB=W,Bn=BC=2,

所以BD不可能為四邊形WBCD的對(duì)稱軸，則-UC為四邊形,4BCD的對(duì)稱軸，

所以AC垂直平分BD,所以A'01BD,CO±BD.

AOa平面A'OC,COu平面A'OC,A'Or\CO=O

所以平面HOC.

所以3到平面/OC的距離d=；BD=l.

(2)存在點(diǎn)P,使得直線3/與平面POC所成角的正弦值為J.

過(guò)。作OE1平面BCD,所以O(shè)DQEQC兩兩垂直

以。為原點(diǎn)，。2。及。，所在直線分別為x軸，J軸，二軸建立空間直角坐標(biāo)系

由（1）得平面BCDJ?平面4OC,因?yàn)椤?'=L0C=5HC=l

所以電制.

設(shè)差=2而=3「*石(注［0,小

而=示+及=",立-在

\2222)

oc=(o,Ao)

設(shè)平面POC的法向量;?=(X,北二)

一1丁=0

"方。。=0°所以?卜X+悍，L李XT卜0、+停z-T}=0

令二=22,貝iJx=2T

所以平面POC的一個(gè)法向量方=(7-L0,2打

設(shè)直線34與平面POC所成角為6

叼1里{!

即臼憶一1+川1

sind=cos5L4,n\=1?=—■—.==-.

I1&1［回或xJ('-iy+47，4

所以2=；或尤=g,所以存在點(diǎn)尸，使得直線艮，-與平面POC所成角的正弦值為

1HPITHP7

4A'D3A'D9

8.(2023?安敏合肥?合肥市第六中學(xué)?？寄Ｐ聹y(cè))如圖所示的幾何體是圓柱的一部分,

2兀

它是由矩形/BCD(及其內(nèi)部)以邊功所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)號(hào)得到的，K是股的

中點(diǎn).

(1)設(shè)N是赤■上的一點(diǎn)，且4M_LCD,求ZFDN的大小;

(2片4B=2,.5=4時(shí)，求二面角C-HH-尸的余弦值.

【答案】⑴慨

【分析】(D依題意可得CD,平面JAD,即可得到3八DN,從而得解；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.

【詳解】(1)因?yàn)?V_LCD,ADLCD,

又AV,.4Du平面.CVD,ANC\,4D=A,所以CD_L平面WVD.

又AVu平面ADN,所以CD八DN.

又ZfDC=^,ZFDN=ZFDC-ZNDC=^-^=J.

(2)由(i)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以△?,nv,以所在的直線為x,二軸，建

立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

由題意得4(0,0,4),C(2,0,0),M(L的4),網(wǎng)-1,收0),

故I?=Q0,T),而=(!!4,0),N=(T/T),

設(shè)w=(乂匚二)是平面HMT的一個(gè)法向量.

iii-AAf=0工+有1=0取x=l,可得而=|1「坐\|.

由，—，得1

ih-AC=02x-4z=0

設(shè)力=（。也。是平面的一個(gè)法向量.

HAM=0得，一/=0取a=l,可得方=|L-卓卜

由，

方月尸=0[-4+后6-4c=0

歷w[十N]3

所以cos任用=時(shí)同=點(diǎn)3點(diǎn)=行,由圖可知二面角C-4X-尸為銳二面角,

所以二面角C-.皿-F的余弦值為.

9.（2023?遼寧?遼寧實(shí)筠中學(xué)?？疾焒測(cè)）已知直角梯形形狀如下，其中如一.也,

（1電線段CD上找出點(diǎn)尸，將四邊形.皿龍沿即翻折，形成幾何體/BE-DCF.若

無(wú)論二面角H-E尸-8多大，都能夠使得幾何體為棱臺(tái)，請(qǐng)指出點(diǎn)尸的具

體位置（無(wú)需給出證明過(guò)程）.

（2底（1）的條件下，若二面角/-E尸-8為直二面角，求棱臺(tái)/SE-Z/CF的體積，

并求出此時(shí)二面角B-HD—E的余弦值.

【答案】（1）&=4或尸為靠近點(diǎn)。的三等分點(diǎn)；

喈氏9.

【分析】3）延長(zhǎng)Q4C3交于點(diǎn)。，連接?！瓴⒀娱L(zhǎng)交8于尸，翻折后證明平面-正5，/

平面函即可推理作答.

（2）根據(jù)給定條件，證明一平面￡FC,再利用錐體的體積公式結(jié)合割補(bǔ)法求出體

積，建立空間直角坐標(biāo)系求出面面角的余弦作答.

【詳解】（1）在直角梯形WB8中，延長(zhǎng)交于點(diǎn)。，連接OE并延長(zhǎng)交CD于尸,

如圖，

DFC

WCD,DC=2AB=12,AE=2,于是與=鋁=烏1=2,則＞=4,尸為靠近

zLcAOAD

點(diǎn)D的三等分點(diǎn)，

將四邊形且阻沿EF翻折，即將△（?￡＞尸沿EF翻折，無(wú)論二面角H-EF-B多大,

所成幾何體均為三棱錐O-。尸。，顯然座/〃）￡。尸u平面）T,0平面以C,

于是平面DR7,同理BE//平面DR7,而4Ec3E=E..里BEu平面x月3,

因此平面WELB＞/平面DRC,從而幾何體ABE-DCF是棱錐。-AFC被平行于底面

由的平面所截，

截面和底面間的部分，即幾何體A'BE-DCF是棱臺(tái)，

所以無(wú)論二面角/-EF-B多大，都能夠使得幾何體一RBE-DCF為棱臺(tái)，DF=A,F

為靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)一

（2）翻折前D尸=2.4EDC=2.43,將。兒用C3延長(zhǎng)一倍，三線交予點(diǎn)O,

在等腰直角三角形OD尸中，DE±OF,在棱臺(tái).KBE-DCF中，DELOF,

又二面角4-E尸-3為直二面角，。田上平面EFC,

即三棱錐°-。尸C的體積為％“=；。嗎也8=?點(diǎn)484=券點(diǎn),

又三棱錐H-O5E的體積1匕=4G也L，

OJ

則有棱臺(tái)HB￡-DCF的體積為匕…,=三0-"=?0,

在線段*上取。0=2,有亞=而，四邊形AEGD為平行四邊形，石=EG,EG±EB,

又?！暌幻妗闒C,則DS皿OE_LEG,以E為原點(diǎn)，學(xué)，與，名為XQ二的單位

2D2J2

向量建立空間直角坐標(biāo)系，

則。(-2,-2,0),6(0,0,2&),5(0,4,0),E(0,0,0),麗=(2,2,2點(diǎn))，歷=(2,6,0),

0E=(2,2,0),麗=(0,0,2^2),取平面ODB的法向量為I=(。也。)，

『歷=2。+勿+2缶=0

，令3=1,取1=(一31&),

%OB=Z7+60=0

it,OE=2)'+2s=0

取面8宏的法向量%=(r.s,O,則,令r=l,得"：=(L-LO),

兀麗=2"=0

顯然二面角的平面角為銳角，設(shè)為a,

_|-3xl-lxl|_^/6

cosa=|cos<n,,??,>

I^II^T^2x72=T

所以二面角的余弦值為今

10.(2023?山西?校聯(lián)考酬以0如圖，斜四棱柱.488-型1GA的底面.458為等

腰梯形，且￡8一8,點(diǎn)乂在底面的射影點(diǎn)。在四邊形.空8內(nèi)部，目

AD=BC=CD=AAy=2,AB=4,A,0=\,AAX.

(1球證：平面一4581平面ACCH；

(2底線段BD上是否存在一點(diǎn)A/,使得平面MBC與平面W88夾角的余弦值為率,

若存在，求器的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1就明見(jiàn)解析

B、M_1

(2語(yǔ)在,

BA2

【分析】(1)作出輔助線，得到四邊形HDCE為菱形，得到HC工5C,得到線面垂直,

得到平面AB81平面;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，得到各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)m=力甌=%而，由二面角的大小

得到八；

【詳解】⑴在等腰梯形中，苴）=BC=CD=叫=2,.45=4,

過(guò)C作CE，/加交.48于￡,則四邊形ADCE是菱形，

NABC=60,NDCE=NECB=60,ZACD=ZACE=3Q,

Z.4CB=90,JC±BC,

又必_1改;44「/。=4必,以？匚平面皿（7?,

BC上平面-4CC,4,又BCu平面.-LBCD,

二平面W8CD1平面.4CC,4.

（2）由（1）平面WBCD1平面KCCd,

,.?耳。_1平面￡8€。4?！?平面月（764,

點(diǎn)4在底面的射影。在XC上，,又4O=LM=2二.4。=4，

由⑴知AC=23*0=6

以。為原點(diǎn)，。4。及04分別為x,1,二軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系。-邛二，

則。(oQo)，H4,o,o),B(",2,o),c(dao)Q(o.To),4(o,ai),

則石=（doi）,而=（/,-3,0）,筋=9-2,0）,設(shè)限=7麗=2而，2e[0,l],

則麗=麗十麗=石.病=（—。1）+（&,—340）=（有尤_4「3丸1）,

易知平面-"8的一個(gè)法向量為質(zhì)=供0,1）,

設(shè)平面MBC的法向量為?=（xJ，二）,

nBC=-2v=0

則〈——r，解得F=。，

n-BAf=后（之一l）x-3/ij+二=0

令x=l得，二=/一用，故）=（1。括一代團(tuán)，

正三|阿T亞1

麗=.+3Q-肛=〒，解'3

11.（2023?河北?統(tǒng)考第蜥測(cè)）在圓柱。：。：中，等腰梯形W58為底面圓。:的內(nèi)接四

邊形，目