一元二次不等式及一元二次方程-2023年高考數(shù)學(xué)（新高考）（原卷版）

專題04一元二次不等式、一元二次不等式

一元二次不等式、一元二次不等式

元

分式

解

解

元

一

一

一

一

元

次

不等

元

次

二

二

二

二

次

程

式忽

次

等

方

不

不

不

的

視分

等

根

恒

等

式

式

式

布

母不

忽

分

忽

立

視

視

成

件

二

為零

條

兩

視

次

根

忽

舉

列

的

系

間

大

區(qū)

項(xiàng)

全

不

小

關(guān)

的

開

的

數(shù)

負(fù)

正

用

任

系

金翁和知

1.解分式不等式時(shí)要注意分母不能為零；

2.“大于取兩邊，小于取中間”使用的前提條件是二次項(xiàng)系數(shù)大于零；

3.解決有關(guān)一元二次不等式恒成立問題要注意給定區(qū)間的開閉；

4.有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)；

5.解一元二次不等式時(shí)要注意相應(yīng)的一元二次方程兩根的大小關(guān)系；

易布今折

一、忽視分式不等式中的分母不能為零致錯(cuò)

1.不等式工≤1的解集是

x+1------------

??9'-Jf--1r-1

【錯(cuò)解】由得二一一l≤0,得々/'≤0,得20,得(X-I)(X+1)20,得X≤-1

x+1x÷lx+1x+1

或所以原不等式的解集為{x∣XXW—1或x21}.

【錯(cuò)因】

【正解】

二、忽視一元二次不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零致錯(cuò)

2.若不等式τwx2÷2zwχ-4<2x2+4x對(duì)任意x都成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.(-2,2)B.(2,+∞)C.(-2,2]D.[-2,2]

【錯(cuò)解】原不等式可整理為(2—"z)χ2+(4-2"z)x+4>().若該不等式恒成立，必須滿足

2~m>0,

解得一2<∕nV2.綜上知實(shí)數(shù)m的取值范圍是（一2,2）,

1（4一2加）2—4X4（2—MV0,

選A.

【錯(cuò)因】

【正解】

提示：當(dāng)不等式中最高項(xiàng)的系數(shù)含有參數(shù)時(shí)，要對(duì)其分情況討論，不是見參就討論，比如下面

這個(gè)題目是不用討論的。

例：若關(guān)于X的不等式/-2αx+18>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

解析：由題意有4.2-4X18<0,可得一3/<“<3也實(shí)數(shù)a的取值范圍為（T√L3√2）o

三、忽視口訣：大于取兩邊，小于取中間的使用條件致錯(cuò).

3.不等式。-2）（3—2乂）20的解集為（）

[-,+∞12

A匕JB.2」

[-co.1

C.{x|xW；3或x22}.D.I2」

3[~,2

【錯(cuò)解】由0—2）（3—2x）20解得xW；或x22,故不等式的解集為N-.選C

【錯(cuò)因】

【正解】

四、一元二次不等式恒成立問題中忽視區(qū)間的開閉致錯(cuò)

4.當(dāng)1WXW3時(shí)，關(guān)于X的不等式ax?+》一ι<o恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

ITImr?-?]

【錯(cuò)解】當(dāng)l≤x≤3時(shí)，由ax2+χ-l<0恒成立可得，α<A?J—1恒成立，令段）=Mh—I=L"

XX

則當(dāng)X=2時(shí)，/（x）min=-?,所以選Ao

444

【錯(cuò)因】

【正解】

5.若不等式χ2—a+ivθ對(duì)一切χ∈（i,2）恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍為（）

B仔+T

A.(—8,2)

C.[1,+∞)D.序+T

24-11

【錯(cuò)解】因?yàn)椴坏仁?一∕χ+1<0對(duì)一切χ∈(l,2)恒成立，所以/>--v--=XH■■-在區(qū)間(1,2)上恒成

XX

立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，且當(dāng)x=2時(shí)，y=2+L=',

X22

所以x+LA故實(shí)數(shù)r的取值范圍是段.選B.

X22

【錯(cuò)因】

【正解】

五、有關(guān)一元二次方程根的分布條件列不全致錯(cuò)

6.若方程r十(ZM—2)x+5—機(jī)=O的兩根都大于2,則機(jī)的取值范圍是

【錯(cuò)解】設(shè)方程/+⑺―2)x+5—Zn=O的兩根為X],%2則玉>2,X2>2,

Δ>0(W-2)2-4(5-W)>0m2>16

則<玉+刀2>4,即V2—加>4即V-2〉m

Xf>45—加>41>m

解得加〈一4,故機(jī)的取值范圍是(一8,—4).

【錯(cuò)因】

【正解】

六、解一元二次不等式時(shí)忽視兩根大小而致錯(cuò)

7.解關(guān)于X的不等式“χ2-g+i)χ+ι<om>o).

【錯(cuò)解】原不等式可化為[-J(X-I)COSO).解得L<l,

a

則該不等式的解集為IJi).

【錯(cuò)因】

【正解】

【提示】對(duì)含參的不等式，應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論

(1)根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類.

(2)根據(jù)判別式J與0的關(guān)系判斷根的個(gè)數(shù).

(3)有兩個(gè)根時(shí)，有時(shí)還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論.

易裾發(fā)通房

1.若α<0,則關(guān)于X的不等式(ax—l)(x—2)>0的解集為()

??2<x<-[?^<x<2]

A.U∣〃IJB.k∣aJ

C.{E或>2}d,{卜2或5}

2.若對(duì)于任意的x∈[0,2],不等式χ2-2χ+α>0恒成立，則α的取值范圍為()

A.(-∞,1)B.(1,+∞)

C.(0,+∞)D.[1,+∞)

3.已知關(guān)于X的不等式京2-6履+左+8≥0對(duì)任意XeR恒成立,則左的取值范圍是()

A.[0,1]B.(0,1]

C.(-∞,O)u(l,+∞)D.(-∞,O]u[l,+∞)

4.若關(guān)于X的不等式(片-4)x2+(a+2)x-l≥0的解集不為空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-2,-]B.{x∣2α<x≤-α}.

C.(-∞,-2)u[∣,+∞)D.(-∞,-2]u[∣,+∞)

5.已知方程2(/+1w2+4h+3左-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，則實(shí)數(shù)左的取值范圍是()

B.(-2,-1)

D.[-2,-1)uI1

6.已知函數(shù)/(x)=aχ2-2χ+2,若當(dāng)l≤x≤4時(shí)，/(x)>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是()

A、

,?、r1rl

A.(-?,+∞)B-[-5，+°°)c.弓,+00)D.[5,+∞)

/

aa-2?

7.在R上定義運(yùn)算：,=ad-be,若不等式'X≥1對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立,

IcdJIa+1

則實(shí)數(shù)”的最大值為()

1313

A.一一B.一一C.—D.—

2222

8.已知關(guān)于X的不等式加/+蛆+,”1對(duì)任意χ∈R恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是()

A.(-∞,O]uH,+°°)

B.(一8,0]

c.L,O)Ue+00]

D.(―∞,0)

9.已知函數(shù)人工)在R上為增函數(shù),若不等式八—4%+“)//(一3一/)對(duì)?∕χ∈(0,3]恒成立，則。的

取值范圍為()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[O,+∞)D.[I,÷∞)

10.已知函數(shù)/(x)在R上為增函數(shù)，若不等式/(—4x+a)2∕(-3—χ2)對(duì)Tχ∈(0,3]恒成立，則。

的取值范圍為()

A.[-1,+∞)B.(3,+∞)

C.[O,+∞)D.[?,+∞)

11.若關(guān)于X的不等式加χ2-(2,"+l)χ+w-120的解集為空集，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

12.設(shè)函數(shù)/(x)=