第一章 空間向量與立體幾何 章末測試（基礎(chǔ)）（解析版）

第一章空間向量與立體幾何章末測試（基礎(chǔ)）單選題(每題5分，每題只有一個選項為正確答案，8題共40分)1．（2023河南省漯河市）已知直線平面，且的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則實數(shù)的值為（

）A．2或 B． C．3 D．或3【答案】A【解析】因為直線平面，所以或，故選：A.2．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方向向量為，平面的法向量為.若，則的值為（

）A． B． C．1 D．4【答案】A【解析】由直線的方向向量為，平面的法向量為，因為，可得，所以，即，解得，所以.故選：A.3．（2023春·江蘇宿遷）已知平面α的一個法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A． B．C． D．l與α相交但不垂直【答案】A【解析】因為，所以，即，所以.故選：A4．（2023春·山東青島）已知，是空間直角坐標(biāo)系中的兩點，點關(guān)于軸對稱的點為，則兩點間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以點關(guān)于軸對稱的點，所以.故選：D.5．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知平面與平面的法向量分別為與，平面與平面相交，形成四個二面角，約定：在這四個二面角中不大于的二面角稱為兩個平面的夾角，用表示這兩個平面的夾角，且，如圖，在棱長為2的正方體中，點為棱的中點，為棱的中點，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸，可得，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則有，得，令，所以，因為平面的法向量是，所以，故選：B.

6．（2023廣東）下列命題中，正確命題的個數(shù)為（

）①若，則與方向相同或相反；②若，則A，B，C，D四點共線；③若，不共線，則空間任一向量().A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】當(dāng)，時，，不能說與方向相同或相反，①不正確；當(dāng)時，A，B，C，D四點共面不一定共線，故②不正確；當(dāng)，不共線時，當(dāng)且僅當(dāng)共面時才滿足().故③不正確.故選：A7．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知，，，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，，，所以，所以，，，所以向量在上的投影向量是，所以向量在上的投影向量的坐標(biāo)是，故選：D.8．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在幾何體中，四邊形是矩形，，且平面平面，，，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．B．異面直線、所成的角為C．幾何體的體積為D．平面與平面間的距離為【答案】C【解析】過點作使得，過點作，如圖所示：因為四邊形為矩形，則，又因為，則，所以，四邊形為平行四邊形，則，，因為平面平面，則與、共面，即與、共面，所以，、、、四點共面，同理可知，、、、四點共面，故幾何體為四棱柱，因為四邊形為矩形，則，又因為，，、平面，所以，平面，因為，則，，所以，在底面中，，，故四邊形為平行四邊形，因為，則，所以，，即，所以，平行四邊形為正方形，又因為，故幾何體為正方體，對于A選項，在正方體中，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，A對；對于B選項，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、、、，，，，所以，異面直線、所成的角為，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，因為，平面，平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，又因為，、平面，所以，平面平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，又因為，所以，平面與平面間的距離為，D對.故選：C.二、多選題（每題至少有兩個選項為正確答案，少選且正確得2分，每題5分。4題共20分）9．（2023春·甘肅白銀·高二校考期末）已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．的最小值為2 D．的最大值為4【答案】ABC【解析】對于A，若，且，，則存在唯一實數(shù)使得，即，則，解得，故A正確；對于B，若，則，即，解得，故B正確；，故當(dāng)時，取得最小值，無最大值，故C正確，D錯誤.故選：ABC.10．（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知平行六面體中，，與的交點為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】如下圖所示，，故A正確，B錯誤；由平方得，，所以，故C正確，D錯誤.

故選：AC11．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）下列說法正確的是（

）A．空間向量與的長度相等B．平行于同一個平面的向量叫做共面向量C．若將所有空間單位向量的起點放在同一點，則終點圍成一個圓D．空間任意三個向量都可以構(gòu)成空間的一個基底【答案】AB【解析】對于A，向量與是相反向量由相反向量的定義知，向量與的長度相等，故A正確；對于B，平行于平面m的向量，均可平移至一個平行于m的平面，故它們?yōu)楣裁嫦蛄?，故B正確；對于C，若將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故C錯誤；對于D，空間任意三個不共面的非零向量都可以構(gòu)成空間的一個基底，故D錯誤.故選：AB.12．（2023秋·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）在棱長為2的正方體中，，分別是棱BC，的中點，點滿足，，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則平面MPQB．若，則過點，，的截面面積是C．若，則點到平面MPQ的距離是D．若，則AB與平面MPQ所成角的正切值為【答案】BD【解析】如圖所示，時有M與A重合，對于A選項，延長PQ交BB1于L，連接AL，易得平面平面MPQ=AL，若平面MPQ，則，顯然，且B、L不重合，矛盾，故A錯誤；對于B項，連接AD1、D1Q，易知平面APQD1即該截面，顯然該截面為等腰梯形，易得，，故B正確；

如圖所示，時，M為AB中點，以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面MPQ的法向量為，則，令，則，故對于C項，設(shè)點到平面MPQ的距離為，則，即C錯誤；對于D項，設(shè)AB與平面MPQ所成角為，則，所以，即D正確.故選：BD

三、填空題(每題5分，4題共20分)13．（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在空間直角坐標(biāo)系中，，，O為坐標(biāo)原點，直線AB上有一點M，且，則點M的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)，，，，則，，又，即，解得，故M點的坐標(biāo)為；故答案為：.14．（2022·高二課時練習(xí)）已知平行四邊形的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，，則頂點的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)為空間坐標(biāo)原點，由于四邊形是平行四邊形，所以，所以.故答案為：15．（2023春·浙江溫州）“阿基米德多面體”也稱為半正多面體,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體,它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美,如圖,將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐,共可截去八個三棱錐,得到八個面為正三角形,六個面為正方形的“阿基米德多面體”,則直線與平面所成角的正弦值為.

【答案】【解析】如圖所示:將多面體放置于正方體中,連接,設(shè)的中點為,連接,

因為分別為中點,所以,且,則四邊形為平行四邊形,所以,所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,又平面,所以直線與平面所成角即為,設(shè)正方體的棱長為,則,所以,即直線與平面所成角的正弦值為.故答案為:.16．（2023山東）如圖，在正方體中，分別為的中點，則平面和平面所成二面角的正弦值為.

【答案】/【解析】以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長為，則，，.設(shè)平面的一個法向量，則取，得.平面的一個法向量，設(shè)平面和平面所成二面角為，則所以，所以平面和平面所成二面角的正弦值為.故答案為：.四、解答題（17題10分，其余每題12分，6題共70分）17．（2023春·甘肅蘭州）已知向量，，，且，．.(1)求向量，，的坐標(biāo)；(2)求與所成角的余弦值.【答案】(1)，，(2)【解析】（1）∵向量，，，且，，易知，否則不成立，∴，解得，，．∴向量，，．（2）∵，，∴，，∴向量與所成角的余弦值為．18．（2023春·河北邢臺）在三棱臺中,平面,,,,.

(1)證明:.(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）∵平面,平面,,平面平面,平面,平面,∴,∴,∵,∴,∴,即,又,,,平面,平面,∴平面,∴,∵,平面,平面,∴平面,∵平面,∴.（2）如圖,作于,在直角梯形中,得,同理可得,在等腰梯形中,,則,∴,設(shè)到平面的距離為,由,得,則,又,所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（2023春·江蘇徐州）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點E，F(xiàn)，N分別為側(cè)棱PD，PC，PB的中點，M為PD（不包含端點）上的點，，．

(1)若，求證：平面；(2)若平面，求與平面所成角的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【解析】（1）延長FM和CD交于點Q，連BQ交AD于點H，連FH，F(xiàn)N，由，故，所以，即H為AD的中點，此時，，且，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；（2）以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，，設(shè)平面BMF的法向量，則有，令，則，所以，設(shè)DB與平面MFB所成的角為，則，當(dāng)時，的最大值為，又，故DB與平面所成角的最大值．

20．（2023秋·福建三明）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.

(1)求證：平面；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的正弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明過程見詳解(2)存在，【解析】（1）連接與相交于點，連接，如圖所示：

四邊形為菱形，，為等邊三角形，是的中點，有，、面，，面，又面，則，又已知，，平面，所以平面.（2），分別為，的中點，連接，，由（1）平面，所以平面面，作，所以有平面，又因為為等邊三角形，，平面以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

則，，，，由，，

設(shè)，，則，設(shè)平面的一個法向量，則有，令，則，

易取平面的一個法向量為

，由已知平面與平面的夾角的正弦值為，則平面與平面的夾角的余弦值為，則有，，由解得.所以，點存在，.21．（2023春·江蘇常州·高二統(tǒng)考期中）如圖，三角形ABC是圓柱底面圓的內(nèi)接三角形，PA為圓柱的母線，M，N分別是AC和PA的中點，平面平面PAB，．

(1)求證：；(2)求三棱錐和圓柱的體積之比；(3)求平面PBC與平面MBN所成的銳二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)(3)【解析】（1）因為PA為圓柱的母線，則平面ABC，平面ABC，可得，取PB邊的中點為D，連接AD，因為，則，平面PAB，且平面平面PAB，平面平面，所以平面PBC，且平面PBC，則，且AD，平面PAB，所以平面PAB，且平面PAB，所以.（2）因為平面ABC，則，又因為，則為底面圓的直徑，則，所以（3）以B點作為坐標(biāo)原點，直線BA、BC分別為x、y軸，過點B作平面ABC的垂線，并以此垂線作為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，，，，可得，，，．設(shè)平面PBC和平面MBN的法向量分別為，，可得，取，則，，即可得，取，則，，即設(shè)平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為，則，又因為，所以，即平面PBC與平面MBN所成的銳二面角為.22．（2023春·