期末考試押題卷02（考試范圍：選擇性必修第二冊(cè)）（解析版）

期中考試押題卷02高二·數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：選擇性必修第二冊(cè)。5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的方向向量為，平面的法向量為，若直線與平面平行，則，即，即，解得.故選：C．2．在54張撲克牌中取出13張紅桃，按大小排好，現(xiàn)取出梅花插入紅桃牌中，則15張撲克牌的排法種數(shù)是（

）A．12 B．182 C．210 D．364【答案】C【解析】由題意，15張撲克牌的排法種數(shù)是.故選：C.3．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C．2 D．8【答案】A【解析】，的展開式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開式中含的項(xiàng)為，其系數(shù)為，的展開式中，的系數(shù)為.故選：A.4．2022年12月4日是第九個(gè)“國(guó)家憲法日”.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識(shí)，弘揚(yáng)憲法精神”的知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，甲同學(xué)答對(duì)第一道題的概率為，連續(xù)答對(duì)兩道題的概率為.用事件A表示“甲同學(xué)答對(duì)第一道題”，事件表示“甲同學(xué)答對(duì)第二道題”，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，故選：5．為了研究某公司工作人員人數(shù)x（單位：名）和月銷售量y（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系，從該公司隨機(jī)抽取10名工作人員，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為.已知，，.若該公司工作人員為25名，據(jù)此估計(jì)其月銷售量為（

）A．195 B．200 C．205 D．210【答案】C【解析】根據(jù)題意，計(jì)算，，；∴，∴，當(dāng)時(shí)，可得，所以估計(jì)其月銷售量約為.故選：C．6．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，的分布密度曲線如圖所示，若，則與分別為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，且，則，由正態(tài)曲線得，所以．故選：C．7．一堆蘋果中大果與小果的比例為，現(xiàn)用一臺(tái)水果分選機(jī)進(jìn)行篩選．已知這臺(tái)分選機(jī)把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為．經(jīng)過(guò)一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺(tái)分選機(jī)篩選出來(lái)的“大果”里面隨機(jī)抽取一個(gè)，則這個(gè)“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】記事件放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件放入水果分選機(jī)的蘋果為小果，記事件水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，則，，，，由全概率公式可得，，因此，.故選：A.8．在直三棱柱中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．平面 B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，AP與BC成角最大C．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，AP與成角最小 D．存在點(diǎn)，使得【答案】C【解析】由題意得，兩兩垂直，不妨令以C為原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，由為梯形的兩個(gè)腰，可得相交，則直線平面位置關(guān)系為相交.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：設(shè)AP與BC成角為，,由，可得當(dāng)時(shí)，即兩點(diǎn)重合時(shí)，，AP與BC成角為.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：設(shè)AP與成角為，由，可得又，在單調(diào)遞減，則當(dāng)即為中點(diǎn)時(shí)，AP與成角最小.判斷正確；選項(xiàng)D：,由，解得（舍），則不存在點(diǎn)，使得.判斷錯(cuò)誤.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知，則（

）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】對(duì)于A：令，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，可得，故B正確；對(duì)于C：令，可得，結(jié)合選項(xiàng)B，兩式作差，可得，即，故C正確；對(duì)于D：令，可得，故D正確.故選：BCD.10．下列說(shuō)法正確的是（

）A．在回歸分析中，對(duì)一組給定的樣本數(shù)據(jù)，，…，而言，若殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好B．若隨機(jī)變量，則C．現(xiàn)安排，，三名同學(xué)到五個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，每名同學(xué)只能選擇一個(gè)工廠，且允許多人選擇同一個(gè)工廠，若工廠甲必須有同學(xué)去，則不同的安排方法有61種D．從10名男生、5名女生中隨機(jī)選取4人，則其中至少有一名女生的概率【答案】AC【解析】對(duì)于A：由殘差的概念知，殘差平方和越大，則模型的擬合效果越差；反之，則模型的擬合效果越好，故A正確；對(duì)于B：由隨機(jī)變量得，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題可知，所有可能的方法有種，工廠甲沒(méi)有同學(xué)去的方法有種，所有工廠甲必須有同學(xué)去的不同的安排方法有種，故C正確；對(duì)于D：從10名男生、5名女生中隨機(jī)選取4人，沒(méi)有女生的概率為，故至少有一名女生的概率為，又，故D錯(cuò)誤，故選：AC．11．下列命題中正確是（

）A．中位數(shù)就是第50百分位數(shù)B．已知隨機(jī)變量X~，若，則C．已知隨機(jī)變量~，且函數(shù)為偶函數(shù)，則D．已知采用分層抽樣得到的高三年級(jí)男生、女生各100名學(xué)生的身高情況為：男生樣本平均數(shù)172，方差為120，女生樣本平均數(shù)165，方差為120，則總體樣本方差為【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，中位數(shù)就是第50百分位數(shù)，選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，則，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，，函數(shù)為偶函數(shù)，則，區(qū)間與關(guān)于對(duì)稱，故，選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，分層抽樣的平均數(shù)，按分成抽樣樣本方差的計(jì)算公式，選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，平面，垂足為，為上的點(diǎn)，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸的正方向，并均以1為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則（

）A．B．平面的一個(gè)法向量為C．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為D．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的平方為【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)榈酌?，平面，所以?又，平面，平面，所以，平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，則，，，，.因?yàn)闉樯系狞c(diǎn)，，所以，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以點(diǎn)到平面的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，，，，所以，點(diǎn)到直線的距離的平方，故D正確.故選：ABD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，用不同的五種顏色分別為A，，，，五部分著色，相鄰部分不能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，符合這些要求的不同著色的方法共有____．（用數(shù)字填寫答案）【答案】540【解析】按照的順序依次著色：當(dāng)AD同色時(shí)，不同著色的方法有；當(dāng)AD不同色時(shí)，不同著色的方法有則符合這些要求的不同著色的方法共有（種）故答案為：54014．“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y（單位）與氣溫x（單位：℃）之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見下表：氣溫x181310用電量y24343864若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程來(lái)預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為______．【答案】【解析】，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)氣溫為時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為．故答案為：.15．已知甲盒中有3個(gè)紅球2個(gè)白球，乙盒中有4個(gè)紅球1個(gè)白球，從甲盒中隨機(jī)取1球放入乙盒，然后再?gòu)囊液兄须S機(jī)取2球，記取到紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，則X的期望為______．【答案】/【解析】若從甲盒中隨機(jī)取到的為紅球且概率為，則的可能取值為，則，，若從甲盒中隨機(jī)取到的為白球且概率為，則的可能取值為，則，，，綜上，，，，故.故答案為：16．直四棱柱的底面為正方形，分別是上底面、下底面的中心，在平面內(nèi)的射影恰好為的重心，，則________.【答案】【解析】如圖示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立坐標(biāo)系：設(shè)，則有，，，則的重心，所以，，由題意可得平面，平面，所以，即有，所以，即有，又因?yàn)?，?故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）已知二項(xiàng)式的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79.(1)求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（結(jié)果用數(shù)字表示）(2)求展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).（系數(shù)用數(shù)字表示）【解析】（1）由題意可得：，解得或（舍），所以二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，令，解得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（2）由（1）可知展開式系數(shù)的絕對(duì)值為，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值最大，則，整理得，解得，又因?yàn)榍?，所以，故展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)為.18．（12分）已知向量，向量與的夾角都是，且，試求(1)；(2)．【解析】（1）向量，向量與的夾角都是，且，，；（2）19．（12分）為響應(yīng)國(guó)家使用新能源的號(hào)召，促進(jìn)“碳達(dá)峰碳中和”的目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，某汽車生產(chǎn)企業(yè)在積極上市四款新能源汽車后，對(duì)它們進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)研.該企業(yè)研發(fā)部門從購(gòu)買這四款車的車主中隨機(jī)抽取了50人，讓車主對(duì)所購(gòu)汽車的性能進(jìn)行評(píng)分，每款車的性能都有1分、2分、3分、4分、5分五個(gè)等級(jí)，各評(píng)分及相應(yīng)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.

性能評(píng)分汽車款式12345基礎(chǔ)班基礎(chǔ)版122310基礎(chǔ)版244531豪華版豪華版113541豪華版200353(1)求所抽車主對(duì)這四款車性能評(píng)分的平均數(shù)和第90百分位數(shù)；(2)當(dāng)評(píng)分不小于4時(shí)，認(rèn)為該款車性能優(yōu)秀，否則認(rèn)為性能一般.根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)，完成以下列聯(lián)表，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為汽車的性能與款式有關(guān)？并解釋所得結(jié)論的實(shí)際含義.汽車性能汽車款式合計(jì)基礎(chǔ)班豪華版一般優(yōu)秀合計(jì)(3)為提高這四款新車的性能，現(xiàn)從樣本評(píng)分不大于2的基礎(chǔ)版車主中，隨機(jī)抽取3人征求意見，記X為其中基礎(chǔ)版1車主的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.010.0052.7063.8416.6357.879【解析】（1）由題意得這四款車性能評(píng)分的平均數(shù)為；其第90百分位數(shù)為；（2）由題意得汽車性能汽車款式合計(jì)基礎(chǔ)版豪華版一般201232優(yōu)秀51318合計(jì)252550零假設(shè)為：汽車性能與款式無(wú)關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到.根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為汽車性能與款式有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05；汽車性能一般中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，性能優(yōu)秀中基礎(chǔ)版和豪華版的頻率分別為和，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，可以認(rèn)為性能優(yōu)秀時(shí)豪華版的概率大.（3）由題意可得X服從超幾何分布，且，，，由題意知，X的所有可能取值為，則，，，所以X的分布列為X0123P.20．（12分）chatGPT是由OpenAI開發(fā)的一款人工智能機(jī)器人程序，一經(jīng)推出就火遍全球，chatGPT的開發(fā)主要采用RLHF（人類反饋強(qiáng)化學(xué)習(xí)）技術(shù)，訓(xùn)練分為以下三個(gè)階段.第一階段：訓(xùn)練監(jiān)督策略模型.對(duì)抽取的prompt數(shù)據(jù)，人工進(jìn)行高質(zhì)量的回答，獲取<prompl，answer>數(shù)據(jù)對(duì)，幫助數(shù)學(xué)模型GPT-4更好地理解指令.第二階段：訓(xùn)練獎(jiǎng)勵(lì)模型，用上一階段訓(xùn)練好的數(shù)學(xué)模型，生成k個(gè)不同的回答，人工標(biāo)注排名，通過(guò)獎(jiǎng)勵(lì)模型給出不同的數(shù)值，獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值越高越好.獎(jiǎng)勵(lì)數(shù)值可以通過(guò)最小化下面的交叉損失函數(shù)得到：，，其中，，且.第一階段：實(shí)驗(yàn)與強(qiáng)化模型和算法.通過(guò)調(diào)整模型的參數(shù)，使模型得到最大獎(jiǎng)以符合人工的選擇取向.(1)若已知某單個(gè)樣本，共真實(shí)分布，共預(yù)測(cè)近似分布，計(jì)算該單個(gè)樣本的交叉損失函數(shù)Loss的值；(2)某次測(cè)試輸入的問(wèn)題中出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為5%，如果輸入問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤，chatGPT的回答被采納的概率為90%，如果出現(xiàn)語(yǔ)法錯(cuò)誤，chatGPT的回答被采納的概率為50%.①求chatGPT的回答被采納的概率；②已知chatGPT的回答被采納，求該測(cè)試輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率.參考數(shù)據(jù)：.，【解析】（1）由題意，該單個(gè)樣本的交叉損失函數(shù)：（2）記事件A：charGPT中輸入的語(yǔ)法無(wú)錯(cuò)誤：事件B：charGPT中輸入的語(yǔ)法有錯(cuò)誤；事件C：chatGPT的回答被納依題意：，，，.①由全概率公式得，chatGPT的回答被采納的概率為，②依題意，.所以該測(cè)試輸入的問(wèn)題沒(méi)有語(yǔ)法錯(cuò)誤的概率為.21．（12分）如圖，已知AB'C是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，D是AB'的中點(diǎn)，DH⊥B′C，如圖，將B'DH沿邊DH翻折至BDH.(1)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，求三棱錐B-DCH的體積.【解析】（1）存在點(diǎn)F滿足題意，且，理由如下:在圖甲中，取B′C的中點(diǎn)M，連接AM，如圖所示因?yàn)锳B'C是等邊三角形，B′C的中點(diǎn)為M，所以,因?yàn)镈H⊥B′C，所以AM∥DH，在圖乙中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，所以AM∥平面BDH，且；在線段BC上取點(diǎn)F使，連接MF，F(xiàn)A，如圖所示因?yàn)?，所以MF∥BH，又因?yàn)槠矫鍮DH，平面BDH，所以MF∥平面BDH，又因?yàn)镸FAM=M，MF，AM平面AMF，所以平面AMF//平面BDH，又因?yàn)锳F平面AMF，所以AF∥平面BDH.（2）在圖中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB?平面BHC，所以DH⊥平面BHC，以H為原點(diǎn)建立的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則H（0，0，0），A（，，0），C（，0，0），D（0，，0），設(shè)，則，，，設(shè)平面BDA的法向量為則，即，令，則，，所以，易知平面BHC的一個(gè)法向量因?yàn)槠矫鍮HC與平面BDA所成的二面角的余弦值為，所以，化