2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)攻略2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)：核心素養(yǎng)測評六

核心素養(yǎng)測評六

函數(shù)的奇偶性、對稱性與周期性

鞏固提升練(3。分鐘60分)

一、選擇題(每小題5分，共25分)

1.下列函數(shù)中，與函數(shù)y=-3x的奇偶性相同，且在(-8,0)上單調(diào)性也相同的是

()

A.y=-lB.y=log|x|

X2

C.y=l-X2D.y=X3-l

【解析】選C.函數(shù)y=-3X為偶函數(shù)，在(-8,0)上為增函數(shù)，選項B的函數(shù)是偶函

數(shù)，但其單調(diào)性不符合，只有選項C符合要求.

【變式備選】

下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,+8)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()

1

A.y=x3B.y=|x|+l

C.y=~X2+lD.y=2xi

【解析】選B.因為y=x5■是奇函數(shù)，y=|x|+1,y=-X2+1,y=2-m均為偶函數(shù)，所以A

錯誤；又因為y=-X2+1,y=2-ixi=0''在(°，+8)上均為減函數(shù)，只有y=|x|+1在

(0,+8)上為增函數(shù)，所以C,D錯誤.

-1-

2.已知函數(shù)f(x)H上的圖象關(guān)于原點對稱,g(x)=ln?+1)-bx是偶函數(shù),則

logb=()

a

A.1B.-1C.--D.l

【解析】選B.由題意得f(0)=0,所以a=2.

因為g()=g(-1),

所以In(e+1)-b=ln(二+l)+b,所以b=±所以logl=-1.

3.x為實數(shù)，［x］表示不超過x的最大整數(shù),則函數(shù)f(x)=x-［x］在R上為()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.增函數(shù)D.周期函數(shù)

【解析】選D.函數(shù)f(x)=x-［x］在R上的圖象如圖：

y

一

-3-2-IO12345x

所以f(X)在R上是周期為1的函數(shù).

【變式備選】

設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中

正確的是()

A.f(x)g(x)是偶函數(shù)

B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù)

C.f(x)|g(x)|是奇函數(shù)

D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù)

-2-

【解析】選C.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)，故f(x)*g(x)為奇函數(shù)，If(x)Ig(x)

為偶函數(shù)，f(x)Ig(x)I為奇函數(shù)，|f(x)g(x)I為偶函數(shù).

4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x20時,f(X)=X2+2X,若f(2-aa)>f(a),則

實數(shù)a的取值范圍是()

A.(-°°,-1)U(2,+°°)

B.(-1,2)

C.(-2,1)

D.(-°°,-2)U(1,+8)

【解析】選C.因為f(x)是奇函數(shù)，

所以當(dāng)x<0時，f(x)=-X2+2x.作出函數(shù)千(x)的大致圖象如圖中實線所示，結(jié)合圖

象可知，

f(x)是R上的增函數(shù),由f(2-a2)>f(a),

得2-a2>a,解得-2<a<1.

5,定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),且在［0,2)上單調(diào)遞減,則下列

結(jié)論正確的是()

A.0<f(l)<f(3)B.f(3)<0<f(l)

C.f(l)<0<f(3)D.f(3)<f(1X0

【解析】選C.由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，得千(0)=0,由千(x+2)=-f(x),

得f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以

f(3)=f(-1),

-3-

又f(x)在［0,2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(-2,2)上單調(diào)遞減，所以

f(-1)>f(0)>f(1),Fpf(1)<0<f(3),故選C.

二、填空題(每小題5分，共15分)

6.(2018,全國卷HD已知函數(shù)f(x)=ln(\，l+x2-x)+l,f(a)=4,貝！Jf(-a)=

【解析】令g(x)=In(Jl+02—x),則

g(-x)=In(!i_|_「X.尸+x)-In(V1+X2+x)

=In1=~In(Jl+=2-x)=一g(x),

\'l+x2~r

所以g(x)是奇函數(shù),由已知，f(x)=g(x)+1,

f(a)=g(a)+1=4,g(a)=3,

所以f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-2.

答案：-2

【變式備選】

函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),且x>0時,f(x)=X2-x,則當(dāng)x<0時,f(x)=.

［解析］函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù),f(-x)=-f(x)；且x>0時，f(x)=X2-X,則當(dāng)x<0

時，f(x)-_f(_x)--(X2+X)--X2-X.

答案：-X2-X

7.已知偶函數(shù)f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(xT)>0,則x的取值范圍

是---------□

【解析】因為f(2)=0,f(x-1)>0,

-4-

所以f(x-1)>f(2),又因為f(x)是偶函數(shù)，

所以f(|x-1|)>f(2),又f(x)在［0,+8)上單調(diào)遞減，所以|x-1|<2,所以

-2<x-1<2,

所以-1<x<3,所以x￡(7,3).

答案：(T,3)

8.定義：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值與最小值之差為函數(shù)f(x)的極差.

若定義在區(qū)間［-2b,3bT］上的函數(shù)f(x)=X3-ax2-(b+2)x是奇函數(shù)，則a+b=

，函數(shù)f(x)的極差為.口

［解析】由f(x)在［-2b,3b-1］上為奇函數(shù)，所以區(qū)間關(guān)于原點對稱，故-2b+

3b7=0,解得b=1,又由f(-x)+f(x)=0可求得a=0,所以a+b=1.又千(x)=X3-3x,

f'(x)=3x2-3,易知f(x)在(-2,-1),(1,2)上單調(diào)遞增，f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,

所以在［-2,2］上的最大值、最小值分別為f(-1)=f⑵=2,f(1)=f(-2)=-2,所以極

差為4.

答案：14

三、解答題(每小題10分，共20分)

-x2+2七x>0,

9.已知函數(shù)f(x)=(0,入,二°,是奇函數(shù).

kx24-mx,x<0

(1)求實數(shù)m的值.

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間［T,a-2］上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍.

【解析】⑴設(shè)x<0,則-x>0,

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=_X2_2X.

又千(x)為奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x).

-5-

于是x<0時，f(x)=X2+2x=X2+mx,

所以m=2.

⑵要使f(x)在［-1,a-2］上單調(diào)遞增,

(Q—2>-1

結(jié)合f(x)的圖象知,所以1<aW3,

la-2<1,

故實數(shù)a的取值范圍是(1,3］.

10.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x都有+x)=_f(3-矛)成

立.

⑴證明y=f(x)是周期函數(shù),并指出其周期.

(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.

⑶若g(x)=X2+ax+3,且y=|f(x)|?g(x)是偶函數(shù),求實數(shù)a的值.

【解析】⑴由fG+廿一嚕-%)

且f(-X)=-f(x),

知f(3+x)=f-+(-+X

L?\7

=-f三一(3+x)=-f(-X)=f(x),

所以y=f(x)是周期函數(shù)，且T=3是其一個周期.

(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以f(0)=0,且千(-1)=-f(1)=-2,

又T=3是y=f(x)的一個周期，

所以f(2)+f⑶=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.

-6-

⑶因為y=|f(x)|?g(x)是偶函數(shù)，

且|f(-X)I二卜f(x)|=|f(x)I,

所以|f(x)|為偶函數(shù).故g(x)=X2+ax+3為偶函數(shù)，即g(-x)=g(x)恒成立，于是

(-x)2+a(-x)+3=X2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立，所以a=0.

綜合運用練(15分鐘35分)

1.(5分)(2020?佛山模擬)若函數(shù)f(x)=[*2+&*三0(a￡R)為偶函數(shù)，則下

xz-ax,x<0

列結(jié)論正確的是()

A.f(a)>f(2a)>f(0)B.f(a)>f(0)>f(2a)

C.f(2a)>f(a)>f(0)D.f(2a)>f(0)>f(a)

【解析】選C.因為函數(shù)f(x)="、'°(a￡R)為偶函數(shù)，

[x2-ax,x<0

所以f(7)=f(1),解得a=1.又因為函數(shù)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)

遞增,

所以f(2a)>f(a)>f(0).

【變式備選】

設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),則下列結(jié)論恒成立的是

()

A.f(x)+|g(x)|是偶函數(shù)

B.f(x)-|g(x)|是奇函數(shù)

C|f(x)|+g(x)是偶函數(shù)

D.|f(x)|-g(x)是奇函數(shù)

-7-

【解析】選A.由g(x)是奇函數(shù)，可得g(-x)=-g(x),所以|g(x)|=|g(-x)|,即

Ig(x)|為偶函數(shù),又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)+|g(x)|為偶函數(shù).

2.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(l+x)Tn(l-x),則f(x)是()

A.奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)

B.奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)

C.偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)

D.偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)

【解析】選A.易知f(x)的定義域為(-1,1),且千(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-千(x),

則y二千(x)為奇函數(shù)，又y=ln(1+x)與y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函數(shù)，所以

f(x)=In(1+x)-In(1-x)在(0,1)上是增函數(shù).

3.(5分)(2020??？谀M)設(shè)函數(shù)f(x)=±-,則使得f(x)>f(2xT)成立的x的

l+/x/

取值范圍是.n

【解析】因為f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù)，且x>0時，f(x)=」一,故

1+r1+r

f(x)單調(diào)遞增，又f(0)=0,從而f(x)是R上的增函數(shù)，故f(x)>f(2X-1)等價于

x>2x-l,解得x〈L

答案：(-8,i)

【變式備選】

設(shè)定義在［-2,2］上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減，若

則實數(shù)m的取值范圍是.

【解析】因為f(x)是偶函數(shù)，

所以千(-X)=f(x)=f(|X|).

-8-

所以千(1-m)<f(m)等價于f(11-m|)<f(|m|).

又當(dāng)x￡[0,2]時，f(x)是減函數(shù)，

1-m>m,

-2<<2,解得-l〈m<±

(-2<m<2.

答案：T,J)

4.(10分)已知函數(shù)f&)=2鼠-2|+2*a￡10有最小值.

(1)求實數(shù)a的取值范圍.

(2)設(shè)g(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.

【解析】⑴f(x)=j"+2%-4，"'2,要使函數(shù)千&)有最小值，需

.(a-2)x+4,x<2,

,a+2~°,所以-2WaW2,

,a-2<0,

故a的取值范圍為[-2,2].

(2)因為g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以g(0)=0.

設(shè)x>0,則-x<0.

所以g(x)=-g(-x)=(a-2)x-4,

((a-2)x-^,x>0,

所以g(x)0,x=0,

k(a-2)x4-4,x<0.

-9-

5.(10分)設(shè)f(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當(dāng)OWxWl時,f(x)=x.

⑴求f(n)的值.

(2)當(dāng)-4WxW4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積.

【解析】(1)由f(x+2)=-f(x)得,

f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x),

所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以f(n)=f(-1X4+n)=f(n-4)

=-f(4-n)=-(4-n)=n-4.

⑵由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x),

得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)],

即f(1+x)=f(1-x).

故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱.

又當(dāng)0WxW1時，f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如

圖所示.

當(dāng)-4WxW4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4義

(|x2X1)=4.

【拓廣探索練】

-10-

1.(2020?重慶模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(l-x)=f(l+x),

當(dāng)x￡[0,1]時,f(x)=log(x+1),則f(2019)=()

2

A.1B.-1C.0D.log3

2

【解析】選B.因為奇函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x),所以

f(x+1)=f(1-x)=-f(x-1),

即f(x+2)=-f(x),

則f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

即函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù)，

因為當(dāng)xG[0,1]Ht,f(x)=log(x+1),

2

所以千(2019)=f(505X4-1)