人教版高一數(shù)學知識點歸納

高一數(shù)學咯僮知識點總結

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念

1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

⑴元素的確定性如：世界上最高的山

⑵元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合｛H,A,P,Y）

（3）元素的無序性：如：｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一個集

合

3.集合的表示：｛…｝如：｛我校的籃球隊員｝,｛太平洋，

大西洋，印度洋,北冰洋｝

⑴用拉丁字母表示集合：A=｛我校的籃球隊

員｝,B=｛1,2,3,4,5）

⑵集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集

R

1）列舉法：｛a,b,c...｝

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大

括號內表示集合的方法。｛xeR|x-3>2｝,｛x|x-3>2｝

3）語言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝

4）Venn圖:

4、集合的分類：

（1）有限集含有有限個元素的集合

⑵無限集含有無限個元素的集合

⑶空集不含任何元素的集合例：｛x|x2=—5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系一子集

注意：AcB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與

B是同一集合。

反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作

A2B或B^A

2.“相等”關系：A=B（525,且5W5,則5=5）

實例：設A=｛x|X2-l=0｝B=｛-1,1｝“元素相同則兩集

合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。AcA

②真子集:如果AcB,且AwB那就說集合A是集合B的真子

集,記作A」B（或B^A）

③如果AcB,BcC,那么AcC

④如果A.同時B^A那么A=B

3.不含任扃元素的集合叫做空集，記為中

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真

子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，個真子集

三、集合的運算

運算交集并集補集

類型

定設S是一個集合，A

義由所有屬于A且由所有屬于集合A

是S的一個子集，由

屬于B的元素所或屬于集合B的元

S中所有不屬于A的

組成的集合，叫素所組成的集合，元素組成的集合，叫

做A,B的交集.記叫做A.B的并做S中子集A的補集

（或余集）

作ADB（讀作飛集.記作：AUB（讀

記作CA，即

S

交B'）,即AflB=作'A并BD,即

AUB={x或CA={xIxeS,且xeA}

{xxeA,且XGA,S

XGB）.xeB}）.

韋

恩

圖

示圖1圖2

性

AQA=AAUA=A(CA)n(cB)

uu

API中=①AU?=A=C(AUB)

u

質

AAB=BAAAUB=BUA(CA)u(cB)

uu

AQBcAAUBqA=c(AQB)

u

AAB^BAUBoBAU(CA)=U

u

An(CA)=S

u

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是

（）

A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自

身的實數(shù)

2.集合{a,b,c}的真子集共有____個

3.若集合M={y[y=xz-2x+l,xeR},N={X|XNO},則M與N的關系是.

4.設集合A=Q[I<X<2}，8={加<及,若AqB,則a的取值范圍是

5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得川

正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，』

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有、

人。H—F--H

6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成一p7

的集合M=.

7.已知集合A={x|X2+2X-8=0},B={x?-5x+6=0},C={x|s-mx+m2-19=0},若B

new?,AAC=①，求m的值

二、函數(shù)的有關概念

1.函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確

定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合

B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A-B

為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作：y=f(x),x￡A.其

中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與

x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x

GA}叫做函數(shù)的值域.

注意：

1.定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的

定義域。

求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：

⑴分式的分母不等于零；

⑵偶次方根的被開方數(shù)不小于零；

⑶對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

⑸如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結合而成的.

那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集

合.

(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

⑺實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和

函數(shù)值的字每無關)；②定義域一致(兩點必須同時具

(見課本21頁相關例2)

2.值域：先考慮其定義域

(1)觀察法

⑵配方法

(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),GGA)

中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,

叫做函數(shù)y=f(x),(xGA)的圖象.C上每一點的坐標(x,

y)均滿足函數(shù)關系y=f(x),反過來，以滿足y=f(x)的每一

組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

(2)畫法

A、描點法：

B、圖象變換法

常用變換方法有三種

1)平移變換

2)伸縮變換

3)對稱變換

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

一(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確

定的對應法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集

合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：

AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應關系)：

A(原象)B(象)”

對于映射f：A-B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是

唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一

個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值

域的并集.

補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(uGM),u=g(x)(xeA),則y=f[g(x)]=F(x)(x

GA)稱為f、g的復合函數(shù)。

二.函數(shù)的性質

L函數(shù)的單調性(局部性質)

(1)增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內的某

個區(qū)間D內的任意兩個自變量x,x,當x〈x時，都有

12V一

f(x)<f(x),那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D

稱為y=f&)的單調增區(qū)間.

如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x,x,當x〈X

時，都有f(x)>f(x),那么就說f(x)在這禰區(qū)2間上痂

函數(shù).區(qū)間以禰為y=Rx)的單調減區(qū)間.

注意：函愛的單調性是函數(shù)的局部性質；

(2)圖象的特點

如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說

函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)

間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左

到右是下降的.

(3).函數(shù)單調區(qū)間與單調性的判定方法

(AQ)定義法：

任取x,x￡D,且x<x；

Q1212

作差f(X)—f(X);

?12

變形(通常是因式分解和配方)；

Q定號(即判斷差f(x)—f(x)的正負)；

12

Q下結論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性).

(B)圖象法(從圖象上看升降)

(C)復合函數(shù)的單調性

復合函數(shù)f[g(x)]的單調性與構成它的函數(shù)u=g(x),

y=f(u)的單調性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能

把單調性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8.函數(shù)的奇偶性(整體性質)

(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-

x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

(2).奇函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內的任意一個X,都有f(-

X)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱.

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

Q首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于原點對

稱；

Q確定f(—X)與f(x)的關系;

Q作出相應結論：若f(—X)=f(X)或f(-X)—f(X)

=0,則f(x)是偶函數(shù)；若f(―x)=—f(x)或f(―X)+

f(X)=0,則f(x)是奇函數(shù).

注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必

要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對

稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定；⑵

由f(-X)土f(x)=0或f(x)/f(-x)=±l來判定；(3)利用定

理，或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變

量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，

二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有：

1)湊配法

2)待定系數(shù)法

3)換元法

4)

。消參法

Q函數(shù)最大(小)值(定義見課本p36頁)

利用二次函數(shù)的性質(配方法)求函數(shù)的最大(小)

值

。

Q利用圖象求函數(shù)的最大(小)值

利用函數(shù)單調性的判斷函數(shù)的最大(小)值：

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞增,在區(qū)間［b,c］

上單調遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上單調遞減，在區(qū)間［b,c］

上單調遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：______

⑴「與一2尸5⑵八「(二)2

|x+3|-3V尤+1

2.設函數(shù)了⑴的定義域為10,i］,則函數(shù)〃x2)的定義域為—一

3.若函數(shù)“%+D的定義域為［_2,引，則函數(shù)/(2x-l)的定義域是

x+2(x<-l)若._

4.函數(shù)八上

2x(x>2)

5.求下列函數(shù)的值域:

⑴y=元2+2%-3(xwR)(2)y-X2+2X-3xG[1,2]

(3)y=x-yJl-2x⑷y=V-x2+4x+5

6.已知函數(shù)/口_1)=%2一以，求函數(shù)/⑴，/(2r+l)的解析式

7.已知函數(shù)/⑴滿足2f(x)+f(-x)=次+4，則f(x)='

8.設煙是R上的奇函數(shù)，且當xe[0,+oo）時，/（x）=x（l+"），則當X€（-oo,0）時

f（.X）=

/（力在R上的解析式為

9.求下列函數(shù)的單調區(qū)間：

⑴y=x2+2x+3⑵y=Jf2+2x+3⑶y=x2-6|.x|-l

10.判斷函數(shù)y=_x3+l的單調性并證明你的結論.

n.設函數(shù)“X）一匹判斷它的奇偶性并且求證：1

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)幕的運算

1.根式的概念：一般地，如果那么X叫做。的〃次

方根，其中〃>1,且〃金N*.

?負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作

\'0=0。

當〃是奇數(shù)時，為5"=a,當〃是偶數(shù)時，

I—a(〃20)

=\a\=<

-a(a<0)

9芬豹彬粉窠

正數(shù)的分數(shù)指‘數(shù)募的意義，規(guī)定：

ULI---

an=Nam(a>0,m,neN*,H>V),

_m11

cin———,-(a>0,zn,nwN*，幾>1)

皿NQm

an'

?0的正分數(shù)指數(shù)易等于0,0的負分數(shù)指數(shù)募沒有意義

3.實數(shù)指數(shù)累的運算性質

(1)ar?ar—ar

(a>Q,r,seR)；

(2)(dr)s=Clrs

(a>0,r,5G7?)；

(3)(ab)r=aras

(a〉0/,s￡7?).

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)y=ax(a〉0,且a/1)叫

做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零

和1.

增減

非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

函數(shù)圖象都過函數(shù)圖象都過

定點(0,1)定點(0,1)

注意：利用函數(shù)的單調性，結合圖象還可以看出：

⑴在[a,b]上，f(x)=ax(a>0<a1)[f(a),f(b)]

或[f(b),f(a)]；

(2)若xwO,則f(x)wl；f(x)取遍所有正數(shù)當且僅當

xeR；

(3)對于指數(shù)函數(shù)f(x)=ax(a〉O且a/1),總有ni)=a；

二、對數(shù)函數(shù)

(-)對數(shù)

1.對數(shù)的概念：一般地，如果ax=N(a〉O,awl),那么

數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作：x=logN(a一底數(shù),

??,a

N—真數(shù)，logN一對數(shù)式)

說明：Q注意底數(shù)的限制a〉0,且awl；

?a，=Nolog.N=x；;/g二a二

Q注意對數(shù)的書寫格式.二二二上二二

兩個重要對數(shù)：

Q常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)IgN；

@自然對數(shù)：以無理數(shù)e=2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)

InN.

指數(shù)式與對數(shù)式的互化

基值真數(shù)

(fb=Nu>logN=b

底數(shù)

指數(shù)對數(shù)

(二)對數(shù)的運算性質

如果。>0,且awl,M>Q,N>0,那么:

Qlog(M?N)=logM+logN；

aaa

Qlog—=logM—logN；

aNaa

QlogMn=nlogM（〃￡??）.

aa

注意：換底公式

logb="gb（?！?,且awl；c>0,且cwl；￡>>0）.

。loga

利用換底公疝推導下面的結論

（1）logbn=—logb;（2）log

c

刖maaloga

b

（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)y=logx{a>0,且aw1）叫做對

a

數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0,+8）.

注意：Q對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定

義,注意辨別。如：y=2logX，v-log—都不是對數(shù)函

2~1O&55

數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).''

?

對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：（Q>0,且awl）.

（三）基函數(shù)

1、累函數(shù)定義：一般地，形如》=皿（。6氏）的函數(shù)稱為累

函數(shù)，其中a為常數(shù).

2、募函數(shù)性質歸納.

（1）所有的褰函數(shù)在（0,+8）都有定義并且圖象都過點

（L1）；

（2）a>0時，募函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間［0,+8）

上是增函數(shù).特別地，當a>l時，基函數(shù)的圖象下凸；當

0<a<1時，募函數(shù)的圖象上凸；

（3）a<0時，募函數(shù)的圖象在區(qū)間（0,+oo）上是減函數(shù).在

第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限

地逼近y軸正半軸，當x趨于+8時，圖象在x軸上方無限

地逼近x軸正半軸.

例題:

)

2?計算：①log32_；?24+iog^-；25110§527+21°§52-；

log64

27

③-7--=

0.064-j-(--)o+[(-2)3]-+16-0.75+0.01

8

3.函數(shù)y=log(2X2-3X+1)的遞減區(qū)間為

1

2

4.若函數(shù)y(x)-iOg其0<〃<1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=

5.已知?-1+3八日T(1)求/⑷的定義域(2)求使。的X的取值

且八々/(X)>0

/(x)=loga-l---x--3>0GW1)

范圍。

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y=/(x)(xeD),把使

/(%)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(xG。)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)y=/(x)的零點就是方程/(x)=0

實數(shù)根，亦即函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即:方程/(x)=0有實數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有

交點o函數(shù)y=/(x)有零點.

3、函數(shù)零點的求法：

Q(代數(shù)法)求方程/(x)=0的實數(shù)根；

@(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與

函數(shù)y=/(X)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零

點.

4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a*0).

(1)△>0,方程以2+bx+c=0有兩不等實根，二次函

數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)有兩個零點.

(2)△=0,方程分2+bx+c=0有兩相等實根，二次函

數(shù)的圖象與x軸有一個交點，二次函數(shù)有一個二重零點或二

階零點.

(3)△<0,方程以2+bx+c=0無實根，二次函數(shù)的圖

象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點.

5.函數(shù)的模型

不

符選擇函數(shù)模型

合

實

際

求函數(shù)模型

用函數(shù)模型解釋實際問題

集合與函數(shù)練習卷

班級姓名得分

一、選擇題(每小題4分，共32分)

1、圖中陰影部分表示的集合是()

A.AQCBB.CAQB1—I

C.(前3)D.C’(AUB)MC二,

2、下列各組中的兩個集合M和N,表示同一集合的是

()

3.M=[n},^={3.14159}B.M={2,3},N={(2,3)}

c.M={x\-l<x<l,x^N}/N={1}D.M={1,73,71},N={n

3、已知集合A二{1|國忘2,xeR},B二{x|x2a},且A=則實數(shù)a的取值范圍

是()

(A)a2—2(B)aW—2(C)a22(D)aW2

4、設全集U={xlxV8,xeN+},若4口(。8)=辰},(C^

(CA)n(cB)=k7}u則

uu

()

(A)A=1,815=b,6}(B)A=*3,5,81B=b,3,5,6}

(C)A=4,8ifi=^,3,5,6)(D)A=1,3,813=5,5,6}

5、設P={xly=X2},Q={(x,y)ly=%2},則P、Q的關系是

()

(A)PcQ(B)PqQ(C)P=Q(D)PnQ=0

6、下列四組函數(shù)，表示同一函數(shù)的是

()

(A)f(x)=y[x2,g(x)=x(B)f(x)=x,g(x)=—

x

(C)/(x)=yjx2-4,g(x)=y[x+2-Jx-2(D)/(x)=|x+l|,g(x)=1%+1A-

[—x—\X<—1

7、函數(shù)y=x+W的圖象是圖中的

X

()

8、某部隊練習發(fā)射炮彈，炮彈的高度h與時間t的函數(shù)關系式是

—4.52+147+18,則炮彈在發(fā)射幾秒后最高呢？

()

A.1.3秒B.1.4秒C.1.5秒D1.6秒

二、填空題(每小題4分，共16分)

9、已知集合4={/8。,},則集合A的非空真子集的個數(shù)是

10、已知集合M={0,1,2},N={x\x=2a,aeM},則集合"UN=,

MC\N=o

11、A={%|-2<x<5},B={x|xW3或xN8},則(CA)U(<CB)=

12、設