微考點7-2遞推方法計算概率與一維馬爾科夫過程（數(shù)列與概率結(jié)合）（原卷版）

微考點72遞推方法計算概率與一維馬爾科夫過程（數(shù)列與概率結(jié)合）【考點分析】①轉(zhuǎn)移概率：對于有限狀態(tài)集合，定義：為從狀態(tài)到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率.②馬爾可夫鏈：若，即未來狀態(tài)只受當(dāng)前狀態(tài)的影響，與之前的無關(guān).③完備事件組：如果樣本空間中一組事件組符合下列兩個條件：（1）；（2）.則稱是的一個完備事件組，也稱是的一個分割.④全概率公式：設(shè)是一個完備事件組，則有⑤一維隨機游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進(jìn)一步，我們假設(shè)在與處各有一個吸收壁，當(dāng)點到達(dá)吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進(jìn)一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：【精選例題】【例1】（2023·新高考1卷）甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【例2】某公司為激勵員工，在年會活動中，該公司的位員工通過摸球游戲抽獎，其游戲規(guī)則為：每位員工前面都有1個暗盒，第1個暗盒里有3個紅球與1個白球.其余暗盒里都恰有2個紅球與1個白球，這些球的形狀大小都完全相同.第1位員工從第1個暗盒里取出1個球，并將這個球放入第2個暗盒里，第2位員工再從第2個暗盒里面取出1個球并放入第3個暗盒里，依次類推，第位員工再從第個暗盒里面取出1個球并放入第個暗盒里.第位員工從第個暗盒中取出1個球，游戲結(jié)束.若某員工取出的球為紅球，則該員工獲得獎金1000元，否則該員工獲得獎金500元.設(shè)第位員工獲得獎金為元.(1)求的概率；(2)求的數(shù)學(xué)期望，并指出第幾位員工獲得獎金額的數(shù)學(xué)期望最大.【例3】網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球運動員提高自己的耐力．耐力訓(xùn)練分為無氧和有氧兩種訓(xùn)練方式．某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前展開了一輪為期90天的封閉集訓(xùn)，在封閉集訓(xùn)期間每名運動員每天選擇一種方式進(jìn)行耐力訓(xùn)練．由訓(xùn)練計劃知，在封閉集訓(xùn)期間，若運動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為；若運動員第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練，則第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，第天進(jìn)行無氧訓(xùn)練的概率為．若運動員封閉集訓(xùn)的第1天進(jìn)行有氧訓(xùn)練與無氧訓(xùn)練的概率相等．(1)封閉集訓(xùn)期間，記3名運動員中第2天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)封閉集訓(xùn)期間，記某運動員第天進(jìn)行有氧訓(xùn)練的概率為，求．【例4】甲乙兩人進(jìn)行投籃比賽，兩人各投一次為一輪比賽，約定如下規(guī)則：如果在一輪比賽中一人投進(jìn)，另一人沒投進(jìn)，則投進(jìn)者得1分，沒進(jìn)者得1分，如果一輪比賽中兩人都投進(jìn)或都沒投進(jìn)，則都得0分，當(dāng)兩人各自累計總分相差4分時比賽結(jié)束，得分高者獲勝．在每次投球中甲投進(jìn)的概率為0.5，乙投進(jìn)的概率為0.6，每次投球都是相互獨立的．(1)若兩人起始分都為0分，求恰好經(jīng)過4輪比賽，甲獲勝的概率．(2)若規(guī)定兩人起始分都為2分，記（）為甲累計總分為i時，甲最終獲勝的概率，則①求證（）為等比數(shù)列②求的值．【例5】某學(xué)校新校區(qū)在校園里邊種植了一種漂亮的植物，會開出粉紅色或黃色的花．這種植物第1代開粉紅色花和黃色花的概率都是，從第2代開始，若上一代開粉紅色的花，則這一代開粉紅色的花的概率是，開黃色花的概率是；若上一代開黃色的花，則這一代開粉紅色的花的概率為，開黃色花的概率為．設(shè)第n代開粉紅色花的概率為．(1)求第2代開黃色花的概率；(2)證明：．【跟蹤訓(xùn)練】1.有一個質(zhì)地均勻的正方體骰子與一個有61個格子的矩形方格圖，矩形方格圖上從0，1，2，…，60依次標(biāo)號.一個質(zhì)點位于第0個方格中，現(xiàn)有如下游戲規(guī)則：先投擲骰子，若出現(xiàn)1點或2點，則質(zhì)點前進(jìn)1格，否則質(zhì)點前進(jìn)2格，每次投擲的結(jié)果互不影響.(1)求經(jīng)過兩次投擲后，質(zhì)點位于第4個格子的概率；(2)若質(zhì)點移動到第59個格子或第60個格子時，游戲結(jié)束，設(shè)質(zhì)點移動到第個格子的概率為，求和的值.2.重慶南山風(fēng)景秀麗，可以俯瞰渝中半島，是徒步休閑的好去處.上南山的步道很多，目前有標(biāo)識的步道共有18條.某徒步愛好者俱樂部發(fā)起一項活動，若挑戰(zhàn)者連續(xù)12天每天完成一次徒步上南山(每天多次上山按一次計算)運動，即可獲得活動大禮包.已知挑戰(zhàn)者甲從11月1號起連續(xù)12天都徒步上南山一次，每次只在涼水井步道和清水溪步道中選一條上山.甲第一次選涼水井步道上山的概率為而前一次選擇了涼水井步道，后一次繼續(xù)選擇涼水井步道的概率為前一次選擇清水溪步道，后一次繼續(xù)選擇清水溪步道的概率為，如此往復(fù).設(shè)甲第n(n=1，2，…，12)天走涼水井步道上山的概率為.(1)求和；(2)求甲在這12天中選擇走涼水井步道上山的概率小于選擇清水溪步道上山概率的天數(shù).3．有個編號分別為的盒子，第1個盒子中有2個紅球和1個白球，其余盒子中均為1個紅球和1個白球，現(xiàn)從第1個盒子中任取一球放入第2個盒子，現(xiàn)從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，，依次進(jìn)行．(1)求從第2個盒子中取到紅球的概率；(2)求從第個盒子中取到紅球的概率；(3)設(shè)第個盒子中紅球的個數(shù)為，的期望值為，求證：．4.馬爾可夫鏈?zhǔn)且蚨韲鴶?shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進(jìn)行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.（1）求的分布列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）求的期望.5.足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進(jìn)行，全程為期28天.校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進(jìn)行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（1）求（直接寫出結(jié)果即可）；（2）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小．6.（2019全國1卷）．為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，，．假設(shè)，．（i）證明：為等比數(shù)列；（ii）求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．1．王老師每天早上7：00準(zhǔn)時從家里出發(fā)去學(xué)校，他每天只會從地鐵與汽車這兩種交通工具之間選擇一個乘坐.王老師多年積累的數(shù)據(jù)表明，他到達(dá)學(xué)校的時間在兩種交通工具下的概率分布如下表所示：到校時間7：30之前7：307：357：357：407：407：457：457：507：50之后乘地鐵0.10.150.350.20.150.05乘汽車0.250.30.20.10.10.05（例如：表格中0.35的含義是如果王老師當(dāng)天乘地鐵去學(xué)校，則他到校時間在7：357：40的概率為0.35.）(1)某天早上王老師通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣決定乘坐地鐵還是乘坐汽車去學(xué)校，若正面向上則坐地鐵，反面向上則坐汽車.求他當(dāng)天7：407：45到校的概率；(2)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校，從第二天開始，若前一天到校時間早于7：40，則當(dāng)天他會乘坐地鐵去學(xué)校，否則當(dāng)天他將乘坐汽車去學(xué)校.且若他連續(xù)10天乘坐地鐵，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，第11天他都將坐汽車到校.記他從今天起（包括今天）到第一次乘坐汽車去學(xué)校前坐地鐵的次數(shù)為，求；(3)已知今天（第一天）王老師選擇乘坐地鐵去學(xué)校.從第二天開始，若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間早于7：40，則當(dāng)天他會乘坐地鐵去學(xué)校；若他前一天坐地鐵去學(xué)校且到校時間晚于7：40，則當(dāng)天他會乘坐汽車去學(xué)校；若他前一天乘坐汽車去學(xué)校，則不論他前一天到校的時間是否早于7：40，當(dāng)天他都會乘坐地鐵去學(xué)校.記為王老師第天坐地鐵去學(xué)校的概率，求的通項公式.2．現(xiàn)有甲、乙兩個不透明盒子，甲盒子裝有2個紅球和2個白球，乙盒子裝有4個白球，這些球的大小、形狀、質(zhì)地完全相同．在一次球交換過程中，從甲盒子與乙盒子中各隨機選擇1個球進(jìn)行交換，重復(fù)次這樣的交換過程后，甲盒子里裝有紅球的個數(shù)為．(1)求的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(2)求．3．某市每年上半年都會舉辦“清明文化節(jié)”，下半年都會舉辦“菊花文化節(jié)”，吸引著眾多海內(nèi)外游客.為了更好地配置“文化節(jié)”旅游相關(guān)資源，2023年該市旅游管理部門對初次參加“菊花文化節(jié)”的游客進(jìn)行了問卷調(diào)查，據(jù)統(tǒng)計，有的人計劃只參加“菊花文化節(jié)”，其他人還想?yún)⒓?024年的“清明文化節(jié)”，只參加“菊花文化節(jié)”的游客記1分，兩個文化節(jié)都參加的游客記2分.假設(shè)每位初次參加“菊花文化節(jié)”的游客計劃是否來年參加“清明文化節(jié)”相互獨立，將頻率視為概率.(1)從2023年初次參加“菊花文化節(jié)”的游客中隨機抽取三人，求三人合計得分的數(shù)學(xué)期望；(2)2024年的“清明文化節(jié)”擬定于4月4日至4月19日舉行，為了吸引游客再次到訪，該市計劃免費向到訪的游客提供“單車自由行”和“觀光電車行”兩種出行服務(wù).已知游客甲每天的出行將會在該市提供的這兩種出行服務(wù)中選擇，甲第一天選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“單車自由行”，后一天繼續(xù)選擇“單車自由行”的概率為，若前一天選擇“觀光電車行”，后一天繼續(xù)選擇“觀光電車行”的概率為，如此往復(fù).（i）求甲第二天選擇“單車自由行”的概率；（ii）求甲第（，2，，16）天選擇“單車自由行”的概率，并幫甲確定在2024年“清明文化節(jié)”的16天中選擇“單車自由行”的概率大于“觀光電車行”的概率的天數(shù).4．某商場為促銷設(shè)計了一項回饋客戶的抽獎活動，抽獎規(guī)則是：有放回的從裝有大小相同的6個紅球和4個黑球的袋中任意抽取一個，若第一次抽到紅球則獎勵50元的獎券，抽到黑球則獎勵25元的獎券；第二次開始，每一次抽到紅球則獎券數(shù)額是上一次獎券數(shù)額的2倍，抽到黑球則獎勵25元的獎券，記顧客甲第n次抽獎所得的獎券數(shù)額的數(shù)學(xué)期望為.(1)求及的分布列.(2)寫出與的遞推關(guān)系式，并證明為等比數(shù)列；(3)若顧客甲一共有6次抽獎機會，求該顧客所得的所有獎券數(shù)額的期望值.（考數(shù)據(jù)：）5．現(xiàn)代排球賽為5局3勝制，每局25分，決勝局15分.前4局比賽中，一隊只有贏得至少25分，并領(lǐng)先對方2分時，才勝1局.在第5局比賽中先獲得15分并領(lǐng)先對方2分的一方獲勝.在一個回合中，贏的球隊獲得1分，輸?shù)那蜿牪坏梅?，且下一回合的發(fā)球權(quán)屬于獲勝方.經(jīng)過統(tǒng)計，甲、乙兩支球隊在每一個回合中輸贏的情況如下：當(dāng)甲隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊獲勝的概率為；當(dāng)乙隊擁有發(fā)球權(quán)時，甲隊獲勝的概率為.(1)假設(shè)在第1局比賽開始之初，甲隊擁有發(fā)球權(quán)，求甲隊在前3個回合中恰好獲得2分的概率；(2)當(dāng)兩支球隊比拼到第5局時，兩支球隊至少要進(jìn)行15個回合，設(shè)甲隊在第個回合擁有發(fā)球權(quán)的概率為.假設(shè)在第5局由乙隊先開球，求在第15個回合中甲隊開球的概率，并判斷在此回合中甲、乙兩隊開球的概率的大小.6．某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A，B，C，D這4個選項，4個選項中僅有兩個或三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.已知測試過程中隨機地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為，并且規(guī)定若第題正確選項為兩個，則第題正確選項為兩個的概率為；第題正確選項為三個，則第題正確選項為三個的概率為.(1)若第二題只選了“C”一個選項，求第二題得分的分布列及期望；(2)求第n題正確選項為兩個的概率；(3)若第n題只選擇B、C兩個選項，設(shè)Y表示第n題得分，求證：.7．甲?乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，雙方的籌碼不動，當(dāng)一方無籌碼時，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.(1)第一局比賽后，