北京市首師大附中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

首都師大附中20202021學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試（14）第Ⅰ卷（共30分）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.雙曲線的方程為，則其離心率為（）A. B. C. D.2.已知直線：與：平行，則的值是（）A.1或0 B.5 C.0或5 D.1或53.設(shè)，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則4.將6枚相同的硬幣放入如圖所示的9個(gè)方格中，要求每個(gè)方格中至多放一枚硬幣，并且毎行每列都有2枚硬幣，則放置硬幣的方法共有（）種.A.6 B.12 C.18 D,365.圓：與圓：的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.46.雙曲線的頂點(diǎn)到其漸近線的距離等于（）A. B. C. D.7.已知橢圓的焦點(diǎn)為，.過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，若周長(zhǎng)為8，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.8.如圖，一豎立在水平地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)處，則該小蟲爬行的最短路程為（）A. B.C. D.9.要排出高三某班一天中，語文、數(shù)學(xué)、英語各2節(jié)，自習(xí)課1節(jié)的功課表，其中上午5節(jié)，下午2節(jié)，若要求2節(jié)語文課必須相鄰且2節(jié)數(shù)學(xué)課也必須相鄰（注意：上午第五節(jié)和下午第一節(jié)不算相鄰），則不同的排法種數(shù)是（）A.84 B.54 C.42 D.1810.佩香囊是端午節(jié)傳統(tǒng)習(xí)俗之一，香囊內(nèi)通常填充一些中草藥，有清香、驅(qū)蟲、開竅的功效，因地方習(xí)俗的差異，香囊常用絲布做成各種不同的形狀，形形色色，玲瓏奪目.圖1中的由六個(gè)正三角形構(gòu)成，將它沿虛線折起來，可得圖2所示的六面體形狀的香囊.那么在圖2這個(gè)六面體中，棱與所在直線的位置關(guān)系為（）A.平行 B.相交C.異面且垂直 D.異面且不垂直第Ⅱ卷（共70分）二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為________.（用數(shù)字作答）12.為拋物線的焦點(diǎn)，，，在拋物線上，若，則________.13.某種產(chǎn)品的加工需要，，，，五道工藝，其中必須在的前面完成（不一定相鄰），其它工藝的順序可以改變，但不能同時(shí)進(jìn)行，為了節(jié)省加工時(shí)間，與必須相鄰，那么完成加工該產(chǎn)品的不同工藝的排列順序有________種.（用數(shù)字作答）14.若方程所表示的曲線為，給出下列四個(gè)命題：①若為橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；②若為雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；③曲線不可能是圓；④若表示橢圓，且長(zhǎng)軸在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.其中真命題的序號(hào)為________.（把所有正確命題的序號(hào)都填在橫線上）15.寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排，，，，五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對(duì)與自己車票相符座位的坐法有________種.（用數(shù)字作答）16.設(shè)為橢圓：的左焦點(diǎn)，為橢圓上給定一點(diǎn)，以為直徑作圓，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值為________.17.已知棱長(zhǎng)為2的正方體，為棱中點(diǎn)，現(xiàn)有一只媽蟻從點(diǎn)出發(fā)，在正方體表面上行走一周后再回到點(diǎn)，這只螞蟻在行走過程中與平面的距離保持不變，則這只螞蟻行走的軌跡所圍成的圖形的面積為________.8.關(guān)于曲線：，給出下列四個(gè)結(jié)論：①出線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱；②曲線恰好經(jīng)過4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線上任意一點(diǎn)都不在圓的內(nèi)部；④曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題（本大題共4小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.（本小題9分）如圖所示，平行六面體中，平面，，，分別為，的中點(diǎn)，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離.20.（本小題8分）已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)使得.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的軌跡為，過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)、，若，求直線的方程.21.（本小題11分）四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，，，點(diǎn)是棱上一點(diǎn).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求二面角的余弦值；（Ⅲ）若直線與平面所成的角為時(shí)，求.22.（本小題10分）已知橢圓：（其中）的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和離心率；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）若為直角三角形，求直線的方程.首都師大附中20202021學(xué)年第一學(xué)期高二數(shù)學(xué)期中考試參考答案（14）第Ⅰ卷（共30分）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所列出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）15：BCCAB610：CCACB第Ⅱ卷（共70分）二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11.1512.613.2414.②15.4516.17.18.①④三、解答題（本大題共4小題，共38分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）19.證明：因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)?，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，此時(shí)，，，，.（Ⅰ）因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫妫云矫?（Ⅱ）因?yàn)?，，所以是平面的法向量，所以平?（Ⅲ）點(diǎn)到平面的距離為.20.解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，.由題意，.整理得：.即點(diǎn)的軌跡方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，為以為圓心，以為半徑的圓，設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)，.由垂徑定理，.即點(diǎn)到直線的距離為2.（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，即所以，.解得：.所以，：，即.由（1）、（2）可知，直線的方程為或.21.證明：（Ⅰ）因?yàn)槠叫兴倪呅沃?，，所以四邊形是菱形，所?因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，所以平?所以平面平面.（Ⅱ）在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，則，因?yàn)槠矫?，平面，所?如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，.所以，，，.設(shè)平面的方向量為，則令，得，，所以.設(shè)平面的方向量為，則則，令，則.所以，.因?yàn)槎娼菫殇J二面角，得二面角的余弦值為.（Ⅲ）設(shè)，則.由（Ⅰ）得，平面.所以，平面的一個(gè)方向量為，由題意：，故，即.所以，，即.解得，.所以或.22.解：（Ⅰ）由題意，，解得.所以，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，離心率為.（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得：，即.設(shè)，，由，得，.所以，.所以，的面積，令，則，得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)（即時(shí)）等號(hào)成立，此時(shí)：.（Ⅲ）（1）若，則，故，，則因?yàn)?，故，即，無解.即.同理，.（2