高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3作業(yè)2-3-2離散型隨機(jī)變量的方差1

離散型隨機(jī)變量的方差一、選擇題1．若隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則D(X)的值為()A．2 B．1C．eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)[答案]B[解析]∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，∴D(X)＝4×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝1.故選B.2．若X的分布列為X01Ppq其中p∈(0,1)，則()A．D(X)＝p3 B．D(X)＝p2C．D(X)＝p－p2 D．D(X)＝pq2[答案]C[解析]由兩點(diǎn)分布的方差公式D(X)＝p(1－p)＝p－p2.故選C．3．(2015·長(zhǎng)沙高二檢測(cè))已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ1234Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,6)eq\f(1,4)則Dξ的值為()A．eq\f(29,12) B．eq\f(121,144)C．eq\f(179,144) D．eq\f(17,12)[答案]C[解析]∵Eξ＝1×eq\f(1,4)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,6)＋4×eq\f(1,4)＝eq\f(29,12)，∴Dξ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17,12)))2×eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)))2×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)))2×eq\f(1,6)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(19,12)))2×eq\f(1,4)＝eq\f(179,144).故選C．4．對(duì)一道試題，甲解出的概率為eq\f(2,3)，乙解出的概率為eq\f(4,5)，設(shè)解出該題的人數(shù)為X，則D(X)等于()A．eq\f(22,15) B．eq\f(86,225)C．eq\f(225,484) D．eq\f(225,85)[答案]B[解析]∵X的取值0,1,2，∴P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,15)，P(X＝1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(6,15)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,15).∴X的分布列為X012Peq\f(1,15)eq\f(6,15)eq\f(8,15)∴E(X)＝0×eq\f(1,15)＋1×eq\f(6,15)＋2×eq\f(8,15)＝eq\f(22,15)，D(X)＝eq\f(1,15)(0－eq\f(22,15))2＋eq\f(6,15)(1－eq\f(22,15))2＋eq\f(8,15)(2－eq\f(22,15))2＝eq\f(86,225).5．若隨機(jī)變量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝eq\f(3,2)，則D(X3)等于()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(5,2) D．eq\f(7,2)[答案]C[解析]∵X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，∴E(X1)＝0.2n＝2，∴n＝10，D(X2)＝6p(1－p)＝eq\f(3,2)，∴p＝eq\f(1,2)，X3～B(10，eq\f(1,2))，∴D(X3)＝10×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).6．設(shè)ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝12，D(ξ)＝4，則n與p的值分別為()A．18，eq\f(1,3) B．12，eq\f(2,3)C．18，eq\f(2,3) D．12，eq\f(1,3)[答案]C[解析]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Eξ＝12,Dξ＝4))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(np＝12,np1－p＝4))，得p＝eq\f(2,3)，n＝18.故選C．7．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的均值與方差分別為()A．E(X)＝0，D(X)＝1 B．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝eq\f(1,2)C．E(X)＝0，D(X)＝eq\f(1,2) D．E(X)＝eq\f(1,2)，D(X)＝1[答案]A[解析]要計(jì)算隨機(jī)變量的期望和方差，應(yīng)先列出其分布列．拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得－1分，則得分X的分布列為X1－1P0.50.5所以E(X)＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，D(X)＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.故選A．二、填空題8．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X123P0.40.5x則X的方差為________．[答案]0.41[解析]由題意可知0.4＋0.5＋x＝1，即x＝0.1，∴E(X)＝1×0.4＋2×0.5＋3×0.1＝1.7，∴D(X)＝(1－1.7)2×0.4＋(2－1.7)2×0.5＋(3－1.7)2×0.1＝0.41.9．某射手擊中目標(biāo)的概率為p，則他射擊n次，擊中目標(biāo)次數(shù)ξ的方差為________．[答案]np(1－p)[解析]∵ξ～B(n，p)，∴D(ξ)＝np(1－p)．三、解答題10．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ、η的分布列為ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3求：(1)a、b的值；(2)計(jì)算ξ、η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．[解析](1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說(shuō)明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說(shuō)明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢(shì)與劣勢(shì)．一、選擇題1．已知X的分布列為X01Ppq其中p∈(0,1)，則()A．E(X)＝p，D(X)＝pqB．E(X)＝p，D(X)＝p2C．E(X)＝q，D(X)＝q2D．E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2[答案]D[解析]∵X～B(1，q)，∴p＋q＝1，E(X)＝1－p，D(X)＝p－p2.2．設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，現(xiàn)已知：E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，則x1＋x2的值為()A．eq\f(5,3) B．eq\f(7,3)C．3 D．eq\f(11,3)[答案]C[解析]由題意，p(X＝x1)＋p(X＝x2)＝1，所以隨機(jī)變量X只有x1，x2兩個(gè)取值，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9).))解得x1＝1，x2＝2，所以x1＋x2＝3，故選C．3．已知X的分布列如下表：X－1012Pabceq\f(5,18)且a、b、c成等比數(shù)列，E(X)＝eq\f(1,9)，則a＝()A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[答案]C[解析]由分布列的性質(zhì)得a＋b＋c＝eq\f(13,18)①∵E(X)＝eq\f(1,9)，∴－a＋c＋eq\f(5,9)＝eq\f(1,9)，∴a－c＝eq\f(4,9)，②又a、b、c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，③將②代入①、③得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＋b＝\f(7,6)，④,b2＝aa－\f(4,9).⑤))由④得b＝eq\f(7,6)－2a，代入⑤得，a＝eq\f(1,2)或a＝eq\f(49,54)，當(dāng)a＝eq\f(49,54)時(shí)，a＋eq\f(5,18)＝eq\f(64,54)>0，不合題意舍去，∴a＝eq\f(1,2).二、填空題4．隨機(jī)變量ξ的取值為0、1、2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.[答案]eq\f(2,5)[解析]設(shè)ξ＝1的概率為P.則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×P＋2(1－P－eq\f(1,5))＝1，∴P＝eq\f(3,5).故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).5．設(shè)p為非負(fù)實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X的概率分布為X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為____________，D(X)的最大值為______．[答案]eq\f(3,2)1[解析]E(X)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋1×p＋2×eq\f(1,2)＝p＋1∵0≤eq\f(1,2)－p≤eq\f(1,2)，0≤p≤eq\f(1,2)，∴p＋1≤eq\f(3,2)，D(X)＝(p＋1)2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－p))＋p2·p＋(p－1)2×eq\f(1,2)＝－p2＋1－p＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p＋\f(1,2)))2＋eq\f(5,4)≤1.三、解答題6．盒子中有5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，求取出白球的期望和方差．[解析]取出白球個(gè)數(shù)ξ的可能取值為0,1,2.ξ＝0表示取出的2個(gè)球都是黑球，P(ξ＝0)＝eq\f(1,C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)；ξ＝1表示取出的2個(gè)球1個(gè)黑球，1個(gè)白球，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)；ξ＝2表示取出的2個(gè)球都是白球，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10)，于是E(ξ)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2，D(ξ)＝(0－1.2)2×eq\f(1,10)＋(1－1.2)2×eq\f(3,5)＋(2－1.2)2×eq\f(3,10)＝0.36.7．一次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分．學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為0.9.學(xué)生乙則在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從4個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)地選擇一個(gè)．求學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)單元測(cè)驗(yàn)中成績(jī)的數(shù)學(xué)期望和方差．[解析]設(shè)學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中選擇了正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是X和η，則X～B(20,0.9)，η～B(20,0.25)，所以E(X)＝20×0.9＝18，D(X)＝1.8，E(η)＝20×0.25＝5，D(η)＝3.75，由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和學(xué)生乙在這次英語(yǔ)測(cè)驗(yàn)中成績(jī)分別是5X和5η.所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中成績(jī)的數(shù)學(xué)期望與方差分別是E(5X)＝5E(X)＝5×18＝90，E(5η)＝5E(η)＝5×5＝25，D(5X)＝25D(X)＝25×1.8＝45，D(5η)＝25D(η)＝25×3.75＝93.75.8．一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在未來(lái)連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率；(2)用X表示在未來(lái)3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．[解析](1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”，A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”，B表示事件“在未來(lái)連續(xù)3天是有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”，因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6P(A2)＝0.003×50＝0.1