第02講平面向量的運算（知識解讀題型歸納隨堂測試）（原卷版）

第02講平面向量的運算知識點1：向量的加法運算（1）向量加法的定義及兩個重要法則：1.定義：求兩個向量的和向量的運算叫做向量的加法.2.運算法則：①三角形法則：已知向量，在平面上任取一點，作，，再作向量，則向量叫做和的和（或和向量），記作，即．②平行四邊形法則：①已知兩個不共線的向量，，作，，則，，三點不共線，以，為鄰邊作平行四邊形，則對角線上的向量，這個法則叫做向量求和的平行四邊形法則．多邊形法則：已知個向量，依次把這個向量首尾相連，以第一個向量的始點為始點，第個向量的終點為終點的向量叫做這個向量的和向量．這個法則叫做向量求和的多邊形法則．知識點2：向量的加法運算定律向量加法的交換律：向量加法的結(jié)合律：關(guān)于：知識點3：向量的減法運算（1）相反向量我們規(guī)定,與向量“長度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,記作a零向量的相反向量仍是零向量由相反向量的定義,我們有如下結(jié)論:(a)=a;(2)a+(a)=(a)a=0;(3)若a,b互為相反向量,則a=b,b=a,a+b=0.（2）向量減法的定義向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即ab=a+(b).求兩個向量差的運算叫做向量的減法向量減法的三角形法則如下圖,已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點0,作=a,=b則==ab.即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量，這是向量減法的幾何意義.知識點4：向量形式的三角不等式（1）當向量a,b不共線時,作=a,=b,則a+b=,如圖(1),根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,有l(wèi)lallbll<la+bl<lal+Ibl.（2）當a與b同向共線或a,b中至少有一個為零向量時,作法同上,如圖(2),此時la+bl=lal+lbl;當a與b反向共線或a,b中至少有一個為零向量時,不妨設(shè)lal>lbl,作法同上,如圖(3),此時la+bl=llallbll.故對于任意向量a,b,總有l(wèi)lallbll<la+bllal+lbl①由于labl=la+(b)l，所以llallbll≤labl≤lal+lbl,即llallbll<labl<lal+lbl②，將①②兩式結(jié)合起來,即llallbll<labllal+lbl,我們稱之為向量形式的三角不等式。知識點4：向量的數(shù)乘運算（1）向量的數(shù)乘的定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作a,它的長度與方向規(guī)定如下:(1)當>0時,a的方向與a的方向相同;當<0時,a的方向與a的方向相反（2）向量的數(shù)乘的幾何意義(1)當>1時,有>lal,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(>1)或反方向(<1)上伸長到原來的倍;(2)當0<<1時,有<lal,這意味著表示向量a的有向線段在原方向(0<<1)或反方向(1<<0)上縮短到原來的倍（3）向量的數(shù)乘的運算律設(shè),從為實數(shù),那么(1);(2);(3).特別地,我們有()a=(a)=(a),(ab)=ab.（4）向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a,b.以及任意實數(shù),,恒有知識點5：向量共線定理向量共線的條件：如果，則∥；反之，如果∥，且，則一定存在唯一的一個實數(shù)，使．【題型1向量的加減運算】【典例1】如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若為單位向量，求、和．【變式11】化簡（

）A． B． C． D．【變式12】化簡下列各式:(1)(2)【變式13】已知用向量加法的三角形法則作出.(1)；(2).【典例2】化簡下列各式：(1)(2)【變式21】簡化．【變式22】如圖，已知向量，，不共線，求作向量．【題型2三角形(平行四邊形)法則的應(yīng)用】【典例3】如圖，在平行四邊形中，下列計算不正確的是（

）A． B．C． D．【變式31】如圖，在平行四邊形中，，，則可以表示為（

）A． B． C． D．【變式32】如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．【變式33】已知為三角形所在平面內(nèi)一點，，則（

）A． B． C． D．【題型3向量的線性運算】【典例4】計算：(1)；(2)．【變式31】化簡下列各式：(1)；(2)【變式32】化簡（1）；（2）【變式33】化簡：(1)；(2)；(3).【變式34】化簡：(1)；(2)；(3)．【題型4用已知向量表示相關(guān)向量】【典例5】若向量，滿足，，、為已知向量，求向量，．【變式51】已知，，求，與．【變式52】已知，是兩個不共線的向量，向量，，求（用，表示）．【變式53】（1）已知，，求.（2）已知向量，且，，求，.【題型5向量共線定理的應(yīng)用】【典例6】已知，是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，，，，且，，三點共線．(1)求實數(shù)的值；(2)若，，求的坐標；(3)已知，在（2）的條件下，若四邊形是平行四邊形，求點的坐標．【變式61】已知，，求證：與共線.【變式62】設(shè)，是不共線的兩個非零向量.(1)若，求證：A，B，C三點共線；(2)若與共線，求實數(shù)k的值.【題型6向量線性運算在三角形中的運用】【典例7】如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA、OB上的動點，且P，G，Q三點共線．(1)設(shè)，將用，，表示；(2)設(shè)，，證明：是定值．一、單選題1．如圖，在平行四邊形中，（

）A． B． C． D．2．化簡得（

）A． B． C． D．3．在中，，則（

）A． B． C． D．4．在中，為邊上的中線，，若，則（

）A． B．1 C．0 D．5．已知向量，那么等于（

）A． B． C． D．6．已知，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．7．若平面四邊形滿足，則該四邊形一定是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．梯形8．在中，為上一點，且，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．如圖，點是線段的三等分點，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．10．若都是非零向量，且，則（

）A．方向相同 B．方向相反 C． D．三、填空題11．若向量與共線，且，則．12．已知向量不共線，，，，則實數(shù)．13．填空：（1）；（2）．14．若向量滿足，則的最小值為，的最大值為．15．如圖所示，已知到平行四邊形的三個頂點的向量分別為，則(用表示)．16．已知向量、、滿足關(guān)系式，那么可用向量、表示向量17．如圖，已知，若，則，.四、解答題18．計算：(1)(2)．19．已知，，求證，，三點共線.20．一質(zhì)點從點出發(fā)，先向北偏東方向運動了到達點，再