第4講三角函數(shù)最值教師版

三角函數(shù)求最值的七種類型類型1.與輔助角公式1.輔助角公式:形如的式子可做如下變換:(1)令(1)式=,其中.例1．已知.求的單調(diào)遞增區(qū)間.解析：化簡(jiǎn)得，令，，解得，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，.例2．已知函數(shù)，其中，且．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，且，求的值．解析：，，，解得：，又，，；令，解得：，的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）.跟進(jìn)訓(xùn)練：1．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值；(3)若為銳角，，求的值．解析（1）由已知．令，解得故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）由，可得所以，故，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2，此時(shí)，即，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，此時(shí)，即，（3）由，可得，因?yàn)?，可得，．類?.二次函數(shù)型（1）把形如或的三角函數(shù)最值問題看成與或有關(guān)的二次函數(shù)解析式，再將其解析式變形轉(zhuǎn)化為或，最后根據(jù)已知變量的范圍求最值.（2）對(duì)于和的形式，也可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來求解.例3．函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則α的取值范圍是（）A． B．C． D．解析：由，令，得：，二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以函?shù)為遞增函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即時(shí)，，使函數(shù)的值域?yàn)椋杂捎嘞液瘮?shù)圖象與性質(zhì)可知，，所以的取值范圍是：．故選：A跟進(jìn)訓(xùn)練：．（2023·浙江溫州·樂清市知臨中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的最大值為1，最小值為C．函數(shù)的圖像在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱解析，對(duì)于A：設(shè)的周期為，則,所以，其中，解得，所以最小值為，故A正確；對(duì)于B：設(shè)，則，所以函數(shù)的最大值為1，最小值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由B得當(dāng)時(shí)，，且在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由，，所以，所以關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確，故選：AD．類型3.如求三角函數(shù)的最值，可將看作，則原函數(shù)可變形為，該函數(shù)是我們熟悉的二次函數(shù)，可求它的最值.例4．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．解析：，令，即，由，則.故選：A.跟進(jìn)訓(xùn)練：1．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最大值是（

）A．1 B． C． D．解析：因?yàn)?，，令．所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，即的最大值為，故選：D．2．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則（

）A．為的一個(gè)周期B．的值域?yàn)閇－1，1]C．的圖象關(guān)于直線x＝0對(duì)稱D．曲線在點(diǎn)處的切線斜率為解析對(duì)于A，，故不為的一個(gè)周期，故A不正確；對(duì)于B，令，且，所以原函數(shù)變?yōu)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，所以，或，所以或，所以的值域?yàn)閇－1，1]，故B正確；對(duì)于C，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，則，又，故C不正確；對(duì)于D，，所以，故D不正確；故選：B.類型4.分式型其中同名函數(shù)利用分離常數(shù)法，形如非同名函數(shù)利用數(shù)形結(jié)合的方法，形如利用單位圓與直線相交相切來解決最值問題.例5.求值域。解：，故，則值域?yàn)?例6.求函數(shù)的最大值和最小值。解：法一：如圖所示，表示過點(diǎn)的直線與單位圓有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率，令直線方程為，原點(diǎn)到直線的的距離為，故函數(shù)的最大值為，最小值為0.法二：利用輔助角公式：計(jì)算，，解得：.跟進(jìn)訓(xùn)練：求函數(shù)的值域.解析由可得，即，由三角函數(shù)輔助角公式可得，（為輔助角），則，解得，故函數(shù)的值域?yàn)?類型5.三次函數(shù)（1）形如：等均為三次函數(shù).（2）三倍角結(jié)構(gòu)這類函數(shù)雖然最后是借助導(dǎo)數(shù)來實(shí)現(xiàn)，但它的轉(zhuǎn)化方向是一致的，結(jié)果就是三次函數(shù)！例7．已知函數(shù)，則函數(shù)的最大值為_____.解析：因?yàn)?，令，則，，令，解得，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，又，，由此，得在時(shí)取得最大值，最大值為，故的最大值為.故答案為：例8．函數(shù)的值域?yàn)開___________．解析：，設(shè)，，則，，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，，所以值域?yàn)?例9．函數(shù)在上的最大值為______.解析：.又，故令，.，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減..故答案為：.類型6.導(dǎo)數(shù)型例10．（2018全國(guó)1卷）已知函數(shù)，則的最小值是__________．解析：，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)減，當(dāng)時(shí)函數(shù)單調(diào)增，從而得到函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，此時(shí)，所以，故答案是.例11．已知函數(shù)，則的最小值是（

）A． B． C． D．解析：函數(shù)；顯然，，函數(shù)值才取最??；由．令，可得：或．當(dāng)，可得；當(dāng)，，，時(shí)，函數(shù)取得最小值為．故選：A．例12.（2022·全國(guó)乙（文）T11）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.答案D解析，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D跟進(jìn)訓(xùn)練：1．（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)在上遞增 D．函數(shù)的最大值為1解析因?yàn)?，，故的周期不是，A錯(cuò)誤；因?yàn)?，故關(guān)于直線對(duì)稱，B正確；當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，故、上，上，所以在上遞增，而，則，而在上遞增，所以在上遞增，故C正確；由C分析知：在上遞減，在上遞增，在上遞減；且，，所以函數(shù)的最大值為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為______.解析因?yàn)?，所以，記，，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值為，故答案為：3．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的周期為 B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．的最大值為 D．在區(qū)間在上單調(diào)遞減解析：由于，故A正確；由于，即的圖象不關(guān)于對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，故C正確；由C項(xiàng)分析可知，在上單調(diào)遞減，故D正確；故選：ACD.類型7.三角換元例13．（1）求函數(shù)的值域.（2）求函數(shù)的值域；（3）求函數(shù)的值域；（4）已知，求的最值解析（1）可化為，令，則，，，∴,故函數(shù)的值域?yàn)?本題可以用柯西不等式求最大值，但最小值沒法求.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，．則．由于，．而當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，此時(shí)．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）解法一：，可設(shè)．則．設(shè)，則，從而．（其中，）．，，，且，，，故函數(shù)的值域?yàn)椋夥ǘ河山夥ㄒ坏?，則為與點(diǎn)連線的斜率．設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，即，顯然，點(diǎn)在半圓上，