重積分D9習(xí)題課課件

重積分D9習(xí)題課目錄CONTENTS重積分的基本概念重積分的計(jì)算方法重積分的實(shí)際應(yīng)用重積分的習(xí)題解析01重積分的基本概念定義表達(dá)方式計(jì)算方法重積分的定義重積分是定積分概念的推廣，它是由單變量函數(shù)的積分推廣到多元函數(shù)的積分。重積分通常表示為二重積分或三重積分，分別表示在二維或三維空間中的積分。重積分的計(jì)算通常通過(guò)將積分區(qū)域劃分為若干個(gè)小區(qū)域，并在每個(gè)小區(qū)域內(nèi)將多元函數(shù)近似為多項(xiàng)式，然后對(duì)每個(gè)小區(qū)域進(jìn)行積分并求和得到。線性性質(zhì)01重積分具有線性性質(zhì)，即對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的和或差的積分，可以分別對(duì)每個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分后再求和或求差。積分區(qū)域的變換02當(dāng)積分區(qū)域發(fā)生變換時(shí)，重積分的值也會(huì)發(fā)生變化。具體地，如果新的積分區(qū)域是由原積分區(qū)域經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)或仿射變換得到的，則重積分的值也會(huì)相應(yīng)地發(fā)生變化。積分的可加性03如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)域上的積分等于該函數(shù)在不同子區(qū)域上的積分的和，則稱該函數(shù)滿足積分的可加性。重積分的性質(zhì)二重積分的幾何意義三重積分的幾何意義重積分的幾何意義三重積分表示的是空間物體在某個(gè)平面上的體積。具體地，當(dāng)三重積分的被積函數(shù)為1時(shí)，該三重積分的值等于該空間物體在該平面上的投影區(qū)域的體積。二重積分表示的是曲面在某個(gè)平面上的面積。具體地，當(dāng)二重積分的被積函數(shù)為1時(shí)，該二重積分的值等于曲面在該平面上的投影區(qū)域的面積。02重積分的計(jì)算方法直角坐標(biāo)系下，重積分可以通過(guò)將積分區(qū)域劃分為若干個(gè)小矩形，然后分別計(jì)算每個(gè)小矩形的面積并求和得到。對(duì)于二重積分，可以先對(duì)其中一個(gè)變量進(jìn)行積分，得到另一個(gè)變量的函數(shù)，然后再對(duì)得到的函數(shù)進(jìn)行積分。對(duì)于三重積分，可以先對(duì)其中兩個(gè)變量進(jìn)行積分，得到第三個(gè)變量的函數(shù)，然后再對(duì)得到的函數(shù)進(jìn)行積分。直角坐標(biāo)系下的計(jì)算方法

極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法極坐標(biāo)系下，重積分可以通過(guò)將積分區(qū)域劃分為若干個(gè)小圓環(huán)，然后分別計(jì)算每個(gè)小圓環(huán)的面積并求和得到。對(duì)于二重積分，可以先對(duì)其中一個(gè)變量進(jìn)行積分，得到另一個(gè)變量的函數(shù)，然后再對(duì)得到的函數(shù)進(jìn)行積分。對(duì)于三重積分，可以先對(duì)其中兩個(gè)變量進(jìn)行積分，得到第三個(gè)變量的函數(shù)，然后再對(duì)得到的函數(shù)進(jìn)行積分。在直角坐標(biāo)系下，二重積分可以表示為∫∫Df(x,y)dxdy=∫dx∫f(x,y)dy。在極坐標(biāo)系下，二重積分可以表示為∫∫Df(r,θ)rdrdθ=∫dr∫f(r,θ)dθ。二重積分可以看作是對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行兩次單變量積分的累次積分。二重積分與累次積分的關(guān)系03重積分的實(shí)際應(yīng)用利用重積分計(jì)算平面曲線的面積，可以將平面曲線圍成的區(qū)域劃分為若干個(gè)小區(qū)域，然后對(duì)每個(gè)小區(qū)域進(jìn)行積分，最后求和得到整個(gè)區(qū)域的面積。計(jì)算橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1所圍成的面積，可以將該橢圓劃分為若干個(gè)小橢圓，對(duì)每個(gè)小橢圓進(jìn)行積分，最后求和得到整個(gè)橢圓的面積。平面曲線的面積計(jì)算實(shí)例計(jì)算方法計(jì)算方法利用重積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積，可以將旋轉(zhuǎn)體劃分為若干個(gè)小圓柱體，然后對(duì)每個(gè)小圓柱體進(jìn)行積分，最后求和得到整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積。實(shí)例計(jì)算圓x^2+y^2=R^2繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積，可以將該旋轉(zhuǎn)體劃分為若干個(gè)小圓柱體，對(duì)每個(gè)小圓柱體進(jìn)行積分，最后求和得到整個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積。旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算計(jì)算方法利用重積分計(jì)算平面薄片的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要知道平面薄片的密度分布和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置，然后對(duì)密度函數(shù)和位置函數(shù)進(jìn)行積分得到質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。實(shí)例計(jì)算圓心在原點(diǎn)、半徑為R的圓盤的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，需要知道該圓盤的密度分布和轉(zhuǎn)動(dòng)軸的位置，然后對(duì)密度函數(shù)和位置函數(shù)進(jìn)行積分得到質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。平面薄片的質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算04重積分的習(xí)題解析題目解析習(xí)題一解析計(jì)算$int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}dyint_{0}^{1}x^{2}dxdy$這是一個(gè)三重積分問(wèn)題，首先對(duì)$x$積分，得到$int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}dyint_{0}^{1}x^{2}dxdy=int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}(xy^{2})|_{0}^{1}dy$，然后對(duì)$y$積分，得到$int_{0}^{1}dyint_{0}^{1}(xy^{2})|_{0}^{1}dy=int_{0}^{1}(x^{2}y)|_{0}^{1}dx$，最后對(duì)$x$積分，得到$int_{0}^{1}(x^{2}y)|_{0}^{1}dx=frac{1}{3}$。題目計(jì)算$int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}dyint_{0}^{1}z^{2}dxdydz$要點(diǎn)一要點(diǎn)二解析這是一個(gè)三重積分問(wèn)題，首先對(duì)$x$積分，得到$int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}dyint_{0}^{1}z^{2}dxdydz=int_{0}^{1}dxint_{0}^{1}(xz^{2})|_{0}^{1}dy$，然后對(duì)$y$積分，得到$int_{0}^{1}dyint_{0}^{1}(xz^{2})|_{0}^{1}dy=int_{0}^{1}(x^{2}z)|_{0}^{1}dx$，最后對(duì)$x$積分，得到$int_{0}^{1}(x^{2}z)|_{0}^{1}dx=frac{1}{3}$。習(xí)題二解析計(jì)算$int_{-1}^{1}dxint_{-1}^{1}dyint_{-1}^{1}(x+y+z)dxdydz$題目這是一個(gè)三重積分問(wèn)題，首先對(duì)$x$積分，得到$int_{-1}^{1}dxint_{-1}^{1}dyint_{-1}^{1}(x+y+z)dxdydz=int_{-1}^{1}dxint_{-1}^{1}(x+y+z)|_{-1}^{1}dy$，然后對(duì)$y$積分，得到$int_{-1}^{1}dyint_{-1}^{1}(x+y+z)|_{