高等代數(shù)B智慧樹知到期末考試答案2024年

高等代數(shù)B智慧樹知到期末考試答案2024年高等代數(shù)B設(shè)W=L(α1,α2,…,αr)，U=L(β1,β2,…,βs)，且α1,α2,…,αr可由β1,β2,…,βs線性表示，則dimW（）dimU。

A:大于B:小于C:大于等于D:小于等于答案:小于等于設(shè)V={(a1,a2,…,an)|a1,a2,…,an是數(shù)域P中非負(fù)數(shù)}，下面說法正確的是（）。

A:V關(guān)于n維向量的加法是封閉的B:V關(guān)于n維向量的加法和數(shù)乘作成一個(gè)數(shù)域P上的線性空間C:V關(guān)于n維向量的加法和數(shù)乘無法作成一個(gè)數(shù)域P上的線性空間D:V關(guān)于n維向量的數(shù)乘運(yùn)算是封閉的答案:V關(guān)于n維向量的加法是封閉的###V關(guān)于n維向量的加法和數(shù)乘無法作成一個(gè)數(shù)域P上的線性空間設(shè)A是一個(gè)三階方陣，1，-2，3是A的三個(gè)不同特征值，則下列說法正確的是（）。

A:矩陣A有且只有這三個(gè)特征值。B:A的行列式為-6.C:矩陣A主對角線上元素之和為2.D:矩陣A是一個(gè)可逆矩陣。答案:矩陣A有且只有這三個(gè)特征值###矩陣A是一個(gè)可逆矩陣###矩陣A主對角線上元素之和為2###A的行列式為-6設(shè)A是有限維線性空間V的一個(gè)線性變換，則下列正確的有（）。

A:A-1(0)?(A2)-1(0)?(A3)-1(0)?…B:{0}?A-1(0)?(A2)-1(0)?(A3)-1(0)?…C:AV?A2V?A3V?…D:AV?A2V?A3V?…答案:1下面選項(xiàng)可以成為兩個(gè)m×n級(jí)λ-矩陣A(λ)與B(λ)等價(jià)的充分必要條件的有（）。

A:A(λ)經(jīng)過一系列初等變換可以化成B(λ)B:存在m階可逆矩陣P(λ)與n階可逆矩陣Q(λ)，使得A(λ)=P(λ)B(λ)Q(λ)C:兩矩陣有相同的行列式因子D:兩矩陣有相同的秩答案:A(λ)經(jīng)過一系列初等變換可以化成B(λ)###存在m階可逆矩陣P(λ)與n階可逆矩陣Q(λ),使得A(λ)=P(λ)B(λ)Q(λ)###兩矩陣有相同的行列式因子###兩矩陣有相同的秩設(shè)W是數(shù)域P上線性空間V的非空子集，則W是子空間的充分必要條件是（）。

A:含有零元B:每個(gè)元素都有負(fù)元C:對W中任意元素α,β，數(shù)域P中任意元素k,l，都有kα+lβ是W中的元素D:W關(guān)于V中的加法和數(shù)乘運(yùn)算封閉答案:封閉設(shè)A是m維線性空間V上的一個(gè)線性變換，α1,α2,…,αm；β1,β2,…,βm是V中的任意兩組基，則下面說法正確的有（）。

A:一定存在唯一的一個(gè)線性變換A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m。B:一定存在一個(gè)可逆的線性變換A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m。C:一定存在一個(gè)線性變換A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m，并且這個(gè)線性變換A未必可逆。D:一定存在一個(gè)線性變換A，使得A(αi)=βi，i=1,2,…,m，并且這個(gè)線性變換A未必唯一。答案:一定存在唯一的一個(gè)線性變換A,使得A(αi)=βi,i=1,2,…,m###一定存在一個(gè)可逆的線性變換A,使得A(αi)=βi,i=1,2,…,m設(shè)W，U是V的兩個(gè)子空間，下面條件中可以推出dim(W+U)=dimW+dimU的有（）。

A:W是零子空間B:W與U的交只含有零元素C:W+U=VD:W是U的子空間答案:W與U的交只含有零元素###W是零子空間設(shè)A是線性空間V上的一個(gè)線性變換，A(αi)=βi，i=1,2,…,m，則下列命題成立的是（）。

A:若β1,β2,…,βm線性相關(guān)，則α1,α2,…,αm線性相關(guān)。B:若α1,α2,…,αm線性相關(guān)，則β1,β2,…,βm線性相關(guān)。C:若α1,α2,…,αm線性無關(guān)，則β1,β2,…,βm線性無關(guān)。D:若β1,β2,…,βm線性無關(guān)，則α1,α2,…,αm線性無關(guān)。答案:若α1,α2,…,αm線性相關(guān),則β1,β2,…,βm線性相關(guān)###若β1,β2,…,βm線性無關(guān),則α1,α2,…,αm線性無關(guān)設(shè)V1={(b1,0,…,0)|b1屬于數(shù)域P}，V2={(0,a2,…,an)|a2,…,an屬于數(shù)域P}，則（）。

A:兩個(gè)子集都含零向量B:兩個(gè)子集并起來是整個(gè)n維向量空間C:兩個(gè)子集關(guān)于向量的加法與數(shù)乘都做成了子空間D:兩個(gè)子集相加是整個(gè)n維向量空間答案:兩個(gè)子集關(guān)于向量的加法與數(shù)乘都做成了子空間###兩個(gè)子集都含零向量###兩個(gè)子集相加是整個(gè)n維向量空間設(shè)A，B，T都是數(shù)域P上的n階方陣，其中T的行列式不等于0，且A，B都可以對角化，則下列矩陣中可以對角化的有（）。

A:T-1BTB:ABC:T-1ATD:A+B答案:T-1AT###T-1BT兩個(gè)A-子空間的和也是A-子空間。（）

A:對B:錯(cuò)答案:錯(cuò)設(shè)D是復(fù)數(shù)域r階方陣，則D的所有初等因子次數(shù)之和必等于r。（）

A:對B:錯(cuò)答案:對設(shè)T，C是同階方陣，則xE-T與xE-C秩相同。（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:錯(cuò)誤線性變換A可逆當(dāng)且僅當(dāng)負(fù)向量的像是像的負(fù)向量。（）

A:對B:錯(cuò)答案:對V中的正交基一定是秩最大的正交向量組。（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:正確每個(gè)度量矩陣經(jīng)過若干次初等行變換就可以化成單位矩陣。（）

A:對B:錯(cuò)答案:對矩陣A的屬于同一個(gè)特征值的全體特征向量可以作成一個(gè)子空間。（）

A:錯(cuò)誤B:正確答案:錯(cuò)誤每個(gè)特征子空間都是一個(gè)無限集。（）

A:錯(cuò)B:對答案:對歐氏空間V的正交補(bǔ)就是零子空間。（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:錯(cuò)誤同構(gòu)映射可以把線性無關(guān)的向量組對應(yīng)成線性相關(guān)的向量組。（）

A:錯(cuò)B:對答案:錯(cuò)數(shù)字矩陣的初等變換與λ-矩陣的初等變換是完全相同的。（）

A:錯(cuò)B:對答案:錯(cuò)設(shè)-4是矩陣A2的一個(gè)特征值，則2i或-2i一定是A的一個(gè)特征值。（

）

A:對B:錯(cuò)答案:錯(cuò)度量矩陣等于線性空間中兩組基之間過渡矩陣。（）

A:對B:錯(cuò)答案:對歐氏空間中任意元素與自身做內(nèi)積，結(jié)果都大于0。（）

A:對B:錯(cuò)答案:錯(cuò)非零線性空間V的兩個(gè)真子空間的并集一定不是子空間。（）

A:錯(cuò)B:對答案:錯(cuò)若W是V的子空間，則W+V是直和的重要條件是W={0｝。（）

A:正確B:錯(cuò)誤答案:正確設(shè)V是n維歐氏空間，則V⊥={0}。（）

A:錯(cuò)B:對答案:對有限維線性空間上的線性變換都是雙射。（）

A:對B:錯(cuò)答案:錯(cuò)設(shè)A是方陣，則A相似于A的轉(zhuǎn)置。（）

A:對B:錯(cuò)答案:對設(shè)A，B是線性空間V上的線性變換，且AB=E，下列命題成立的是（）。

A:A，B均可逆B:BA未必等于EC:A-1=BD:BA=E答案:AI參考:設(shè)A，B是線性空間V上的線性變換，且AB=E，則D:BA=E正確。因?yàn)锳B=E，所以B也是線性變換，所以BA是對稱的線性變換，所以BA等于其恒等變換，即E。其他選項(xiàng)均不正確。因此，本題的正確選項(xiàng)是D:BA=E。'若M1，M2都是V的子空間，則維數(shù)(M1)+維數(shù)(M2)（）維數(shù)(M1+M2)。

A:大于B:≤C:≥D:等于答案:AI參考:正確答案是B:≤。\n\n根據(jù)子空間的定義，若M1、M2都是V的子空間，則它們的和M1+M2仍然是V的子空間，且維數(shù)(M1)+維數(shù)(M2)≤維數(shù)(M1+M2)。這是因?yàn)樽涌臻g的維數(shù)表示的是子空間中基向量的個(gè)數(shù)，而子空間的和仍然是一個(gè)子空間，其基向量個(gè)數(shù)不會(huì)超過原來的兩個(gè)子空間的基向量個(gè)數(shù)之和。因此，答案為B。'在R4中，線性變換A(x1，x2，x3，x4)=(0，-x2，x3，4x4)，則（）。

A:A是滿射B:A可逆C:A可對角化D:A是單射答案:AI參考:答案是C。A可對角化。\n\n根據(jù)線性變換的定義，A是一個(gè)線性變換，它將R^4中的向量映射到R^4中的一個(gè)子空間。根據(jù)給定的變換矩陣，我們可以得到A的矩陣形式為：\n\nA=[0-114]\n\n根據(jù)線性變換的性質(zhì)，如果存在一個(gè)可逆矩陣B，使得A=BBB^T，那么A可以對角化。因此，我們需要找到一個(gè)可逆矩陣B，使得AB=BB^T。\n\n根據(jù)給定的變換矩陣，我們可以得到B的逆矩陣為：\n\nB^-1=[-4001]\n\n將B^-1代入AB=BB^T中，可以得到：\n\n-4x1+0x2+0x3+x4=x4\n\n即x4=4x1-x2，這與給定的變換矩陣的第一列完全一致。因此，選項(xiàng)C“A可對角化”是正確的。選項(xiàng)A、B、D都不符合線性變換的性質(zhì)。'下列說法正確的是（）。

A:對稱矩陣A的屬于相同特征值的特征向量必不正交。B:對稱矩陣A的所有特征向量必正交。C:對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量必正交。D:實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。答案:AI參考:正確答案是D:實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。\n\n實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)，因?yàn)榫仃嚨奶卣髦蹬c矩陣的行變換或列變換無關(guān)，與初等變換無關(guān)。而實(shí)對稱矩陣是自身對應(yīng)的二次型的矩陣，二次型的矩陣的特征向量和特征值與矩陣的初等因子有關(guān)，而初等因子和矩陣的行變換或列變換有關(guān)，所以實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。因此選項(xiàng)D是正確的。\n\n對于選項(xiàng)A和B，對稱矩陣A的所有特征向量不一定正交，因?yàn)樘卣飨蛄康恼恍孕枰仃嚨奶卣髦岛吞卣飨蛄抗餐瑳Q定。對于選項(xiàng)C，對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量不一定正交，因?yàn)橐粋€(gè)矩陣可以同時(shí)擁有正交特征向量和正交特征向量組成的向量組，這與不同的特征值無關(guān)。因此這三個(gè)選項(xiàng)都不是很嚴(yán)謹(jǐn)。綜上所述，只有選項(xiàng)D是正確的。'下面所描述的一定是唯一存在的是（）。

A:子空間中生成元所含向量的個(gè)數(shù)B:子空間的生成元C:子空間的基D:子空間的維數(shù)答案:AI參考:正確答案是D:子空間的維數(shù)。\n\n子空間的維數(shù)是一個(gè)固定的數(shù)值，不會(huì)隨著樣本數(shù)據(jù)的改變而改變，因此唯一存在。而生成元、基和向量個(gè)數(shù)可能會(huì)隨著樣本數(shù)據(jù)的改變而改變，因此不是唯一存在的。'n元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為r，則解空間的維數(shù)是（）。

A:nB:rC:n-rD:0答案:AI參考:正確答案是：C:n-r。\n系數(shù)矩陣的秩等于方程組的解的個(gè)數(shù)，也即方程組的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)。因?yàn)橹挥谢A(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)決定了解空間的維數(shù)。本題解空間的維數(shù)即解向量個(gè)數(shù)等于矩陣的列數(shù)n-r，故答案為C。'下列條件可以推出n級(jí)λ-矩陣A(λ)可逆的有（）。

A:A(λ)秩為nB:|A(λ)|不等于0C:A(λ)有n個(gè)不變因子D:|A(λ)|是一個(gè)非零常數(shù)答案:AI參考:正確選項(xiàng)是【B:|A(λ)|不等于0】。\n\n對于λ-矩陣A(λ)，可逆的充要條件是它的行列式不等于0，即|A(λ)|≠0。因此選項(xiàng)B是正確的，而其他選項(xiàng)并不一定是可逆的充要條件。A選項(xiàng)中雖然說明了λ-矩陣A(λ)的秩為n，但并不能推出它是否可逆；C選項(xiàng)中的不變因子是λ-矩陣的特征多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上的根，與可逆性無關(guān)；D選項(xiàng)雖然說明了行列式是一個(gè)非零常數(shù)，但并不能推出λ-矩陣是否可逆。'令M=C，M’=R，規(guī)定σ(a+bi)=b，則σ是（）。

A:變換B:映上的C:1-1對應(yīng)D:1-1的答案:AI參考:答案：C\n推理過程：根據(jù)題意可知，σ為實(shí)數(shù)域上的一個(gè)線性變換，即為一一對應(yīng)，屬于1-1對應(yīng)。'若由基α1,α2,…,αn到基β1,β2,…,βn的過渡矩陣是A，向量γ在基α1,α2,…,αn下的坐標(biāo)為X，在基β1,β2,…,βn下的坐標(biāo)為Y，則下面說法正確的是（）。

A:X=AYB:X=A-1YC:Y=A-1XD:Y=AX答案:AI參考:正確答案是B:X=A-1Y。\n\n由基α?，α?，…，αn到基β?，β?，…，βn的過渡矩陣是A，向量γ在基α?，α?，…，αn下的坐標(biāo)為X，在基β?，β?，…，βn下的坐標(biāo)為Y。根據(jù)矩陣乘法的定義，有X=A-1Y，所以選項(xiàng)B是正確的。選項(xiàng)A、C、D都不正確。'設(shè)A是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，則下列算式一定成立的是（）。

A:dimAV+dim（A-1(0)）=nB:A-1(0)+AV=VC:A-1(0)∩AV={0}D:A-1(0)⊕AV=V答案:AI參考:正確答案是D。在任何空間V中，由單元素子空間的性質(zhì)知A^-1(0)⊕AV=V。\n\n解釋：選項(xiàng)A是錯(cuò)誤的，因?yàn)閐im(A-1(0))可能等于0，此時(shí)(A-1(0)+A(0))不一定等于n。選項(xiàng)B也是錯(cuò)誤的，因?yàn)?A-1(0)+AV)可能不等于V。選項(xiàng)C也是錯(cuò)誤的，因?yàn)锳-1(0)∩AV可能不等于{0}。因此，只有選項(xiàng)D是正確的。'若W，U是V的子空間，則dimW+dimU=dim(W+U)的充分必要條件是（）。

A:W與U的交是零子空間B:W與U的并是VC:W=VD:U=V答案:AI參考:答案是A:W與U的交是零子空間。\n\n根據(jù)題目條件，W和U是V的子空間，而dimW+dimU=dim(W+U)等價(jià)于W和U的直和是V，而直和的定義是兩個(gè)子空間的交為零子空間，所以A選項(xiàng)是充分必要條件。B、C、D選項(xiàng)都不能保證直和的性質(zhì)，因此不是充分必要條件。'設(shè)A是非零線性空間V上的一個(gè)線性變換，則A的不變子空間至少有（）個(gè)。

A:3B:2C:1D:4答案:AI參考:正確答案是C：1。\n\n因?yàn)锳是非零線性空間V上的一個(gè)線性變換，所以A的不變子空間至少有一個(gè)，即只有一個(gè)。因此，正確答案是C。'n維歐氏空間中的任意兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣一定不可能是（）。

A:零矩陣B:正交矩陣C:行列式為-1的矩陣D:可逆矩陣答案:AI參考:正確答案是D：可逆矩陣。\n\n在n維歐氏空間中，任意兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基之間的過渡矩陣一定是對角線上的元素為正數(shù)的對角矩陣，即B、C選項(xiàng)正確。而A選項(xiàng)零矩陣和D選項(xiàng)可逆矩陣都不是對角矩陣，因此不可能為過渡矩陣。因此，本題答案為D。'

L(b1,…,bk,

c1,…,cl)的維數(shù)（）L(b1,…,bk)+L(c1,…,cl)的維數(shù)。

A:>B:小于或者等于C:<D:>或者=答案:AI參考:正確答案是B：小于或者等于。\n\n因?yàn)橄蛄靠臻g的維數(shù)指的是向量空間中向量的個(gè)數(shù)，而題目中的兩個(gè)向量是兩個(gè)子向量空間，它們的維數(shù)之和可能小于或等于總的向量個(gè)數(shù)。因此，答案為B。'設(shè)n階λ-矩陣A(λ)可逆，則A(λ)的標(biāo)準(zhǔn)形是（）。

A:主對角線上為0和1的對角矩陣B:主對角線上可能含有字母的矩陣C:對角矩陣D:E答案:AI參考:正確答案是C：對角矩陣。\n\n因?yàn)閚階λ-矩陣A(λ)可逆，所以A(λ)的特征多項(xiàng)式f(λ)=0的根的個(gè)數(shù)為n，且每個(gè)根對應(yīng)一個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以A(λ)的矩陣形式為對角矩陣。因此選項(xiàng)C是正確的。選項(xiàng)A、B、D都不符合題意。'等價(jià)的λ-矩陣具有相同的（）。

A:行列式因子B:標(biāo)準(zhǔn)形C:類型（指行數(shù)和列數(shù)）D:秩答案:AI參考:正確選項(xiàng)為D：秩。\n\n等價(jià)的λ-矩陣具有相同的秩，因?yàn)樗鼈兇砹讼嗤牟蛔冏涌臻g，而相同的不變