中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之考點(diǎn)題型全歸納與分層精練（全國(guó)通用）：反比例函數(shù)(解析版)

專題14反比例函數(shù)

【專題目錄】

技巧1:求反比例函數(shù)表達(dá)式的六種方法

技巧2：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解與面積相關(guān)問題

技巧3：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【題型】一.反比例的定義

【題型】二、反比例函數(shù)的圖象

【題型】三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

【題型】四、求反比例函數(shù)解析式

【題型】五、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義

【題型】六、反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

【題型】七、實(shí)際問題與反比例函數(shù)

【考綱要求】

1、理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式.

2、會(huì)畫反比例函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和解析式討論其基本性質(zhì).

3、能用反比例函數(shù)解決某些實(shí)際問題.

【考點(diǎn)總結(jié)】一'反比例函數(shù)的概念

如果兩個(gè)變量X,y之間的關(guān)系可以表示成y=A（k為常數(shù)，且厚0）的形式，那么稱＞

反比例函數(shù)的

反比X

定義是X的反比例函數(shù).

例函

數(shù)的二次函數(shù)的圖圖象的特征:反比例函數(shù)y=-的圖象是一條雙曲線，它關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩

X

概念象及性質(zhì)個(gè)分支在第一、三象限或第二、四象限.

【考點(diǎn)總結(jié)】二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)圖象所在象限性質(zhì)

反比反比例函數(shù)N

k一、三象限在每個(gè)象限內(nèi),y

例函

y=—（RO,kkk>Q—r

Xy=-書（x,y同號(hào)）隨X增大而減小

X

數(shù)的為常數(shù)）的圖象和

（際0#為常數(shù)）二、四象限在每個(gè)象限內(nèi),y

性質(zhì)k<04

圖象（x,y異號(hào)）隨X增大而增大

求反比例函數(shù)的解析式跟求一次函數(shù)一樣，也是待定系數(shù)法.

和性反比例函數(shù)的解

析式的確定

質(zhì)

【注意】

k

反比例函數(shù)y=-（存0）系數(shù)《的幾何意義

x

k

從反比例函數(shù)y=—（原0）圖象上任意一點(diǎn)向x軸和），軸作垂線，垂線與坐標(biāo)軸所圍成的矩形面積為|川。

x

常見模型如圖：

1

-

■AOH-2

【技巧歸納】

技巧1:求反比例函數(shù)表達(dá)式的六種方法

【類型】一'利用反比例函數(shù)的定義求表達(dá)式

1.若y=（m+3）.xm2-10是反比例函數(shù)，試求其函數(shù)表達(dá)式.

【類型】二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)求表達(dá)式

2.已知函數(shù)y=（n+3）xn2+2n-9是反比例函數(shù)，且其圖象所在的每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，求

此函數(shù)的表達(dá)式.

【類型】三、利用反比例函數(shù)的圖象求表達(dá)式

3.如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別相交于A,B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y=［（k/））的圖象在第一象

限交于點(diǎn)C,如果點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,2）,OA=OB,B是線段AC的中點(diǎn).求：

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)及一.次函數(shù)表達(dá)式；

(2)點(diǎn)C的坐標(biāo)及反比例函數(shù)表達(dá)式.

【類型】四、利用待定系數(shù)法求表達(dá)式

4.已知「與x成正比例，y2與x成反比例，若函數(shù)y=%+y2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,2),求y.與x的函

數(shù)表達(dá)式.

【類型】五'利用圖形的面積求表達(dá)式

1k

5.如圖，點(diǎn)A在雙曲線丫=1上，點(diǎn)B在雙曲線y=『上，且AB〃x軸，C,D兩點(diǎn)在x軸上,若矩形ABCD

的面積為6,求B點(diǎn)所在雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.

【類型】六、利用實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系求表達(dá)式

6.某運(yùn)輸.隊(duì)要運(yùn)300t物資到江邊防洪.

(1)運(yùn)輸時(shí)間t(單位：〃)與運(yùn)輸速度v(單位.：之間有怎樣的函數(shù)關(guān)系？

(2)運(yùn)了一半時(shí)，接到防洪指揮部命令，剩下的物資要在2/?之內(nèi)運(yùn)到江邊，則運(yùn)輸速度至少為多少?

參考答案

1.解：由反比例函數(shù)的定義可知

[m2—10=—1,

??rn--r3.

[m+3/0,

,此反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=(

易錯(cuò)點(diǎn)撥：該題容易忽略m+3翔這一條件，得出m=±3的錯(cuò)誤結(jié)論.

n2+2n-9=-1,

2.解：由題意得

n+3>0.

解得n=2(n=-4舍去).

...此函數(shù)的表達(dá)式是y=(.

3.解：(1)VOA=OB,B(0,2),點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上,

點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2,0).

設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=ax+b,將A(—2,0),B(0,2)的坐標(biāo)代入表達(dá)式得

J—2a+b=0,fa=1,

[b=2,**|b=2.

...一次函數(shù)表達(dá)式為y=x+2.

⑵如圖，過點(diǎn)C作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D.

為AC中點(diǎn)，且BO〃CD,

CD=3,.,.CD=4.

又：C點(diǎn)在第一象限,

二設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,4),代入y=x+2得m=2.

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4).

將C(2,4)的坐標(biāo)代入y=、(k#0),得k=8.

反比例函數(shù)表達(dá)式為y=(

4.解：:yi與x成正比例,

?二設(shè)yi=kix(ki#)).

:丫2與X成反比例,

???設(shè)y2=§(k2#))?

又???y=kix+與的圖象經(jīng)過(1,2)和(2,0兩點(diǎn),

'2=ki+k2，

；W=2ki+呈

fkl=-y

解此方程組得j7

lk2=3-

17

Ay與x的函數(shù)表達(dá)式是y=—§x+￡.

5.解：如圖，延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)E,由題意可知S矩形ADOE=1，S中形ocBE=k.

**Sw形ABCD=6,

Ak-1=6.Ak=7.

7

AB點(diǎn)所在雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是y=：

6.解：（1）由已知得vt=300.

；.t與v之間的函數(shù)關(guān)系式為t=^（v>0）.

（2）運(yùn)了一半物資后還剩300x0—；）=150⑺，故t與v之間的函數(shù)關(guān)系式變?yōu)閠=等（v>0）.將.t=2代

入1=粵，得2=呼.解得v=75.

因此剩下的物資要在2h之內(nèi)運(yùn)到江邊，運(yùn)輸速度至少為75t/h.

技巧2：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解與面積相關(guān)問題

【類型】一、反比例函數(shù)的系數(shù)k與面積的關(guān)系

1.如圖，過y軸上任意一點(diǎn)P,作x軸的平行線，分別與反比例函數(shù)y=—（和y=（的圖象交于A點(diǎn)和B

點(diǎn),若C為x軸上的任意一點(diǎn)，連接AC,BC,則AABC的面積為（）.

A.3B.4C.5D.6

2.如圖，P是反比例函數(shù)y=\的圖象上一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別向x軸，y軸作垂線，所得到的圖中陰影部分的

面積為6,則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為（）

3.如圖，AOAC和△BAD都是等腰直角三角形，ZACO=ZADB=90°,反比例函數(shù)y=§在第一象限的

圖象經(jīng)過點(diǎn)B,則AOAC與△BAD的面積之差九0人?-541^口為（）

A.36B.12C.6D.3

4.如圖，正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=（的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，B.CJLx軸于點(diǎn)C,則△ABC的面

積為（）

A.1B.2C.3D.4

4

5.如圖，函數(shù)y=-x與函數(shù)y=一1的圖象相交于A,B兩點(diǎn)，過A,B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分

別為點(diǎn)C,D,則四邊形ACBD的面積為（）

A.2B.4C.6D.8

6.如圖，點(diǎn)A,C為反比例函數(shù)y=3.x<0）圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A,C分別作ABJ_x軸，CDJ_x軸，垂足分

3

別為B,D,連接OA,AC,OC,線段OC交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn)，當(dāng)△AEC的面積為］時(shí)，

k的值為（）

4.4B.6C.-4D.-6

【類型】二'已知面積求反比例函數(shù)的表達(dá)式

題型1:已知三角形面積求函數(shù)表達(dá)式

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB與x軸交于點(diǎn)A(—2,0),與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖

象交于點(diǎn)B(2,n),連接B0,已知SAAOB=4.

(1)求該反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若直線AB與y軸的交點(diǎn)為C,求AOCB的面積.

題型2:已知四邊形面積求函數(shù)表達(dá)式

8.如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)y=-x-(k+l)的圖象與函數(shù)y=%在第二象限的圖象的交點(diǎn)，AB±x

軸于B,ADLy軸于D,且矩形ABOD的面積為3.

(1)求兩函數(shù)的表達(dá)式；

(2)求兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A,C的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且SAAPC=5,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【類型】三、已知反比例函數(shù)表達(dá)式求圖形的面積

題型1:利用對(duì)稱性求面積

9.如圖，是由四條曲線圍成的廣告標(biāo)志，建立平面直角坐標(biāo)系，雙曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式分別為y=—(,

y=3現(xiàn)用四根鋼條固定這四條曲線.這種鋼條加工成矩形產(chǎn)品按面積計(jì)算，每單位面積25元，請(qǐng)你幫助

工人師傅計(jì)算一下，所需鋼條一共要花多少錢?

題型2：利用點(diǎn)的坐標(biāo)及面積公式求面積

10.如圖，直線y=kix+b與反比例函數(shù)y=；(x<0)的圖象相交于點(diǎn)A,點(diǎn)B,與x軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(-2,4),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4.

(1)試確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2).求4AOC的面積.

題型3:利用面積關(guān)系求點(diǎn)的坐標(biāo)

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA_LOB,ABLx軸于點(diǎn)C,點(diǎn)A(小，1)在反比例函數(shù)y=與的圖象上.

(1)求反比例函數(shù)y=與的表達(dá)式；

(2)在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P,使得SAAOP^SAAOB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得到△BDE,點(diǎn)A,O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E,D.直接寫出

點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由.

參考答案

1.A點(diǎn)撥：設(shè)△ABC的邊AB上的高為h,則

SAABC=；AB.h

=2(AP+BP)h

=；(APh+BPh)

=|(|-4|+|2|)

=2x6

=3.

故選A

2.A

3.D點(diǎn)撥：設(shè)△OAC和△BAD的直角邊長(zhǎng)分別為a,b,可得出B點(diǎn)坐標(biāo)為.(a+b,a-b).因?yàn)辄c(diǎn)B在

2222

反比例函數(shù)y=3第一象限的圖象上，所以(a+b)(a—b)=a2—b2=6.所以SAAOC-SABAD=|a-1b=|(a-b)

=(x6=3.故選D.

4.A

5.D點(diǎn)撥：由題1?意，易得出SAODB=SAAOC=1X]-4|=2.易知OC=OD,AC=BD,所以AOC=SAODA

=SAODB=SAOBC=2.所以四邊形ACBD的面積為SAAOC+SAODA+SAODB+SAOBC=8.

6.C點(diǎn)撥：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(m,旨)，則點(diǎn)E6m,親)，Aem,引，根據(jù)三角形的面積公式可得出SAAEC

33

---

82由此即可求出k值.

7.解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BD，x軸，垂足為D.

由題易知0A=2,BD=n.

SAAOB=^OA-BD=1x2n=4.n=4./.B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,4).

?,?反比例曲數(shù)的表達(dá)式為yqQ

設(shè)直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,由題意得

一2k+b=0,k=l,

解得

2k+b=4,b=2.

???直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x+2.

(2)對(duì)于y=x+2,當(dāng)x=0時(shí)，y=0+2=2,.'.C點(diǎn).的坐標(biāo)為(0,2).

，OC=2.

.".SAOCB=SAAOB—SAAOC=4一,X2X2=2.

8.解：(1)由題中圖象知k<0,由已知條件得|k|=3,；.k=-3.

3

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一:，

一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+2.

Jy=-3,

(2)叫x

[y=~x+2,

X|=-11X2=3,

解得一_I

yi=3,ly2=-1.

，點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分.別為(一1,3),(3,—1).

(3)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m),直線y=-x+2與y軸的交點(diǎn)為M.,則點(diǎn)M,的坐標(biāo)為(0,2).

,?*SAAPC=SAAMP+SACMP=《PM(|—11+13|)=5,

55

--

2-2

91

-或-

m-2

2-

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(o，§或(o，—

9.解：由反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，兩條坐標(biāo)軸將矩形ABCD分成四個(gè)全等的小矩形.因?yàn)辄c(diǎn)A為y

=號(hào)的圖象上的一點(diǎn)，所以S*M；AEOH=6.所以SIM；ABCD=4X6=24.所以總費(fèi)用為25x24=600(元).

所以所需鋼條一共要花600元.

10.解：(I：?點(diǎn)A(-2,4)在反比例函數(shù)y=§的圖象上，

；*2=—8.

二反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=一《.

(2)..?點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-4,且點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=—￡的圖象上，

其縱坐標(biāo)為2.

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,2).

?.?點(diǎn)A(—2,4).,B(-4,2)在直線y=kix+b上，

[4=-2k|+b,fk1=l,

/.（解得

[2=-4ki+b,〔b=6.

二.直線AB對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x+6.當(dāng)y=0時(shí)，x=-6.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一6,0）.

ASAAoc=gx6x4.=12.

11.解：⑴???點(diǎn)A（小，1）在反比例函數(shù)y=§的圖象上，

.*.k=-\/3xl=4.

.?.反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=g

（2）VA（V3,1）,ABJ_x軸于點(diǎn)C,

，OC=巾，AC=1.

由題意易得△AOC^AOBC,

■PCAC

,,BC=OC-

；.B點(diǎn)坐標(biāo)為(小，-3).

SAAOB=|><V3X(1+3.)=2^/3.

SAAOP=]SAAOB="\/3.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m,0),

.gxlmlxl=布.

：.\m\=2y[3.

?；P是x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)，

；.m=-2小.

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一25，0).

(3)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(一小，—1).

點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下:

1)=小=匕

...點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象匕

技巧3：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用

【類型】一、反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的位置判斷

1.在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y.=kx-k與反比例函數(shù)y=§(k#))的圖象大致是()

2.一次函數(shù)丫=1?+15與反比例函數(shù)y=§(k，O)在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象如圖所示，則k,b的

取值范圍是()

A.k>0,b>0B.k<0,b>0C.k<0.b<0D.k>0,b<0

【類型】二、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

3.如圖，正比例函數(shù)yi=kix和反比例函數(shù)y2=§的圖象交于A(l,2),B兩點(diǎn)，給出下列結(jié)論：

@ki<k2；②當(dāng)x<—1時(shí)，yi<y2；③當(dāng)yi>y2時(shí)，x>l；④當(dāng)x<0時(shí)，y?隨x的增大而減小.其中正確的

有()

A.0個(gè)8.1個(gè)C.2個(gè)O.3個(gè)

4

4.已知函數(shù)yi=x(x20),y2=1(x>0)的圖象如圖所示，則以下結(jié)論：

①兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2)；

②當(dāng)x>2時(shí),yi>y2；

③當(dāng)x=l時(shí)，BC=2；

④兩函數(shù)圖象構(gòu)成的圖形是軸對(duì)稱圖形；

⑤當(dāng)x逐漸增..大時(shí)，力隨著x的增大而增大，y2隨著次的增大.而減小.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【類型】三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的有關(guān)計(jì)算

題型1:利用點(diǎn)的坐標(biāo)求面積

4

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+n與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A,B,與雙曲線y=q在第一

象限內(nèi)交于點(diǎn)C(l,m).

(1)求m和n的值；

4

(2)過x軸上的點(diǎn)D(3,0)作平行.于y軸的直線1,分別與直線AB和雙曲線y=1交于點(diǎn)P,Q,求△APQ

的面積.

題型2：利用面積求點(diǎn)的坐標(biāo)

6.如圖，A(—4,；),B(—1,2)是一次函數(shù)yi=ax+b與反比例函數(shù)y2=￡圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，AC_Lx軸于

點(diǎn)C,BD_Ly軸于點(diǎn)D.

(1)根據(jù)圖象直接回答：在第二象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，力一丫2>0?

(2)求一次函數(shù)表達(dá)式及m的值.

(3)P是線段AB上一點(diǎn)，連接PC,PD,若△PCA和△PDB面積相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案

1.A2.C

3.C點(diǎn)撥：把點(diǎn)4(1,2)的坐標(biāo)分別代入>>=卜》，中，得ki=2,無=2.所以①是錯(cuò)誤的，易知點(diǎn)3的

坐標(biāo)為（一1，-2）,由圖象可知②，④是正確的，當(dāng)力>、2時(shí)，x>l或一l<x<0,所以③是錯(cuò)誤的，故選

4.①②④⑤

44

5.解：⑴把C(l,m)的坐標(biāo)代入y=j得m=『??.m=4.

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4).

把C(l,4)的坐標(biāo)代入y=2x+n,得4=2x1+n,解得n=2.

(2)對(duì)于y=2x+2,令x=3,則y=2x3+2=8,

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,8).

令y=0,貝！12x+2=0,得x=-1,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0).

44

則

令

對(duì)于-

y=X=3y=-

X3

4

-=20

33AD=3+1=4.

AAAPQ的面積=gAD.PQ=；x4x^=岑.

點(diǎn)撥：注意反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，解答這類題通常運(yùn)用上矍

6.解：⑴在第二象限內(nèi)，當(dāng)一4<x<一1時(shí)，yi-y2>0.

(2)1二雙曲線y2=5過A(—4,4x^=—2.

,直線yi=ax+b過A(—4,；),B(—1,2),

⑶設(shè)P(n,|n+￡|,過P作PMJ_x軸于M,PN_Ly軸于N,

PM/PN=-n.

,?'SAPCA=SAPDB，

5

解得

【題型講解】

【題型】一、反比例的定義

例1、反比例函數(shù)y=：經(jīng)過點(diǎn)（2,1）,則下列說法錯(cuò)送的是（）

A.Z=2B.函數(shù)圖象分布在第一、三象限

c.當(dāng)x>o時(shí)，y隨工的增大而增大D.當(dāng)尤>0時(shí)，y隨x的增大而減小

【答案】c

【提示】將點(diǎn)（2,1）代入y=（中求出k值，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一提示即可.

X

k

【詳解】將點(diǎn)（2,1）代入y=一中，解得：k=2,

A.k=2,此說法正確，不符合題意；

B.k=2>0,反比例函數(shù)圖象分布在第一、三象限，此書說法正確，不符合題意；

C.k=2>0且x>0,函數(shù)圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法錯(cuò)誤，符合題意；

D.1<=2>0且*>0,函數(shù)圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法正確，不符合題意；

故選：C.

【題型】二.反比例函數(shù)的圖象

例2、已知點(diǎn)B（x2,y2）,。（小,%）都在反比例函數(shù)y=」（后<0）的圖像上，且J<（<。<口,

則%，%，%的大小關(guān)系是（）

A.%>%>%B.%>>2>乂c.D.%>%>%

【答案】A

【提示】首先畫出反比例函數(shù)y=X(Z<0),利用函數(shù)圖像的性質(zhì)得到當(dāng)王<工2<0<￡時(shí)，凹，內(nèi)，為

的大小關(guān)系.

【詳解】解：反比例函數(shù)y=±(A<0),

X

???反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，

觀察圖像：當(dāng)X[<々<0<七時(shí),

則為>>1>為?

故選A.

【題型】三、反比例函數(shù)的性質(zhì)

例3、已知正比例函數(shù)y和反比例函數(shù)y=&,在同一直角坐標(biāo)系下的圖象如圖所示，其中符合

x

【答案】B

【提示】根據(jù)正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象逐一判斷即可.

【詳解】解：觀察圖像①可得｛>0,網(wǎng)>0,所以上#2>。，①符合題意:

觀察圖像②可得匕<0/2>0,所以％#2<0,②不符合題意;

觀察圖像③可得｛>0,&<0,所以A#2<0,③不符合題意;

觀察圖像④可得匕<0/2<0,所以氏42>0,④符合題意;

綜上，其中符合匕?總>0的是①④，

故答案為：B.

【題型】四、求反比例函數(shù)解析式

例4、己知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,-4),那么這個(gè)反比例函數(shù)的解析式是()

2288

A.產(chǎn)一B.產(chǎn)---C.y--D.產(chǎn)---

xxXX

【答案】D

【提示】設(shè)解析式產(chǎn)土，代入點(diǎn)(2,-4)求出女即可.

X

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為廣V,

X

將(2,-4)代入，得：-4=4，

解得：k=-8,

8

所以這個(gè)反比例函數(shù)解析式為尸一.

x

故選：D.

【題型】五、反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義

例5、如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=&圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為點(diǎn)C,。為AC的中點(diǎn),

x

若A4O。的面積為1,則%的值為()

33

【答案】D

【提示】先設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用△ADO的面積建立方程求出=2,即可得

出結(jié)論.

【詳解】點(diǎn)A的坐標(biāo)為(m,2n),

?2nm=k，

?D為AC的中點(diǎn),

.D(m,n),

,ACJ_x軸，△ADO的面積為1,

.SADO=；AD-OC=g(2〃—〃)?加=；mn=

?mn=2,

?k=2mn=4，

故選：D.

【題型】六.反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合

例6、如圖，函數(shù)y="+伙左。0)與y=的圖象相交于點(diǎn)4一2,3),8(1,-6)兩點(diǎn)，則不等式

A.x>-2B.-2c無<0或x>lC.x>1D.x<-2或0<x<l

【答案】D

【提示】結(jié)合圖像，求出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可.

【詳解】解：???函數(shù)y="+力仕。0)與y='(租w0)的圖象相交于點(diǎn)4-2,3),8(1,-6)兩點(diǎn),

m

.?.不等式依+。>一的解集為：x<—2或0<x<l,

x

故選：D.

【題型】七、實(shí)際問題與反比例函數(shù)

例7、南寧至玉林高速鐵路已于去年開工建設(shè)，玉林輛隧道是全線控制性隧道，首期打通共有土石方總量

600千立方米，總需要時(shí)間y天，且完成首期工程限定時(shí)間不超過600天.設(shè)每天打通土石方x千立方米.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

(2)由于工程進(jìn)度的需要，實(shí)際平均每天挖掘土石方比原計(jì)劃多0.2千立方米，工期比原計(jì)劃提前了100

天完成，求實(shí)際挖掘了多少天才能完成首期工程？

【答案】(1))=則(0<x<600)；(2)實(shí)際挖掘了50()天才能完成首期工程

x

【提示】(1)根據(jù)“工作時(shí)間=總工作量;每天工作量”，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)工期比原計(jì)劃提前了100天列方程求解即可.

【詳解】

解：(1)I?共有土石方總量600千立方米,

600

??y=---(0<x<600)；

x

(2)由題意得

600600…

xx+0.2

解得X|=1,X2=——(負(fù)值舍去)，

經(jīng)檢驗(yàn)X=1是原分式方程的解

1+0.2=1.2千立方米，

600T.2=500天.

答：實(shí)際挖掘了500天才能完成首期工程.

反比例函數(shù)(達(dá)標(biāo)訓(xùn)練)

一、單選題

1.學(xué)校的自動(dòng)飲水機(jī)，通電加熱時(shí)水溫每分鐘上升10。<2,加熱到100。<2時(shí)，自動(dòng)停止加熱，水溫開始下降.此

時(shí)水溫y(℃)與通電時(shí)間x(min)成反比例關(guān)系.當(dāng)水溫降至20。(2時(shí)，飲水機(jī)再自動(dòng)加熱，若水溫在20。(2時(shí)

接通電源，水溫與通電時(shí)間x之間的關(guān)系如圖所示，則水溫要從20。<2加熱到100。(2,所需要的時(shí)間為()

y(*C)

C.8minD.1()min

【答案】c

【分析】由圖像知加熱時(shí)水溫y(℃)與通電時(shí)間x(min)成正比例關(guān)系，通電加熱時(shí)水溫每分鐘上升10。(2,

所以關(guān)系式為y=10X+20,進(jìn)而可求得水溫要從20%:加熱到loop所需要的時(shí)間.

【詳解】解：由圖可知水溫要從20。(2加熱到100。0水溫)，(℃)與通電時(shí)間x(min)成正比例關(guān)系，關(guān)系式

為y=10x+20,

當(dāng)y=100時(shí)，x=8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖是反比例函數(shù)y=的圖象，當(dāng)x>l時(shí)，y的取值范圍是()

x

A.y>-lB.y<-3C.0<y<3D.-3<y<0

【答案】D

【分析】結(jié)合圖形可知當(dāng)x>l,反比例函數(shù)在x軸下方，并隨x的增大而增大，即可作答.

【詳解】由反比例函數(shù)y=3的圖象可知：

X

當(dāng)x=l時(shí)，y=-3,

當(dāng)x>l,反比例函數(shù)的圖象在x軸下方，并隨x的增大而增大,

則有-3<y<0,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，注重?cái)?shù)形結(jié)合是快速解答本題的關(guān)鍵.

3.已知反比例函數(shù)）,=4的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（-l，-2）,則這個(gè)函數(shù)的圖象位于（）

A.第二、三象限B.第一、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第二、四象限

【答案】B

【分析】直接根據(jù)尸的位置和反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，即可得出答案.

【詳解】解法一：???/）（-1,-2）在第三象限,

，反比例函數(shù)過第三象限

?反比例函數(shù)圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

.,?反比例函數(shù)），=￡位于一、三象限

X

故選：B.

解法二：將P（-1,-2）代入丫=人得k=2,

X

???反比例函數(shù)），=芻k位于一、三象限，

x

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象，理解k的符號(hào)與反比例函數(shù)圖象的位置是解題的關(guān)鍵.

4.若點(diǎn)P（1,3）在反比例函數(shù)產(chǎn)幺（厚0）的圖象上，則后的值是（）

X

4r-

A.y/3B.3C.--V3D.-3

【答案】B

【分析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，即可求出左.

【詳解】???點(diǎn)戶（1,3）在反比例函數(shù)y=X（七0）的圖象上，

X

.'.3=—,即k-3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

5.若點(diǎn)4-2,3）在反比例函數(shù)y=K的圖象上，則人的值是（）

x

A.1B.6C.-6D.3

【答案】C

k

【分析】把點(diǎn)A（-2,3）代入反比例函數(shù)y=人即可求出.

x

k

【詳解】解：將點(diǎn)解-2,3）代入反比例函數(shù)y=J得

x

k=-2x3=—6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式是解題關(guān)

鍵.

二、填空題

4

6.點(diǎn)4（玉,%）,B*,,%）在函數(shù)y=一-的圖像上，若不<0<々，則（填

x

【答案】>

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：由題意得，k<0,

則當(dāng)x>0時(shí)，y<0；當(dāng)x<0時(shí)，y>0,

xt<0<x2,

%>力，

故答案為：>.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握當(dāng)k<0時(shí)反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2

7.當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)y=——；的值是____.

-x+1

【答案】-2

【分析】把x=2代入函數(shù)的解析式進(jìn)行計(jì)算即可.

2

【詳解】解：由題意得：y=--=-2.

-2+1

故答案為：-2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了求反比例函數(shù)的函數(shù)值，正確理解自變量與函數(shù)值之間的關(guān)系成為解答本題的關(guān)

鍵.

三、解答題

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4（1,6）在反比例函數(shù)），=?的圖象上，將點(diǎn)A先向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,

再向下平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)B,點(diǎn)8恰好落在反比例函數(shù)丫=g的圖象上.

⑴求點(diǎn)8的坐標(biāo).

（2）連接30并延長(zhǎng)，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)C,求▲鈣（?的面積.

【答案】（1）點(diǎn)3的坐標(biāo)為（3,2）

(2)16

【分析】（1）利用A的坐標(biāo)得到B的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可求得縱坐標(biāo)；

（2）過點(diǎn)B作8O〃x軸交AC于點(diǎn)Q,根據(jù)反比例函數(shù)的中心對(duì)稱性得到C的坐標(biāo)，從而求得直線AC解

析式，進(jìn)而求得D點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)SMC=S+SBCD求得即可.

（1）

?點(diǎn)A的坐標(biāo)為（I,6）,

?.?點(diǎn)8是由點(diǎn)4向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，向下平移“個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

...點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為3,

將x=3代入y=9中，得y=2,

X

???點(diǎn)8的坐標(biāo)為（3,2）；

（2）

過點(diǎn)8作50〃%軸交AC于點(diǎn)D,如圖所示,

山題意，可知點(diǎn)C與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

...點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3,—2）,

設(shè)直線AC解析式為廣依+%,

6=k+h

將A、C代入得,

-2=-3k+b

k=2

解得

6=4

/.宜線AC的解析式為y=2x+4,

由題意，易得點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為2,

將y=2代入y=2x+4中，得了=一1,

，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1,2）,

S

^AK=SABD+s?CI）=（力-"）=16.

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析

式，三角形面積，掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

反比例函數(shù)（提升測(cè)評(píng)）

一、單選題

1.如圖，直線A3交x軸于點(diǎn)C,交反比例函數(shù)丫=叱士（。>1）的圖像于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)8作軸,

X

垂足為點(diǎn)￡>,若小88=5,則a的值為（)

【答案】D

【分析】設(shè)8伉,巴』,由分88=4土］即可求解.

【詳解】解：設(shè)2（機(jī)，7），

?.?8￡>_Ly軸

**?SABCD=—m-----=5,

2tn

解得：。=11

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，掌握反比例函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

2.已知一次函數(shù)y=r+〃與反比例函數(shù)y=24的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，則。的取值范圍是（）

x

A./?>4B.-4<Z?<4C.匕>4或匕v-4D.b<-4

【答案】C

【分析】構(gòu)建方程組，利用一元二次方程的根的判別式進(jìn)行求解.

【詳解】解：由「七，消去y得到：/-法+4=0,

y=-x+b

4

一次函數(shù)y=-x+6與反比例函數(shù)y=-的圖象有2個(gè)公共點(diǎn)，

X

「.△>0,

即從—16>0,

:.b>4^b<-4，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.

2

3.關(guān)于函數(shù)y=下列說法中正確的是（）

X

A.圖像位于第一、三象限B.圖像與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)

C.圖像是一條直線D.y的值隨x的值增大而減小

【答案】B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可判斷.

2

【詳解】解：在）=--中，k=-2<0,

x

.?.圖像位于第二、四象限，圖像是雙曲線，在每一象限內(nèi)，y隨著x增大而增大，

故A,C,D選項(xiàng)不符合題意，

Vx/：O.）￥0,

.?.函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)，

故B選項(xiàng)符合題意，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

4.已知函數(shù)丫=或，當(dāng)x>0時(shí)，y隨X增大而減小，則關(guān)于X的方程依2+3x-b=O的根的情況是（）

X

A.有兩個(gè)正根B.有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根

C.有兩個(gè)負(fù)根D.沒有實(shí)根

【答案】B

【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出ab>0,再根據(jù)一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系判斷即可.

【詳解】解：：當(dāng)x>0時(shí)，>隨x增大而減小，

.,.ah>0.

"：A=32-4a（-b）=9+4ab>0,

???方程有兩個(gè)不相等的根.

X|%2=----<0,

~a

...方程有一個(gè)正根一個(gè)負(fù)根.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出

ab>0.

5.如果A（2,y/）,B（3,券）兩點(diǎn)都在反比例函數(shù)產(chǎn)一的圖象上，那么》與”的大小關(guān)系是（）

x

A.yt<y2B.凹>必C.弘=必D.y,>y2

【答案】B

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的增減性即可得到答案.

【詳解】解：反比例函數(shù)產(chǎn)1的圖象在每一象限內(nèi)y隨X的增大而減小，而A（2,y/）,B（3,門）兩點(diǎn)

X

都在反比例函數(shù)尸工第一象限的圖象上，

■X

...匕>y2,

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握“y=：（七0）的圖象當(dāng)％>0時(shí)，圖象在每?象限內(nèi)y隨尤的

增大而減小'’是解本題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.如圖，4、8是雙曲線），=&上的兩個(gè)點(diǎn)，過