上海市普陀區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)試題(含答案)

2023屆普陀區(qū)高三二模考試數(shù)學(xué)試卷

2023.04

一、填空題

1.設(shè)全集U=R,若集合A={x∣∣M之l,x∈R},則A=.

2.函數(shù)y=cos2x-sin2X的最小正周期為.

3.現(xiàn)有一組數(shù)1,1,2,2,3,5,6,7,9,9,則該組數(shù)的第25百分位數(shù)為

4.設(shè)3i(i為虛數(shù)單位)是關(guān)于X的方程/+機(jī)=0(m￡R)的根，則M=.

函數(shù)丫=卜：的定義域?yàn)?/p>

5.

6.若乃<e<些且Sine=—3,則tan(e—二］=____

25I4)

7.現(xiàn)有一個(gè)底面半徑為2cm、高為9cm的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個(gè)球形實(shí)心工件，則該工件的表面

積為cm2(損耗忽略不計(jì)).

8.設(shè)的三邊“，h,C滿(mǎn)足a:》：c=7:5:3,且SABC=I56,則此三角形最長(zhǎng)的邊長(zhǎng)為.

9.“民生”供電公司為了分析“康居”小區(qū)的用電量y(單位kw?h)與氣溫X(單位：℃)之間的關(guān)系，隨

機(jī)統(tǒng)計(jì)了4天的用電量與當(dāng)天的氣溫，這兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)下表：

氣溫』181310—1

用電量y24343864

若上表中的數(shù)據(jù)可用回歸方程y=-2x+h(b∈R)來(lái)預(yù)測(cè)，則當(dāng)氣溫為T(mén)C時(shí)該小區(qū)相應(yīng)的用電量約為

kwh.

10.設(shè)耳、居為雙曲線(xiàn)「三一匕=l(α>0)左、右焦點(diǎn)，且「的離心率為逐，若點(diǎn)M在「的右支上，直

a9

線(xiàn)1M與「的左支相交于點(diǎn)M且ISuMN則忻NI=

11.設(shè)且a≠l,若在平面直角坐標(biāo)系無(wú)Oy中，函數(shù)y=log∕"+2)與y=log”一—的圖像于直線(xiàn)/

2X+Q

對(duì)稱(chēng)，則/與這兩個(gè)函數(shù)圖像的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為.

12.設(shè)x、y∈R,若向量4,b,C滿(mǎn)足d=(x,l),b=(2,y),￠=(1,1),且向量與C互相平行，則

∣αI+2|。I的最小值為.

二、選擇題

13.設(shè)A.6為實(shí)數(shù)，則“α>8>(F'的一個(gè)充分非必要條件是()

A.s∣ci—1>y/b-1B.a~>h~C.一〉一D.a-b)b-cι

ha

14.設(shè)A.6表示空間的兩條直線(xiàn)，α表示平面，給出下列結(jié)論：

(1)若α〃匕且匕Uα,則?！é?2)若a〃a且Z?Uα,則α〃匕

(3)若α〃匕且?！é?則?！é?4)若?！é燎邑啊é?則α〃/?

其中不正確的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

15.設(shè)P為曲線(xiàn)C:V=4x上的任意一點(diǎn)，記P到C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d.若關(guān)于點(diǎn)集A={MMPl=町和

8={(x,y)∣(x-lp+(y-1)2=，},給出如下結(jié)論:

①任意r∈((),M),AB中總有2個(gè)元素；②存在re(0,+8),使得A∩8=0?

其中正確的是()

A.①成立，②成立B.①不成立，②成立

C.①成立，②不成立D.①不成立，②不成立

16.設(shè)。>0,若在區(qū)間［4,21)上存在“，b且α<b,使得sin(<υα)+cos(<υb)=2,則下列所給的值中。只

可能是()

1510

A.—B.—C.2D.—

333

三、解答題

17.如圖，在直三棱柱ABC-Algcl中，AC=4,Be=3,AB=S.

(1)求證：AC1BC,；

(2)設(shè)AG與底面ABC所成角的大小為60。，求三梭雉C—ABJ的體積.

18.已知。>人均為不是1的正實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)y=∕(x)的表達(dá)式為/(x)="?L(XeR).

(1)設(shè)α>b且/(x)≤b?α*,求X的取值范圍;

⑵設(shè)α=-L6=4,記4=log2∕5),仇=/(〃)，現(xiàn)將數(shù)列｛α,,｝中剔除也｝的項(xiàng)后、不改變其原來(lái)

順序所組成的數(shù)列記為｛q,｝,求ZG的值.

19.現(xiàn)有3個(gè)盒子，其中第一個(gè)盒子中裝有1個(gè)白球、4個(gè)黑球；第二個(gè)盒子裝有2個(gè)白球、3個(gè)黑球；第三

個(gè)盒子裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球.現(xiàn)任取一個(gè)盒子，從中任取3個(gè)球.

(1)求取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率；

(2)設(shè)X為所取到的白球數(shù)，求取到的白球數(shù)的期望.

20.在XO)，平面上.設(shè)橢圓「：—+/=l(∕n>l),梯形ABCD的四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)均在「上，且A設(shè)直

線(xiàn)AB的方程為y=依伏∈R)

傅20■第（2）HiB）

（第20?第（D（第20?第（3）

(1)若AB為「的長(zhǎng)軸，梯形ABCO的高為且C在AB上的射影為「的焦點(diǎn)，求機(jī)的值；

2

(2)設(shè)〃2=近，直線(xiàn)CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2),求OCOD的取值范圍；

(3)設(shè)m=√Σ,∣AB∣=2∣Cq,4。與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M,當(dāng)人變化時(shí)，二M43的面積是否為定值？

若是，求出該定值：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知a、匕∈R,設(shè)函數(shù)y=∕(x)的表達(dá)式為/(x)=a?χ2-b?lnx(其中x>0)

(1)設(shè)a=l,b=0,當(dāng)/(x)>χτ時(shí)，求X的取值范圍；

(2)設(shè)a=2,b>4,集合。=(0,1],記g(x)=2cx-;(c∈R),若y=g(x)在。上為嚴(yán)格增函數(shù)且對(duì)

/)上的任意兩個(gè)變量s,f,均有/(s)2gG)成立，求C的取值范圍;

當(dāng)尤>時(shí)，記/（'）="（尤）】"+品亓

（3）α=0,b<Q,17其中”為正整數(shù).

求證：[/式x)]"+2≥4(x)+2”.

2022學(xué)年普陀區(qū)高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期質(zhì)量調(diào)研評(píng)分細(xì)則

一、填空題(本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

-

1.(—1,1)2.n3.24.95.(oo,0)U[―9+∞)6.—

7.36;T8.149.6810.3ll1(-?,θ)12.3√5

二、選擇題(本大題共有4題，滿(mǎn)分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分)

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

題號(hào)13141516

答案ADBD

17.(本題滿(mǎn)分14分，本題共有2個(gè)小題，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分)

解：(1)由ZC=4,BC=3,AB=S,得/8?=/C?+B。？,故4CB=&,即/C_LBC.……2分

2

由三棱柱∕8C-48C∣為直三棱柱，得CC?L8C,且8C與CG是平面CA內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),

故4C_L平面……4分又因?yàn)锽C?U平面CB?,所以AC1BC1.……6分

(2)由CG，底面/8C,得/C為ZG在底面48C上的射影，知NC/C即為《G與底面48C所

成角，故NC∕C=60°.……8分

又因?yàn)闉橹苯侨切危?C=4,所以CG=4√J.……10分

CG為三棱錐G的高，SZUBC=6,……12分

=

^C-ΛBCl~^Cl-ΛBC?'?CG=§*6X4yfi=??/?,

即三棱錐C-ZBG的體積為8√J..............14分(注：其他解答方法，如向量法等，均按步給分)

18.(本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分)

解：(1)由α>b>O,得優(yōu)>0及g>l...........................2分

b

將/(x)=α?b'代入/(x)≤6?a?得f心故(小≥∣,........4分

所以x≥l,即X的取值范圍為U,+oo).....................6分

(2)將α=??,b=4代入/(x)=α?b*,得/㈤=??….

16

2Λ4n2

απ=Iog22^=2/2-4,bn=4~9其中〃為正整數(shù).……8分

高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研第1頁(yè)共4頁(yè)

且4+1-4=2>0（常數(shù)），al=-2t故｛%｝是首項(xiàng)為一2、公差為2的嚴(yán)格增的等差數(shù)列;

-fh=4>l,故｛“｝是首項(xiàng)為1、公比為4的嚴(yán)格增的等比數(shù)列.……10分

b〃44

易得qθo=196,4∣o3=202且%=4=4,QlO="=16,a34=b5=64<202,

a130=?6=256>202,.......12分

所以￡￡=卻,-他+”+4）=—電°2+（-2）】_84=1026…14分

<=|（=12

19.（本題滿(mǎn)分14分，第1小題滿(mǎn)分6分，第2小題滿(mǎn)分8分）

解：（1）由題設(shè)條件，得每個(gè)盒中均有5個(gè)球，故從3個(gè)盒子中任取3個(gè)球的取法共有C；C；種…2分

要使得所取到的白球數(shù)不少于2個(gè)，根據(jù)題設(shè)條件，只有如下2種情形：

①取到的白球數(shù)恰為2個(gè)，共有C；G種取法；……3分

②取到的白球數(shù)恰為3個(gè)，共有C；C；+C；種取法.……4分

故任取一個(gè)盒子并從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率

/C"（C產(chǎn)+《）J...................6分

3C；3

012

113

O分

（2）由題設(shè)條件，得X=OJ,2,3,其分布為---

62

10

13

故E（X）=OX—+lx-+2x3+3χ-=1.2…???13分

621030

答：從三個(gè)盒子中任取一個(gè)盒子并從中任取3個(gè)球取到的白球數(shù)不少于2個(gè)的概率為:，取到白球數(shù)的期

望為1.2……14分

20.（本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2小題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分）

解（D（I）由題設(shè)條件，得「右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（J"/-1,0）,故C（Jm2-],；）……2分

再由C在「上，得亡1+J=1,解得，”=2..............4分

"4

（2）將，"=√∑代入「的方程并整理，得.d+2∕=2

y=kx+2

設(shè)直線(xiàn)。。的方程為y=Ax+2,與「的方程聯(lián)立，得:，八，消去7并整理，

X+2y=2

高三數(shù)學(xué)質(zhì)最調(diào)研第2頁(yè)共4頁(yè)

得（1+242口2+8履+6=0,由△＞（）解得《＜一如或”＞逅.（*）……6分

22

Sk

-2=一,

設(shè)C(x∣,M),D(x,y),由(*),得，

226

?+2k2

J

故yiy2=(2+2)(Ax2+2)=AXIX2+2k(X?+x2)+4=......8分

—,------------11

則OC=(XI,必)，OD=(x,y),故0C?OΣ>=x∣X2+M%=

221+2Λ*^

3117—?—.(1\

又由(*)得公>彳，故-1<——τ-l<-.即OCOO的取值范圍是-1,一.……10分

2l+2k24I4)

(3)由梯形HBC。及IZ81=21。I,得。、C分別為K4、"8的中點(diǎn).

當(dāng)∕M=√2時(shí)，橢圓「方程為q→∕=1,設(shè)A(xl,yl),M(x0,y0),則B(-xl,-yi),

2

Jo--VXp(xo+x'

1(*)10分

22

2

由(*)得(x；+X∣2)+2(M/+yj)=8,又由x；+2y；=2,得x。？+2乂：=6…①

再由(*)得XIXO+2yJ。=。，再由M=AX1,得Xo+2@O=O.....②

√3(l+2?2)

3(1+2/)

故M到直線(xiàn)AB的距離d=J~.1=14分

Jl+公?+k2

由IrXJ2'得∕=Γ?'故歷2昕7=2Ql不=2料*………:!6分

SMB=；MBM=；x2x『晨2）XF；：%）=瓜（定值）

所以當(dāng)4變化時(shí)，△M∕3的面積是定值后............18分

（注：其他解答方法,均按步給分）

高三數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研第3頁(yè)共4頁(yè)

21.(本題滿(mǎn)分18分，第1小題滿(mǎn)分4分，第2題滿(mǎn)分6分，第3小題滿(mǎn)分8分)

解：(1)把α=1、6=0代入/(x)=α?χ2-6?lnx,得f(x)=χ2(x>0),于是[(x)>XT變?yōu)閂>x^l

且x>0,……2分解得x>l,故不等式的解集為(1,+8).……4分

(2)/(X)=4X--=4Λ~H,由XW(0,1],b>O,得4χ2-b<0,4x-h<0

XXX

即/(x)<0,故函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(0刀上為嚴(yán)格減函數(shù)，于是/(x)m,n=/⑴=2;……6分

.21

g(x)=2c÷-,因?yàn)榇?2以一一7在區(qū)間(0,1]上為增函數(shù)，所以g(x)=g⑴=2c-l及任意

XX