2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二年級下冊期末試題及答案解析

數(shù)學(xué)2024屆新高三開學(xué)摸底2023高二下學(xué)期期末試題及答案解析數(shù)

學(xué)試題(理科)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫

在本試卷無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.若(z+i)i=4-7i,則復(fù)數(shù)Z的虛部為()

A.-5B.5C.7D.-7

【答案】A

【解析】依題意，z=±N-i=-4i-7-i=-7-5i,故Z的虛部為-5.

1

故選：A

2.已知集合A={x∣2x-4<0},5={x∣lgr<l},則AB=()

A.{x∣x<2}B.{x∣x<10}

C.{x∣0<x<2}D.{x∣x<0或x>2}

【答案】C

【解析】由已知可得，A={x∣x<2},

解lgx<l可得，0<x<10,所以B={x∣0<x<10},

所以，Anβ={x∣0<x<2}.

故選：C.

525則

3.i?(2x-1)=a0+axx+a2x++a5x,q+%++a5=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【解析】令X=0,所以(τ)5=%=τ,

令X=1,所以15=%+4+出++?=1,

所以4+4++%=1+1=2,

故選：D.

4.設(shè)α,夕為兩個不同的平面，則α〃夕的一個充分條件是()

A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行B.a,夕垂直于同一個平面

C.a,僅平行于同一條直線D.a,4垂直于同一條直線

【答案】D

【解析】對于A：α內(nèi)有無數(shù)條直線與萬平推不出α〃/，只有α內(nèi)所有直線與月平行才能推出，故A

錯誤：

對于B：?,夕垂直于同一平面，得到α〃夕或α與夕相交，故B錯誤；

對于C：a,夕平行于同一條直線，得到α〃/或α與夕相交，故C錯誤；

對于D：因?yàn)榇怪迸c同一條直線的兩平面平行，故α,夕垂直于同一條直線可得α〃尸，故：D正確.

故選：D

5.已知雙曲線廠:蘭-亡=1的左右焦點(diǎn)分別為耳,只，過E的直線分別交雙曲線「的左右兩支于AB兩

42

點(diǎn)，且/心AB=N心84,則忸用=()

A.√5+4B.2√5+4C.2√5D.√5

【答案】C

【解析】由雙曲線「：=1得出α=2,b=√∑,c=√^.

42

因?yàn)?死48=/鳥BA,所以怩AI=IEB

作行CLAB于C,則C是42的中點(diǎn).

設(shè)住Al=內(nèi)Bl=X,則由雙曲線的定義"A|-I4Al=2a,?FtB?-?F2B?=2a,

可得陽H=X—4,忻卻=x+4,∣AB∣=8.

故8S4"2=局ICBI=47

又由余弦定理得cosZFtBF,=(x+4)：X：(2旬=寧+4：4，

-2(x+4)-x(x+4)?x

4Λ÷4?—4

所以—=7一7\—'解得戈=2百?

X(x+4)?x

故選：C

C

6.記S,為數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和，設(shè)甲：｛4｝為等差數(shù)列；乙：｛2｝為等差數(shù)列，則()

n

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【解析】方法1,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為G，公差為d,

π,lLn(n-V),Snn-?.ddStl.,Snd

則S"i+〒yF+〒公5…”'滯rm

因此｛、｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

?,Λ±L工="S,m-5+l)S,,="4m-s"

反之，乙：｛、｝為等差數(shù)列，即為常數(shù),設(shè)為f,

nn+1nn(n+?)n(n+i)

即崇泮乙則+i),有―忖Tm〃心≥2,

ana

兩式相減得：n=n+?-(?-1)?-2/n,g∣Jall^-an=2t,對〃=1也成立,

因此｛%｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛α,,｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛q,｝的首項(xiàng)《，公差為d,即5“="q+及Fd

則2=4+紇Dd=《〃+4-《，因此｛4｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件;

n222n

q???

反之，乙：｛二｝為等差數(shù)列，即=Sl+(〃-1)。,

nn+1nn

即Sn=nSl+n(n-])DfSl=(〃-I)Sl+(H-1)(Π-2)D,

當(dāng)〃≥2時,上兩式相減得:Szi-Sj=&+2(〃—1)0,當(dāng)〃=1時，上式成立,

于是4=%+2(∏-1)D,又a”+1一4=q+2"D-[q+2(〃一I)Dl=2D為常數(shù),

因此｛q｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

χ,∣χ∣≤l,

7.已知函數(shù)F(X)=.兀一則下列結(jié)論正確的是().

sin—X,∣Λ?∣>1,

A.3?∈R,f(-x0)≠-f(x0)B.?x∈R,f(,-x)≠f{x}

C.函數(shù)/(X)在號片上單調(diào)遞增D.函數(shù)/(X)的值域是

【答案】D

【解析】

y

作出函數(shù)/(X)的圖象，由圖可知函數(shù)/(X)是奇函數(shù)，即對VxeR,f(-x)=-f(x),故A錯誤；

當(dāng)x=2時，滿足f(-2)=∕(-2)=0,此時VXeR,/(-x)≠f(x)不成立，故B項(xiàng)錯誤；

函數(shù)f(x)在-5,-I上是減函數(shù)，在(T,D上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故C項(xiàng)錯誤；

函數(shù)F(X)的值域是[T,l],故D項(xiàng)正確.

故選D.

8.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓。的半徑為3,直線4,4互相垂直，垂足為“(1,0)，

且人與圓。相交于A,C兩點(diǎn)，4與圓。相交于B,O兩點(diǎn)，則四邊形A8C。的面積的最大值為()

A.10B.12C.13D.15

【答案】B

【解析】設(shè)圓心到直線4的距離為4,圓心到直線4的距離為4,

,直線4，4互相垂直，垂足為M(1,回，片+片=IOMF=6,

.?.?AC?=2y∣9-d;,.?.∣BD∣=2y∣9-d^,

222

.?.SΛSOT=?∣×∣AC∣×∣BD∣=279-JI×√9-t∕2≤(9-<∕1)+(9-^)=18-6=12.

故選：B.

π2π單調(diào)遞增，直線χ=m和X=烏為函數(shù)y=∕(χ)的圖像的兩條

9.已知函數(shù)/(x)=sin(0x+e)在區(qū)間,

6TOJ

5π

對稱軸，則/

~Γ2)

bc

AT?4??D?T

【答案】D

π2π

【解析】因?yàn)閒(x)=sin(or+a)在區(qū)間6,T單調(diào)遞增,

LL..T2兀TL兀...,._271_

所以l一=----=一,.?69>0,則T=π,w=—=2,

2362T

當(dāng)X=J時，/(x)取得最小值，則2?^+e=2E-W,keZ,

662

則"X)=Sin(2X-爸,

10.隨著科技的不斷發(fā)展，人民消費(fèi)水平的提升，手機(jī)購物逐漸成為消費(fèi)的主流，當(dāng)我們打開購物平臺

時，會發(fā)現(xiàn)其首頁上經(jīng)常出現(xiàn)我們喜歡的商品，這是電商平臺推送的結(jié)果.假設(shè)電商平臺第一次給某人推

2一

送某商品，此人購買此商品的概率為??,從第二次推送起，若前一次不購買此商品，則此次購買的概率為

Γ若前一次購買了此商品，則此次仍購買的概率轉(zhuǎn)?記第〃次推送時不購買此商品的概率為2,當(dāng)

〃≥2時，P11<M恒成立，則M的最小值為()

A."93n73

Bd.----D.----

132132C/120

【答案】A

【解析】由題意知，根據(jù)第a-1次推送時購買、沒有購買兩種情況，寫出第”次推送時沒有購買的概率

3212

第〃次(讓2)推送時不購買此商品的概率《二?匕J=五匕

981

所以，由題意知6二打，則片-打二打，

所以是首項(xiàng)為5、公比為，的等比數(shù)列，

Q11O11

所以E,F=7T?聲’即七五十五？聲.

O11Q7

顯然數(shù)列優(yōu)｝遞減，所以當(dāng)〃22時，P1,?P2?+-?-三,

?????4?J4

97

所以M的最小值為急.

故選:A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13,已知向量/;滿足a=(3,l),6=(1,左)，(a-θ)?La,貝IJZ=.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得。一/?=(2,1-6，結(jié)合(a-b)?a=0,列出方程，即可求解.

【詳解】由向量滿足a=(3,l),b=(l,k),可得a-匕=(2,1-幻，

因?yàn)榭傻?a—b)?a=2χ3+(I-Z)Xl=7-Z=0,解得&=7.

故答案為：7.

14.曲線y=^+111(%-1)在點(diǎn)(2,8)處的切線方程是.

【答案】13x-y-18=0

【解析】

【分析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得方程.

【詳解】y=3∕+-L,當(dāng)χ=2時，y'=13;

x-1

所以曲線y=d+ln(xT)在點(diǎn)(2,8)處的切線方程是丁-8=13(為一2),

即13x—y-18=0.

故答案為：13x—y—18=0.

第6頁/共20頁

15.某玩具廠計(jì)劃設(shè)計(jì)一款玩具，準(zhǔn)備將一個棱長為4cm的正四面體（所有棱長都相等的

三棱錐）密封在一個圓柱形容器內(nèi)，并且這個正四面體在該圓柱形容器內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，

則該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為cm.

【答案】2捉

【解析】

【分析】依題意該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時，圓柱形容器內(nèi)壁高的最小，則正四

面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，求出正四面體外接球的半徑，即可得解.

【詳解】依題意該圓柱內(nèi)放置一個棱長為4cm的正四面體，并且正四面體在該圓柱內(nèi)可以

任意轉(zhuǎn)動，

則該正四面體內(nèi)接于該圓柱的內(nèi)切球時，圓柱形容器內(nèi)壁高最小，

則正四面體外接球的直徑即為圓柱形容器內(nèi)壁的高，

如圖正四面體P-ABC,設(shè)點(diǎn)P在面ABC內(nèi)的射影為H,即/7/_1_面ABC,

則球心。在P”上，AH=-ABcos30=正,

33

所以/W=-PA?—A”）=/半）=半，

設(shè)外接圓的半徑為A,OP=OA=R,所以O(shè)H=PHT

在RtZ√MH中，OA1=OH2+AH2,即我=［乎一1÷m?

解得R=?/e）

所以該圓柱形容器內(nèi)壁高的最小值為2瘋m.

P

第7頁/共20頁

故答案為：2顯

16.已知A，N2是函數(shù)/(x)=|log2X-m(meR)的兩個零點(diǎn)，且王<工2<2王，記

a=*+%+。，ZJ=(X2+I嚴(yán)叫，C=(Xl+4嚴(yán)叫，用“〈”把α,b,C連接起來

【答案】c<a<b

【解析】

【分析】由/(x)=∣log2R-m=0,得m=∣log2X∣,令g(x)=1log2乂，借助g(χ)的圖

象可得x∣,*2的范圍，令X2+1=〃，K+4=A，則α=2"'b—n~li，c-k^">利用由函

數(shù)y=2'與y=f在(0,+8)上的圖象得出的結(jié)論，以及指數(shù)幕運(yùn)算和函數(shù)的單調(diào)性可比

較大小.

【詳解】由/(χ)=∣iog2M-∕%=o,得W=Mg2.,

,,[-log,x,0<x<l

令g(x)=l0g2X={^，

[log2x,x>l

作出g(χ)的圖象，直線y=加與g(χ)的圖象有兩個交點(diǎn),

由圖可知O<X∣<1<%，又％2<2玉，貝!]1<工2<2x∣<2,O<∕n<l,

?.?-Iog2xi=m=Iog2X2,Iog2xλx2=O,Λxlx2=1,

令工2+1=〃,％+4=%，則2</<3,4<Z<5,

則。=2",b=n2k>c=k2",

作出函數(shù)y=2'與y=f在(0,+8)上的圖象，

第8頁/共20頁

由圖可知，當(dāng)x=2時，2Λ=X2=4;當(dāng)％=4時，2Λ=X2=16；

當(dāng)0<x<2時，2v>X2;當(dāng)2vxv4時，2x<X2;當(dāng)x>4時，2v>X2.

C=Z2"=卜2）",。=2既=（2"）”，而4<左<5,從而公<2*，

則（二）“<（2*）”,即c<a：

4=2λn=（2"）*,b=n2k=[n2）∣,而2<w<3,從而2"</，

則（2"丫,即

綜上，c<a<b.

故答案為：c<a<b.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：

（1）直接解方程法（適用于方程易解的情形）；

（2）利用零點(diǎn)存性定理；

（3）圖象法：①研究函數(shù)的圖象與X軸的交點(diǎn)；②轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（-）必考題：共60分.

17,已知等差數(shù)列｛4｝前五項(xiàng)和為15,等比數(shù)列｛2｝的前三項(xiàng)積為8,且q=4=1.

（I）求｛4｝和｛2｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)g=α∕,,,求數(shù)列｛c,,｝的前〃項(xiàng)和5“.

第9頁/共20頁

π

【答案】(1)all=n,bn=2-'

,,

(2)S11=(n-l)2+l

【解析】

【分析】(1)根據(jù)數(shù)列類型和基本量關(guān)系的運(yùn)算即可求得通項(xiàng)公式；

(2)根據(jù)錯位相減法可求得結(jié)果.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,等比數(shù)列也｝的公比為夕，

：等差數(shù)列｛為｝前五項(xiàng)和為15,且“∣=l,

5×4

Λ5×l+——d=15解得d=l,

21

.*.=q+(〃一l)d=n,

???等比數(shù)列他,｝的前三項(xiàng)積為8,且乙=1,

?×q×q^=8,q=2,

：?b.=bd-

【小問2詳解】

S,,=Ct+C2++cn,

l2

B∣JSn=l+2×2+3×2++n×2"^',

23

：.2Sll=l×2+2×2+3×2++n×2",

1_2〃

Λ-5=l+2+22+23++2"-'-n×2"=--—n×2"=(l-〃)2"-1,

"1-2

.?.S“=(〃-1)2"+1.

18.某地區(qū)新高考要求語文、數(shù)學(xué)和英語是考生的必考科目，考生還要從物理、化學(xué)、生

物、歷史、地理和政治六個科目中選取三個科目作為選考科目.現(xiàn)從該地區(qū)已選科的學(xué)生中

隨機(jī)選出200人，對其選科情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，選考物理的占60%,選考政治的占75%,物

理和政治都選的有80人.

第10頁/共20頁

（1）完成選考物理和政治的人數(shù)的2x2列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過

0.1%的前提下，認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān)？

選考政治的人數(shù)沒選考政治的人數(shù)合計(jì)

選考物理的人數(shù)

沒選考物理的人數(shù)

合計(jì)

（2）在該地區(qū)已選科的考生中隨機(jī)選出3人，這3人中物理和政治都選了的考生的人數(shù)為

X,視頻率為概率，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：參考數(shù)據(jù)和公式：

P(κ2≥%)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ZO2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

六六加蘆)：__其中,=α+"c+d.

(Q+b)(c+d)(α+c)(?+d)

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以

（2）分布列見解析，I

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意完成2x2列聯(lián)表，再計(jì)算出片與10.828比較即可得出判斷;

（2）因?yàn)槿稳∫蝗宋锢砗驼味歼x了的概率P=I,且所以根據(jù)二項(xiàng)分

布的概率計(jì)算公式列出分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可.

【小問1詳解】

根據(jù)題意，選考物理的考生有200x0.6=120人，

選考政治的考生有200x0.75=150人，2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整如下:

選考政治的人數(shù)沒選考政治的人數(shù)合計(jì)

第Il頁/共20頁

選考物理的人數(shù)8040120

沒選考物理的人數(shù)701080

合計(jì)15050200

“2200×(80×10-40×70)2100

因?yàn)镵=--------------------------------11.111>10.828,

150×50×120×80~9~

所以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，可以認(rèn)為考生選考物理與選考政治有關(guān).

【小問2詳解】

OA2

在該地區(qū)已選科的考生中隨機(jī)選出1人，則物理和政治都選了的概率P=——=-

2005

易知，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，即X~B0,∣

所以X可取0,1,2,3,

P(X=I)=Cq

TT

19.已知四棱錐P—ABCD的底面ABC。是邊長為2的菱形，且N84。=—,

3

PA=PC,PD±AD,E為PB中點(diǎn).

第12頁/共20頁

AB

（1）證明：ACLDE-,

（2）若尸2與底面A8CZ）所成角的正弦值為42,求二面角P—AE—。的余弦值.

2

【答案】（1）證明見解析

⑵-

7

【解析】

【分析】（1）連接AC,32ACC8O=O,由題意可得AClBO,POVAC,所以

AC_1平面尸皮＞,從而得結(jié)論；

（2）由條件可證得Pr），平面ABeD,則/PBD為PB與底面ABCD所成角，可得

PD=BD=2,由OE〃P。得OEL平面ABC。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)AoB,OE所在

直線分別為XXZ軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面/?E,平面AEZ）的法向量，利用

向量夾角公式求解.

【小問1詳解】

連接AC,BD,ACC8。=O,

因?yàn)榈酌鍭BCo是邊長為2的菱形，

所以4C18。，且。是AC的中點(diǎn)，

因?yàn)楱M?=PC,所以PQ_LAC,

又因?yàn)镻OCBD=O,PO,BDU平面PBD,

所以AC_L平面2如，因?yàn)?。EU平面P3Z）,

所以ACj_DE.

【小問2詳解】

第13頁/共20頁

因?yàn)閍PAD也Z?PCD,所以NPD4=NPDC,

π

又因?yàn)镻Z?L4),所以NPDA=NPOC=―,即

2

因?yàn)锳D。。=。,4。,8:=平面488,所以PJDJ_平面ABC￡),

/y

則NPBD為PB與底面ABCD所成角，故SinNPBD=—，

2

TrTT

因?yàn)镺<NP80<一,所以NPB。=—,則PZ)=B￡>=2，

24

因?yàn)?,￡分別是8D,P8的中點(diǎn)，則OE〃PD,所以O(shè)E，平面ABC。，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)AOB所在直線分別為χ,χz軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則O(O,-1,0),P(O,-1,2),A(G,O,O),E(O,O,1),

AE=(-√3,O,1),PΛ=(√3,l,-2),DE=(0,1,1),

設(shè)平面B4E的法向量為m=(xl,y∣,Z]),

m?AE=Sx[+Z]=O

由>令Xl=1,則Z]=?/?,y=?/?，w=(l,√f3,T3).

th?PA=?/??j+yl-2z1=O

設(shè)平面AED的法向量為〃=(X2,%，Z?)-

n?AE--?∕3X2+Z2=0

由，^令々=1則Z2=G,%=-G,〃=(1,一百,百)，

H-DE=y2+z2=O

因?yàn)槎娼钱a(chǎn)一AE—。的大小為銳角,

第14頁/共20頁

故二面角「一AE—。的余弦值為L.

7

20.已知拋物線E：=2px(〃>0)上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大

1.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)∕lI2=F,lill2,L交E于A,C兩點(diǎn),“交E于B,力兩點(diǎn).求四邊形ABCO

的面積的最小值.

【答案】(1)V=4χ

(2)32

【解析】

【分析】(1)由題意，根據(jù)拋物線的定義可知4=1，從而可得拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

(2)設(shè)出4的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及拋物線定義求出IACI,

?BD?,由SABCD=^?AC?-?6。I結(jié)合基本不等式求出最小值.

【小問1詳解】

拋物線E-y2=2庶(〃>0)的焦點(diǎn)Feθ],準(zhǔn)線x=g.

拋物線上任意一點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離比M到y(tǒng)軸的距離大1.

根據(jù)拋物線的定義可知，卜1,.?.p=2,

拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.

【小問2詳解】

由題可知44均有斜率且斜率不為零，且過焦點(diǎn)F(LO),

第15頁供20頁

設(shè)∕∣:X=B+1,/2：x=-Jy+l，k≠0,設(shè)A(XI,必),。(％2，%)，

K

VzzZy+1

由<,2_4X，消X可得,2_的_4=0,

.?.?=(4)2-4X(T)=16公+16>O,yl+y2=4k,

：.Ai+x2=左(X+%)+2=4%2+2,

二IACI=%+w+〃=4攵2+4=4(d+1),

同理可得IBOI=4

,SABS=TAa?∣8D∣=8(22+1)[*+1]

=8(2+22+*>82+2J40=32,

當(dāng)且僅當(dāng)左=±1時取等號，

.?.四邊形ABCD面積的最小值為32.

21.已知函數(shù)/(x)=2InX—依(αeR),g(x)=W(x).

(1)求函數(shù)屈(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)g(x)存在極大值點(diǎn)％,且g(??)>e2,求”的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

⑵U

【解析】

第16頁/共20頁

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論”的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)求導(dǎo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn)問題，構(gòu)造函數(shù)必幻=匕g,(x>O),數(shù)形結(jié)合

X

1+Inx/、

得“e(O,l),且α=--------0,?>11,又g(%)>e92,所以

XO

2ΛolnXo-αx;=XOInXO-Xo>e?,設(shè)O(X)=XInX-X(X>D，由函數(shù)。(工)的單調(diào)性可

得∕>e2,進(jìn)而可得實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【小問1詳解】

,2

/(x)=21nx-0x(β∈R),的定義域是(0,+∞),/(%)=——a,

X

當(dāng)α<0時，/'(為>0,/(幻在(。,+8)遞增，

2

當(dāng)α>0時，令/'(x)=。，解得：X=一,

a

22

當(dāng)0<x<—時，/(x)〉0,/(九)遞增；當(dāng)x>—時，/(x)<O,/(x)遞減，

aa

綜上：當(dāng)α<0時，F(xiàn)(X)在(0,+8)遞增；

當(dāng)〃>0時，/。)在(0,：)遞增，在(?∣,+8)遞減.

【小問2詳解】

因?yàn)間(x)=0(X)=2xlnx-tιx2,(x>0),

所以g'(x)=2(l+lnx-0x)=2?1,

若函數(shù)g(X)=2xlnx-αr2存在極大值點(diǎn)?,

則g<x)有零點(diǎn)小,且零點(diǎn)與左側(cè)導(dǎo)數(shù)大于0,右側(cè)導(dǎo)數(shù)小于0.

令g'(x)=。得α=l+∣n?λ,(χ>0),

X

、，，、1+lnx八、…，，，、Inx

I己∕z(x)=--------,(zx>0),貝!]∕ι(X)=———)

XX

令”(x)>0,解得O<χ<l,即〃(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，

令廳(x)<0,解得χ>l,即〃(X)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，

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O,O<x<1時力(，)<0,%>，時/7(!)>0,

則力(X)max=力U)=1，且」

1+Inx?,

作出〃(X)的圖象如圖所示，則“e(O,l),且α=---------,?>1.

?

2

OXX=x0Inx0-x0>e

設(shè)°(x)=XInX-X(X>1)?則(X)=InX>0,

所以函數(shù)。(X)=XlnX-X在(1,+8)上單調(diào)遞增，

而Λ0InA0-X。>e?=e?Ine?-e?,即°(∕)>0(e，，所以Xo>e?

l+lnxl+lne23

所cc以ιuα=--------0-<——j—==，

x0e^e^

所以()<α<［,即實(shí)數(shù)”的取值范圍為(θ,?∣?)?

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法

(I)直接法，先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造函數(shù)法，將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

(3)參變量分離法，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題.

(-)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標(biāo)系Xo)，中，曲線C的方程為(χ-3y+y2=4,直線/過點(diǎn)尸(3,1)且傾

斜角為ɑ.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

(I)寫出直線/的參數(shù)方程(用P點(diǎn)坐標(biāo)與a表示)和曲線C的極坐標(biāo)方程；

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11

(2)設(shè)直線/與曲線C交于A,B兩點(diǎn),求網(wǎng)+網(wǎng)的最小值.