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文檔簡介
圖形的剪拼
模塊一圖形分割
嗨物“知識剖析?
圖形的剪拼是幾何學中一個非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問題不僅可以增強對幾何'
圖形的直觀感覺和判斷能力,豐富對圖形的想象力,而且有益于提高數學的思維能力.
下面是常見的一些圖形剪拼:
?正三角形的分割:
?等腰直角三角形的分割:
?正六邊形的分割:
二4??
一位農夫臨終前把他的四個兒子叫到床前說:“我沒什么留給你們的,只有祖上留下的幾十
畝地.我死后,你們把它分了,為了避免爭吵,你們還是平分吧農夫死后,他的四個兒
子開始分地,如圖所示,地里恰好有四口井,四棵樹,他們決定分成面積、形狀相同的四
塊,并且每人一口井,一棵樹,請你幫助他們來分田地.
M練一練
如下圖所示的正方形是由36個小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子,4顆白子,現(xiàn)在
要把它切割成形狀、大小都相同的四塊,并使每一塊中都有一顆黑子和一顆白子.試問如何
切割?
Λ?例2
如圖,請用三種不同的方案,用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形,畫出必要
的練一練
(1)如圖,過點A用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形,畫出必要的輔助線.
(2)如圖,用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形,畫出必要的輔助線.
(1)如圖1,請過點A畫一條直線交BC于點。,且將三角形ABC分成面積相等的兩部分
并指出,此時BO與Cf)的大小關系;
(2)如圖2,梯形A8Cf),AO平行SC,AC與BO相交于點0,圖中有哪幾對面積相等的
三角形,請直接寫出來;
(3)如圖3,某小區(qū)有一塊四邊形草地A8C,現(xiàn)欲過點A修一條筆直的小路(路寬忽略
不計),將該草地分割成面積相等的兩部分,請在圖中畫出小路,并簡要說明作圖過程.
大臉貓有一塊如下圖所示的一塊五邊形土地,為了方便灌溉,欲通過4修一條水渠,使得水
渠左右兩邊的地面積相同.請在圖中畫出水渠,并簡要說明作圖過程.
CD
米)模塊二圖形拼接
倏盛M知識剖析城螂
圖形的剪拼是幾何學中一個非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問題不僅可以增強對幾何
圖形的直觀感覺和判斷能力,豐富對圖形的想象力,而且提高數學的思維能力
一番操作、
例題:有一個長方形的花圃,中間有一條寬2米的人行路.花圃長50米,寬30米,
那么種花的面積是多少?
解析:本題考慮長方形的面積及減去路徑的面積時,路徑的面積計算會比較繁瑣,我們
可以采用把種花的兩部分拼接起來.
拼接如圖所示:
拼接后的圖形是一個長方形,
長:50-2=48(厘米),寬:30-2=28(厘米),
種花的面積:48x28=1344(平方厘米)
答:種花的面積是1344平方厘米.
總結:遇到不規(guī)則圖形時,可以用圖形拼接來處理問題.
例4
在數學活動課上,小豬佩奇將一張等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開,得到兩個直角三角形
紙片(如圖1),她將這兩張紙片重新拼成一個與原先形狀不同的等腰三角形(如圖2).你
能將圖1中的兩個三角形拼成四邊形嗎?如果可以,請你按照圖2的表示方式,畫出所有可
》練一練
這是由10個邊長為1的小正方形組成的一個圖形,對這個圖形進行適當分割,然后拼接成
新的圖形,拼接時不重疊、無空隙,并且拼接后新圖形的頂點在所給正方形網格圖中的格
點上,將由所得到的符合要求的新圖形畫在下邊的正方形網格圖中(畫出分割的輔助線).
(1)新圖形為平行四邊形;(2)新圖形為正方形;
+T+T
I-
X1I
llIl
—
II—I
+TH十T
一十
XlL±lT-I-I-+-I-
」」一
IlI1l-J__1_1__L
IIIIIII
TrrTnTn
--
÷TF+HT^lΓ+H
?lL±J-÷H-I-±J
」
IlIII_J._LII
二4??
不相等的長方形紙片,剪去一個正方形,余下一個四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊
形紙片中再剪去一個正方形,又余下一個四邊形,稱為第二次操作....以此類推,若第〃
次操作后余下的四邊形是正方形,則稱原長方形為〃階準正方形(例如,若第3次操作后余
下的四邊形是正方形,則稱原長方形為3階準正方形).如圖(1),長方形ABCD中,若
AB=?,BC=2,則長方形ABe。為1階準正方形.
(1)①如圖2,把長方形ABCD沿著BE折疊,使點A與點F重合,則四邊形ABFE是
________形.
②鄰邊長分別為2和3的長方形是階準正方形.
(2)若長方形ABCD的鄰邊長分別2、a(a>2),且是3階準正方形,請畫出長方形ABCQ
及裁剪線的示意圖,并在圖形下方寫出。的值.
6,練一練
菱形的定義:在同一個平面內,把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.鄰邊不相等的平
行四邊形紙片,剪去一個菱形,余下一個四邊形,稱為第一次操作;在余下的四邊形紙片
中再剪去一個菱形,又剩下一個四邊形,稱為第二次操作;……依次類推,若第"次操作
余下的四邊形是菱形,則稱原平行四邊形為"階菱形.如圖1,平行四邊形ABCD中,若
AB=I,BC=2,如圖2,通過折疊可以得到一個菱形,則余下的四邊形也是菱形,因此平行
四邊形ABCZ)為1階準菱形.
圖①圖②
(1)判斷與推理:
鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是階準菱形.
(2)操作、探究與計算:
①已知平行四邊形ABCD的鄰邊長分別是1和“(α>l),且是3階準菱形,請畫出
平行四邊形ABCD及裁剪線的示意圖,并在圖形下方寫出a的值;
②己知平行四邊形ABC。的鄰邊長分別為a、b(a>b),滿足α=W+r,b=5r,請
寫出平行四邊形ABC。是幾階準菱形.
Λ?例6
■_"z~
熊大從一張長方形紙片中,剪去一個最大的正方形后,又剪掉一個最大的正方形,此時剩
下了一個長4厘米,寬3厘米的長方形,那么原來紙片的面積可能為多少平方厘米?(要
求寫出所有結果)
R練一練
熊二從一張長方形紙片中,剪去一個最大的正方形后,又剪掉一個最大的正方形,此時剩下
了一個長4厘米,寬2厘米的長方形,那么原來紙片的面積可能為多少平方厘米?(要求寫
出所有結果)
W例7
-=-------1~~
有一塊直角三角形的綠地,量得兩直角邊長分別為6m、8m,斜邊長為IOm,現(xiàn)在要將綠地
擴成等腰三角形,且擴充部分是以8m為一條直角邊的直角三角形,請畫出你所想到的所有
擴充方案的示意圖形.
6m
的練一練
請對圖形進行如下操作:
(1)如圖1,為正方形ABCn紙片,請以AB為一邊,在紙片上畫出一個等腰三角形.
(2)如圖2,為長方形ABeC紙片,AB=2,BC=A,在紙片上畫出一個面積最大的等腰三角
形,并求出此三角形的面積.
(3)如圖3,為直角三角形ABC紙片,EM=90。,AB=4r,AC=3,BC=5,若要在紙片上裁出
一個等腰三角形,且兩腰分別與原三角形的邊重合,請畫出所有符合要求的圖形,并
求出其中最大的面積.
C思維提升
練習1.如圖,長方形紙片長與寬分別為6和4,要將該紙片剪去3個等腰直角三角形后,使
剩余部分的面積最小,請在圖中畫出相應的裁剪線.
練習2.在下面的方格中有4個圓圈,請你把方格分成4個完全相同的非正方形,使每部分
都有1個圓圈(圓圈的位置相同).動手畫出你的方法.
練習3.新新從一張長方形紙片中,剪去一個最大的正方形后,又剪掉一個最大的正方形,此
時剩下了一個長4厘米,寬3厘米的長方形,那么原來紙片的面積可能為多少平方
厘米?(要求寫出所有結果).
練習4.已知給出一個邊長均為4的正方形ABCD
③
(1)在圖①中做出兩條直線,是它們將正方形ABCD的面積四等分(要求其中一條
直線必須過點A);
(2)圖②中:已知點〃在邊A。上且AM=2.在圖②中作出兩條直線使它們將正方形
ABCC的面積四等分(要求其中一條直線必須過點M);
(3)圖③中:己知點M在邊AO上且4M=3.在圖③中作出兩條直線使它們將正方形
ABCO的面積四等分(要求其中一條直線必須過點M);
(4)圖④中:點M是正方形ABC。外的一點,能否在圖④中也作出兩條直線使它們
將正方形ABCZ)的面積四等分(要求其中一條直線必須過點M)?若能,請在圖④中
直接作出;若不能,說明理由.
練習5.請在方格紙中,以線段AB為邊畫出兩個面積為3的格點三角形,要求一個為銳角三
角形,一個為鈍角三角形.(注:每個小方格的邊長為I;格點三角形是指三角形的
三個頂點都在方格的交叉點上)
K思維提升
提升1.淘氣在整理玩具時,找到一個直角三角形,一個直角梯形和一個中間有空心圓孔的
長方形鐵片,他測量有關數
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