小學奧數幾何模塊-圖形的剪拼

圖形的剪拼

模塊一圖形分割

嗨物“知識剖析?

圖形的剪拼是幾何學中一個非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問題不僅可以增強對幾何'

圖形的直觀感覺和判斷能力，豐富對圖形的想象力，而且有益于提高數學的思維能力.

下面是常見的一些圖形剪拼:

?正三角形的分割：

?等腰直角三角形的分割：

?正六邊形的分割:

二4??

一位農夫臨終前把他的四個兒子叫到床前說：“我沒什么留給你們的，只有祖上留下的幾十

畝地.我死后，你們把它分了，為了避免爭吵，你們還是平分吧農夫死后，他的四個兒

子開始分地，如圖所示，地里恰好有四口井，四棵樹，他們決定分成面積、形狀相同的四

塊，并且每人一口井，一棵樹，請你幫助他們來分田地.

M練一練

如下圖所示的正方形是由36個小正方格組成的.如圖那樣放著4顆黑子，4顆白子，現(xiàn)在

要把它切割成形狀、大小都相同的四塊，并使每一塊中都有一顆黑子和一顆白子.試問如何

切割？

Λ?例2

如圖，請用三種不同的方案，用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形，畫出必要

的練一練

(1)如圖，過點A用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形，畫出必要的輔助線.

(2)如圖，用一條直線把下列圖形分割成面積相等的兩個圖形，畫出必要的輔助線.

(1)如圖1,請過點A畫一條直線交BC于點。，且將三角形ABC分成面積相等的兩部分

并指出，此時BO與Cf)的大小關系；

(2)如圖2,梯形A8Cf),AO平行SC,AC與BO相交于點0,圖中有哪幾對面積相等的

三角形，請直接寫出來；

(3)如圖3,某小區(qū)有一塊四邊形草地A8C，現(xiàn)欲過點A修一條筆直的小路(路寬忽略

不計)，將該草地分割成面積相等的兩部分，請在圖中畫出小路，并簡要說明作圖過程.

大臉貓有一塊如下圖所示的一塊五邊形土地，為了方便灌溉，欲通過4修一條水渠，使得水

渠左右兩邊的地面積相同.請在圖中畫出水渠，并簡要說明作圖過程.

CD

米）模塊二圖形拼接

倏盛M知識剖析城螂

圖形的剪拼是幾何學中一個非常有趣的課題,研究圖形的剪拼問題不僅可以增強對幾何

圖形的直觀感覺和判斷能力，豐富對圖形的想象力，而且提高數學的思維能力

一番操作、

例題：有一個長方形的花圃，中間有一條寬2米的人行路.花圃長50米，寬30米，

那么種花的面積是多少？

解析：本題考慮長方形的面積及減去路徑的面積時，路徑的面積計算會比較繁瑣，我們

可以采用把種花的兩部分拼接起來.

拼接如圖所示：

拼接后的圖形是一個長方形，

長：50-2=48（厘米），寬：30-2=28（厘米），

種花的面積：48x28=1344（平方厘米）

答：種花的面積是1344平方厘米.

總結：遇到不規(guī)則圖形時，可以用圖形拼接來處理問題.

例4

在數學活動課上，小豬佩奇將一張等腰三角形紙片沿底邊上的高剪開，得到兩個直角三角形

紙片（如圖1）,她將這兩張紙片重新拼成一個與原先形狀不同的等腰三角形（如圖2）.你

能將圖1中的兩個三角形拼成四邊形嗎？如果可以，請你按照圖2的表示方式，畫出所有可

》練一練

這是由10個邊長為1的小正方形組成的一個圖形，對這個圖形進行適當分割，然后拼接成

新的圖形，拼接時不重疊、無空隙，并且拼接后新圖形的頂點在所給正方形網格圖中的格

點上，將由所得到的符合要求的新圖形畫在下邊的正方形網格圖中（畫出分割的輔助線）.

（1）新圖形為平行四邊形；（2）新圖形為正方形;

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二4??

不相等的長方形紙片，剪去一個正方形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊

形紙片中再剪去一個正方形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作....以此類推，若第〃

次操作后余下的四邊形是正方形，則稱原長方形為〃階準正方形(例如，若第3次操作后余

下的四邊形是正方形，則稱原長方形為3階準正方形).如圖(1),長方形ABCD中，若

AB=?,BC=2,則長方形ABe。為1階準正方形.

(1)①如圖2,把長方形ABCD沿著BE折疊，使點A與點F重合，則四邊形ABFE是

________形.

②鄰邊長分別為2和3的長方形是階準正方形.

(2)若長方形ABCD的鄰邊長分別2、a(a>2),且是3階準正方形，請畫出長方形ABCQ

及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出。的值.

6,練一練

菱形的定義：在同一個平面內，把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.鄰邊不相等的平

行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片

中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第"次操作

余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為"階菱形.如圖1,平行四邊形ABCD中，若

AB=I,BC=2,如圖2,通過折疊可以得到一個菱形，則余下的四邊形也是菱形，因此平行

四邊形ABCZ）為1階準菱形.

圖①圖②

（1）判斷與推理：

鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是階準菱形.

（2）操作、探究與計算：

①已知平行四邊形ABCD的鄰邊長分別是1和“（α>l）,且是3階準菱形，請畫出

平行四邊形ABCD及裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出a的值；

②己知平行四邊形ABC。的鄰邊長分別為a、b（a>b）,滿足α=W+r,b=5r,請

寫出平行四邊形ABC。是幾階準菱形.

Λ?例6

■_"z~

熊大從一張長方形紙片中，剪去一個最大的正方形后，又剪掉一個最大的正方形，此時剩

下了一個長4厘米，寬3厘米的長方形，那么原來紙片的面積可能為多少平方厘米？（要

求寫出所有結果）

R練一練

熊二從一張長方形紙片中，剪去一個最大的正方形后，又剪掉一個最大的正方形，此時剩下

了一個長4厘米，寬2厘米的長方形，那么原來紙片的面積可能為多少平方厘米？（要求寫

出所有結果）

W例7

-=-------1~~

有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長分別為6m、8m,斜邊長為IOm,現(xiàn)在要將綠地

擴成等腰三角形，且擴充部分是以8m為一條直角邊的直角三角形，請畫出你所想到的所有

擴充方案的示意圖形.

6m

的練一練

請對圖形進行如下操作：

（1）如圖1,為正方形ABCn紙片，請以AB為一邊，在紙片上畫出一個等腰三角形.

（2）如圖2,為長方形ABeC紙片，AB=2,BC=A,在紙片上畫出一個面積最大的等腰三角

形，并求出此三角形的面積.

（3）如圖3,為直角三角形ABC紙片，EM=90。，AB=4r,AC=3,BC=5,若要在紙片上裁出

一個等腰三角形，且兩腰分別與原三角形的邊重合，請畫出所有符合要求的圖形，并

求出其中最大的面積.

C思維提升

練習1.如圖，長方形紙片長與寬分別為6和4,要將該紙片剪去3個等腰直角三角形后，使

剩余部分的面積最小，請在圖中畫出相應的裁剪線.

練習2.在下面的方格中有4個圓圈，請你把方格分成4個完全相同的非正方形，使每部分

都有1個圓圈（圓圈的位置相同）.動手畫出你的方法.

練習3.新新從一張長方形紙片中，剪去一個最大的正方形后，又剪掉一個最大的正方形，此

時剩下了一個長4厘米，寬3厘米的長方形，那么原來紙片的面積可能為多少平方

厘米？（要求寫出所有結果）.

練習4.已知給出一個邊長均為4的正方形ABCD

③

（1）在圖①中做出兩條直線，是它們將正方形ABCD的面積四等分（要求其中一條

直線必須過點A）；

（2）圖②中：已知點〃在邊A。上且AM=2.在圖②中作出兩條直線使它們將正方形

ABCC的面積四等分（要求其中一條直線必須過點M）；

（3）圖③中：己知點M在邊AO上且4M=3.在圖③中作出兩條直線使它們將正方形

ABCO的面積四等分（要求其中一條直線必須過點M）；

（4）圖④中：點M是正方形ABC。外的一點，能否在圖④中也作出兩條直線使它們

將正方形ABCZ）的面積四等分（要求其中一條直線必須過點M）?若能，請在圖④中

直接作出；若不能，說明理由.

練習5.請在方格紙中，以線段AB為邊畫出兩個面積為3的格點三角形，要求一個為銳角三

角形，一個為鈍角三角形.（注：每個小方格的邊長為I;格點三角形是指三角形的

三個頂點都在方格的交叉點上）

K思維提升

提升1.淘氣在整理玩具時，找到一個直角三角形，一個直角梯形和一個中間有空心圓孔的

長方形鐵片，他測量有關數