2023-2024學(xué)年天津市武清區(qū)高二年級下冊第一次階段性練習(xí)數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年天津市武清區(qū)高二下冊第一次階段性練習(xí)數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

1.完成一項工作有3種方法，其中有5個人只會用第一種方法，有4個人只會用第2種方

法，有3個人只會用第3種方法，從中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有()

A.5種B.4種C.9種D,12種

【正確答案】D

【分析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，求得答案.

【詳解】若用第一種方法完成，有5種選法，

若用第二種方法完成，有4種選法，

若用第三種方法完成，有3種選法，

故從中選1個人完成這項工作，則不同的選法共有5+4+3=12種，

故選：D

2.一質(zhì)點做直線運動，若它所經(jīng)過的路程與時間的關(guān)系為s(r)=4/-3(Sa)的單位：m,/

的單位：s),則f=5時的瞬時速度為()

A.7m∕sB.10m∕sC.37m/sD.40m/s

【正確答案】D

利用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度即可

【詳解】?.?a=4(5+加)234x5?+3=40+4An

?r?r

Ac

二s,(5)=lim-=Iim(40+44)=40

\/Δz→OZΔ∕→0\/

故選：D

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求瞬時速度，屬于基礎(chǔ)題.

3.在(α+b)"的二項展開式中，若二項式系數(shù)和為64,則”=()

A.4B.5C.6D.7

【正確答案】C

【分析】先利用題給條件構(gòu)造出關(guān)于〃的不等式，解之即可求得〃的值.

【詳解】由(a+b)"的二項展開式中二項式系數(shù)和為64,

可得2"=64,解之得〃=6

故選：C

4.已知函數(shù)/(x)=x3+lnr+l,則曲線y=∕(x)在點(IJ(I))處的切線方程為()

A.3x-y-l=OB.3x+y-5=0

C.4x-y-2=0D.4x÷y-6=0

【正確答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合導(dǎo)數(shù)運算求解即可得切線方程.

【詳解】因為函數(shù)〃x)=x3+lnx+l,所以/'(力=3/+5則/<1)=4,又"1)=2,

所以曲線y=∕(x)在點(IJ(I))處的切線方程為y-2=4(x-l),即4x—y-2=0?

故選：C.

5.將5名世博會志愿者全部分配給4個不同的地方服務(wù)，不同的分配方案有()

A.8B.15C.512D,1024

【正確答案】D

【分析】每名志愿者有4種選擇，利用分步乘法計數(shù)原理可得出分配方案的種數(shù).

【詳解】由題意可知，每名志愿者有4種選擇，將5名世博會志愿者全部分配給4個不同的

地方服務(wù)，不同的分配方案種數(shù)為4'=1024種.

故選：D.

本題考查分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)/(x)=x+3+2InX的單調(diào)遞減區(qū)間是()

X

A.(-3,1)B.(0,1)C.(-1,3)D.(0,3)

【正確答案】B

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可.

【詳解】函數(shù)的定義域是(O,+∞),

…32_(x+3)(x-l)

y-?~+~--------2---------，

XXX-

令Y(X)<0,解得：0<x<l,

故函數(shù)在(0,1)遞減，

故選B.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道常規(guī)題.

常數(shù)項為()

A.-24B.24C.-48D.48

【正確答案】B

【分析】利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令X的指數(shù)為O求出「，將廠的值

代入通項求出展開式的常數(shù)項.

【詳解】二項式卜展開式的通項為卻=(-2)'c3%,令4-2r=0,解得r=2,所

以展開式的常數(shù)項為1=4Cj=24

故選：B

8.已知函數(shù)"x)=V+3χ2-9x+l,若/(x)在區(qū)間(%,2］上的最大值為28,則實數(shù)k的值

可以是()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【正確答案】A

【分析】先求出"x)的導(dǎo)函數(shù),即r(X)=3f+6x-9,令/'(X)=3∕+6X-9=0,可得X

的值，討論函數(shù)的極值及單調(diào)性，結(jié)合f(x)在區(qū)間(％,2］上的最大值為28,即可求出％的取

值范圍.

【詳解】S?∕(X)=√+3X2-9X+1,所以r(x)=3*+6x-9,

,2

令∕(x)=3X+6X-9=O,解得X1=-3,x2=l,

所以/'(H在(-8,-3)和(i,+∞)時,r(x)>o,廣(刈在(一3,1)時，r(χ)<o,

所以函數(shù)/(X)在(-∞,-3)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(X)在(-3,1)上單調(diào)遞減，

則f(x)在。，2］內(nèi)單調(diào)遞增，所以在口，2］內(nèi)，”2)最大；

F(X)在(-3,1)時單調(diào)遞減，所以在［-3』內(nèi)，〃-3)最大；

f(x)在(-∞,-3)時單調(diào)遞增，所以在(…,—3)內(nèi)，〃-3)最大；

因為/(2)=3,/(-3)=28,且“力在區(qū)間(%,2］上的最大值為28,

所以ZV-3,即攵的取值范圍是3),

故選：A.

9.從5名大學(xué)畢業(yè)生中選派4人到甲、乙、丙三個貧困地區(qū)支援，要求甲地區(qū)2人，乙、

丙地區(qū)各一人，則不同的選派方法總數(shù)為()

A.40B.60C.100D.120

【正確答案】B

【分析】先從5名大學(xué)畢業(yè)生中選派2人到甲地，再從剩余的3人中選1人到乙地，然后從

剩余的2人中選派1人到丙地，再利用分布計數(shù)原理求解.

【詳解】先從5名大學(xué)畢業(yè)生中選派2人到甲地有種，再從剩余的3人中選1人到乙地

有種，然后從剩余的2人中選派1人到丙地有種，

所以不同的選派方法有c；Gc=60種.

故選：B

本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，還考查了分析求解問題的能力，屬于中檔題..

10.函數(shù)"x)=ln(x+a)-后存在兩個不同的極值點X“三，則實數(shù)0的取值范圍是

A.件1](l>+∞)B.(0,+∞)C.(-<x,,0)D.1-8,∣^)

【正確答案】A

【分析】求解出了'(X),將尸(x)在(-α,+∞)上有兩個不等實根，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)圖像與X軸

有兩個交點，通過二次函數(shù)圖像得到不等式，求解出。的范圍.

I1_(x+l)--(x+a)_x2+x+?-a

【詳解】由題意得：/'(X)

x+a(χ+l)2(x+a)(x+l)2(Λ+U)(Λ+1)2

設(shè)g(x)=d+x+l-α,又x+α>(),(x÷l)2>0

可知/(x)存在兩個不同的極值點等價于g(x)在(-α,+∞)上存在兩個不同零點

Δ=1-4(1-6Z)>0

1

由此可得:——>-a即4

2

g(一〃)=a2-2a+?>0

本題正確選項：A

本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于通過求導(dǎo)將極值點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在區(qū)

間內(nèi)的零點個數(shù)問題，確定二次函數(shù)圖像主要通過以下三個方式：①判別式；②對稱軸；③

區(qū)間端點值符號.

二、填空題

11.計算：C：°-C；XA；=.

【正確答案】O

【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)計算公式可得答案.

【詳解】解：原式當(dāng)斗―2若x(3*2xl)=210—210=0.

4×3×2×13×2×1

故0.

12.二項式(d+2丫的展開式中，第4項為.

【正確答案】80/

【分析】利用通項公式得到展開式中第4項.

3533

【詳解】(1+2)5的展開式中第4項為TM=C；(x)^×2=80/.

故80χ6

13.已知函數(shù)/。)=/+江+法+/在χ=ι處有極值為I。，則/⑵等于.

【正確答案】18

【詳解】試題分析：r(x)=3χ2+20r+8,依題意，?/ɑ)=3+2?+/?=0'解得｛：=：

F⑴=l+α+b+Q-=10.b=-??

a=—3a=-3.__.

或｛,r,當(dāng)｛.,時，f(x)=χ3-3χ2+3χ+9,尸(X)=3∕-6X+3=3(X-l)2≥0,所以F(X)

/2=3Di=5

a=4

在R上單調(diào)遞增，此時/S)在X=I處并沒有取得極值，不符合要求，舍去；當(dāng)｛八一時，

D=-W

/(X)=X3+4X2-11X+16,/'(x)=3√i+8x-ll=(x-l)(3x+ll),所以一IICXel時，∕,(%)<0,

當(dāng)x〉l時，∕,ω>0,所以函數(shù)/(χ)在x=l處取得極小值10,符合要求，此時

/(2)=23+4×22-ll×2+16=18.

函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù).

14.已知/(x)=(x-α)e*在(l,+∞)上單調(diào)遞增，則實數(shù)”的取值范圍為.

【正確答案】α≤2

【分析】利用題給條件構(gòu)造出關(guān)于實數(shù)。的不等式，解之即可求得實數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】?/(x)=(x-ɑ)e?,可得r(χ)=(χ-α)e*+(x-α)e*=(x-α+l)e*

又〃x)=(x-ɑ)e*在(Ly)上單調(diào)遞增，

則(》一α+1)e'≥O在(1,+∞)上恒成立，貝U4≤χ+1在(1,+8)上恒成立，

又Xe(I,+∞),則x+le(2,+∞),則a≤2

故α≤2

15.用04,2,3,4,5這六個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且是偶數(shù)，則這樣的三位數(shù)有

______個.

【正確答案】52

【分析】組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，且是偶數(shù),按個位是0和不是0進(jìn)行分類；個位不是0

時要注意選中的數(shù)有0和無0情況求解.

【詳解】由題意，從0/，2,3,4,5六個數(shù)字中任取3個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，可

分為兩類，

當(dāng)末位是0時，這樣的三位數(shù)有8=20個

當(dāng)末位不是0時，從余下的兩位偶數(shù)中選一個放在個位，再從余下的四位非零數(shù)字中選一個

放在首位，然后從余下的四個數(shù)中取一個放在中間，由此知符合條件的偶數(shù)有

A；XA：XA；=32

練上得這樣的三位數(shù)共有20+32=52個.

本題考查兩個計數(shù)原理的綜合問題.使用兩個計數(shù)原理進(jìn)行計數(shù)的基本思想：

對需用兩個計數(shù)原理解決的綜合問題要“先分類，再分步”，即先分為若干個“既不重復(fù)也不

遺漏”的類，再對每類中的計數(shù)問題分成若干個“完整的步驟”，求出每個步驟的方法數(shù)，按

照分步乘法計數(shù)原理計算各類中的方法數(shù)，最后再按照分類加法計數(shù)原理得出總數(shù).

三、解答題

16.在二項式(五-目”的展開式中,

(1)若〃=6,求展開式中的有理項;

(2)若第4項的系數(shù)與第6項的系數(shù)比為5:6,求二項展開式中的各項的系數(shù)之和.

【正確答案】(1)工=Y,q=-160x/,T;=64X^6

(2)1

【分析】(1)先求出通項公式，讓X的指數(shù)為整數(shù)可得有理項；

(2)先利用通項公式求出第4項與第6項的系數(shù)，根據(jù)條件求出〃，然后利用賦值法可得

答案.

【詳解】⑴若W=6,則(+I=C小"”(_2丫產(chǎn)=(_2)'晨「丁，(r=0,l,2,…,6)

c47

2—r∈Z

由［3,得r=0,3,6.

0≤r≤6

所以有理項為：7；=fZ=-160.-2,(=64/.

⑵心=CySF(_2yL=(_2)?戶，

由題意得(一2)3。：：(一2)七：=5:6,即〃2_7n+6=0,解得“=6或〃=1(舍).

令x=l,得各項的系數(shù)之和為(-I)，=L

17.某傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加

學(xué)校舉行的匯報展示活動.

(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少種選法？

(2)如果男生甲與女生乙至少有1人參加，有多少種選法？

(3)如果4人中既有男生又有女生，有多少種選法？

【正確答案】(I)IOO

(2)140

(3)200

【分析】(1)由組合知識結(jié)合分步乘法計數(shù)原理求解即可；

(2)先計算10人中選取4人的選法，從中除去男生甲與女生乙都不參加的選法即可；

(3)先計算10人中選取4人的選法，從中除去4人全是男生和4人全是女生的選法即可.

【詳解】(1)第一步，從5名男生中選2人，有C；種選法；第二步，從5名女生中選2人,

有C；種選法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有C；C=IOo種選法.

(2)從10人中選取4人，有G：種選法；男生甲與女生乙都不參加，有C；種選法.所以男

生甲與女生乙至少有1人參加，共有C：「C；=140種選法.

(3)從10人中選取4人，有種選法；4人全是男生，有C：種選法；4人全是女生，有C；

種選法.

所以4人中既有男生又有女生，共有C：0-C；-C；=200種選法.

18.已知函數(shù)f(x)=χ3+αχ2+bx(α,?e/?).若函數(shù)/W在X=I處有極值-4.

(1)求/(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求函數(shù)/U)在［-1,2］上的最大值和最小值.

【正確答案】(1)(-3)；⑵/O)*=T，/(X)M=8.

【詳解】試題分析：

⑴先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到關(guān)于“，匕的方程組，求得6后再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的

符號求出單調(diào)遞減區(qū)間.

(2)由⑴求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以數(shù)判斷函數(shù)f(x)在卜1,2］上的單調(diào)性，求出函數(shù)/(x)

在［T2］上的極值和端點值，通過比較可得/(x)的最大值和最小值.

試題解析：

(1)V/(x)=x3+tzr2+fct,

.*.∕,(X)=3X2+2ΛX+Z?,

/⑴=3+2α+h=0［a=2

依題意有即JK1J人，解得IT

/(l)=l+tz+?=-4［b=-l

：.∕,(X)=3X2÷4X-7=(3X+7)(X-1),

7

由Jr(X)<0,得一:<χ<l,

.?.函數(shù)/(χ)的單調(diào)遞減區(qū)間,g,l)

(2)由⑴知/(x)=x3+2χ2-7x,

Λ∕,(X)=3X2+4X+7=(3X+7)(X-1),

令/'(χ)=o,mχl=-j>?=ι.

當(dāng)X變化時，尸(X)，/(X)的變化情況如下表:

X-1(Tl)I(L2)2

∕,(X)——0÷

八力S__________極小值-4/2_________

由上表知，函數(shù)“X)在上單調(diào)遞減，在(1,2)上單調(diào)遞增.

故可得/(幻刖=川)=T,

又F(T)=8J(2)=2.

二八幻M=/(T)=&

綜上可得函數(shù)/(x)在［-1,2］上的最大值和最小值分別為8和T.

19.已知aeR,???3-?(ɑ-l)?2-αx-3,g(x)=x-2lnx.

⑴當(dāng)4=1時，求函數(shù)y=∕(χ)在點(3J(3))處的切線方程；

⑵若函數(shù)/(X)的減區(qū)間是(T4),求a的值；

(3)若函數(shù)y=g(x)-α在［1,3］上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)”的取值范圍.

【正確答案】(l)8x-y-21=0

(2)4

(3)(2-2ln2,3-21n3］

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，再根據(jù)點斜式方程即可求得切線方程；

(2)因為/'(x)=χ2-(α-l)x-α=(x+l)(x-a),且函數(shù)/(x)的減區(qū)間是(-1,4)可得α=4；

Λ(1)>O

(3)令MX)=X-2lnx-a,求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而問題轉(zhuǎn)化為，〃(2)<。，求解即可.

A(3)≥0

【詳解】(1)f'(x)=x2-(a-?)x-a,

當(dāng)a=l時，/(3)=∣×33-^(1-1)×32-1X3-3=3,

∕,(3)=32-(1-1)X3-1=8,

在點(3,/(3))處的切線方程為y-3=8(x-3),即8x-y-21=0

(2)函數(shù)/(x)的減區(qū)間是(-1,4),

而?'(?)=X2-(a-l)x-a=(x+I)(X-a)

令/'(x)<0,當(dāng)。>一1時，-?<x<af/(x)單調(diào)遞減，.?.α=4,

當(dāng)〃<-1時，a<x<-?,/*)單調(diào)遞減，不符合題意，

當(dāng)。=_],r(x)<()無實數(shù)解，不符合題意，

故a=4.

(3)y=gM-a=χ-2?nx-a

9

令〃(％)=x-21n%-α,所以〃'(X)=——+1,

X

令"(x)=0得X=2,

當(dāng)XqL2)時，Λ,(x)<0;當(dāng)x∈(2,3]時，A,(x)>0

故MX)在x∈［l,2)上遞減；在％∈(2,3］上遞增

?(l)≥0a≤?

所以"(2)<0,即.a>2-21n2,

A(3)≥0a≤3-21n3

所以2-21n2<α<3—21n3,

實數(shù)。的取值范圍是(2-21n2,3-21n3］.

20.已知函數(shù)/(x)=x-(α+I)InX,g(x)=-*@,?(aeR).

X

(1)若。=2,求函數(shù)“x)的極值;

(2)設(shè)函數(shù)Kx)=/(x)-g(x),求函數(shù)Λ(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對［l,e］內(nèi)任意一個X,都有/(χ)>g(x)成立，求。的取值范圍.

【正確答案】(l)∕(x)的極小值是"3)=3-31n3,f(x)沒有極大值；(2)答案見解析:

【詳解】試題分析：

(I)的定義域為(0,+∞),且尸(X)=I-J=?,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的極

值可得了3的極小值是〃3)=3-3加3,7(x)沒有極大值；

(2)Λ(x)=x+--(6∕+l)∕nx,則"(、”心心=!叨，分類討論可得：

XX"

①當(dāng)α>-2時，MX)在(0,2+α)上單調(diào)遞減，在(2+α,y)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)a≤-2時，函數(shù)Λ(x)在((),一)上單調(diào)遞增；

(3)原問題等價于“函數(shù)MX)=X+歲-(。+1)/心在［l,e］上的最小值大于零”

結(jié)合(2)的結(jié)論分類討論：φ2+α≤0:②2+aNe；③2+a≤l;④l<2+”<e四種情況

可得，的范圍是.-3</<eJe+2

e-1

試題解析：

(I)/(X)的定義域為(0,E),

當(dāng)α=2時，/(x)=x-3加，7(X)=I-B=三，

X(OJ)33+χ)

/'(X)—0+

/(X)、極小

所以/(x)的極小值是/(3)=3-3∕/3,/(x)沒有極大值;

(2)A(x)=x+^~+a-(a+l)∕∕u,,

,,(\,2+a。+1(〃+I)X-(Q+2)_(X+1)[X-(2+叫

丁-一ΓX2,

①當(dāng)a+2>0時，即α