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文檔簡(jiǎn)介
“空間向量”雙基過關(guān)檢測(cè)
一、選擇題
1.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)尸(見0,0)到點(diǎn)A(4,1,2)的距離為弧,則勿的值為()
A.-9或1B.9或一1
C.5或一5D.2或3
解析:選B由題意/弭=4而,
即'm—42+_]2+_2三的,
,(加一41=25,解得朋=9或加=—1.
2.已知a=(H+l,0,2),b=(6,2〃一1,24),若8〃1),則4與〃的值可以是()
111
-B--
A.2,22
3f
C.-3,2D.2,2
解析:選AVa/7b,.'.b=Aa,
即(6,2〃-1,24)=A(A+1,0,2),
6=k4+1,(4=2,A=—3,
???<2〃-1=0,解得41或11
3.(2018?揭陽期末)已知a=⑵3,-4),b=(-4,-3,-2),6=J-2a,則x=()
A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)
C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)
解析:選B由b=gx—2a,得x=4a+2b=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,
—20).
4.已知a=(2,1,-3),b=(-l,2,3),c=(7,6,A),若a,b,c三向量共面,則
4=()
A.9B.-9
C.-3D.3
解析:選B由題意知?=B+",
即(7,6,X)=x(2,L-3)+y(-l,2,3),
2x—y=7,
.?.<x+2y=6,解得4=-9.
、一3x+3y=4,
5.在空間四邊形ABCD中,?CD+AC?DB+AD?~BC=)
A.-1B.0
C.1D.不確定
解析:選B如圖,令A(yù)B=a,AC=b,AD=c,
則AB?CD+AC*DB+AD?BC
=a?(c-b)+b?(a—c)+c?(b-a)
=a?c—a?b+bb?c+c*b—c?a
=0.
6.已知空間四邊形如8C,其對(duì)角線為仍,也N分別是如,回的中點(diǎn),點(diǎn)G在線
段腑上,且MG=2GN,現(xiàn)用基底{OA,OB,%}表示向量OG,有OG=xOA+yOB
+zOC,則x,y,z的值分別為()
111111
八.6,3,33'3'6
111111
手
---一-
3,2D.2M6
---A---A---?J---?2---?
解析:選AVOG=OM+MG=~OA+-MN
乙J
1—?2―?—?
=-OA+-(ON-掰)
乙o
1—?21—*,—>■1—*■
=50A+耳5OB+OC-z0A
乙o_乙乙
1—*,1—?1—?
=-OA+-OB+-0C,
633
._1_1_1
..x一4y—Z--
7.如圖所示,在大小為45°的二面角小距。中,四邊形{朋5;
防都是邊長(zhǎng)為1的正方形,則6,〃兩點(diǎn)間的距離是()
A.小B.y/2
C.1D、3f
解析:選D,:BD=BF+FE+ED,
----n-c---門--c=------------------------w
:.|BD「=1BF|2+|FE1+1ED|2+2BF-FE+2FE-ED+2BF-ED
—l+l+l-^2—3—\/2,故|BD—yji—yl2..
8.(2018?東營(yíng)質(zhì)檢)已知/(I,0,0),6(0,—1,1),如+4仍與OB的夾角為120°,
則才的值為()
B吊
D.土乖
解析:選C因?yàn)椤?+4OB=(1,一4,4),
XX1、歷
所以3⑵。=q…得
經(jīng)檢驗(yàn)力=變不合題意,舍去,所以"邛.
66
二、填空題
9.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,—2,-2),a?c=4,b|=12,則以b,c為
方向向量的兩直線的夾角為.
解析:由題意得,(2a+b)?c=0+10—20=-10.
即2a?c+b?c=-10,又?c=4,.'.b?c=-18,
b9c—181
.?.cos(b,c>=7^=12x11+4+4=%
<b,c)=120°,.?.兩直線的夾角為60°.
答案:60。
10.在正方體兒花》45C〃中,材,N分別是棱44,郎的中點(diǎn),則sin(~CM,萬T〉
解析:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2,
則以0,2,0),材(2,0,1),"(0,0,2),M2,2,1).
可知CM—(2)—2,1),
前=(2,2,-1),
~CM?萬T=2X2+(-2)X2+lX(-1)=-1,
IO|=3,|〃W|=3,
,A一、~CM?~ON1
〈CM,
/.coszw)=------>-■-----------?--IJ
CM||4/V|
—4\/5
AsinCai,D\N)—§.
答案?矩
口?Q
11.已知點(diǎn)0為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),向量的=(1,2,3),必=(2,1,2),0P=
(1,1,2),且點(diǎn)0在直線華上運(yùn)動(dòng),當(dāng)下?下取得最小值時(shí),血'的坐標(biāo)是.
解析:?.?點(diǎn)0在直線”上,,設(shè)點(diǎn)。(/,/,24),
則3=(1—4,2—乂,3—2兒),QB=(,2—4,1—A,2—2兒),
QA-Q6=(l一4)(2—兒)+(2—4)(1-1)+(3—2兒)(2—2兒)=6犬-164+10
,、
=60—4'g2,當(dāng)4時(shí),―QA??—Q??取得最小值一2勺,此時(shí)—OQ?=<^4.4g,8-J.
(11
答案:(3,313)
n
12.在直三棱柱4?34旦。中,ZBAC=—,46=40=44=1,已知G和E分別為AB
和CG的中點(diǎn),。與尸分別為線段芯和四上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),若GDLEF,則線段DF
的長(zhǎng)度的取值范圍為
解析:設(shè)[F=a,4〃=b,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則4(0,0,0),40,1,1i,
p0,1LNa,0,0),次0,b,0),
—1,-g),DF=(a,—b,0).
Fb,-I
?AAA
因?yàn)榍衉1_防,所以必_L跖,GD?EF=0,
所以一%—b+g=O,即a+2b—1=0,
所以|如|=?#+戌=yj5討一4b+l
由題意得,a=l-2b>0,所以(Kbg,
所以
□
答案:停1)
三、解答題
13.如圖所示,已知空間四邊形4靦的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a,
點(diǎn)MN分別是4?,切的中點(diǎn).屐[
⑴求證:
⑵求淑的長(zhǎng);
(3)求異面直線4V與GV所成角的余弦值.
解:(1)證明:設(shè)[6=p,AC=q,AD—r.
由題意可知,|p[=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.
-?-?-?]-?-?1-?
MN=AN-AM=-(AC+AD)--AB=-(q+r-p),
-*―*11
MN?AB=-(q+r—p)?p=~(q?p+r?p-p")
=^(a2cos600+a2cos60°—a2)=0.
:.HN1,~AB,即助歸_力A
_—?1
(2)由(1)可知MN=-^q+r—p),
/.I腑.一夕)'
=;[/+/+p2+2(Q?r—p?q—r*p)}
4a2+/+)+2(?9]
123~
=4X2a-=T
―?、歷、歷
A|MN|=Va,,北平的長(zhǎng)為3-a.
(3)設(shè)向量下與赤的夾角為e.
---*■1---?---?1
AN=5(AC+AD)=/(q+r),
—?—?—?1
MC=AC—AM=g—5,,
?*.AN?比=/(g+r)?(q—罰
-1<7?p+r'q--r?'
^^a2—^cos60°+a2cos60°-*cos60°)
S2,a2a、3
—Wa+萬一口=萬.
又?.1方|=|正|=*a,
__-(3A(3a
/.AN?MC=|AN||MC|cos,=拳&乂學(xué)aXcos9=不
2—>―?9
coso=可,.,?向量AN與MC的夾角的余弦值為鼻.
OO
2
因此異面直線的與CV所成角的余弦值為市
14.(2017?全國卷HI)如圖,四面體力靦中,a'是正三角D
形,是直角三角形,ZA5D=ZCBD,AB=BD./\^\E
(1)證明:平面ACD1.平面ABC;
⑵過然的平面交加于點(diǎn)£若平面4FC把四面體4?切分成4
體積相等的兩部分,求二面角'/AC的余弦值.
解:(1)證明:由題設(shè)可得,叢ABI運(yùn)叢CBD,
從而AD=DC.
又是直角三角形,所以/力":=90°.
取〃的中點(diǎn)。,連接〃。,B0,
則。0J_4GDO=AO.
又因?yàn)槭钦切?,所?/p>
所以為二面角的平面角.
在RtZ\4如中,BO+AG=Alh
又AB=BD,所以BG+DG=B"AG=AE=B廿,
故/次的=90°.所以平面4微L平面力必
(2)由題設(shè)及(1)知,OA,0B,切兩兩垂直.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),
以的方向?yàn)閤軸正方向,IOAI為單位長(zhǎng)度,建立如
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