專題14隨機抽樣與用樣本估計總體（知識梳理精講）原卷版

專題14隨機抽樣與用樣本估計總體知識點一簡單隨機抽樣(1)定義：設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.(2)最常用的簡單隨機抽樣的方法：抽簽法和隨機數(shù)法.例1．（1）、（2023上·高一課時練習）下列4個抽樣中，簡單隨機抽樣的個數(shù)是（）①從無數(shù)個個體中抽取50個個體作為樣本；②倉庫中有1萬支奧運火炬，從中一次性抽取100支火炬進行質量檢查；③某連隊從200名黨員官兵中，挑選出50名最優(yōu)秀的黨員官兵趕赴某市參加抗震救災工作；④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽.A．0 B．1C．2 D．3（2）、（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成．利用下面的隨機數(shù)表選取6個個體，選取方法是從隨機數(shù)表第1行的第7個數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字，則選取的第6個個體的編號為（

）7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

01983204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481A．01 B．02 C．04 D．14（3）、（2021上·高一課時練習）用簡單隨機抽樣的方法從含個個體的總體中，逐個抽取一個容量為3的樣本，若其中個體a在第一次就被抽取的可能性為，那么（）A．8 B．24C．72 D．無法計算（4）、（2023上·上海浦東新·高二統(tǒng)考期末）“二十四節(jié)氣歌”是以“春、夏、秋、冬”開始的四句詩.某校高二共有學生400名，隨機抽查100名學生并提問二十四節(jié)氣歌，只能說出一句的有45人，能說出兩句及以上的有38人，據(jù)此估計該校高二年級的400名學生中，對“二十四節(jié)氣歌”一句也說不出的有人.1．（2023下·陜西寶雞·高一寶雞中學校考階段練習）某校在一次期中作業(yè)檢查中，對高一（6）班61位同學的作業(yè)進行抽樣調查，先采用抽簽法從中剔除一個人，再從余下的60人中隨機抽取6人，下列說法正確的是（

）A．這種抽樣方法對于被剔除的個體是不公平的，因為他們失去了被抽到的機會B．每個人被抽到的機會不相等C．每個人在整個抽樣過程中被抽到的機會相等，因為每個人被剔除的可能性相等，那么，不被剔除的機會也是相等的D．由于采用了兩步進行的抽樣，所以無法判斷每個人被抽的可能性是多少2．（2024上·山東濰坊·高一山東省高密市第一中學?？几傎悾﹪腋叨戎匾暻嗌倌暌暳】祮栴}，指出要“共同呵護好孩子的眼睛，讓他們擁有一個光明的未來”.某校為了調查學生的視力健康狀況，決定從每班隨機抽取5名學生進行調查.若某班有50名學生，將每一學生從01到50編號，從下面所給的隨機數(shù)表的第2行第4列的數(shù)開始，每次從左向右選取兩個數(shù)字，則選取的第四個號碼為（

）隨機數(shù)表如下0154

3287

6595

4287

53467953

2586

5741

3369

83244597

7386

5244

3578

6241A．13 B．32 C．44 D．363．（2023下·安徽阜陽·高一統(tǒng)考期末）中國古典數(shù)學先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期和宋元時期，并在宋元時期達到頂峰，而南宋時期的數(shù)學家秦九韶正是其中的代表人物．作為秦九韶的集大成之作，《數(shù)書九章》一書所承載的數(shù)學成就非同一般．可以說，但凡是實際生活中需要運用到數(shù)學知識的地方，《數(shù)書九章》一書皆有所涉及，例如“驗米夾谷”問題：今有谷3318石，抽樣取谷一把，數(shù)得168粒內有秕谷22粒，則糧倉內的秕谷約為（

）A．321石 B．166石 C．434石 D．623石4．（2024上·北京房山·高一統(tǒng)考期末）為估計某森林內松鼠的數(shù)量，使用以下方法：先隨機從森林中捕捉松鼠100只，在每只松鼠的尾巴上作上記號后放回森林.再隨機從森林中捕捉50只，若尾巴上有記號的松鼠共有5只，估計此森林內約有松鼠只.知識點二分層抽樣(1)定義：在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣.(2)應用范圍：當總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.例2．（1）、（2024上·四川成都·高二統(tǒng)考期末）某校高二年級選擇“理化生”，“理化地”，“史政地”和“史政生”組合的學生人數(shù)分別為480，40，120和80，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學生中選出72人參加一項活動，則“史政生”組合中選出的學生人數(shù)為.（2）、（2024上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）某公司生產(chǎn)、、三種型號的新能源汽車，產(chǎn)量分別為1200輛、6000輛和2000輛.為檢驗該公司的產(chǎn)品質量，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，則種型號的新能源車應抽取輛.（3）、（2024·全國·模擬預測）某學校高三年級有男生640人，女生360人．為了解高三學生參加體育運動的情況，采用分層抽樣的方法抽取樣本，現(xiàn)從男、女學生中共抽取50名學生，則男、女學生的樣本容量分別為（

）A．30，20 B．18，32 C．25，25 D．32，18（4）、（2022上·北京·高一北京市第一六一中學校考階段練習）某地組織一次中學生若干學科考試，若考試成績按等級性排列，位次由高到低分為、、、、，各等級人數(shù)所占比例依次為：等級15%，等級40%，等級30%，等級14%，等級1%.現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加其中一個學科等級性考試的學生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得或等級的學生人數(shù)為（

）A．110 B．55 C．80 D．901．（2023·云南·高二學業(yè)考試）某單位有甲、乙、丙三個部門，分別有職員27人、63人和81人，現(xiàn)按分層抽樣的方法從各部門中抽取組建一個代表隊參加上級部門組織的某項活動；其中乙部門抽取7人，則該單位共抽取人.2．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）某高中二年級共有學生425名，其中男生204名，女生221名，為了解該校高二年級學生的身高情況，從中抽取50名學生測量身高，若采用分層隨機抽樣的方法，則要抽取男生的人數(shù)為．3．（2023上·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習）北京時間2023年10月31日8時11分，神舟十六號載人飛船返回艙在東風著陸場成功著陸，載人飛行任務取得圓滿成功．某高中學校在有120名同學的“航天”社團中隨機抽取24名參加一個交流會，若按社團中高一、高二、高三年級的成員人數(shù)比例分層隨機抽樣，則高一年級抽取6人，若按性別比例分層隨機抽樣，則女生抽取15人，則下列結論錯誤的是（

）A．24是樣本容量B．120名社團成員中男生有50人C．高二與高三年級的社團成員共有90人D．高一年級的社團成員中女生最多有30人4．（2022上·浙江·高二校聯(lián)考期中）某小區(qū)有500人自愿接種新冠疫苗，其中49~59歲的有140人，18~20歲的有40人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項接種疫苗的追蹤調查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)18~20歲的接種疫苗的人群中抽取4人，則樣本容量為（

）A．14 B．18 C．32 D．50知識點三用樣本估計總體(1)頻率分布表的畫法：第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距＝eq\f(極差,組數(shù))；第二步：分組，通常對組內數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間；第三步：登記頻數(shù)，計算頻率，列出頻率分布表.(2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖(如圖)橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示eq\f(頻率,組距)，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率.1.頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關系(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù).(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.例3．（1）、（2024上·云南昆明·高二統(tǒng)考期末）我國是世界上嚴重缺水的國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了制定居民節(jié)約用水相關政策，抽樣調查了該市200戶居民月均用水量（單位：），繪制成頻率分布直方圖如圖1，則下列說法不正確的是（

）A．圖中小矩形的面積為0.24B．該市居民月均用水量眾數(shù)約為C．該市大約有85%的居民月均用水量不超過D．這200戶居民月均用水量的中位數(shù)大于平均數(shù)（2）、（2024·全國·模擬預測）某人統(tǒng)計了甲、乙兩家零售商店在周一到周五的營業(yè)額（單位：百元）情況，得到了如下的莖葉圖（其中莖表示十位數(shù)，葉表示個位數(shù)），關于這5天的營業(yè)額情況，下列結論正確的是（

）A．甲、乙兩家商店營業(yè)額的極差相同B．甲、乙兩家商店營業(yè)額的中位數(shù)相同C．從營業(yè)額超過3000元的天數(shù)所占比例來看，甲商店較高D．甲商店營業(yè)額的方差小于乙商店營業(yè)額的方差（3）、（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）某市氣象部門根據(jù)2022年各月的每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值（單位：）數(shù)據(jù)，繪制折線圖：那么，下列敘述錯誤的是（

）A．2022年月最高氣溫平均值逐漸上升B．全年中各月最低氣溫平均值不高于的月份有5個C．全年中，2月份的最高氣溫平均值與最低氣溫平均值的差值最大D．從2022年7月至12月該市每天最高氣溫平均值與最低氣溫平均值都呈下降趨勢1．（2022上·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學?？奸_學考試）某地教育局為了解“雙減”政策的落實情況，在轄區(qū)內初一年級在校學生中抽取了100名學生，調查了他們課下做作業(yè)的時間，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論不正確的是（

）A．該地初一年級學生做作業(yè)的時間超過3小時的概率估計為35%B．估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間超過2小時C．估計該地初一年級有10%的學生做作業(yè)的時間超過4小時D．估計該地初一年級有一半以上的學生做作業(yè)的時間在2小時至3小時之間2．（2024上·上海·高二統(tǒng)考期末）某同學將觀察學校柚子樹生長習性作為自主研究課題，他觀察了校園內6株柚子樹成熟結果個數(shù)（兩位數(shù)）并用莖葉圖（如圖所示）做了記錄，則這6株柚子樹成熟結果個數(shù)的中位數(shù)為（

）A．21 B．21.5 C．22 D．22.53．（2022上·全國·高一期末）為迎接黨的二十大勝利召開，某校開展了“學黨史，悟初心”系列活動．學校對學生參加各項活動的人數(shù)進行了調查，并將數(shù)據(jù)繪制成如下統(tǒng)計圖．若參加“書法”的人數(shù)為80人，則參加“大合唱”的人數(shù)為（

）A．60人 B．100人 C．160人 D．400人例4．（2024上·遼寧葫蘆島·高一統(tǒng)考期末）某市在萬成年人中隨機抽取了名成年市民進行平均每天讀書時長調查．根據(jù)調查結果繪制市民平均每天讀書時長的頻率分布直方圖（如圖），將平均每天讀書時長不低于小時的市民稱為“閱讀愛好者”，并將其中每天讀書時長不低于小時的市民稱為“讀書迷”．(1)試估算該市“閱讀愛好者”的人數(shù)，并指出其中“讀書迷”約為多少人；(2)省某機構開展“儒城”活動評選，規(guī)則如下：若城市中的成年人平均每天讀書時長不低于小時，則認定此城市為“儒城”．若該市被認定為“儒城”，則評選標準應滿足什么條件？（精確到）(3)該市要成立“墨葫蘆”讀書會，吸納會員不超過萬名．根據(jù)調查，如果收取會費，則非閱讀愛好者不愿意加入讀書會，而閱讀愛好者愿意加入讀書會．為了調控入會人數(shù)，設定會費參數(shù)，適當提高會費，這樣“閱讀愛好者”中非“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少，“讀書迷”愿意加入的人數(shù)會減少．問會費參數(shù)至少定為多少時，才能使會員的人數(shù)不超過萬人？例5．（2024上·上海黃浦·高二統(tǒng)考期末）某果園種植了甲、乙兩個品種的蘋果，現(xiàn)從這兩個品種中各隨機抽取10個，測得它們的質量（單位：kg）．其分布如莖葉圖所示（百位數(shù)和十位數(shù)部分作為“莖”，個位數(shù)部分作為“葉”）．(1)試分別求這兩個品種蘋果質量的樣本平均數(shù)和標準差；（結果精確到0.01）(2)哪個品種的蘋果質量更均勻？為什么？例6．（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中學?？计谀┠承８呷?）班全體女生的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如下,據(jù)此解答如下問題：(1)求高三（1）班全體女生的人數(shù)；(2)求分數(shù)在之間的女生人數(shù)；并計算頻率分布直方圖中間的矩形的高；(3)求該班女生數(shù)學測試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的估計值.(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的終點值代表)例7．（2024上·內蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期末）2023年秋末冬初，呼和浩特市發(fā)生了流感疾病.為了徹底擊敗病毒，人們更加講究衛(wèi)生講究環(huán)保.某學校開展組織學生參加線上環(huán)保知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：(1)若從成績低于60分的同學中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績低于50分的人數(shù)；(2)以樣本估計總體，利用組中值估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)；(3)首輪競賽成績位列前的學生入圍第二輪的復賽，請根據(jù)圖中信息，估計入圍復賽的成績（記為）.知識點四用樣本估計總體(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).(2)中位數(shù)：把n個數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).(3)平均數(shù)：把eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)稱為a1，a2，…，an這n個數(shù)的平均數(shù).(4)標準差與方差：設一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，則這組數(shù)據(jù)的標準差和方差分別是s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up2(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up2(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up2(－))）2])，s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up2(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up2(－)))2].例8．（1）、（2024·陜西安康·校聯(lián)考模擬預測）已知五個數(shù)，，，，的平均數(shù)為，則這五個數(shù)的方差為（

）A． B． C． D．（2）、（2024上·云南·高二統(tǒng)考期末）一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為、、、、、、，若該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是．1．（2024上·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若，，…，的平均數(shù)是，方差是100，則，，…，的平均數(shù)和方差分別是（

）A．40，199 B．19，199 C．19，200 D．19，4002．（2023下·江蘇蘇州·高一南京航空航天大學蘇州附屬中學?？茧A段練習）已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差分別為，例9、（2023上·四川成都·高二?？计谥校┠硨W校為了了解高二年級學生數(shù)學運算能力，對高二年級的200名學生進行了一次測試。已知參加此次測試的學生的分數(shù)全部介于45分到95分之間，該校將所有分數(shù)分成5組：，，····，，整理得到如下頻率分布直方圖（同組數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)的中間值作為代表）.(1)求的值，并估計此次校內測試分數(shù)的平均值；(2)試估計這200名學生的分數(shù)的方差，并判斷此次得分為52分和94分的兩名同學的成績是否進入到了范圍內?（參考數(shù)據(jù)：）例10、（2023·全國·模擬預測）為了響應政府號召，增加