隨機(jī)誤差及數(shù)據(jù)處理

隨機(jī)誤差及數(shù)據(jù)處理.ppt測量誤差及其種類隨機(jī)誤差與概率統(tǒng)計隨機(jī)誤差的統(tǒng)計表示直接測量數(shù)據(jù)的一般處理過程間接測量的誤差2測量誤差及其種類（1）誤差的意義 科學(xué)實驗的任務(wù)——觀察自然現(xiàn)象，定量測量有關(guān)物理量，并通過誤差的數(shù)據(jù)處理以及對測量結(jié)果不確定度的評估使測量的物理量更接近于真實的值。然后通過理論分析，總結(jié)出這些物理量之間的相互聯(lián)系，得到對自然現(xiàn)象本質(zhì)的認(rèn)識。例1：經(jīng)典力學(xué)—天文學(xué)觀察（第谷—開普勒— 牛頓）3只有實驗觀察為準(zhǔn)確可靠時才可能發(fā)現(xiàn)認(rèn)識或證實某自然規(guī)律。 為了得到正確可靠的實驗數(shù)據(jù)需要掌握必要的誤差理論。誤差理論包括：減少實驗誤差的方法——系統(tǒng)誤差理論。實驗誤差的數(shù)據(jù)處理——指從帶有偶然性的觀察值中 用數(shù)學(xué)方法導(dǎo)出規(guī)律性結(jié)論的過程。 在不少實驗中，尤其是現(xiàn)代物理實驗中，現(xiàn)象的隨機(jī)性質(zhì)是十分突出的，物理過程的規(guī)律性往往被現(xiàn)象表面的偶然性所掩蓋，因而必須用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具才能恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計實驗，才能由觀察數(shù)據(jù)得出正確的結(jié)論。4（2）誤差（Error）誤差—測量值與真值之差Δi=xi-A（3）誤差的性質(zhì)和分類

系統(tǒng)誤差：符號和數(shù)值總保持不變，或按一定 規(guī)律。隨機(jī)誤差：就某一次具體的測量來講其誤差的 大小與正負(fù)都不確定，而在大量重 復(fù)測量中遵守統(tǒng)計規(guī)律的誤差。過失誤差：觀察、記錄、操作等錯誤造成的。 必須剔除的誤差。5(3)測量的準(zhǔn)確度、精密度與精確度準(zhǔn)確度——描述測量結(jié)果與真值的偏離程度，反映系統(tǒng) 誤差的大小。精密度——描述重復(fù)測量結(jié)果之間的離散程度，反映偶 然誤差大小。精確度——準(zhǔn)確度和精密度的結(jié)合。 精密度較好 精密度最差 精密度最好 準(zhǔn)確度較好 準(zhǔn)確度最好 準(zhǔn)確度最差 精確度最好 精確度居中 精確度最差6(4)最可信值與真值真值——測量對象真正的數(shù)值。最可信值——實驗測量所得的最可能接近真值的值。算術(shù)平均值——最小誤差所對應(yīng)的出現(xiàn)概率最大的值。以后將證明最可信值就是大量重復(fù)測量的算術(shù)平均值。因為真值是不知道的，誤差因此無法求得。只能引入殘差概念對誤差大小作一估計。殘差：

7隨機(jī)誤差與概率統(tǒng)計（1）研究隨機(jī)誤差的意義 一切測量中，隨機(jī)誤差是無法避免的，利用隨機(jī)誤差理論對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可減小隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響并估計出誤差的大小。（2）有關(guān)概率統(tǒng)計的幾個基本概念概率：一定條件下的N次試驗（測量）中，事件A發(fā)生了 NA次，事件A的概率為P(A)例：有紅、黃、藍(lán)、白、黑五色子，每次抽1只，抽了N 次，出現(xiàn)紅子的次數(shù)Nr，那么出現(xiàn)紅子的概率為

8隨機(jī)變量若一定條件下某觀察值的出現(xiàn)是一隨機(jī)事件，那么這一觀察值就是隨機(jī)變量。（在相同條件下，由于偶然因素變量可能不同值，但這些值落在某個范圍內(nèi)的概率是確定的）如：概率服從高斯分布。例：用秒表測量單擺的振動時間T。概率密度函數(shù)當(dāng)隨機(jī)變量為連續(xù)時，定義f(Δ)=意義：隨機(jī)變量的值落入某一值附近無限小區(qū)間的概率等于 變量取該值時的概率密度與此無限小誤差區(qū)間的乘積。歸一化條件：為概率密度函數(shù)(p.494)9（3）隨機(jī)誤差的統(tǒng)計分布 p495 隨機(jī)誤差服從的統(tǒng)計分布規(guī)律有：高斯分布、二項式分布、泊松分布、均勻分布……t分布。高斯分布 p495/13 隨機(jī)誤差服從高斯分布時，大量等精密度獨立測量的結(jié)果服從三條概率論公理：有界性：隨機(jī)誤差的絕對值不超過某一定界限。對稱性：絕對值相同的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同。單峰性：絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小，絕對值小的誤差出現(xiàn)概率大。絕對值最小 的誤差出現(xiàn)概率最大。高斯分布函數(shù)的導(dǎo)出（p.495-498）

10高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)對某物理量（x）作n次等精度測量 x1,x2,x3,……,xnΔ1,Δ2,Δ3,……,Δn設(shè)真值為A， Δi=xi－A測量誤差分布于Δi～Δi+dΔ的概率取決于f(Δi)及 dΔ，即 p(Δi)=f(Δi)dΔ∴誤差出現(xiàn)于Δ1～Δ1+dΔ的概率p(Δ1)=f(Δ1)dΔ誤差出現(xiàn)于Δ2～Δ2+dΔ的概率p(Δ2)=f(Δ2)dΔ ……誤差出現(xiàn)于Δn～Δn+dΔ的概率p(Δn)=f(Δn)dΔ11高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)根據(jù)獨立事件的概率乘法定理P=p(Δ1)p(Δ2)…p(Δn)=f(Δ1)dΔf(Δ2)dΔ…f(Δn)dΔ兩邊取對數(shù)：lnP=lnf(Δ1)+lnf(Δ1)+…+lnf(Δn)dΔ+nln(dΔ)對于各組等精度的測量中，哪一組測量數(shù)據(jù)對應(yīng)出現(xiàn)的概率最大？顯然，測量數(shù)據(jù)偏離A越大的數(shù)據(jù)組出現(xiàn)的概率越小，測量數(shù)據(jù)組中偏離A最小的數(shù)據(jù)但出現(xiàn)的概率最大。因此dp/dA=0，上式對A求導(dǎo) (1)12高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)dΔ為任意取定的微分量，與A無關(guān)，∴令(1)式等于零，有或：∵Δi=xi-A ∴∴

13高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)或：由于 （隨機(jī)誤差的對稱性） 所以為使以上兩式成立 （常數(shù)） 即積分上式 14高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)根據(jù)單峰性原理，Δ越大，p(Δ)=f(Δ)dΔ越小，即指數(shù)項應(yīng)小于零令

………………（2）根據(jù)有界性公理15高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)根據(jù)對稱性公理∵ ，∵ ∴ 代入（2）式16高斯分布函數(shù)的推導(dǎo)

……..高斯分布函數(shù)h=π1/2f(0)……..精密度常數(shù)h決定了曲線的峰高，即最小誤差出現(xiàn)的概率密度?！哒龖B(tài)分布概率密度函數(shù)f(Δ)的推導(dǎo)引用了三條公理，∴其結(jié)果也滿足三公理：f(Δ)是e的負(fù)指數(shù)函數(shù)，越小，f(Δ)越大 Δ=0時，f(Δ)為極大——單峰性。f(Δ)是以Δ2為指數(shù)的函數(shù)，±Δ對應(yīng)的f(Δ)相等——對稱性。f(Δ)是函數(shù)，隨Δ增大，f(Δ)迅速減小——有界性。17隨機(jī)誤差的定量描述 為了引入與精密度常數(shù)和測量誤差有直接關(guān)系的參數(shù)來標(biāo)志隨機(jī)誤差的離散性標(biāo)準(zhǔn)誤差（隨機(jī)誤差的一種基本的表示方法）σ越小，h越大高斯分布函數(shù)的另一種表示（一種以誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤差表示的高斯 分布函數(shù)）P499/-5~p50018σ越小，f(Δ)~Δ曲線越陡，h（精密度）也越高σ與Δ的區(qū)別σΔ

衡量測量列的離散度與真值的具體的偏差有確定的值（對一測量列）對一測量列，可大可小， 可正可負(fù)。19隨機(jī)誤差的統(tǒng)計表示置信概率與置信區(qū)間（討論σ的統(tǒng)計意義）測量中不僅要知道某測量列的誤差范圍，還需要了解誤差落在某范圍的概率概率由概率密度函數(shù)在某范圍內(nèi)的積分求得誤差的范圍:q=±upσ概率積分表見p.504,表10.1例：誤差落在（-σ,+σ），即up=1的概率為0.68320或然誤差upσ=±0.675σ,

p=0.5最可信值：等精密度獨立測量列的算術(shù)平均值

E=Σ(xi/n)=（p.506,式10.21）標(biāo)準(zhǔn)誤差的統(tǒng)計意義：在一組等精密度的測量中，n個測量值有n個誤差，若n很大，則其中有68.3%的誤差值落在（-σ,+σ）區(qū)間內(nèi)。極限誤差upσ=（-3σ,+3σ）,p=0.9973平均誤差

upσ=±0.7979σ,

p=0.57521算術(shù)平均值的精密度估計各組等精密度測量得到的算術(shù)平均值有波動，即平均值有離散性算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差討論：a.<σb.n增加，

減小c.反映了的離散性d.有68.3%的把握認(rèn)為實驗測得的誤差不大于

測量結(jié)果精密度的比較用各種不同的統(tǒng)計誤差，在不同的概率水平下評定同一組測量結(jié)果的離散性22x=±

(p=0.683,n=….)標(biāo)準(zhǔn)誤差x=±0.7979(p=0.574,n=…)平均誤差x=±0.675（p=0.500,n=…)或然誤差例：比較下列各組測量結(jié)果的精密度X1=1.083±0.006(p=0.683,n=15)X2=1.083±0.004(p=0.3108,n=15)X3=1.083±0.012(p=0.9907,n=15)X1p=0.683up=1=0.006X2p=0.3108up=0.4=0.010X3p=0.9907up=2.6=0.005以殘差表示的誤差公式

23t分布函數(shù)有限次測量時，隨機(jī)誤差服從t分布變量之一：l=n–1（自由度）變量之二:t=

T分布曲線的特征：*也是左右對稱；*比高斯分布曲線“矮胖些同樣概率水平所對應(yīng)的誤差區(qū)間要更大些P511/12425

對于測量次數(shù)較少時采用表示其隨機(jī)誤差tξ≥1

t

由置信概率p和測量次數(shù)n決定n12345678910152030t0.6831.831.321.201.141.111.091.081.071.061.051.041.031.0226例：試比較對同一物理量作下列20次和5次等精密度測量 結(jié)果的精密度。n=20n=5

解：設(shè)置共同的置信概率p=0.683

查表得n=20tξ=1.03n=5tξ=1.11

置信區(qū)間tξs=1.030.042=0.043tξs=1.110.040=0.04427直接測量數(shù)據(jù)的一般處理過程(A)系統(tǒng)誤差修正(B）剔除粗差（C）求最佳值（算術(shù)平均值）及其標(biāo)準(zhǔn)差（D）對最佳值的精密度作出恰當(dāng)?shù)墓烙嫞ǜ咚狗植蓟騮分布）（E）寫出完整的表示式剔除粗差：（建立一種保證某種概率分布能成立的 判據(jù)）

肖維洛法則——在n次的重復(fù)測量中，出現(xiàn)概率小于1/2n的數(shù) 據(jù)應(yīng)予剔除，即以p=(1—1/2n)為置信概率。

步驟——由n,p查表（p.516)決定up=vi

/σ 將誤差大于upσ的數(shù)據(jù)剔除(注意：σ為測量列的標(biāo) 準(zhǔn)差)例：n=25,p=1—1/2×25=0.9800,查表得

up=vi

/σ=2.33 于是vi

>2.33σ的數(shù)據(jù)應(yīng)剔除28格拉布斯法則：（適用于測量次數(shù)較少的情況）先假定n次等精密度的重復(fù)測量結(jié)果滿足高斯分布，求出測量列的標(biāo)準(zhǔn)差，若某測量值的殘差

|Vi

|

>g0S則該數(shù)據(jù)為可疑數(shù)據(jù)應(yīng)予剔除g0(n,α)為分布函數(shù)，由n——測量次數(shù)，α—危險率決定（見p.517,表10.4）

α是將非可疑數(shù)據(jù)剔除概率，一般取0.05求最佳值計算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差寫出標(biāo)準(zhǔn)的表示形式

（ξ=?n=?)

29直接測量數(shù)據(jù)處理舉例：用比長儀測二光譜線之間的距離共10次，數(shù)據(jù)如下：nLi/mmvi/mmvi2/mm2vi'/mmvi‘2/mm2vi‘'/mm1101.55681.31.7-0.30.090.72101.55529.7948.1663101.5542-1.31.7-2.98.4-1.94101.55782.35.30.70.491.75101.55772.24.80.60.361.66101.5521-3.412-5.025-4.07101.5554-0.10.01-1.72.9-0.78101.5418-13.71889101.55560.10.01-1.52.3-0.510101.55883.3111.72.92.7平均L1=101.5555L2=101.5555L3=101.555530Vi單位為×10-3mm,Vi2單位為×10-6mm2。用格拉布斯準(zhǔn)則剔除可疑數(shù)據(jù)（α=0.05）n=10 g0σ1=2.18×5.9=12.9mm

∵ ∴第8號數(shù)據(jù)剔除31n=9 L2=101.5571mm g0‘σ2=2.11×3.7=7.8mm∵ ∴第2號數(shù)據(jù)剔除n=8 L3=101.5571mm32g0''σ3=2.03×2.2=4.5mm∵ ∴已無可疑數(shù)據(jù)要剔除(4) (n=8, t0.683=1.08)∴ (n=8, t0.683=1.08)33間接測量的隨機(jī)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差傳遞公式有些物理量是不能直接測量的，它是一些直接測量值的函數(shù)。用帶有誤差的直接測量值計算時，所得到的結(jié)果也具有一定的誤差。誤差的大小與各測量值的誤差有關(guān)。

Y=f(x1，x2，…..xm)