上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、填空題1．已知，則實數(shù)．2．復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為．3．已知，，則在上的數(shù)量投影為．4．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，的方差為.5．不等式的解集是.6．已知（且，函數(shù)的圖象恒過定點，則點的坐標(biāo)為．7．在平面直角坐標(biāo)系中，，把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，關(guān)于軸的對稱點記為，，則的坐標(biāo)為8．已知，則（用數(shù)字作答）．9．某公司員工小明上班選擇自駕、坐公交車、騎共享單車的概率分別為、、，而他自駕、坐公交車、騎共享單車遲到的概率分別為、、，結(jié)果今天他遲到了，在此條件下，他自駕去上班的概率為．10．已知記函數(shù)的最大值為，則的取值范圍是．11．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過左焦點作直線與雙曲線交于A，B兩點（B在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點，且點到直線的距離為，則雙曲線的離心率為.12．已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，，，，且，則的最大值為．二、單選題13．已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件14．在中，，則下列說法一定正確的是（

）A．若，則是銳角三角形 B．若，則是鈍角三角形C．若，則是銳角三角形 D．若，則是鈍角三角形15．若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”.已知長方體，下列四組量中，不能作為該長方體的“基本量”的是（

）A．的長度 B．的長度C．的長度 D．的長度16．設(shè)集合，定義：集合，集合，集合，分別用，表示集合S，T中元素的個數(shù)，則下列結(jié)論可能成立的是（

）A． B． C． D．三、解答題17．已知在中，．(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．18．垃圾分類可以提高垃圾的資源價值和經(jīng)濟價值．某學(xué)校在寒假期間安排了“垃圾分類知識普及實踐活動”．為了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，該校對高一、高二年級全體學(xué)生進(jìn)行了相關(guān)知識測試，然后從高一、高二各隨機抽取了20名學(xué)生成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析．下面給出了整理得相關(guān)信息：高一年級成績分布表等級EDCBA成績（分?jǐn)?shù)）人數(shù)123410(1)從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是多少？(2)分別從高一全體學(xué)生中抽取一人，從高二全體學(xué)生中抽取2人，這三人中成績不低于90分的人數(shù)記為，用頻率估計概率，求的分布列和期望．19．如圖，斜三棱柱中，底面是邊長為a的正三角形，側(cè)面為菱形，且．

(1)求證：；(2)若，三棱柱的體積為24，求直線與平面所成角的大?。?0．已知橢圓，過點作關(guān)于軸對稱的兩條直線，且與橢圓交于不同兩點與橢圓交于不同兩點，.(1)已知經(jīng)過橢圓的左焦點，求的方程；(2)證明：直線與直線交于點;(3)求線段長的取值范圍.21．已知為實數(shù)，．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；(3)已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】直接根據(jù)求解即可.【詳解】，，解得.故答案為：.2．【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等可得答案.【詳解】設(shè)，因為，所以，可得，解得，則z的虛部.故答案為：.3．【分析】直接利用投影公式計算即可.【詳解】，，則在上的數(shù)量投影為.故答案為：.4．【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)，若，，，的方差為，則，，的方差為，計算即得答案.【詳解】根據(jù)題意，一組樣本數(shù)據(jù)，，，的方差，則數(shù)據(jù)，，，的方差為；故答案為：.5．或}【分析】分式不等式變式成，等價于，求解即可【詳解】，所以，解得或，所以不等式的解集是或}.故答案為：或}6．【分析】令即可求出定點.【詳解】令得，此時，所以函數(shù)的圖象恒過定點，即點.故答案為：.7．【分析】根據(jù)條件的變化，找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律可得答案.【詳解】把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，關(guān)于軸的對稱點記為，則，即把向量順時針旋轉(zhuǎn)定角得到，得，即關(guān)于軸的對稱點記為，則，以此類推可得當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，故的坐標(biāo)為.故答案為：8．【分析】根據(jù)題意，利用賦值法分別將和代入已知式子中，得到兩個方程，由這兩個方程化簡整理，即可求出答案．【詳解】由，令得，，①令得，，②①②得，，.故答案為：.9．【分析】設(shè)小明遲到為事件，小明自駕為事件，求出，，利用條件概率公式計算即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)小明遲到為事件，小明自駕為事件，則，，所以在小明遲到的條件下，他自駕去上班的概率為.故答案為：.10．【分析】同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象，然后根據(jù)圖象分，，討論求解即可.【詳解】設(shè)，則，即函數(shù)在上為奇函數(shù)，又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故設(shè)，則，令，解得同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象如下：

由圖可知，當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，

綜上的取值范圍是.故答案為：.【點睛】方法點睛：對于分段函數(shù)，其中每一段對應(yīng)的變量范圍在沒有確定的情況下，需要在一個坐標(biāo)系中畫出每一段的完整圖象，對變量的取值變化情況分析，從而得到分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論.11．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到關(guān)系，代入離心率計算公式，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為c，，，根據(jù)題意得，又，，設(shè)的中點為，在中，，，，則，，根據(jù)，可知，.故答案為：.12．【分析】根據(jù)遞推式先推出，然后分組求和可得，結(jié)合條件，通過基本不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值.【詳解】因為，所以，將代入得，所以，又，所以，所以又因為，所以，又由，，得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，，所以當(dāng)時，最大，且最大為故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件中的遞推式求出數(shù)列中隱藏的等比數(shù)列，然后利用分組求和的方法進(jìn)行求和.13．A【分析】分別求得與的等價條件，從而利用充分必要條件的定義即可得解.【詳解】，或，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．D【分析】根據(jù)題中條件利用向量的數(shù)量積運算可求得，分情況考查的正負(fù)情況，轉(zhuǎn)化為的正負(fù)情況，進(jìn)一步分析即可.【詳解】因為，即,又時，三角形一定不是直角三角形，則有，，若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，故A,B錯誤；當(dāng)時，則，中必有一個鈍角，故此時是鈍角三角形，C錯誤，D正確，故選：D.15．D【分析】根據(jù)題設(shè)定義，結(jié)合長方體的體積公式、已知量判斷長方體的體積是否可以確定即可.【詳解】如下圖，根據(jù)長方體體積公式，只需確定共頂點的三條棱長即可，已知的長度，則體積可定，A滿足；由，即可求出，則體積可定，B滿足；由勾股定理及可求，由勾股定理及可求，故體積可定，C滿足；已知無法求出，體積不能確定，D不滿足.故選：D16．D【分析】對A、B：不妨設(shè)，可得，根據(jù)集合的定義可得Y中至少有以上5個元素，不妨設(shè)，則集合S中至少有7個元素，排除選項A，若，則集合Y中至多有6個元素，所以，排除選項B；對C：對，則與一定成對出現(xiàn)，根據(jù)集合的定義可判斷選項C；對D：取，則，根據(jù)集合的定義可判斷選項D.【詳解】解：不妨設(shè)，則的值為，顯然，，所以集合Y中至少有以上5個元素，不妨設(shè)，則顯然，則集合S中至少有7個元素，所以不可能，故排除A選項；其次，若，則集合Y中至多有6個元素，則，故排除B項；對于集合T，取，則，此時，，故D項正確；對于C選項而言，，則與一定成對出現(xiàn)，，所以一定是偶數(shù)，故C項錯誤.故選：D.17．(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.18．(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）先分別求出高一，高二中抽取一人，成績不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可；（2）可取的值為，分別求出其概率即可得分布列，然后根據(jù)期望公式求期望即可.【詳解】（1）由已知得從高一的學(xué)生中抽取一人，成績不低于90分的概率是，從高二的學(xué)生中抽取一人，成績不低于90分的概率是，則從高一和高二樣本中各抽取一人，這兩個人成績都不低于90分的概率是；（2）可取的值為，則，，，，則的分布列為所以19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用棱柱的體積公式，空間向量的夾角公式進(jìn)行求解.【詳解】（1）取的中點，連接，由題知為正三角形，而也是正三角形，，又面，且，面，又面，；（2），，，又，，即，又面，且，，面，兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，三棱柱的體積為，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，則.

20．(1)；(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)直線的截距式方程即可求得答案.（2）設(shè)直線，則，聯(lián)立直線和橢圓方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，化簡，可證明直線經(jīng)過點，同理可證直線經(jīng)過點，即可證明結(jié)論.（3）表示出線段的長，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡并采用換元法，可得，利用函數(shù)的單調(diào)性，可求得答案.【詳解】（1）的左焦點為，當(dāng)過左焦點時，的方程為，即.（2）由題意知斜率存在，設(shè)直線，則，聯(lián)立，消得，需滿足，即，，又，，，，故點，，三點共線，即直線經(jīng)過點，同理可證,即點，，三點共線，即直線經(jīng)過點，故直線與直線交于點;（3）由（2）可知令，則，又由得，所以，，設(shè)，時，恒成立，在上單調(diào)遞增，，，，，.【點睛】方法點睛：（1）證明直線與直線交于點時，采用證明的方法，從而證明點，，三點共線，即直線經(jīng)過點，同理可證直線經(jīng)過點，即可證明結(jié)論；（2）求解線段長的取值范圍時，利用兩點間距離公式可表示其長，解答時要結(jié)合換元法以及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.21．(1)不是的“正向數(shù)組”；(2)證明見解析；(3)的取值范圍是.【分析】（1）代入有，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得到的正負(fù)時不同取值情況即可；（2）假設(shè)存在,使得,通過正向數(shù)組定義轉(zhuǎn)化得對任意恒成立，設(shè)，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可證明假設(shè)不成立；（3）代入有恒成立或恒成立，設(shè)，求出是的最大值或最小值時的取值范圍即可.【詳解】（1）若，，對，即，而當(dāng)，時，，，即，不滿足題意.所以不是的“正向數(shù)組”.（2）反證法:假設(shè)存在,使得,為的“正向數(shù)組”，對任意,都有.對任意恒成立.令，則在上恒成立，，設(shè)，，則當(dāng)時，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，，當(dāng)，，即存在，使在上為正，在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域為；若，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域為.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，必存在，使在上為負(fù)，在上為正，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)，，當(dāng)，，則的值域為.由值域可看出，與在上恒成立矛盾.對任意，都有.（3）都是的“正向數(shù)組”，