2021版新高考數(shù)學人教A版一輪復習單元質(zhì)檢卷七立體幾何

單元質(zhì)檢卷七立體幾何（A）

（時間:45分鐘滿分:100分）

一、選擇題（本大題共6小題,每小題7分，共42分）

1.（2019山東濟寧一模,7）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）

A.24+9K

B.12+9兀

C.12+5%

D.24+4兀

2.（2019湖北八校聯(lián)考二,6）設(shè)Ijn表示兩條不同的直線,a/表示兩個不同的平面,0表示一個點，給出

下列四個命題，其中正確的命題是（）

①Q(mào)￡a,/ua=Q￡/②/八加二4③I〃m,lua,QGm,QGanmua④，且

BQ-nlG。

A.①②B.②③C.①③D.③④

1

俯視圖

3.圓柱被一個平面截去一部分后與半球（半徑為力組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯

視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16+20rt,則r=（）

A.1

B.2

C.4

D.8

4.（2019安徽定遠中學預測卷一）已知四棱錐P-ABCD的底面四邊形ABCD是邊長為2的正方形，若過

點?作平面A8CO的垂線，垂足為四邊形A8C。的中心，且四棱錐P-ABCD的側(cè)棱與底面所成的角為

60°,則四棱錐P-4BCD的高為（）

A.2V2B.V3C.V6D.2V3

5.（2019安徽合肥一模,9）如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某三棱錐的三視圖,則該三

棱錐的外接球的表面積為（）

A.6TI

B.24兀

2

C.48兀

D.96兀

6.（2019貴州遵義航天中學十一模泗棱錐P-ABCD的底面為正方形J_底面A8CRA8=2,若

該四棱錐的所有頂點都在體積為早的同一球面上，則PA的長為)

A.3B.2C.lDA

2

二'填空題（本大題共2小題海小題7分，共14分）

7.（2019山東日照一模,16）如圖,四棱錐P-ABCD的底面為矩形，矩形的四個頂點A,B,C,D在球。的同

一個大圓上，點P在球面上，且球的表面積為16兀，則四棱錐P/8CO體積的最大值為.

8.（2019北京師大附中模擬三,13）某工廠現(xiàn)將一棱長為舊的正四面體毛坯件切割成一個圓柱體零件,

則該圓柱體體積的最大值為.

三、解答題（本大題共3小題，共44分）

9.（14分）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SABL平面ABC^SAB是等邊三角形，已知

AC=2AB=4,BC=2yj5.

⑴求證:平面S4B_L平面SAC-,

（2）求二面角B-SC-A的余弦值.

3

10.(15分)(2019山東濟寧一模,18)如圖，在四棱錐P-ABCD中底面ABC。為平行四邊形,PAL底面

ABCD,ZABC=60°48=7X40=2/4P=3.

(1)求證:平面尸C4_L平面PCD;

(2)設(shè)E為側(cè)棱尸C上的一點,若直線8E與底面A8CQ所成的角為45°,求二面角的余弦值.

11.

4

p

（15分）（2019北京,16）如圖，在四棱錐P-ABCD中,P4_L平面ABCDADLCDAD//

BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點，點F在PC上，且/=1

⑴求證:CD_L平面PAD\

(2)求二面角F-AE-P的余弦值;

(3)設(shè)點G在PB上，且襄=W判斷直線4G是否在平面AEF內(nèi)，說明理由.

ro3

參考答案

單元質(zhì)檢卷七立體幾何(A)

LB由題意可知，幾何體是抄圓錐,

5

所以幾何體的表面積工X42兀+2X1X4X3+1x1x8;rx5=12+9兀故選B.

4242

2.D①錯誤，②錯誤，③正確,④正確.故選D.

3.B由條件知,該幾何體是由一個圓柱被過圓柱底面圓直徑的平面所截剩下的半個圓

柱及一個半球拼接而成，其表面積是一個矩形面積，兩個半圓面積，圓柱側(cè)面積的一半，球

表面積的一半相加所得,所以表面積為S=2rx2r+2x

表

；7Tr2+jtrx2r+：*4兀：2=5兀廠2+4「2=16+20兀,解得r=2.

4.C

如圖,設(shè)高為P。,根據(jù)線面角的定義可知/PC。是側(cè)棱PC與底面所成的角,

據(jù)題設(shè)分析知，所求四棱錐的高〃=與上31160°=J6.故選C.

5.B由三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖P-AOC,是底面為直角邊為4與2的直角三角

形，高為2的三棱錐,將三棱錐補成長方體，利用長方體的外接球與棱錐的外接球相同求

解即可.圖中矩形ABC。的長為4,寬為2,棱錐的高為尸8=2,

所以棱錐的外接球就是以BC,瓦為長、寬、高的長方體的外接球,

外接球的直徑就是長方體的體對角線，即2R=J42：22；22=卜,

所以外接球的表面積為4無我2=24兀故選B.

6

C連接AC、8。交于點瓦取PC的中點。，連接。E,可得。E〃PA,OE，底面ABCD,可

得0到四棱錐的所有頂點的距離相等，即0為球心，設(shè)球半徑為R,

可得R=gpC=/PA2+8,可得丹?42+8)3=算解得抬=1.故選C.

乙乙KJ乙乙

7.y因為球。的表面積是16兀，所以S=4成2=16無,解得/?=2.

設(shè)矩形A5CO的長、寬分別為x,y,則G+y2=(2R)222盯，當且僅當x=y時上式取等

號，即底面為正方形時，底面面積最大，此時S......=2/?2=8.

正方形

因為點P在球面上,所以當?shù)酌?38時,PO=R即hniaX=R,

此時四棱錐P-A8CD體積有最大值為98x2啰

8

圓柱體體積最大時，圓柱的底面圓心為正四面體的底面中心0；圓柱的上底面與棱錐側(cè)

面的交點N在側(cè)面的中線AM上.

:正四面體棱長為低/.BM=^0'M=^,B0'=1,：.A0'=^,

設(shè)圓柱的底面半徑為廠,高為〃，則0＜廠＜：.由三角形相似得彳=綏，即〃=e-2位r,

2，V2

圓柱的體積V=7tr2/i=V2nr2(1-2/0,

7

勺)3=$當且僅當r=1-2「即r=g時取等號....圓柱的最大體積為

0.故答案為四.

2727

9.(1)證明在△8C4中,,.,A8=2,C4=4,BC=2j5,

：.AB2+AC2=BC2,^ABVAC.

又平面SAB,平面ABC,平面SABfl平面ABC=AB,，ACJ_平面SAB.

又ACu平面SAC,所以平面SABJL平面SAC.

(2)解如圖建立空間直角坐標系4(0,0,0),8(2,0,0),S(l,0,75)0(0,4,0),

cs=(l,-4,遍),就=(24,0),AC=(0,4,0),

設(shè)平面甌的法向量n=(x,y,z),由0,則n=4,竽-

設(shè)平面SCA的法向量m=(a力,c),由｛:;人:代?=0:111=(-冉，0』)，

?2—19

?.cos<n,m>=-^—,

19

又二面角B-SC-A的平面角為銳角，

二二面角B-SC-A的余弦值為年2

ly

10.(1)證明在平行四邊形48co中,NA0C=6O°,。0=冉,力。=2次,由余弦定理得

AC2=AD2+CD2-2ADCDCOSZADC=12+3-2X2^XWXCOS60°=9,

：.AC2+CD2=AD2,：.ZACD=90°,5PCOLAC,又PA_L底面ABCRCOu底面ABCD,

；.PA上CD,

8

又ACQPA=A,

平面PCA又COu平面PC。,，平面PC4_L平面PCD.

(2)解如圖，以A為坐標原點ABACAP所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立空間直角坐標

系.則A(O,O,O),S(AO,O),C(O,3,O),￡>(-V3,3,O),P(O,O,3).

設(shè)E(x,y,z),方=□記(0W2W1),則(x,y,z-3)=〃0,3,-3).

，X=0J=34Z=3-3兒即點E的坐標為(0,34,3-32).

雇=(-，3323-3幻,又平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,l),

Asin45°=lcos<5F,n>l=-------艮網(wǎng)----，解得2=1

V3+9A2+(33A)2'

.,.點E的坐標為(0,1,2),

???荏=(0,12),瓶=(遍,0,0).

777?AR—0(X—0

設(shè)平面E48的法向量為m=(初②,由方一：'得v+.0

令z=L得平面E48的一個法向量為m=(0,-2,l),

?/、mn_1__/5

??cosvm,n>=—————

|m||n|V55

又二面角E-A6-。的平面角為銳角，所以，二面角E-A8-。的余弦值為g

11.⑴證明因為P4_L平面ABC。,所以P4_LCD又因為AOLCO,所以平面PAD.

(2)解過A作A。的垂線交8C于點

9

因為PAJ_平面ABCD,

所以PA±AM,PA±AD.

如圖建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,

則A(0,0,0)f(2,-l,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2).

因為E為尸。的中點，所以E(O,1,1).

所以標=(0,1,1),記=(經(jīng)-2),而=(0,02).

所以方式記=(|[,[)萬=Q+兩=修猾).

設(shè)平面AE77的法向量為n=