2021版高考數(shù)學(xué)(人教A版理科)一輪復(fù)習(xí)：核心素養(yǎng)測評(píng)三十八

核心素養(yǎng)測評(píng)三十八

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和

鞏固提升練（3。分鐘60分）

一、選擇題（每小題5分，共25分）

1.若等差數(shù)列｛a丿的公差為d,則數(shù)列｛a?,一｝是（）

A,公差為d的等差數(shù)列

B.公差為2d的等差數(shù)列

C.公差為nd的等差數(shù)列

D.非等差數(shù)列

【解析】選B.數(shù)列伍丿J其實(shí)就是a,a,a,a,…，奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列，它們之

^n-11357

間相差2d.

2.在等差數(shù)列列｝中，已知a=2,前7項(xiàng)和S=56,則公差d=（）

n27

A.2B.3C.-2D._3

（Qi+d=2,

【解析】選B.由題意可得7X6.

H——d=56,

即1al+d=2,解得也=-1,

[Qi+3d=8,1d=3一

【一題多解】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì)S=7a=56,

74

所以a=8,因此d&*3.

4o

-1-

3.（2020-貴陽模擬）設(shè)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若a=2a,則區(qū)1=（）

nn63

A.—B.AC.—D.—

R2710K

［解析］選D.里豈2上魚3.

S：￡&1+“5丿5aa'

4.（2020?濟(jì)南模擬）已知等差數(shù)列｛a｝的公差d為4,項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),所有奇數(shù)項(xiàng)的

n

和為15,所有偶數(shù)項(xiàng)的和為55,則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為（）

A.10B.20C.30D.40

【解析】選B.設(shè)等差數(shù)列｛a｝的項(xiàng)數(shù)為n,前n項(xiàng)和為S,

nn

則S-s三d=2n=40,n=20,即這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為20.

偶奇

5.已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,若S<0,S>0,則在數(shù)列中絕對(duì)值最小的項(xiàng)

nn1312

為（）

A.第5項(xiàng)B.第6項(xiàng)

C.第7項(xiàng)D.第8項(xiàng)

【解析】選C.根據(jù)等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和公式S"+也因?yàn)閼?3<°，所

nn

2（S19>0,

以Ql+<li3<°，

+QI2>0,

由Q[+=2a7,

得卜7<0,所以數(shù)列｛a｝中絕對(duì)值最小的項(xiàng)為

,Q】+=Qg++a7>0,n

第7項(xiàng).

【變式備選】

-2-

（2019?北京高考）設(shè)等差數(shù)列京｝的前n項(xiàng)和為S,若a=一3,S-10,則

nn25

a=,S的最小值為.

5n

【解析】設(shè)公差為d,a=a+d=-3,S=5a+竺。=70,即a+2解-2,

21511

解得a=-4,d=1,

1

所以a=a+4d=0,S=na+?"7d=宀。

51n177

當(dāng)n=4或5時(shí)，S最小，為TO.

n

答案：0-10

二、填空題（每小題5分，共15分）

6.已知等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,且滿足紅-互=1,則數(shù)列｛a｝的公差是

nn32n

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,

n

因?yàn)閰^(qū)-互口，

32

所以2（3al+吸尸（2al+竽d）=6,

所以6a+6d_6a-3d=6,所以d-2.

11

答案:2

7.（2019?全國卷HI）記S為等差數(shù)列｛a.｝的前n項(xiàng)和,aWO,a=3a,則

nn121

步—.n

【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d,因?yàn)閍=3a,

21

所以a+d=3a,故d=2a（a芋0,d彳0）,

1111

-3-

10依14410丿

所以$1。=」一=2M+9d)=2x10dF

5,5/ap-gj；2%+4d0

答案:4

8.已知｛a｝,｛b｝都是等差數(shù)列,若a+b=9,a+b=15,則a+b=________.

nn1103856

n

【解析】因?yàn)椋鸻｝,｛b｝都是等差數(shù)列，所以2a=a+a2b=b+b,所以

nn315,8106

2(a+b)=(a+b)+(a+b),

3811056

即2X15=9+(a+b),解得a+b=21.

5656

答案:21

三、解答題(每小題10分，共20分)

9.在等差數(shù)列｛a｝中,a=l,a=-3.

n13

⑴求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

(2)若數(shù)列｛a｝的前k項(xiàng)和S=-35,求k的值.

nk

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,

n

則a=a+(n-1)d.

n1

由a=1,a=-3可得1+2d=-3,

13

解得d二-2,從而a=1+(n-1)X(-2)=3-2n.

n

(2)由(1)可知a=3-2n.

n

所以S:“厶+門-2"刀二

n7

2n-n,由S=-35可得2k*=-35,

2k

即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.

又k￡N*,故k=7.

-4-

10.設(shè)｛a｝為等差數(shù)列,S為數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，已知S=7,S=75,T為數(shù)歹U也

nnn715nl箇J

的前n項(xiàng)和，求T.

n

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d,則

n

S=na+-n(n-1)d.

n13

因?yàn)镾=7,S=75,所以。"1+21d=7,

715I15d+105d=75,

即1al+3d=1,解得@=2,d=i.

Id+7d=5>1

所以包二a+—(n-1)d=-2+—(n-1),

??1?9

因?yàn)橛璽u兆二丄，所以數(shù)列［右］是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為—2,公差為丄,所以T=52-2n.

n+1n2InJ2n44

綜合運(yùn)用練(15分鐘35分)

1.(5分)現(xiàn)給出以下幾個(gè)數(shù)歹ij:①2,4,6,8,…,2(nT),2n;②1,1,2,3,…,n;③常

數(shù)列a,a,a,…,a;④在數(shù)列｛a｝中，已知a-a=2,a-a=2.其中一定是等差數(shù)列的

n2132

個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.①由4-2=6-4=-=2n-2(n-1)=2得數(shù)列2,4,6,8,2(n-1),2n為

等差數(shù)列;②因?yàn)?-1=0=#2-1=1,所以數(shù)列1,1,2,3,…，n不是等差數(shù)列；③常數(shù)

列a,a,a,…,a為等差數(shù)列；④當(dāng)數(shù)列｛a｝僅有3項(xiàng)時(shí),數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列，當(dāng)數(shù)

nn

列｛a｝的項(xiàng)數(shù)超過3項(xiàng)時(shí)，數(shù)列｛a｝不一定是等差數(shù)列，故一定是等差數(shù)列的個(gè)數(shù)

nn

為2.

-5-

2.（5分）（2020?濰坊模擬）已知數(shù)列｛。“｝是等差數(shù)列,是其前n項(xiàng)的和，則下列

命題中真命題是（）

A.若a>a,則a>0B.若a>a,則S>0

538538

C.若S>S,則S>0D.若S>S,則a>0

538538

【解析】選C.令等差數(shù)列的公差d=l,a「-12,

對(duì)A選項(xiàng),a=-8>a=-10,而a=-5<0,故A錯(cuò)誤;

538

對(duì)B選項(xiàng)，因?yàn)閍=72<0,a=-5<0,所以S二也當(dāng)厶0,故B錯(cuò)誤;

188>

又對(duì)D選項(xiàng)，令等差數(shù)列S"）的d=-2,a=12,

因?yàn)镾-S=a+a=4+6=10>0,a=-2<0,故D錯(cuò)誤;

53548

對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)镾-S=a+a=a+a>0,

535418

所以S=8d+ag，>0.

82

【變式備選】

已知等差數(shù)列｛a｝的前9項(xiàng)和為27,a=8,則a=（）

n10100

A.100B.99C.98D.97

【解析】選C.設(shè)｛a｝的公差為d,由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式，得

n

r9x8f

5g=9^+—d=27,解得（Q]=T,

Oio=Q]+9d=8,（d=1,

a=a+（n-1）d-n-2,所以a-100-2=98.

n1100

3.（5分）（2020佛山模擬）在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且a,b,c

成等差數(shù)列，則角B的取值范圍是.

-6-

【解析】由a,b,c成等差數(shù)列，可得2b=a+c,又余弦定理

氏滔+‘2TH等)2:

cos

2arZac

3(a2■2QL2&c_l_n

6---COs-,

a。/?----------Hnr23

因?yàn)锽E(0,n),且余弦函數(shù)在(0,n)上為減函數(shù)，所以B￡3:.

答案:他，：

【變式備選】

已知數(shù)列｛a｝中,a二,a=2,且，丄］是等差數(shù)列,則a=()

n

2?5H(an-lj7

A.—B.HC._D.H

9101117

【解析】選D.設(shè)等差數(shù)列——的公差為d,則丄二_J_+3d,即f_=」_+3d,解得

an-1Ja「l做-11-1

d=2,所以_1_=^_+5d=12,解得a=H.

CI7-1Q-l7l2

4.(10分)已知數(shù)列｛a｝滿足a=2,n(a-n-l)=(n+l),(a+n)(nGN*).

n1n+1n

(1)求證數(shù)列｛詈)是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式.

(2)設(shè)b=、/%；T5,求數(shù)列｛|b|｝的前n項(xiàng)和T.

nVnn

【解析】(1)因?yàn)閚(a-nT)=(n+1)(a+n)(n￡N*).所以na-(n+1)a=2n(n+1).

n+1nn+1n

所以四旳=2,所以數(shù)列隹］是等差數(shù)列，其公差為2,首項(xiàng)為2,所以42

??4-1?7LnJ?i

+2(n-1)=2n.

-7-

⑵由⑴知a=2巾,所以b=、/2a,,-15=2n-15,則數(shù)列｛b｝的前n項(xiàng)和

nnV**n

S戸T3+2""'=n2-14n.令b=2n-15W0,解得nW7.5.所以當(dāng)nW7時(shí)，數(shù)列｛|b|!

n2nn

的前n項(xiàng)4口T二-b-b------b=一S=-n2+14n;

n12nn

當(dāng)nN8時(shí)，數(shù)列｛|b|｝的前n項(xiàng)和T二一b一b一…一b+b+…+b二一2s+S二一2X(72-14

nn1278n7n

X7)+n2-14n-n2-14n+98.

14n-n2n<7,

所以■［二,

.n2-14n+98,n>8.

5.(10分)已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為S,a=1,aWO,aa=入S-1,其中人為常數(shù).

nn1nnn+1n

⑴求證:Q-a=X.

〃+7n

⑵是否存在入，使得｛a｝為等差數(shù)列？并說明理由.

n

【解析】⑴由題設(shè)，aa二入S7,

nn+1n

知aQ二人S-1.

n+1汁+2n+1

兩式相減得，a(Q”，-a)二人a.

由于a扌0,所以Q”-a二人.

n+1汁+2n

(2)存在.由2=1,22=入2-1,可得2=入-1.

11212

由⑴知，a=入+1.令2a=a+a,解得入=4.

3213

故Q”丄—a=4,由此可得，

2n

｛。2｝是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列,

n-1

-8-

a,=1+(n-1)?4=4n-3=2(2n7)7;

｛七/是首項(xiàng)為3,公差為4的等差數(shù)列，Q2；3+(nT)?4=4n-1=2X(2n)-1.

所以a-2n-1,a-a-2.

nn+1n

所以數(shù)列｛a｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

n

因此存在入=4,使得｛a｝為等差數(shù)列.

n

【拓廣探索練】

1.設(shè)S是等差數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和，若旦之則區(qū)等于()

nn

Sg3S19

A.AB.lC.-D.l

toaft9

【解析】選A.據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)可知:S,S-S,S-S,S-S仍成等差數(shù)列.

36396129

設(shè)S=k(k芋0),貝"S=3k,S-s=2k,

3663

所以S-s=3k,S-s=