高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練5-2平面向量的分解與向量的坐標(biāo)運(yùn)算

核心考點(diǎn)·精準(zhǔn)研析考點(diǎn)一平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

1.(2019·寶雞模擬)已知?ABCD的頂點(diǎn)A(1,2),B(3,1),C(5,6),則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)D(x,y),由=得(4,1)=(5x,6y),即QUOTE解得QUOTE答案:(1,5)2.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),向量=(2,3),=(4,1),且=3,則||=________.

【解析】設(shè)P(x,y),由已知A(2,3),B(4,1),由=3得QUOTE解得QUOTE所以||=QUOTE.答案:QUOTE1.平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的.若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中,常利用“向量相等,則其坐標(biāo)相同”這一原則,通過列方程(組)來進(jìn)行求解.2.向量坐標(biāo)運(yùn)算的注意事項(xiàng)(1)向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)形式相似,實(shí)質(zhì)不同.(2)向量坐標(biāo)形式的線性運(yùn)算類似多項(xiàng)式的運(yùn)算.(3)向量平行與垂直的坐標(biāo)表達(dá)形式易混淆,需清楚結(jié)論推導(dǎo)過程與結(jié)果,加以區(qū)分.【秒殺絕招】中點(diǎn)法解T1,設(shè)D(x,y),AC中點(diǎn)與BD中點(diǎn)相同,所以QUOTE解得QUOTE平面向量基本定理解T2,將,作為基底,則=3,即+=3(+),即=QUOTE(+3),所以||=QUOTE|+3|=QUOTE.考點(diǎn)二平面向量基本定理及其應(yīng)用

【典例】1.(2020·鄭州模擬)如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),則= ()A.QUOTEQUOTE B.QUOTEQUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE2.在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC的延長線上,且=3,點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C,D不重合),若=x+(1x)(x∈R),則x的取值范圍是 導(dǎo)學(xué)號()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由“則=”及選項(xiàng),想到運(yùn)用平面向量基本定理,向量的代數(shù)運(yùn)算2設(shè)=λ,其中1<λ<QUOTE,找到λ與x的關(guān)系再求解【解析】1.選C.如圖,取AB中點(diǎn)G,連接DG,CG,易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以===QUOTE,所以=+=+QUOTE=+QUOTE=QUOTE+QUOTE,所以==QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE.2.選D.設(shè)=λ,其中1<λ<QUOTE,則=+=+λ=+λ()=(1λ)+λ.又=x+(1x),,不共線,所以x=1λ∈QUOTE,即x的取值范圍是QUOTE.平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.1.在△ABC中,P,Q分別是AB,BC的三等分點(diǎn),且AP=QUOTEAB,BQ=QUOTEBC,若=a,=b,則= ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEaQUOTEb D.QUOTEaQUOTEb【解析】選A.由已知=+=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE()=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.2.已知在△ABC中,點(diǎn)O滿足++=0,點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),且=m+n,則m+n的取值范圍是________.

【解析】設(shè)=λ(0<λ<1),由++=0,知=(+),所以=λλ,由平面向量基本定理知,m+n=2λ,所以m+n∈(2,0).答案:(2,0)考點(diǎn)三共線向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

命題精解讀考什么:(1)向量共線求參數(shù),含參數(shù)的綜合問題等;(2)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),以及數(shù)形結(jié)合的思想.怎么考:與向量共線,三角函數(shù),不等式等結(jié)合考查求點(diǎn)或向量坐標(biāo),參數(shù),最值等.學(xué)霸好方法1.已知向量共線求參數(shù)的方法利用向量共線的充要條件得出關(guān)于參數(shù)的方程(組),解方程(組)即可求出參數(shù)值.2.與共線向量的綜合問題,其關(guān)鍵點(diǎn)是如何利用共線的條件.向量共線求參數(shù)【典例】1.(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a=QUOTE,b=QUOTE,c=QUOTE.若c∥QUOTE(2a+b),則λ=________.

【解析】因?yàn)?a+b=(4,2),c=(1,λ),且c∥(2a+所以4×λ=2×1,解得λ=QUOTE.答案:QUOTE2.已知向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B為直線y=2x上的一個動點(diǎn),若∥a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________.

【解析】設(shè)B(x,2x),則=(x3,2x),因?yàn)椤蝍,所以x32x=0,解得x=3,所以B(3,6).答案:(3,6)兩平面向量共線問題涉及哪些定理公式?提示:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2x2y1=0;(2)若a∥b(b≠0),則a=λb.含參數(shù)的綜合問題【典例】設(shè)向量=(1,2),=(2m,1),=(2n,0),m,n∈R,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A,B,C三點(diǎn)共線,則m+n的最大值為 導(dǎo)學(xué)號()A.3 B.-2 C.2 D.3【解析】選A.易知,∥,其中==(2m1,1),==(2n1,2),所以(2m1)×2=1×(2n1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n≥2QUOTE,所以2m+n+1≤22,即m+n≤3.兩平面向量共線問題如何求解?提示:(1)向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行,也可以由平行求參數(shù).運(yùn)用公式a=λb或x1y2x2y1=0求解.(2)當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時,也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.1.(2019·南昌模擬)已知向量a=(m,n),b=(1,2),若|a|=2QUOTE,a=λb(λ<0),則mn=________.

【解析】因?yàn)閍=(m,n),b=(1,2),所以由|a|=2QUOTE,得m2+n2=20,①由a=λb(λ<0)得QUOTE②由①②,解得m=2,n=4,所以mn=6.答案:62.已知向量a=(3,2),b=(x,y1),且a∥b,若x,y均為正數(shù),則QUOTE+QUOTE的最小值是()A.24 B.8 C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)閍∥b,所以2x3(y1)=0,化簡得2x+3y=3,又因?yàn)閤,y均為正數(shù),所以QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE(2x+3y)=QUOTE×QUOTE≥QUOTE×QUOTE=8,當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE時,等號成立.所以QUOTE+QUOTE的最小值是8.1.(2020·唐山模擬)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P1(3,1),P2(1,3),P1,P2,P3三點(diǎn)共線且向量與向量a=(1,1)共線,若=λ+(1λ),則λ= ()A.3 B.3 C.1 D.1【解析】選D.設(shè)=(x,y),則由∥a知x+y=0,所以=(x,x).若=λ+(1λ),則(x,x)=λ(3,1)+(1λ)(1,3)=(4λ1,32λ),即QUOTE所以4λ1+32λ=0,解得λ=1.2.給定兩個長度為1的平面向量和,它們的夾角為90°,如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧QUOTE上運(yùn)動,若=x+y,其中x,y∈R,則x+y的最大值是 ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.2【解析】選B.方法一:設(shè)∠AOC=α,則α∈QUOTE.過點(diǎn)C作CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,則四邊形ODCE是平行四邊形,所以=+,又=x+y.所以x=cosα,y=sinα,所以x+y=cosα+sinα=QUOTEsinQUOTE.又因?yàn)棣痢蔘UOTE,則