高一上學(xué)期期中復(fù)習(xí)【第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式】八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）（解析版）

高一上學(xué)期期中復(fù)習(xí)第二章八大題型歸納（基礎(chǔ)篇）【人教A版（2019）】題型題型1不等關(guān)系的建立1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過130cm，且體積不超過72000cm3，設(shè)攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（A．a(chǎn)+b+c<130且abcC．a(chǎn)+b+c≤130且abc【解題思路】根據(jù)數(shù)量關(guān)系列不等式，“不超過”不等號為“小于等于”.【解答過程】由長、寬、高之和不超過130cm得a+b+c≤130故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在開山工程爆破時，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度為每秒4米，距離爆破點100米以外（含100米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長度x（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（

）A．4×x0.5<100 B．4×x0.5≥100【解題思路】計算出導(dǎo)火索燃燒的時間也即人跑到100米外安全區(qū)至少需要的時間，列出不等關(guān)系，即可求得答案.【解答過程】由題意知導(dǎo)火索的長度x（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時間為x0.5人在此時間內(nèi)跑的路程為4×x0.5米，由題意可得故選：B．3．（2023秋·高一課時練習(xí)）（1）限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應(yīng)使汽車的速度v不超過40km/h，用不等式如何表示？（2）某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于2.5%，蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%，如何用不等式組表示上述關(guān)系？【解題思路】由不等式的表示方法解決.【解答過程】（1）由題意，直接用不等式表示可得v≤40（2）由題意，直接用不等式表示可得f≥2.54．（2023·全國·高一專題練習(xí)）用一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長為18m，靠墻的一邊長為xm.（1）若要求菜園的面積不小于110m2，試用不等式組表示其中的不等關(guān)系;（2）若矩形的長、寬都不能超過11m，試求x滿足的不等關(guān)系.【解題思路】（1）由邊長表示出面積，再由邊長與面積的范圍求解即可；（2）由長與寬的范圍都不超過11m，求解即可【解答過程】（1）因為矩形菜園靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m所以0<x≤18，這時菜園的另一邊長為30-x所以菜園的面積S=x15-x故該題中的不等關(guān)系可用不等式組表示為0<（2）因為矩形的另一邊長15-x2又0<x≤18，且x≤11題型題型2利用不等式的性質(zhì)判斷正誤1．（2023秋·上海浦東新·高三校考開學(xué)考試）已知a>b>A．a(chǎn)+d>C．a(chǎn)d>bc D【解題思路】對于選項ACD，通過取特殊值即可排除，對選項B，利用不等式的性質(zhì)可判斷出選項是正確的，從而得出結(jié)果.【解答過程】對于選項A，因為a=3,b=2,c=1,d=-10對于選項B，因為a>b,c>對于選項C，因為a=3,b=2,c=1,d=-10對于選項D，因為a=3,b=2,c=1,d=0故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論不正確的有（

）個①若ac<bc，則②若a2<b③若a>b，c<0④若a<bA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】依據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合特值驗證法，依次判斷即可.【解答過程】.①當c<0時，在不等式ac<bc兩邊同除以c,得a②令a=3，b=-4，滿足a2<b③若a>b，不等式兩邊同乘以負數(shù)c，不等號方向改變，ac<④由0≤a<b，則a<b，故故選：C.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列結(jié)論是否成立？若成立，試說明理由；若不成立，試舉出反例．(1)如果c-a>(2)若ab>c，b>0(3)若ac>bc，則(4)若a>b，c>【解題思路】由不等式的性質(zhì)判斷（1）（2）成立，取特殊值判斷（3）（4）不成立.【解答過程】(1)∵c∴-a∴a故成立.(2)∵ab>c∴ab即a>(3)取a=1,b=2,c=-1時，滿足(4)取a=1,b=0,c=3,d=-1，滿足4．（2023秋·高一單元測試）下面是甲、乙、丙三位同學(xué)做的三個題目，請你看看他們做得對嗎？如果不對，請指出錯誤的原因.甲：因為-6<a<8，-4<b<2，所以-2<a-b<6.乙：因為2<b<3，所以13<1b<又因為-6<a<8，所以-2<ab丙：因為2<a-b<4，所以-4<b-a<-2.又因為-2<a+b<2，所以0<a<3，-3<b<0，所以-3<a+b<3.【解題思路】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可.【解答過程】甲同學(xué)做的不對.因為同向不等式具有可加性，但不能相減，甲同學(xué)對同向不等式求差是錯誤的.乙同學(xué)做的不對.因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道-6<a<8.不明確a值的正負.故不能將13<1b<12與-6<a丙同學(xué)做的不對.同向不等式兩邊可以相加，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形.丙同學(xué)將2<a-b<4與-2<a+b<2兩邊相加得0<a<3，又將-4<b-a<-2與-2<a+b<2兩邊相加得出-3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出-3<a+b<3，多次使用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a+b范圍的擴大.題型題型3由基本不等式比較大小1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知a、b為正實數(shù)，A=a+A．G≤H≤C．G≤A≤【解題思路】利用基本不等式計算出H≤【解答過程】因為a、b為正實數(shù)，所以A=a+2H=1a+綜上：H≤故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）中國大運河項目成功人選世界文化遺產(chǎn)名錄，成為中國第46個世界遺產(chǎn)項目，隨著對大運河的保護與開發(fā)，大運河已成為北京城市副中心的一張亮麗的名片，也成為眾多旅游者的游覽目的地．今有一旅游團乘游船從奧體公園碼頭出發(fā)順流而下至漕運碼頭，又立即逆水返回奧體公園碼頭，已知游船在順水中的速度為V1，在逆水中的速度為V2V1≠V2A．V<V1C．V>V1【解題思路】求出平均速度V，進而結(jié)合基本不等式求得答案.【解答過程】易知V1>0,V則游船順流而下的時間為1V1，逆流而上的時間為則平均速度V=由基本不等式可得V≤221V1?而根據(jù)題意V1≠V故選：A.3．（2023·高一課時練習(xí)）已知a,b,c∈(0,+∞)且a+b【解題思路】首先利用綜合法，結(jié)合基本不等式，證得2a2+b2+c2?2ab【解答過程】∵a2+b2?∴a2+b2①式兩邊分別加上a2+b2+c②式兩邊分別加上2ab3(ab+bc+綜上，a2+b4．（2023秋·廣東廣州·高一?？计谥校└壑榘拇髽蛲ㄜ嚭?，經(jīng)常往來于珠港澳三地的劉先生采用自駕出行．由于燃油的價格有升也有降，現(xiàn)劉先生有兩種加油方案，第一種方案：每次均加30升的燃油；第二種方案，每次加200元的燃油．(1)分別用m，(2)選擇哪種加油方案比較經(jīng)濟劃算？請你給出證明．【解題思路】（1）根據(jù)題意即得；（2）利用基本不等式即得.【解答過程】（1）由題可得第一種方案的均價為30m第二種方案的均價為400200（2）因為m>0,n>0所以m+n2所以m+n2即第二種加油方案比較經(jīng)濟劃算.題型題型4利用基本不等式求最值（無條件）1．（2023秋·福建莆田·高三?？茧A段練習(xí)）若x>-3，則2x+A．22+6 B．22-6 C【解題思路】利用基本不等式即可得解.【解答過程】由x>-3，可得x2x當且僅當2(x+3)=1所以2x+1故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知0<x<2，則y=2A．2 B．4 C．5 D．6【解題思路】利用基本不等式進行求解即可.【解答過程】因為0<x所以y=2當且僅當x2=4-x2時取等號，因為故選：B.3．（2023秋·高一單元測試）（1）若x>0，求x+4（2）若0<x<3【解題思路】（1）利用基本不等式可直接求得答案；（2）將4x(3-2x)【解答過程】（1）當x>0時，x當且僅當x=4x∴x+4xx（2）∵0<x<32∴4x當且僅當2x=3-2x∵34∴4x3-2x4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）（1）已知x>0，求函數(shù)f(（2）已知x<54，求函數(shù)【解題思路】（1）化簡函數(shù)解析式，利用基本不等式求其最大值；（2）換元，利用基本不等式求其最大值.【解答過程】（1）f(x)=由基本不等式可得，x+4x所以f(x)=所以當x=2時，函數(shù)f(x（2）設(shè)4x-5=因為x<54所以y=所以y=當且僅當t=-1所以當x=1時，函數(shù)y=16題型題型5利用基本不等式求最值（有條件）1．（2023秋·四川巴中·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知x>y>0且4x+3A．10 B．9 C．8 D．7【解題思路】令a=2x-y,b=x【解答過程】由題意x>y>0令a=2x-由4x+3y故1≥5+22當且僅當2ba=2a也即2x-y故12x-故選：B.2．（2023春·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知2a+bA．a(chǎn)b的最大值為8B．1a-C．a(chǎn)+bD．a(chǎn)2-【解題思路】根據(jù)基本不等式運用的三個條件“一正?二定?三相等”，可知ab≥8，所以A錯誤；將原式化成a-1b-2=2，即可得1a-1+2b-2=1a【解答過程】對于A選項，ab=2a+b≥2當且僅當a=2,b=4時等號成立，故ab的最小值為8對于B選項，原式化為a-1b-2=2,b所以1a-1+2對于C選項，原式化為2b+1當且僅當a=2+1,對于D選項，a2當且僅當a=1+2,b=2+故選：B.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知a>0,b>0(1)求ab的最大值；(2)求3a【解題思路】（1）利用不等式xy≤x+y22即可得解；（2）根據(jù)【解答過程】（1）我們首先來證明一個不等式xy≤x+y2所以不等式xy≤x+由題意a>0,b>0，且3所以ab的最大值為2521，當且僅當3a=7b（2）因為3a+7b=10，所以根據(jù)“乘3a所以3a+7b的最小值為104．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市校考模擬預(yù)測）已知a>0，b（1）若a+b=4，求12a（2）若2a2+b2=4a（3）若a2+3b2+4ab-6=0【解題思路】（1）根據(jù)12（2）利用1a（3）由已知等式得a+3ba+【解答過程】（1）∵a+b=4，∴12a+2b=12∴當a=43，b=8（2）∵2a∴1a+1b=a∴當a=1+2，b=2+2（3）∵a2+3∴5a+9b=2a+3b∴當a=32，b=1題型題型6一元二次不等式的解法1．（2023秋·高一課時練習(xí)）不等式ax2-A．2B．1C．-D．(-【解題思路】由一元二次不等式的解法求解．【解答過程】原不等式可化為a(x-2ay=故原不等式的解集為-故選：C.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知不等式ax2+bx+1>0的解集為{A．{x|xC．{x|-2≤x【解題思路】首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系利用韋達定理求解系數(shù)a,【解答過程】由不等式ax2+知-13,由根與系數(shù)的關(guān)系，得-13+所以不等式x2-bx+a≥0可化為故不等式x2-bx故選：D.3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）解不等式：(1)-x(2)x2(3)x+1【解題思路】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解；（2）根據(jù)一元二次不等式的解法求解；（3）根據(jù)分式不等式的解法求解.【解答過程】（1）-x2+4x+5>0可化為x∴原不等式的解集為x∣-1<（2）x2∴原不等式的解集為x∣（3）x?∴原不等式的解集為x54．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax(1)若不等式的解集為x-2≤x≤-1，求(2)若a<0，解不等式ax【解題思路】（1）分析可知-2、-1是方程ax2+（2）將所求不等式變形為x-2ax+1≤0【解答過程】（1）解：原不等式可化為ax由題知，-2、-1是方程由根與系數(shù)的關(guān)系得a<0-a（2）解：當a<0時，所以原不等式化為x-當2a>-1時，即a<-2當2a=-1時，即a=-2時，原不等式即為x+1當2a<-1時，即-2<a綜上所述，當-2<a<0當a=-2時，不等式的解集為-當a<-2時，不等式的解集為x題型題型7一元二次不等式的實際應(yīng)用1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）某小型雨衣廠生產(chǎn)某種雨衣，售價P（單位：元/件）與月銷售量x（單位：件）之間的關(guān)系為P=160-2x，生產(chǎn)x件的成本（單位：元）R=500+30x.若每月獲得的利潤y（單位：元）不少于A．20,45 B．20,45C．20,45 D．20,45【解題思路】根據(jù)題意，建立利潤函數(shù)，列出不等式，可得答案.【解答過程】由題意，得y=xP-令y≥1300，得-2x∴x-20故選：D.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），則圖中矩形花園的其中一邊的邊長x（單位：m）的取值范圍是（

A．x15≤x≤20C．x10≤x≤30【解題思路】根據(jù)題意，由相似三角形將AF,FH表示出來，從而表示出S【解答過程】如圖，過A作AH⊥BC于H，交DE于易知DEBC=AF則AF=x，F(xiàn)H=40-解得10≤x故選:C．3．（2023秋·高一課時練習(xí)）某熱帶風(fēng)暴中心B位于海港城市A南偏東60°的方向，與A市相距400km，該熱帶風(fēng)暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350km.問：從此時起，經(jīng)多少時間后A市將受熱帶風(fēng)暴影響，大約受影響多長時間？【解題思路】根據(jù)給定條件，建立坐標系，求出熱帶風(fēng)暴中心B隨時間變化的坐標，再列出一元二次不等式求解作答.【解答過程】如圖，以A市為原點，正東方向為x軸正方向建立直角坐標系，顯然|AB|=400,∠BAx=30°，熱帶風(fēng)暴中心則xh后熱帶風(fēng)暴中心B到達點P(200依題意，當A市受熱帶風(fēng)暴影響時，有|AP|≤350，即整理得16x2-160x所以在3.75h后，A市會受到熱帶風(fēng)暴的影響，時間長達2.5h.4．（2023秋·四川成都·高一?？奸_學(xué)考試）設(shè)某企業(yè)每月生產(chǎn)電機x臺，根據(jù)企業(yè)月度報表知，每月總產(chǎn)值m(萬元)與總支出n(萬元)近似地滿足下列關(guān)系:m=92x-14，n=-(1)企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)多少臺電機?(2)當月總產(chǎn)值為多少時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為多少?【解題思路】（1）通過解不等式m-（2）通過（1）可知當0<x<4時企業(yè)虧損，通過配方可知虧損額【解答過程】（1）解：依題意，m-n≥0整理得x2-2x-8≥0，解得∴企業(yè)要成為不虧損企業(yè)，每月至少要生產(chǎn)4臺電機；（2）解：由（1）可知當0<x虧損額n-∴當x=1時，n-m此時m=即當月總產(chǎn)值為174萬元時，企業(yè)虧損最嚴重，最大虧損額為9題型題型8三個“二次”關(guān)系的應(yīng)用1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)y=ax2+A．-2,1 B．-∞,-2∪1,+∞C．-2,1【解題思路】本題可根據(jù)圖像得出結(jié)果.【解答過程】結(jié)合圖像易知，不等式ax2+故選：A.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）二次方程ax2+bx+c=0a>0的兩根為2A．x|x>3或x<-2 B．C．x-2<x【解題思路】根據(jù)a>