6.4.1平面幾何中的向量方法 課件-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教版

6.4.1平面幾何中的向量方法高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用1.例1已知:DE是△ABC的中位線，用向量的方法證明:證明：因?yàn)镸，N是AB，AC邊上的中點(diǎn)，鞏固新知∥ABDCE圖6.4-1ABDCE圖6.4-2

2.你能總結(jié)一下利用向量法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路嗎？（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”：用基底表示向量運(yùn)算翻譯幾何結(jié)果如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？解:第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素,將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；第二步，通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系第三步，把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系A(chǔ)BCD即平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于兩條鄰邊平方和的兩倍3例2.基底法或坐標(biāo)法4變式:正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，試求cos∠DOE的值.yx4變式:OCBEDAAMNBCP5能力提升:如圖,ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AD、DC邊的中點(diǎn),BE,BF分別與AC交于R,T兩點(diǎn),你能發(fā)現(xiàn)AR、RT、TC之間的關(guān)系嗎？猜想：AR=RT=TC5能力提升:ABCDEFRT故AT=RT=TC(1)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化,即把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.(2)模型的建立,即建立以向量為主題的數(shù)學(xué)模型，解決問(wèn)題.(3)問(wèn)題的答案,即回到問(wèn)題的初始狀態(tài),解釋相關(guān)的實(shí)際現(xiàn)象.1.向量在幾何中的應(yīng)用（三部曲）：2.向量在幾何中的應(yīng)用：回顧舊知3.向量數(shù)量積：用基底表示向量運(yùn)算翻譯幾何結(jié)果探究1：兩人一起提一個(gè)重物時(shí),怎樣提它最省力?探究2:一個(gè)人靜止地垂掛在單杠上時(shí),手臂的拉力與手臂握杠的的姿勢(shì)有什么關(guān)系?夾角越小越省力兩臂的夾角越小,手臂就越省力二、探究新知在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力;在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂的夾角越小越省力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？1.例3鞏固新知（1）θ為何值時(shí)，最小，最小值是多少？

在上式中，當(dāng)θ=0o時(shí)，最大，最小且等于（2）能等于嗎？為什么？

在上式中，當(dāng)即θ=120o時(shí)，2.探究:

(3)生活中常遇到兩根等長(zhǎng)的繩子掛一個(gè)物體.繩子的最大拉力為,物體重量為,分析繩子受到的拉力大小F1與兩繩子間的夾角θ的關(guān)系？2.探究:(4)如果繩子的最大承受力為

θ在什么范圍內(nèi),繩子才不會(huì)斷？2.探究:

如圖所示，用兩條成120o的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重量為10N,則每根繩子的拉力是________.120o10N3.變式:如圖,一條河的兩岸平行,河的寬度d=500m,一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸,已知船的速度水流速度問(wèn)行駛航程最短時(shí),所用時(shí)間是多少？(精確到0.1min)

4.例4A

小船過(guò)河的問(wèn)題有一個(gè)特點(diǎn)，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不變的，我們只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船過(guò)河所用的時(shí)間就最短，河水的速度是沿河岸方向的，這個(gè)分速度和垂直于河岸的方向沒(méi)有關(guān)系，所以使小船垂直于河岸方向行駛（小船自身的速度，方向指向河對(duì)岸），小船過(guò)河所用時(shí)間才最短.4.變式:四、課堂檢測(cè)三角形的“四心”平面幾何中的向量方法復(fù)習(xí)回顧平面向量相關(guān)的幾何性質(zhì)合作交流，完成下表幾何元素及其表示向量及其運(yùn)算平行垂直長(zhǎng)度夾角例1如圖，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：平面幾何中的向量方法思考①：如果兩個(gè)向量共線，那么向量所在直線的位置關(guān)系是怎樣的？向量共線與線段平行、重合的關(guān)系是什么？向量共線

所在直線平行、重合直線沒(méi)有公共點(diǎn)

直線平行例1如圖，DE是△ABC的中位線，用向量方法證明：平面幾何中的向量方法思考②：如何利用平面向量證明線段（直線）平行？長(zhǎng)度關(guān)系？利用向量共線的倍數(shù)關(guān)系既能說(shuō)明平行還可以說(shuō)明長(zhǎng)度關(guān)系。例2如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？平面幾何中的向量方法思考③：如何將長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)為向量問(wèn)題？選擇基底法或坐標(biāo)法將長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題例2如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？平面幾何中的向量方法證明：不妨設(shè)

，則……①……②例2如圖，已知平行四邊形ABCD，你能發(fā)現(xiàn)對(duì)角線AC和BD的長(zhǎng)度與兩條鄰邊AB和AD的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？平面幾何中的向量方法……①……②①+②得：第一步建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；小組討論，分享交流用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路和步驟是什么？平面幾何中的向量方法第二步通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；小組討論，分享交流用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路和步驟是什么？平面幾何中的向量方法第三步把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系小組討論，分享交流用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路和步驟是什么？平面幾何中的向量方法練習(xí)1

如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE平面幾何中的向量方法思考交流并展示證明思路與方法證明方法：基底法、向量法練習(xí)1

如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE平面幾何中的向量方法證明（基底法）：不妨設(shè)

則練習(xí)1

如圖所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB,BC的中點(diǎn)，求證：AF⊥DE平面幾何中的向量方法證明（坐標(biāo)法）：如圖，A以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xy，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為

則練習(xí)2如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點(diǎn)D在線段BC上，且

求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）∠DAC的大小.平面幾何中的向量方法解：設(shè)則或由定比分點(diǎn)公式可知練習(xí)2如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點(diǎn)D在線段BC上，且

求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）∠DAC的大小.平面幾何中的向量方法(負(fù)值舍去)練習(xí)2如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=3，點(diǎn)D在線段BC上，且

求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）∠DAC的大小.平面幾何中的向量方法解：設(shè)則

為

的夾角向量在物理中的應(yīng)用例3兩人共提一個(gè)旅行包，兩個(gè)拉力夾角越大越費(fèi)力，你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這種現(xiàn)象嗎？物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題設(shè)作用在旅行包上的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，為了方便起見(jiàn)不妨設(shè)|F1|=|F2|，另設(shè)F1，F(xiàn)2的夾角為θ，旅行包所受的重力為G向量在物理中的應(yīng)用例4如圖，一條河兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從河岸邊的A地出發(fā)，向河對(duì)岸航行，已知船的速度v1的大小為|v1|=10km/h，水流v2的大小為|v2|=2km/h，那么當(dāng)航程最短時(shí)，這艘船行駛完全程需要多長(zhǎng)時(shí)間（精