(安徽專版)201x年秋七年級英語上冊-Unit-8-When-is-your-birthday第

第二章歐氏幾何平面的拓廣2.1中心投影（透視）與理想元素一.直線,平面的中心投影：1.兩直線間的中心投影：l與是平面內(nèi)的兩直線。且如圖：l上的點(diǎn)A、B與上的點(diǎn)、對應(yīng)。稱、是從l到在以O(shè)為投影中心下A、B的透視點(diǎn)或中心射影。OA、OB

是投影線。自對應(yīng)點(diǎn)：R

且稱P為l上的沒影點(diǎn)P在上無中心投影。稱Q為上的沒影點(diǎn)Q在l上無中心投影。,第二章歐氏幾何平面的拓廣2.1中心投影（透視）與理想1中心射影下的對應(yīng)不是一一對應(yīng)的。反過來，點(diǎn)A、B

稱為是從

到l的在以O(shè)為投影中心下、

的投視點(diǎn)或中心投影。2.兩平面間的中心投影：空間中兩個不同的平面、、O點(diǎn)為不在這兩平面上的空間中的任意點(diǎn)。過O引直線交、于點(diǎn)P、。O為投影中心。P、互為透視點(diǎn)。且過O作平面。與相交于直線

時，與g平行。則上任意一點(diǎn)在

上沒有透視點(diǎn)，如，則

則M為上的沒影點(diǎn)。直線為上沒影點(diǎn)的集合，稱為面上的沒影線。OPABRA中心射影下的對應(yīng)不是一一對應(yīng)的。反過來，點(diǎn)A、B2同樣上也有一條沒影線過O作平面W與平行交于直線l，則l為上的沒影線。點(diǎn)P的中心射影與射影心的位置有關(guān)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（理想點(diǎn)）：在平面內(nèi)對任何一組平行線引入唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)。記為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)或理想點(diǎn)。該點(diǎn)在該組中的每一直線上，而不在組外的直線上?？臻g平行線組只有一個公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)?；蛞唤M平行線交于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。二.理想元素：1.2.無窮遠(yuǎn)直線：平面內(nèi)的一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合?？臻g里一組平行平面相交于一條無窮遠(yuǎn)直線。3.無窮遠(yuǎn)平面：空間一切無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的集合。原有的平面稱為有窮遠(yuǎn)平面。同樣上也有一條沒影線過O作平面W與平行交3例1：已知兩平面和。a、b為內(nèi)兩相交直線。試求一射影P解：如圖：過a,b之交點(diǎn)P作一直線l平行于平面，在P上任取一點(diǎn)O(與P不同），則以O(shè)為射影中心將a,b射影到平面上，這時P為沒影點(diǎn)。因?yàn)镺P平行。所以P在上的中心射影為即a,b在上的中心射影、相交于，亦即、平行。ab中心將a,b射影為平面內(nèi)的二平行直線。例1：已知兩平面和。a、b為內(nèi)4

§2.2射影平面仿射直線：在歐氏直線上添加上一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)以后便得到若在仿射直線上不區(qū)別有窮遠(yuǎn)點(diǎn)與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則這條仿射直線定義1：一條新的直線由于添加一個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)得到的。所以射影直線是封閉的。如果把歐氏平面圓周上一點(diǎn)O看作投影中心，則圓周上任一點(diǎn)P在直線l上都有它的對應(yīng)點(diǎn)，且這種對應(yīng)是一一對應(yīng)。稱為射影直線。（一維射影空間）當(dāng)時，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為上的。而圓周上的其余的點(diǎn)對應(yīng)直線l上的有窮遠(yuǎn)點(diǎn)，在歐氏平面上，圓可看作射影直線的一個模型?！?.2射影平面仿射直線：在歐氏直線上添加上一個無窮5

定義2：在歐氏平面上添加一條無窮遠(yuǎn)直線，稱為仿射平面（或?yàn)閿U(kuò)大平面）。如果在仿射平面上對有窮遠(yuǎn)元素和無窮遠(yuǎn)元素不加以區(qū)別，則稱這種仿射平面為射影平面。（稱為二維射影空間）。定義2：在歐氏平6如果在射影平面內(nèi)固定一條直線為無窮遠(yuǎn)直線，則變?yōu)榉律淦矫?。將射影平面沿一條直線剪開，則為歐氏平面。一條直線不能把射影平面分為兩部分。2條相交直線把它分為兩部分。3條直線把射影平面分成幾部分？如果在射影平面內(nèi)固定一條直線為無窮遠(yuǎn)直線，則變?yōu)榉律淦矫?。?

§2.3圖形的射影性質(zhì)在直線上添加無窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，兩直線間的中心射影建立了這兩條直線上的點(diǎn)之間一一對應(yīng)，這時l上的影消點(diǎn)P對應(yīng)上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。l上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的象是通過中心射影建立的二直線上點(diǎn)之間的一一對應(yīng)叫透視射影對應(yīng)。簡稱透視對應(yīng)。定義1：上的影消點(diǎn)。同樣，在平面上引入無窮遠(yuǎn)元素后，可通過中心射影建立二平面點(diǎn)之間的一一對應(yīng)，也稱為透視對應(yīng)?！?.3圖形的射影性質(zhì)在直線上添加無窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，兩直8定義3：圖形經(jīng)過中心射影不變的性質(zhì)叫做圖形的射影性質(zhì)定理1：中心射影保留同素性，即點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)，直線對應(yīng)直線定理2：中心射影保持接合性。定理3：中心射影保持圓錐曲線的對應(yīng)為圓錐曲線。注意：1.圓不具有射影性質(zhì)。2.平行性不是射影性質(zhì)。3.簡比不是中心射影的不變量。

作業(yè)：18定義3：圖形經(jīng)過中心射影不變的性質(zhì)叫做圖形的射影性質(zhì)定理1：9§2.4齊次坐標(biāo)一.點(diǎn)坐標(biāo)：1.直線上P點(diǎn)的齊次坐標(biāo)：。，x為P點(diǎn)的非齊次坐標(biāo)。（，0）為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，（0，0）不表任何點(diǎn)，（0，1）為原點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。2.平面上點(diǎn)的坐標(biāo)；點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)為P(x,y).令，（）則點(diǎn)P的齊次坐標(biāo)為P()則點(diǎn)P的非齊次坐標(biāo)為P()§2.4齊次坐標(biāo)一.點(diǎn)坐標(biāo)：1.直線上10(1).，與表示平面上同一點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。（2）.為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)，無窮遠(yuǎn)點(diǎn)無非齊次坐標(biāo)。（3）.（0，0，0）不代表任何點(diǎn)，（1，0，0）x軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)。（0，1，0）y軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（0，0，1）代表原點(diǎn)。（4）.為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的特征。所以為無窮遠(yuǎn)線的方程。直線：齊次式：(1).，11定理1：若直線為y=kx+b,則這條直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，k,0）y=kx+b兩直線：a:b:交點(diǎn)的坐標(biāo)：定理1：若直線為y=kx+b,則這條直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（12坐標(biāo)為(1)無窮遠(yuǎn)直線無非齊次坐標(biāo)方程（2）直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為或?qū)憺?。?）與平行，則有公共的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)：：：則，與為同一個點(diǎn)。即為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。坐標(biāo)為(1)無窮遠(yuǎn)直線無非齊次坐標(biāo)方程（2）直線13線坐標(biāo)：定義3：在直線的齊次點(diǎn)坐標(biāo)方程中的系數(shù)叫做該直線的齊次線坐標(biāo)。記為（1）對于任一實(shí)數(shù)則和

表示同一直線的齊次線坐標(biāo)。（2）不全為0的三個實(shí)數(shù)。在平面上確定唯一一條直線而

不代表任何直線。線坐標(biāo)：定義3：在直線14線坐標(biāo)，，分別表示y軸，x軸和無窮遠(yuǎn)直線。（3）若（直線不過原點(diǎn)）則稱為直線所有不通過原點(diǎn)的直線方程可以寫為通過原點(diǎn)的直線只有齊次坐標(biāo)，無非齊次坐標(biāo)（4）兩點(diǎn)，聯(lián)線的方程為由矢量共線得到線坐標(biāo)，15例2：下列各方程所表示什么圖（1）（2）解：(1)點(diǎn)（1，0，0）（2）點(diǎn)（1，1，1）（3）由例1：求下列線坐標(biāo)所表示直線的方程(1)[0,1,1](2)[1,0,1](3)[1,1,-1](4)[1,1,0]解：(1)（2）（3）（4）（3）例2：下列各方程所表示什么圖（1）16即為點(diǎn)（1，-1，0）和點(diǎn)（1，-4，0）例3：確定下列各坐標(biāo)的方程（1）（2，4，-1）（2）[-1，1，-1]（3）（4）解：(1)（2，4，-1）的點(diǎn)方程為（2）[-1，1，-1]的線方程是（3）軸上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)（1，0，0）點(diǎn)方程為（4）（1，1，0）其點(diǎn)方程為定理2：一點(diǎn)即為點(diǎn)（1，-1，0）和點(diǎn)（1，-4，0）例317

定理3：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)定義4：：在點(diǎn)的坐標(biāo)采用齊次坐標(biāo)后方程（1）當(dāng)是變量，是常量時，方程是以為線坐標(biāo)的直線方程。是這直線上的點(diǎn)的流動坐標(biāo)，這些點(diǎn)共在一直線。定理3：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)定義4：18這方程是以為坐標(biāo)的點(diǎn)方（2）當(dāng)是變量，是常量時，根據(jù)習(xí)慣把方程寫為程，是過這個點(diǎn)的直線的流動坐標(biāo)，這些直線只通過一個點(diǎn)。作業(yè)：3，4，12，15

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§2.5對偶原理定義1：“點(diǎn)”和“直線”稱為射影平面上的對偶元素定義2：“過有一點(diǎn)作一直線”與“在一直線上取一點(diǎn)”叫做射影平面上的對偶運(yùn)算。定義3：設(shè)一射影平面圖象F由某些點(diǎn)和直線所成，則將圖形F中各元素改為它的對偶元素，各運(yùn)算改為它的對偶運(yùn)算。所得的圖形稱為圖形F的對偶圖形。F為的對偶圖形，故對偶圖形是相互的。例1：點(diǎn)列：屬于一條直線的所有點(diǎn)A，B，C,．．．的集合.線束：屬于一定點(diǎn)的所有直線．．．的集合.定義４：對偶命題：§2.5對偶原理定義1：20設(shè)Ａ為射影平面上僅與點(diǎn)線的結(jié)合性有關(guān)的一個命題，則命題Ａ中各元素?fù)Q為它的對偶元素．各運(yùn)算換為它相應(yīng)的對偶運(yùn)算，從而形成一個新的命題，稱為命題Ａ的對偶命題。如果兩個命題一致，稱為自身命題。對偶命題是相互的“三點(diǎn)共線”的對偶命題：“三線共點(diǎn)“三點(diǎn)及其兩兩連線組成一三點(diǎn)線”與“三線及其兩兩交點(diǎn)組成一三線形”為自身對偶命題，為同一個三角形。對偶原理：在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立。例1：試作出下圖的對偶圖形設(shè)Ａ為射影平面上僅與點(diǎn)線的結(jié)合性有關(guān)的一個命題，則命題Ａ中各211.McabQN

CBAqmn三線相交三點(diǎn)相連2.BCADacdb同一平面上無三點(diǎn)共線的四點(diǎn)A,B,C,D中兩兩相連而得的六條直線。同一平面上無三線共點(diǎn)的四條直線a,b,c,d中兩兩相交而得的六個點(diǎn)。1.McabQNCBAqmn三線相交223.abcMNPqnmpABC不共線三點(diǎn)M,N,P以及兩兩連線b,a,c且在直線b上有一點(diǎn)Q不共點(diǎn)的三直線m,n,p以及兩兩的交點(diǎn)A,B,C且過點(diǎn)B及另有一直線Q例2：寫出命題“設(shè)A，B，C三點(diǎn)在一直線上，三點(diǎn)在另一直線上，則交點(diǎn)共線于的對偶命題，并畫出對偶命題。解：對偶命題：“設(shè)三直線通過一點(diǎn)L，三直線通過另一點(diǎn)，則三條直線共點(diǎn)于M”。3.abcMNPqnmpABC不共線三點(diǎn)M,N,P以及兩兩連23

A

BCabcML

作業(yè)：6，7（2）ABCabcML24

§2.6復(fù)元素定義1.以復(fù)數(shù)為坐標(biāo)的點(diǎn)或直線稱為復(fù)點(diǎn)或復(fù)直線。2.共軛點(diǎn)（直線）：若兩點(diǎn)（或直線的線坐標(biāo)）的坐標(biāo)為共軛復(fù)數(shù)。3.復(fù)射影平面：所有復(fù)點(diǎn)的集合。例如：點(diǎn)（1，0，2）（2i，0，4i）表示同一實(shí)點(diǎn)（1，0，2）。（對應(yīng)量成比例）.若，點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)復(fù)點(diǎn)。.若與三個不全為0的實(shí)數(shù)成比例。規(guī)定為一實(shí)點(diǎn)的.不與任何三個不全為0的實(shí)數(shù)成比例，則（為任何非0的復(fù)數(shù)）為一虛點(diǎn)的坐標(biāo)。復(fù)點(diǎn)與復(fù)直線相結(jié)合的條件：

§2.6復(fù)元素定義1.以復(fù)數(shù)為坐標(biāo)的點(diǎn)25(1).在中若是流動線坐標(biāo)，則它是復(fù)點(diǎn)的方程。（2）.若是流動的點(diǎn)坐標(biāo)，則它是復(fù)直線的方程。定理1.若復(fù)點(diǎn)x在復(fù)直線上，則x的共軛復(fù)點(diǎn)在u的共軛復(fù)直線上。說明：因?yàn)辄c(diǎn)x在直線u上，所以。取共軛復(fù)數(shù)，則：。所以：

此式即表示點(diǎn)在直線上。定理2.一對共軛復(fù)點(diǎn)的連線是實(shí)直線。(1).在26證明：設(shè)與a是兩共軛復(fù)點(diǎn)連接a和確定的直線為u。由定理1知a在u上。所以在，所以u由a和連接而確定。所以在u上。由此可得的共軛復(fù)點(diǎn)a在上。所以兩點(diǎn)確定唯一的一條直線。所以u和是一條直線。