高二數(shù)學(xué)人教A版選擇性講義第26講圓錐曲線中定值問(wèn)題

第26講圓錐曲線中定值問(wèn)題

【題型目錄】

題型一：圓錐曲線中線段長(zhǎng)為定值問(wèn)題

題型二：圓錐曲線中三角形四邊形面積定值問(wèn)題

題型三：圓錐曲線中有關(guān)斜率定值問(wèn)題

題型四：圓錐曲線中有關(guān)向量定值問(wèn)題

題型五：圓錐曲線中角為定值問(wèn)題

【典型例題】

題型一：圓錐曲線中線段長(zhǎng)為定值問(wèn)題

【例1】(2022.全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))已知橢圓1+%=l.

(1)若過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)引兩條互相垂直的弦A8、MN.求證：瑞j+向是定值;

11

(2)若P、Q在橢圓上且OPLOQ.求證：商+鬲是定值.

【答案】(D證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)對(duì)兩條弦所在直線的斜率是否同時(shí)存在進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)出直線AB的方程，與橢圓方

程聯(lián)立，結(jié)合弦長(zhǎng)公式計(jì)算可證得結(jié)論成立；

(2)對(duì)直線OP、OG的斜率是否同時(shí)存在進(jìn)行分類(lèi)討論，設(shè)出直線OP的方程，與橢圓方程聯(lián)立，

利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算可證得結(jié)論成立.

(1)證明：不妨弦AB、MN過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，其中α=3,b=2>∣2，c=y∣a2-b2=}-

當(dāng)AB、MN中有一條為長(zhǎng)軸時(shí)?，另一條為過(guò)焦點(diǎn)且平行于短軸的弦，

X=-Ix=-l

8,故該過(guò)焦點(diǎn)且平行于短軸的弦長(zhǎng)為畢,

聯(lián)立《√γ2押得

—+—=13

98

111317

bill]-----r+]------r=—~=—.

VAMIMNl61648,

當(dāng)AB、MN中沒(méi)有一條為長(zhǎng)軸時(shí)，設(shè)％=%,k=-y,

MNK

y=R(x+l)

聯(lián)立直線AB與橢圓方程得/y2=>(9?2+8)X2+18FX+9?2-72=0,

—I=1

198

Δ=324/-4儂2+8)(蝴一72)=482(?2+l)>0,

18F9*2-72

由韋達(dá)定理可得玉+々

9S+8'?'?2^9?2+8

根據(jù)弦長(zhǎng)公式有

22222

1J(l8?)-4(9?+8)(9?-72)48(?+l)

y∣+k2-H-

∣AB∣=?+Λ2)-4XIΛ2=Jl+

%2+89?2+8

48(?+048(?2÷1)

用-2替換上式中的力即得IMNI=

-9,。―9+8r

119?2+88?2+917

wiltμβj+pWv[-48(jl2+l)+48(?2+l)-48'

_J_1_17

綜匕’∣AB∣+∣M^∣^48-

(2)證明：分以下兩種情況討論：

當(dāng)直線。尸的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線OP的斜率為，”（機(jī)W0）,

y=mx

72ri1ll272M,,,,,72(1+

聯(lián)立蘭+M=I=Y=五而,則N=C2。'則QP-=X2+y2=_V___L

9萬(wàn)+8118+9浮

198

72∣1+I

T72(m2+l)

用替換上式中的m即得|。。『

▼Sm2+9

m

119√+88∕W2+917

因此研+質(zhì)廠可/TiJ+河西）一泊

當(dāng)0尸、。。中有一條斜率不存在時(shí)，另一條斜率為0,

11I1_17I1_17

y

U匕時(shí)研+國(guó)1=§+&=五'因此研+而=五.

1117

綜上所述，∣op∣2+-72-

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

【例2】（2022?湖南?寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線G：V=4x的焦點(diǎn)與橢圓E:

⑵過(guò)點(diǎn)F且斜率為左的直線/交橢圓E于A8兩點(diǎn)，交拋物線G于",N兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)常數(shù)

2t

t,使畫(huà)+網(wǎng)為定值？若存在，求出f的值；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】⑴工+"=1,⑵存在，f=-]

433

【分析】（1）由題意可得c=l,。=2,即可得〃=3,即可求得橢圓方程；

（2）設(shè)直線/的方程為y=k（x-?）,勺橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求得,M=1|^答；再

利用韋達(dá)定理可求得IMM=4（：：1）,然后計(jì)算得

將直線方程與拋物線方程聯(lián)立,

2t(8+3r)?2÷6

西+麗=12(-1)，即可求得答案?

（1）解：因?yàn)閽佄锞€G:y2=4x的焦點(diǎn)為（1,0）,所以C=I,又a=2,則/=/一?2=3,

22

故橢圓E的方程為：~+~~=^?

43

（2）解：設(shè)Aa，x）、B（X2，%）、加（七，丫3）、N（X4,M），

?

設(shè)直線/的方程為y=A/(x-1),與橢圓E的方程聯(lián)立—4+—3=1

y=?(x-l)

得(3+4左2)χ2一842%+4左2-12=O,

W4?2-12

..再+?^2

3+4/2

2

.^?IABl=>J?+k2-J(Xl+g)'_4XlX2=12(?+1)

3+4?2

y2=4x

設(shè)直線/的方程y=46-1),與拋物線G的方程聯(lián)立?

y=MX-I)，

^k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

.1N鼠十今YY-I

????+=--------------,“314-1，

...4(?2+l)

???MN?=X+X+2=V'>

34K2

.t3+4/必(8+3f*+6

,^∣ΛB∣+∣Λ∕∕V∣-6(A2+l)+4(?2+l)-12(?2+1)，

212

要使西+師［為常數(shù)，貝∣］8+3f=6,解得，=一§,

故存在一“2使得兩2+兩1為定嗚1?

【例3】(2022?江蘇?南京市中華中學(xué)高三階段練習(xí))已知點(diǎn)B是圓C:(X-1)2+J=16上的任意一點(diǎn),

點(diǎn)產(chǎn)(-1,0),線段8尸的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

⑵設(shè)曲線E與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A/,A2,Q為直線44上的動(dòng)點(diǎn)，且Q不在X軸上，QA,與E

的另一個(gè)交點(diǎn)為M，。42與E的另一個(gè)交點(diǎn)為N,證明：AFMN的周長(zhǎng)為定值.

22

【答案】⑴三+3=1，(2)證明見(jiàn)解析

43

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知PF+PC為定值，可知?jiǎng)狱c(diǎn)軌跡為橢圓；

(2)分別設(shè)出。、M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立方程，解出M、N的坐標(biāo)，并求出直線MN的方程，利用其

經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)，即可證得周長(zhǎng)為定值.

(1)因?yàn)辄c(diǎn)尸在5F垂直平分線上，所以有PF=P3,所以：PF+PC=PB+PC=BC=r=4,即

PF+PC為定值4>2,所以軌跡E為橢圓，且a=2,c=l,所以從=3,

?2

所以軌跡E的方程為：三+匕=1.

43

(2)由題知：A(-2,0),A(2,0),設(shè)Q(4,。，Ma,χ),N(X2,y2)

則％A=(,?≈p所以。4方程為：y=((χ+2),a2方程為：y=gχ-2),

2

y>(x+2)∕s4-2r18/

聯(lián)立方程：XM,可以得出［行了土

—十——1

43

‘2戶(hù)一6-6/、

同理可以計(jì)算出點(diǎn)N坐標(biāo):

、3+?'3+2

當(dāng)右N存在，即/≠9，即f≠±3時(shí)，km=-^-

所以直線MN的方程為：y+d=-先X-W=

即：?=-?+?=-?χ-1)-所以直線過(guò)定點(diǎn)(1，°)，

即過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)乙，所以AFMN的周長(zhǎng)為44=8.

當(dāng)右N不存在，即r=9,即，=±3時(shí)，

可以計(jì)算出％=々=1，周長(zhǎng)也等于8.

所以△&WN的周長(zhǎng)為定值8.

?52

【例4】(2022?北京?高三開(kāi)學(xué)考試)已知橢圓＜7:5+4=13＞。＞0)的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為

ab

A(-2,0),3(2,0)離心率為母.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵M為橢圓C上除A,8外任意一點(diǎn)，直線AM交直線x=4于點(diǎn)N,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。且與

直線BN垂直的直線記為/,直線BM交y軸于點(diǎn)P,交直線/子點(diǎn)Q,求證：閣為定值.

【答案】(1)工+y2=l,(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由頂點(diǎn)坐標(biāo)求得“，由離心率求得c，再求出b得橢圓方程；

(2)設(shè)M(4羽，寫(xiě)出直線AM方程求得N點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線BN的斜率，得直線/斜率及方程，再

?BP?Xp-X

求得直線5M的方程可得其與y軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出兩直線交點(diǎn)。坐標(biāo)，由七U=---------8-可得結(jié)

(1)由已知α=2,又e=￡=￡=1,c?≈√3,所以6="≡∕=1,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1；

a224

2

22

(2)設(shè)Ma,y∣),y≠0,則會(huì)+y；=i,χ1+4JI=4,

直線AM的方程為y=+2),令χ=4得y=駕，即N(4,駕)，

X[+2x1+2X1+2

6兇X+2Xt+2

,x÷23χMM=-十一，直線/的方程是尸一言一九，

L=1F=言3χ3y

直線BM的方程為y==?(χ-2),令χ=0得y=_01,即P(O「心\),

xl-2xl-2X1-2

X+2

1X=-6z

3%

，因?yàn)闉?4＞：=4,故解得,,二2a+2),即Q-6,

(x-2)

玉一2

I^LI?-?I|Q-2|=i

所以IPQl∣?-?∣∣-6-o∣3'

22

[例5](2022?湖南師大附中高三階段練習(xí))設(shè)耳,鳥(niǎo)分別是圓C:=+2=1(“＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),

ab

M是C上一點(diǎn)，M鳥(niǎo)與XM6與C的另一個(gè)交點(diǎn)為M且直線MN的斜率為正

(1)求橢圓C的離心率.

⑵設(shè)。(0,1)是橢圓C的上頂點(diǎn)，過(guò)。任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓C于48兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O

作線段AB的垂線，垂足為°,判斷在y軸上是否存在定點(diǎn)R,使得IRQl的長(zhǎng)度為定值？并證明你的

結(jié)論.

【答案】(1)在，(2)存在，證明見(jiàn)解析

2

【分析】(1)由題意，表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，可得出ab，c的等量關(guān)系，再

根據(jù)“涉,c的性質(zhì)，可得齊次方程，即可得答案；

(2)根據(jù)橢圓上頂點(diǎn)的性質(zhì)，可得匕的值，進(jìn)而得到橢網(wǎng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)出直線AB的方程，并聯(lián)

立且消元整理一元二次方程，寫(xiě)韋達(dá)定理，根據(jù)垂直，解得截距的值，得到直線過(guò)定點(diǎn)，根據(jù)圓的

性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周角為直角，半徑為定值，可得圓心便是答案.

(1)由題意知，點(diǎn)M在第一象限.M是C上一點(diǎn)且M8與X軸垂直，

.?.Λ∕的橫坐標(biāo)為c.當(dāng)X=C時(shí),γ=-,即M

又直線MN的斜率為乎,所以u(píng)n∕岬6=2=Q=變,

2c2ac4

即/=也〃C=。2一。2,即也。。一〃2=0,

22

則e?+也-1=0,解得e=變或e=-夜(舍去)，即e=變.

222

(2)已知D(0,1)是橢圓的上頂點(diǎn)，則6=1,.￡=也,〃=y+C?,..〃=夜，橢圓的方程為蘭+>2=[,

a22

易得直線AB的斜率必然存在，設(shè)直線AB的方程為y="+惟A(x"∣),、2)，

y=kx+jn可得（［+2無(wú)2）丁+45+2（√_］）=0（*）,

由irz

X+Λy—2.

所以X+x-~4kmXX-2（m~~x

X+X22XX22

'~i+2k''~l+2?

又QA=（Xl,y∣-l）,QB=（孫必一1）>

DA-DB-xxx2+(?,-l)(j2-l)=x∣?+(Axl+∕n-l)(fcc2÷∕w-l)

22

=[k+1)X1X2+?(∕M-1)(X∣+JC2)+(/77-I)

2

,2、2(/7?-1)-41lcm2

=(?+ι-?~~μ+k(m-ι).^^+(m-i)>

I,l+2?2`,?+lk2

2(m2-1)(?2+1)-4?2(m2-m)+(1+2?2)(m-1)2

=172^=°

化簡(jiǎn)整理有3加2-2m-I=0>褥，"=-g或〃?=1.

當(dāng)〃?=1時(shí)，直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)m=-1時(shí)滿(mǎn)足方程(*)中A>0,故直線AB經(jīng)過(guò)>軸上定點(diǎn)

又。為過(guò)點(diǎn)。作線段AB的垂線的垂足，故。在以DG為宜徑的圓上，取OG的中點(diǎn)為R(Oq),則

12

IRQl為定值，且IRQI=萬(wàn)口GI=I

22

【例6】(2022?貴州?黔西南州金成實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期末(理))己知橢圓U=+4=l(a>6>0)的離

a~b~

心率為立，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，AB的面積為L(zhǎng)

2

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)P的橢圓C上一點(diǎn)，直線處與>軸交于點(diǎn)M,直線m與X軸交于點(diǎn)N.求證：IANHBMl為

定值.

【答案】⑴J+V=l,(2)見(jiàn)解析

4

【分析】(I)由給定條件建立a,〃的方程組，再求解即得；

(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線AP,8P方程，進(jìn)而求得點(diǎn)MN的坐標(biāo)，再計(jì)算∣4V∣?忸M即可得解.

(1)依題意/=二=——~=1-^7=—=>α=2?.

a2a2a24

.又SoAH=Jab=Ina人=2，解得α=2,6=1,

所以橢圓C的方程為《+V=L

4

(2)設(shè)點(diǎn)PaO,%),而A(2,0),6(0,1),且x0<2,%<l,片+4y：=4,

當(dāng)XOHo時(shí)，直線AP：y=~7(x-2),點(diǎn)何(0,棄J),

x0-2Z-X0

∣BM∣=∣l-χw∣=∣l+?-∣,

直線8P：y-l=^-x,點(diǎn)N(?r^一,0),

?1一%

IANl=I2-∕∣=∣2+壬

%T

IANIIBM∣=∣l+^?∣∣2+-^-∣

XO-2%-1

=片+4y：+4%%_氣-8%+4∣=忤0%―4%—8%+8=4,

/%-XO-2%+2IIXOyo-XO-2%+2

當(dāng)ΛO=O時(shí)，y0=-l,?BM?=2,∣AN∣=2,所以∣AN∣?∣|=4

所以IANHBM是定值.

22

【例7】(2022?江蘇?高二專(zhuān)題練習(xí))已知人為橢圓C：*■+方=l(α>6>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)8(1,0)且垂直于X軸的直線被C截得的弦長(zhǎng)為3,過(guò)點(diǎn)耳的直線交C于A,B兩點(diǎn).

(1)求C的方程；

(2)若直線AB的斜率不為0,過(guò)A,B作直線x=-4的垂線，垂足分別是￡,F,設(shè)EB與AF交于點(diǎn)

GD

G,直線X=Y與X軸交于點(diǎn)。，求證：k為定值.

GF、

【答案】(1)工+.=1,(2)證明見(jiàn)解析

43

—??

【分析】(1)由題意可得”,解方程即可求出a,。,。，即可得出C的方程；

c=l

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，滿(mǎn)足題意，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為

y=Mx+l),設(shè)A(Xl,χ),B(?,γ2),聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得再+和再F，表

示出的方程，兩式相減可求出的橫坐標(biāo)為-,，所以為。耳垂直平分線卜.?點(diǎn),

EB,AFGG即可求

出答案.

2?2

(1)解：因?yàn)檫^(guò)耳且垂直于X軸的直線被C截得的弦長(zhǎng)為3,所以=3,CD

因?yàn)镃的右焦點(diǎn)為月(1,0),所以C=I,②聯(lián)立①②可得。=2,*=√3,

V2V2

所以C的方程為土+匕=1.

43

(2)證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，易知G(等0),心,0),4(-1,0),

GD

所以R=L

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+l),

聯(lián)立y=k(χ+ι)與[+]=1,

得(3+4公+8%'+4公-12=0,

設(shè)Aa，M)，8(W'%),

一N"?AL2_10

則Xi+%2=--------y，x1x,=---------,A>0恒成立，

由題可知E(Y,yJ,F(-4,y2),

貝IJ￡3的方程為,一乂=^7^L(X+4),①

A尸的方程為3-%]+；Q+4),②

②一①得%-%=—~—(x+4)--_■—(jc+4),

xl÷4X2+4

-^-(x+4)+^--(x+4)

因?yàn)閥-必≠o,所以I=

x1+4x2+4

=URU?+4)=(2K%)(X+4)-

所以》4=包也至2

x1+X2+8

xxx2+4(x1+X2)+16

xl+x2÷8

4/一12,-8?2

5-+4--------+16

_3+4K3+4K7

-8公

+8

3+46

4?2-12+4?(-8?2)+16(3+4?2)

-8?2+8(3+4?2)

36+36/_3

-24+24?2~2,

55

所以x=-?∣,所以G的橫坐標(biāo)為-1,

又JO(T,0),耳(-1,0),所以G為。片垂直平分線上一點(diǎn)，所以B=L

GΛ

IGDI

綜匕國(guó)｛=I.

【題型專(zhuān)練】

1.(2021?山東?高三開(kāi)學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，已知點(diǎn)耳(一遍,0),F式五0),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)

足用+1"周=46,記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)圓V+y2=4的切線與C相交于A,B兩點(diǎn)，P為切點(diǎn)，求IpAI?∣心|的值.

22

【答案】(1)二+二=1,(2)∣PΛ∣?∣PB∣=4

126

【分析】(I)結(jié)合橢圓的定義求得”,4c,由此求得C的方程.

(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，求得IPAl,∣P8∣,從而求得∣E4∣?∣PB∣;當(dāng)宜線AB斜率存在時(shí)，設(shè)出直

線AB的方程，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系列方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)

關(guān)系，求得OA?O8=0,由此判斷出NAO3=90。，結(jié)合相似三角形求得IPAHP印

(1)因?yàn)楱OMK∣+∣M圖=4√5>2#=山聞，所以點(diǎn)”的軌跡曲線C是以耳，行為焦點(diǎn)的橢圓.

22

設(shè)其方程為=+[=l(α>6>0),

ab-

則24=4√5,a2-b2=6,解得a=26，b=R,

22

所以曲線C的方程為三+二=1.

126

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，P(±2,0),此時(shí)IPAI=IPBl=2,則IPAIIP8|=4.

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=云+機(jī)，

由直線A8與圓/+V=4相切可得如^=2,化簡(jiǎn)得〃f=4(公+1).

?=Ax+m,

聯(lián)立—y2得(2k~+1)x~+4knvc+2/??~—12=0,?>0.

l2+^6^~，

設(shè)A(%,yj,B(χ2,y2),

-Akrn2W2-12

則占+??..27，X∣X*>=?

2片+1*1-2?2+l

所以0A?OB=xlx2+yiy2

=(&2+l)x1x2+km(X]+x2)+nr

22

(?+1)(2ZW-12)4?

+m2

2?2+l2Λ2+1

3∕M2-12(?2+1)

2公+1

12(Ar2+l)-12(?2+l)

=0>

2?2+l

所以NAOB=90。，所以aA08為直角三角形.

由OP_LA8,可得ZkAOQZiOBP,

IPAIIOPI

所以漏=隔，所以IPAI?∣P8HOP∣2=4.

綜上，∣PA∣?∣PB∣=4.

2.(2022?湖北?高三開(kāi)學(xué)考試)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知定點(diǎn)6(7,0),6(1,0),動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足

?MFl?+?MF2?=2>j2.記點(diǎn)M的軌跡為C.

(1)求曲線C的方程；

IlllAB

⑵經(jīng)過(guò)K且不垂直于坐標(biāo)軸的直線/與C交于AB兩點(diǎn)，X軸上點(diǎn)P滿(mǎn)足IPAl=IP卻，證明：丘石為

定值，并求出該值.

【答案】⑴]■+>2=1,(2)證明見(jiàn)解析,2y∣2

【分析】(1)利用橢圓的定義求點(diǎn)M的軌跡方程C：

(2)設(shè)出直線/為：y=%(x+l)M≠0,聯(lián)立橢圓方程，求出兩根之和，兩根之積，從而表達(dá)出弦長(zhǎng)

?AB

l∣AB∣l,再求出AB中點(diǎn)，進(jìn)而表達(dá)出AB的垂直平分線，求出產(chǎn)點(diǎn)坐標(biāo)，得到耳P的長(zhǎng)，得到*河為

定值.

(1)由橢圓的定義可知：M的軌跡為以K(T,0),6(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且∣M4∣+∣M閭=2近

則可得24=2?^,C=I,所以a=V∑萬(wàn)=/—°。=2—1=1,

所以C的方程為］+V=ι

(2)設(shè)直線/為：y=k(x+?),k≠0,

則聯(lián)立］+V=I得:(?+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,

x=,

沒(méi)A(Xl,*),3(々,必)，則X∣+犬2=-1上°&2，Λ1

1十乙K1I乙K

./x_.2k

y1÷?2=?(x1+x2)+2?=—-y,

1I乙K

4(2爐2)2√2(l+?2)

則F)一

M=H1+2/-1+2公

?,?,?->,(2J12

AB中H坐標(biāo)為［一［+2/，］+k2公)y

所以A8的垂直平分線為廣幣k*一1十(+2西X

令廣。得「=一幣記'

所以+總'°)年口一原1+公

1+2公

2√2(l+?2)

IABlι+2∕-

=2√2

2

?FiP?~l+?

l+2k2

3.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知橢圓￡提+，=1(4＞匕＞0)過(guò)點(diǎn)?1,芋J,且點(diǎn)8到其兩個(gè)焦

點(diǎn)距離之和為4.

⑴求橢圓E的方程；

⑵設(shè)。為原點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C(LO)的直線/與橢圓E交于P,。兩點(diǎn)，且直線/與X

軸不重合，直線AP,A。分別與y軸交于M,N兩點(diǎn).求證：IOMHOM為定值.

【答案】⑴三+/=1,(2)證明見(jiàn)解析

4

f2o=4

【分析】(I)根據(jù)橢圓的定義可得13,，即可求出。、b,從而得解；

(2)山(1)可得A點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)直線/斜率時(shí)，直接求出P、。兩點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到直線方程，即可

求出∣OΛ∕∣?∣OM的值，當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y=g-i)信W0),P(χi,yl),Q(χ2,y2),

聯(lián)立直線與橢圓方程,消元、列出韋達(dá)定理,表示出直線方程,即可得到點(diǎn)的坐標(biāo),從而求IHloMI?∣OM

的值；

2a=4

?a=2Y2

(1)解:依題意13解得憶，所以橢圓方程%

=1

(2)解：山(1)可知4(-2,0),當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=l,代入橢圓方程得

→∕=1,解得y=±*，不妨設(shè)此時(shí)P(l,務(wù)Q(L-亭,

所以直線AP的方程為y=無(wú)(x+2),即"(0,更)，

63

直線AQ的方程為),=-直(χ+2),即N(0,-B),

所以|。MHONI=丁

當(dāng)直線I斜率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為y=k(x-?)(^≠0),

y=k(x-i)

由(4k2+l)x2-Sk2x+4Z:2-4=O,

—+y-=1

14

依題意，A=64K-4(4工+1)(4產(chǎn)-4)=48犬+16>0,

8*24fc2-4

設(shè),必)，Q(x,y),則玉+%

P(XI224?2+l'?'?2^4?2+l

又直線赫的方程為y=χ*(χ+2),

令”0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為％=岸,即叩於

同理，得N°，,

I紂跖4%-(x∣-I)(X2-1)4V[χ∕2-(玉+S)+“

所以IoMI?∣ONI=

∣(XI+2)(X2+2)xx

(?,+2)(X2+2)l2+2(N+x2)+4

22

..2Z4*-4Sk..

4攵3]—4k、]+"4k2(4%2-4-8Aj+4k2+l)N?

4Λ2-4I6Λ2Ak2-4+16—+16?2+436p^^3

—1-----------?+4

4?2+l4?2+l

綜上可得，∣oM?∣av∣為定值，定值為g?

4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))動(dòng)點(diǎn)M(XM與定點(diǎn)F(?0)的距離和M到定直線/：尤=26的距離

之比是常數(shù)也，記動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

2

⑴求曲線C的方程；

⑵設(shè)「(，加〃)是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn)，由原點(diǎn)。向圓(x-，〃y+(y-a)2=2引兩條切線，分別交曲線C于

點(diǎn)AB,若直線04OB的斜率均存在，并分別記為仁,友,試問(wèn)限+∣O3/是否為定值？若是，求

出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)[+《=1,(2)是定值，定值為9

63

【分析】(1)根據(jù)題意列式化簡(jiǎn)方程陋=也即可;

d∣x-2√3∣2

(2)宜線。AOB的方程分別為y=&/,)，=小，設(shè)A(Λ1,M),B(X2,%),根據(jù)直線與圓相切可得&&

是方程(m2-2伙2-2機(jī)/次+〃2-2=0的兩個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理與橢圓的方程可得?Λ=-g,進(jìn)而求

得∣0A∣2+10卻2關(guān)于勺人的表達(dá)式，代入左&=一；求解即可

⑴山題意，點(diǎn)M(%y)與定點(diǎn)F(①0)的距離IMM=J(X-百Y+V,點(diǎn)”到直線/：“26的距離

J=∣x-2√3∣,所以粵=J（X-咚,即2卜一班）2+2丫2=卜一2道I,化簡(jiǎn)得?+?=ι,

故曲線C的方程為4+衛(wèi)=1；

63

（2）由題意可得,直線OAoB的方程分別為y=fclx,y=3,設(shè)Aa,乂）,8（々,必）.

由直線。4與圓（X-町）~+（y-"）=2相切可得I/了=J2.

z≡≥（〃廣—2）%「—2mnk[+"—2=0,同理（加一—2）居—2mnk,÷n~—2=0,

所以附4是方程（病-2*一2〃”汰+〃2-2=0的兩個(gè)根，所以加-2≠0,

c.c-κ...rΓ-2..2ιnn

所以K%=rτ7,kl+k2=-1-

~m--2"Z-2

22

因?yàn)镻（〃M）是曲線C上的一動(dòng)點(diǎn),所以+—=1=>m2-2=-2(〃2-2),

63v7

/-2

則有桃2=

m2—22

y=Kχ

626

聯(lián)立方程怛+Mτ=>χ2,所以玉二

2k

[^6^+T-l+2?l

所以IOAi°=(MFM)^=瞿#=3+???'同理附2=3+???

=6+3X∕2+2?+2芍

所以

(1+2后).(1+2右)

因?yàn)?z=-g,所以（l+26）?（l+2片）=1+26+2回+4將代=2+2將+2居，

所以I*+].F=6+3=9.

5.（2022.重慶南開(kāi)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)網(wǎng)立0）,動(dòng)點(diǎn)M（XM到直線/：x=2&的距離為d，且

d=42?MF?,記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）過(guò)〃作圓。|：/+〉2=；的兩條切線MQ（其中P、。為切點(diǎn)），直線M尸、MQ分別交C的

另一點(diǎn)為A、B.從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明.

①附?∣PM∣為定值；

?\MA\=\MB\.

22

【答案】（1）土+二=1，（2）條件選擇見(jiàn)解析，證明見(jiàn)解析

42

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得出關(guān)于X、〉'的等式，化筒后可得出曲線C的方程；

（2）設(shè)材（XO,九）、A（Xl,yj、B{x2,y2）,分工；=§、W≠]兩種情況討論，在第一種情況下，直

接驗(yàn)證。MLGH:在第二種情況下，設(shè)直線M4的方程為y=H+m,由直線與圓相切結(jié)合韋達(dá)定理可

得出QW_LQA.

選①，分析出RJMoPSRLAOP,利用三.角形相似可求得IPAHPM的值；

選②，分析可知IOAl=IoBI,結(jié)合勾股定理可證得結(jié)論成立.

（1）解：由題意知∣20-x∣=√Lj（x-0y+y2,兩邊平方整即得/+2yz=4,

所以，曲線C的方程為《+￡=1.

42

(2)證明：設(shè)力他,兒)、4(石,凹)、S(Λ2,y2),

當(dāng)片=g時(shí)，)，；=9則不妨設(shè)點(diǎn)M(竽,苧)，則點(diǎn)A(手,-苧)或A卜苧,孥

此時(shí)OM?OA=0,則。M?LQ4;

4

當(dāng)片≠5時(shí)，設(shè)直線M4:y="+機(jī)，

由直線MA與圓。：W+yl2*=:相切可得/",=—7=,

即3ΛH2=4(1+A:2),

3y∣?+k2√3

，2：；：：4可得(2公+1)丁+4hnr+2∕√-4=0,

聯(lián)立

Δ=lβk2m2-4(2k2+1)(2∕M2-4)=8(4公+2-m2)=-(4k2+l)>0,

4km2OT2-4

由韋達(dá)定理可得/+?l=-XX

2公+112一2如+1

2

則OM-OA=x0xl+%y∣=x0x0+(Ax0+∕w)(fccl+∕tt)=(l+?)x0x1+km(x0+x∣)+〃/

(l+?2)(2m2-4)-4k2m2+m2(l+2k2)3zn2-4(l+?2)

l+2k2—l+2jt2

所以，QM_LGW,同理可得OMj_O8.

選①，由QM_LO4及OP_LAΛ∕可得RLMoPSRt_AOP,

則需=瑞，所以JPMHM=Iaf=%

選②，出。MLOA及。MLOB可得：A、0、8三點(diǎn)共線，貝IJloAI=IoB|,

又IAMr=IoA「+口叫2=QW+QMf=IM，因此，∣M4∣=∣M5∣.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法有兩種：

(I)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

6.(2022?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知橢圓的C的方程：，+!=1.

63

(1)設(shè)P為橢圓C異于橢圓左右頂點(diǎn)A、&上任一點(diǎn)，直線PA的斜率為尢，直線尸&的斜率為

試證明KK為定值.

(2)求橢圓中所有斜率為1的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程.

⑶設(shè)橢圓上一點(diǎn)A(2,l),且點(diǎn)M,N在C上，且40，4V,ADJ_MN,。為垂足.證明：存在定點(diǎn)

Q，使得1。。1為定值.

【答案】⑴-；,(2)x+2y=0(-2≤x≤2),⑶存在點(diǎn)QC使得QQl為定值.

【分析】(1)設(shè)∕5(6x°,幾)，則城=3-午，再根據(jù)斜率公式代入即可計(jì)算匕"的值；

(2)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Pa,,),。(天,必)，利用點(diǎn)差法可得χ+2y=0,聯(lián)立直線和橢圓，即

可得X的范圍

(3)設(shè)出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為y=H+”,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已

知條件，己得到，〃水的關(guān)系，進(jìn)而得直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，在直線斜率不存在時(shí)要單獨(dú)驗(yàn)證，然后結(jié)

合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿(mǎn)足題意的點(diǎn)。的位置.

⑴設(shè)P(x°,%),A(-而。)，&(而。)，因?yàn)镻為橢圓C上一點(diǎn),所以午+*1,所以%2=3-竽,

3xo

所以K=U?的=黃店'所以?—

%%_3√2

,

JQj+?∕6XQ_?/eXQ-6XQ-6

故或網(wǎng)為定值-；.

(2)設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為Pa,X),Q(Λ2,%),PQ的中點(diǎn)為M(X,)，).則三+￡=1,①

63

4+4=1,②，①減②得：Xi+-一火=0,旦+廠為(y+%)=0.

636363(%-刈

又為+x2=2x,yl+y2=2??^~—=1,.?.x+2y=0.

X「艾2