2023-2024學年人教A版必修第二冊 平面向量的概念 學案

6.1平面向量的概念

【學習目標】（1）能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)

量的區(qū)別.（2）會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別.（3）理解

零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些

相關的概念.

題型1向量的概念

【問題探究11在物理中，我們學習過位移、速度和力，這些物理量與我們?nèi)粘Ｉ?/p>

中的面積、質(zhì)量等有什么區(qū)別？

例1下列說法正確的是（）

A.數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小

B.方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小

C.向量的大小與方向有關

D.向量的模可以比較大小

學霸筆記：解決與向量概念有關題目的關鍵是突出向量的方向.

跟蹤訓練1下列各量中，哪些是向量，哪些是數(shù)量？

（1）密度（2）體積（3）電阻（4）推進力

（5）長度（6）風速

向量：;數(shù)量：.（填寫相應編號）.

題型2向量的幾何表示

【問題探究2]由于實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應，數(shù)量常常用數(shù)軸上的一個點表示,

那么，怎么表示向量呢？

例2在如圖所示的坐標紙上（每個小方格的邊長為1）,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：

（1）OA,使|就|=4或，點/在點。北偏東45°方向上;

（2）AB,使|通|=4,點6在點/正東方向上；

（3）BC,使|阮|=6,點。在點8北偏東30。方向上.

題后師說

用有向線段表示向量的步驟

跟蹤訓練2李明從2點出發(fā)向東走了5米到達6點，然后改變方向按東北方向走了10V2

米到達。點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達。點.

⑴作出向量麗，BC,CD；

(2)求起的模.

題型3相等向量與共線向量

【問題探究3](1)如果兩個向量所在的直線互相平行或重合，那么這兩個向量有什么

關系？方向如何？

(2)如果兩個向量的大小相等方向相同，這兩個向量有什么關系？

例3在平行四邊形中，E,尸分別為邊皿、比'的中點，如圖.

⑴寫出與向量定共線的向量;

⑵寫出與向量正相等的向量.

一題多變將本例條件不變，求證：BE=FD.

題后師說

尋找相等向量與共線向量的策略

爭找翁、_先找與表示已知向量的有向線段長度相

芟向芳/>1等的向量，再確定哪些是同向共線

工先找與表示已知向量的有向線段平行或

共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量,

卓向方尸注意不要漏掉以表示已知向量的有向線

段的終點為起點，起點為終點的向量

跟蹤訓練3

如圖所示，的三邊長均不相等，E,F,，分別是/GAB,8c的中點.

⑴寫出與扉共線的向量;

⑵寫出與樂相等的向量.

隨堂練習

1.下列命題中正確的是（）

A.溫度是向量

B.速度、加速度是向量

C.單位向量相等

D.若|a|=|6|,則a和6相等

2.下列說法正確的是（）

A.向量靠與向量證的長度相等

B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同

C.零向量的大小為0,沒有方向

D.若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等

3.設點。是正三角形/回的中心，則向量而，BO,也是()

A.相同的向量B.模相等的向量

C.共起點的向量D.共線向量

4.

如圖所示，每個小正方形的邊長都是1,在其中標出了6個向量，在這6個向量中:

(1)有兩個向量的模相等，這兩個向量是，它們的模都等于;

(2)存在著共線向量，這些共線的向量是,它們的模的和等于.

課堂小結(jié)

1.向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我們將代數(shù)問題和幾何問題互化.

2.共線向量與平行向量是一組等價的概念.兩個共線向量不一定要在一條直線上.當然,

同一直線上的向量也是平行向量.

3.注意兩個特殊向量一一零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行.

6.1平面向量的概念

問題探究1提示：面積和質(zhì)量只有大小，沒有方向，而位移、速度和力既有大小，又

有方向.

例1解析：A項，向量不能比較大小，不正確；B項，方向相同的向量也不能比較大小，

不正確；C項，向量的大小即向量的模，指的是向量的長度，與方向無關，不正確；D項，向

量的模是一個數(shù)量，可以比較大小，正確.故選D.

答案：D

跟蹤訓練1解析：密度、體積、電阻、長度都是只有大小沒有方向的量，是數(shù)量；推

進力、風速是既有大小又有方向的量，是向量.

答案：(4)(6)⑴⑵⑶(5)

問題探究2提示：(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，有向線段的長度表示向量

的大小，有向線段的方向表示向量的方向.

(2)字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示(E|3刷用黑體a,b,c,書寫時用出b,

c).

例2解析：(1)由于點力在點。北偏東45°方向上，所以在坐標紙上點/距點。的橫向

小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又|鼐|=4A②小方格的邊長為1,所以點/距點。的橫向

小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點力的位置可以確定，畫出向量嬴，如圖所示.

(2)由于點8在點/正東方向上，且|靠|=4,所以在坐標紙上點方距點/的橫向小方格

數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點6的位置可以確定，畫出向量靠，如圖所示.

(3)由于點，在點8北偏東30°方向上，且|玩|=6,依據(jù)勾股定理可得，在坐標紙上點

。距點8的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3g-5.2,于是點。的位置可以確定，畫出

向量前，如圖所示.

O東

跟蹤訓練2解析:

(1)作出向量而，BC,CD,如圖所示.

(2)由題意得，△〃力是直角三角形，其中/6〃C=90°,及7=10&米，切=10米，所以

應)=10米.2X9是直角三角形，其中//應)=90°,AB=5米，加=10米，所以AD=<S2+102

=5強(米)，所以|前|=5有米.

問題探究3

提示：(1)平行(共線).相同或相反.

(2)相等.

例3解析：(1)據(jù)題意，與向量前共線的向量為：CF,FB,BF,BC,CB,AE,EA,

ED,DE,AD,DA.

(2)與向量前相等的向量為：BF,AE,ED.

一題多變證明：以力是平行四邊形，且￡,尸分別為邊和，比1的中點，

：.BF=ED,豆BF〃ED,

：.四邊形枷應是平行四邊形，

：.BE=FD,旦BE〃FD,

ABE=FD.

跟蹤訓練3解析：(1)'：E,尸分別是熊，加的中點，...母〃比；

.?.與品共線的向量為前，BD,DB,無，CD,BC,CB.

(2)與品相等的向量為加，CD.

［隨堂練習］

1.解析：溫度只有大小，沒有方向，A錯誤；速度有大小和方向，應該是向量，加速度

是速度變化量與發(fā)生這一變化所用時間的比值.由于速度是矢量，速度的變化既可能有大小

上的變化，同時也可能有方向上的變化，因此速度的變化量應該是一個既有大小又有方向的

一個量，即是一個矢量.時間的變化，只有大小，是一個標量.因此加速度是一個矢量，也

就是向量，B正確；向量既有大小也有方向，單位向量都是長度為1的向量，但方向可能不

同，C錯誤；已知1=1引，但a與b的方向不一定相同，則a與6不一定相等，D錯誤.故

選B.

答案：B

2.解析：對于A：向量而與向量麗的長度相等，正確；

對于B：有共同起點，且長度相等的向量，若方向不同，它們的終點不同，錯誤；

對于C：零向量的大小為0,方向為任意方向，錯誤；

對于D：若兩個單位向量平行，則它們的方向可能相反，此時它們不是相等向量，錯誤.故

選A.

答案：A

3.解析:

如圖，因為。是正△力6c的中心，所以|而|=|南|=|而|=〃(〃為△被7外接圓的半徑),

所以向量而，B0,團是模相等