2022-2023學年江西省吉安市永豐縣八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江西省吉安市永豐縣八年級（下）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共6小題，共18.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在下列交通標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

AABAOD-：O

2.不等式2%-1<3（X+1）的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則手掌蓋住的數(shù)是（）

A.—4B.-3?.-2D.-I

3.如圖所示，在A4BC中，AB=AC,AD是中線，DELAB,DF1AC,垂足分別為E、F,

則下列四個結論中：①4B上任一點與ZC上任一點到。的距離相等；②AO上任一點到AB、AC

的距離相等；③NBnE=?CDF;（4）zl=42.正確的有（）

4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角是50。，則這個等腰三角形的底角為（）

A.70oB.20oC.70?；?0°D.40?；?40。

C.3cm

D.4cm

6?若關于弼不等式組ɑ=:::恰有兩個整數(shù)解,則m的取值范圍是（）

A.—1<m≤OB.-1≤m<OC.-1<m<OD.-l<m≤l

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

7.命題“如α?>>，則cι>b"的逆命題是命題（填"真"或"假"）.

8.如圖，將△4PB繞點B按逆時針方向旋轉90。后得到△

A'P'B',若PP=3,那么PP'的長為.

9.若k表示等腰三角形的頂角與一個底角度數(shù)的比值，且當k=l時，其頂角度數(shù)是

度.

10.如圖，一次函數(shù)y=kx+b（k、b為常數(shù)，且k<0）的圖象與直線y=3都經(jīng)過4（τn,1）當

kx+b>：尤時,X的取值范圍是.

（2x—a>0

11.若關于X的一元一次不等式組,χ1+3X：1無解，則α的取值范圍.

12.已知：如圖，線段4B的端點4在直線I上，4B與1的夾角為30。，點C在直線I上，若△ABC

是等腰三角形.則這個等腰三角形頂角的度數(shù)是.

B

____________________________/

A

三、解答題（本大題共U小題，共84.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

13.(本小題6.0分)

解不等式(組).

(l)2(x-1)≤10(x-3)+4,并把它的解集表示在數(shù)軸上.

(—X+3<2x(1)

]X+1x—2?

⑵屋一y。②

14.(本小題6.0分)

如圖，在AABC中，AB=AC,?A=40o,BO是乙4BC的平分線，求乙BDC的度數(shù).

15.(本小題6.0分)

如果一次函數(shù)丫=(2-機)乂+加一3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，求機的取值范圍.

16.(本小題6.0分)

圖①、圖②均是6X6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長均為1,

點4、B均在格點上，在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，

所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法.

圖①圖②

(1)在圖①中以線段AB為邊畫一個四邊形ABEF,使四邊形ABEF既是軸對稱圖形又是中心對

稱圖形；

(2)在圖②中以線段AB為邊畫一個四邊形4BCD,使四邊形ABCO只是中心對稱圖形.

17.(本小題6.0分)

如圖，正方形ABCD與正方形為BlGDl關于某點中心對稱。已知A,D1,。三點的坐標分別為

(0,4).(0,3),(0,2)o

(1)求對稱中心的坐標。

(2)寫出頂點B,C,B1,Cl的坐標。

18.(本小題8.0分)

小亮在做數(shù)學題時由于不小心，把不等式組污染了一部分(不等式組中的助,

他記得這個不等式組的解集是％>1，且西里是一個正整數(shù).根據(jù)上述信息，你能求出團里原來

是一個什么數(shù)嗎？

19.(本小題8.0分)

如圖，P是等邊AABC內的一點，且PA=3,PB=4,PC=5,若將△PAC繞點4逆時針旋轉

后，得到APZB,

(1)求點P與P'之間的距離;

(2)求N4PB的度數(shù).

20.(本小題8.0分)

如果一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,那么稱一元一次不等式①是一元一

次不等②的“蘊含不等式”.例如不等式X>3的解都是不等式X>1的解，則稱不等式X>3

是不等式X>1的“蘊含不等式”.

(1)在不等式①X<-1,②X>4,③X<-3中，是X<一2的“蘊含不等式”的是(填

序號).

(2)若不等式X<-6是不等式3(x-1)<2x+m的“蘊含不等式”，求m的取值范圍，

(3)已知刀<一2n+4是》<2的“蘊含不等式”，試判斷X>n+3是不是％>2的“蘊含不等

式”，并說明理由.

21.(本小題9.0分)

如圖，AABC與AABD都是等邊三角形，點E,F分別在BC,AC±.,BE=CF,4E與BF交于

點G.

⑴求乙4GB的度數(shù)；

(2)連接DG,求證：DG=AG+BG.

22.(本小題9.0分)

某校運動會需購買4,B兩種獎品，若購買A種獎品3件和B種獎品2件，共需60元；若購買4種

獎品5件和B種獎品3件，共需95元.

(1)求4、B兩種獎品的單價各是多少元？

(2)學校計劃購買4、B兩種獎品共IoO件，購買費用不超過1150元，且4種獎品的數(shù)量不大于

B種獎品數(shù)量的3倍，設購買A種獎品πι件，購買費用為W元，寫出勿(元)與m(件)之間的函數(shù)

關系式.求出自變量Tn的取值范圍，并確定最少費用W的值.

23.(本小題12.0分)

【問題提出】如圖1,四邊形4BC。中，40=CD,?ABC=120。,NAOC=60。,48=2,BC=1,

求四邊形力BCD的面積.

【嘗試解決】

旋轉是一種重要的圖形變換，當圖形中有一組鄰邊相等時，往往可以通過旋轉來解決問題.

(1)如圖2,連接BD,由于AD=CD,可將△DCB繞點D順時針方向旋轉60。，得到△ZMB',則

?BOB'的形狀是；

(2)在(1)的基礎上，求四邊形ABCD的面積.

［類比應用］(3)如圖3,四邊形ABCD中，AD=CD,4ABC=75o,?ADC=60o,AB=2,BC=

√-2,求四邊形ABCD的面積.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、既是不軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

以既是不軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；

C、既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項正確；

。、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤.

故選C

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合.

2.【答案】A

【解析】解：???2x-l<3(x+l),

?2x—1<3x+3,

2%—3x<3+1,

-x<4,

則X>-4,

故答案為：力.

根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得.

本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴格遵循解不等式的基本步驟是關鍵，尤其需要注

意不等式兩邊都乘以或除以同一個負數(shù)不等號方向要改變.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查角平分線的性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中

考?？碱}型。

【解答】

解：?.?4B=4C,AD是中線

.?.力。平分NBac,

?z.1=z2

???力。上任一點到48、AC的距離相等，故②④正確，

VZ-B=?C,DE1ABfDF1AC

：?乙BDE+zB=90o,Z.CDF+4C=90°

：.乙BDE=乙CDF,故③正確，

48上任一點與AC上任一點到0的距離不一定相等，故①錯誤。

故選C。

4.【答案】C

【解析】解：①如圖1,當該等腰三角形為鈍角三角

形時，

???一腰上的高與另一腰的夾角是50。，

；?底角=久90。-50。)=20。，

②如圖2,當該等腰三角形為銳角三角形時，

???一腰上的高與另--腰的夾角是50。，

底角=?[180°-(90°-50°)]=70°.

故選：C.

當該等腰三角形為鈍角三角形時：底角=*90。-50。)=20。，當該等腰三角形為銳角三角形時:

底角=?[180°-(90°-50°)]=70°.

本題主要考查等腰三角形的性質，垂直的性質，關鍵在于分情況進行分析，認真的進行計算.

5.【答案】B

【解析】解：???將△4BC向左平移得到ADEF,

?AD=CF,AB=DE9

???△ABC的周長是16cτn,

:?ABBCΛ-AC=16cm,

:?ACΛ-BCjt-DE=16cm,

???四邊形ACED的周長是20Cnι,

?,?AC+CE+DE+AD-20cτn）

?'?AC+BC+CF+DE+AD=20cτπ>

即16+CF+4。=20,

.?.2AD=4,

解得AD=2,

???平移的距離為2cm.

故選：B.

根據(jù)平移的性質和三角形的周長公式列方程即可得到結論.

本題考查平移的性質：平移不改變圖形的形狀和大?。唤?jīng)過平移，對應點所連的線段平行（或共線

）且相等，對應線段平行且相等，對應角相等.

6.【答案】B

【解析】解：儼-2<出，

解不等式①得：x<l.

解不等式②得：x>m-l,

二原不等式組的解集為：m-l<x<l,

「不等式組恰有兩個整數(shù)解，

?**-2≤TTi-1V—1,

解得：-1≤m<0.

故選：B.

按照解一元一次不等式組的步驟進行計算，即可解答.

本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

7.【答案】假

【解析】解：如。2>爐，則α>b"的逆命題是：如α>6,則。2>匕2,

假設a=l,b=-2,此時α>b,但α2<b2,即此命題為假命題.

故答案為：假.

先寫出命題的逆命題，然后在判斷逆命題的真假.

此題考查了命題與定理的知識，寫出一個命題的逆命題的關鍵是分清它的題設和結論，然后將題

設和結論交換.在寫逆命題時要用詞準確，語句通順.

8.【答案】3>n.

【解析】解：???△APB繞點B按逆時針方向旋轉90。后得到a4P'B',

.?.BP=BP',?PBP'=90°,

BPP'為等腰直角三角形，

.?.PP'=>Γ2BP=3√I?

故答案為：

由^APB繞點B按逆時針方向旋轉90。后得到△A'P'B',根據(jù)旋轉的性質得到8P=BP',ZPBP'=

90°,即ABPP'為等腰直角三角形，得到PP，=，NBP，由此得到PP'的長.

本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉

角，對應點到旋轉中心的距離相等.也考查了等腰直角三角形的性質.

9.【答案】60

【解析】解："k=l,

二設頂角=α,則底角=a,

???a+a+a=180o,

：?a=60o,

???該等腰三角形的頂角為60。，

故答案為：60.

根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和即可得到結論.

本題考查了等腰三角形的性質，掌握等腰三角形的兩底角相等是解題的關鍵.

10.【答案】x<3

【解析】解：把點4(τn,l)代入y=4x,得

1=

解得=3.

即4(3,1).

由圖象可得,

當kx+b>gx時，X的取值范圍是X<3.

故答案為：x<3.

根據(jù)題意和函數(shù)圖象，可以寫出當此+b>Jx時，X的取值范圍.

本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關系，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的

思想解答.

11.【答案】ɑ≥6

2x—a>O①

【解析】解：?l+3x1G

解不等式①，得X>*

解不等式②，得％<3,

(2x—a>O

???關于X的一元一次不等式組j2χl+3x<1無解，

W≥3,

解得：α≥6,

故答案為：α26.

先求出每個不等式的解集，再根據(jù)不等式組無解得出關于ɑ的不等式，再求出不等式的解集即可.

本題考查了解一元一次不等式組，能得出關于α的不等式卷≥3是解此題的關鍵.

12.【答案】30?；?50?；?20。

【解析】解:如圖：

分三種情況：

當AB=AC時，以點4為圓心，以AB長為半徑作圓，交直線Z于點G，C2,

VZ-BAC1=30°,

???o

?BAC2=180-?BAC1=150°,

當Ba=BC時，以點B為圓心，以BA長為半徑作圓，交直線[于點。3，

??

??BAC3=Z.BC3A=30°,

???o

Z.ABC3=180-?BAC3-?BC3A=120°,

當C4∕=C4B時，作的垂直平分線，交直線/于點C4,

，?BAC4=Z-ABC4=30°,

???o

/.AC4B=180-Z-BAC4-?ABC4=120°,

綜上所述：若AABC是等腰三角形，則這個等腰三角形頂角的度數(shù)是30。或150?；?20。,

故答案為：30。或150?；?20。.

分三種情況：當AB=AC時；當Byl=BC時；當C√l=C4B時；分別進行計算即可解答.

本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理，分三種情況討論是解題的關鍵.

13.【答案】ft?：(l)???2(x-l)≤10(x-3)+4,

???去括號，得2x-2≤10x-30-4,

移項、合并同類，得-8x≤-32,

兩邊都除以一8,得x≥4.

解集在數(shù)軸上表示如下：

IIIII]IA

-I0I2345

(2)解不等式一x+3V2%,得：x>1,

解不等式芳?-q^≥0,得：X≤4.

則不等式組的解集為1<x≤4,

將解集表示在數(shù)軸上如下：

IIIe11IA

-2-1012345

【解析】(1)根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1可得；

(2)分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小

找不到確定不等式組的解集.

本題考查的是解一元一次不等式和不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取

大；同小取?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵.

14.【答案】解：???AB=47,乙4=40。,

180-Z/4

:■?ABC=Z.C=-2-=70°,

80是448C的平分線,

1

???乙DBC=?乙ABC=35°,

??BDC=180o-?DBC-Z-C=75°.

【解析】首先由AB=AC,利用等邊對等角和N4的度數(shù)求出乙4BC和NC的度數(shù)，然后由BD是々1BC

的平分線，利用角平分線的定義求出NDBC的度數(shù)，再根據(jù)三角形的內角和定理即可求出NBDC的

度數(shù).

本題考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理等知識，解答本題的關鍵是

正確識圖，利用等腰三角形的性質：等邊對等角求出乙4BC與NC的度數(shù).

15.【答案】解：???由一次函數(shù)y=(2—m)x+m-3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，

(2-m<0

?im-3<0'

解得：2<m<3.

【解析】由一次函數(shù)y=(2-m)x+m-3的圖象經(jīng)過第二、三、四象限可得到不等式組｛：二1<

解方程組即可求出山的取值范圍.

本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，也利用了解不等式組，是一道難度中等的題目.

16.【答案】解：(1)如圖①所示，四邊形ABEF即為所作;

圖①圖②

(2)如圖②所示，四邊形ABCD即為所作(答案不唯一).

【解析】(1)以AB為邊作一個正方形即可；

(2)以48為邊作一個平行四邊形即可.

本題考查了旋轉變換與軸對稱變換，熟練掌握旋轉變換的性質與軸對稱變換的性質是解題的關鍵.

(2)???4D的坐標分別是(0,4),(0,2),

???正方形48CD與正方形&&GDi的邊長都是：4-2=2,

■-B,C的坐標分別是(一2,4),(-2,2),

???A1D1=2,Dl的坐標是(0,3),

???4的坐標是(0,1),

B1,Cl的坐標分別是(2,1),(2,3),

綜上，可得頂點B,C,B1,G的坐標分別是(-2,4),(—2,2),(2,1),(2,3).

【解析】(1)根據(jù)對稱中心的性質，可得對稱中心的坐標是。1。的中點，據(jù)此解答即可.

(2)首先根據(jù)2,Z)的坐標分別是(0,4),(0,2),求出正方形ABCD與正方形ZlBIClCI的邊長是多少，

然后根據(jù)力，D1,D三點的坐標分別是(0,4),(0,3),(0,2),判斷出頂點B,C,B1,G的坐標各是

多少即可.

此題主要考查了旋轉變換，坐標與圖形的性質的應用，根據(jù)題意得出旋轉后對應點位置是解題關

鍵.

18.【答案】解：【；(”一：)：”一出，

[2x+1<4x-團②

解不等式①，得尤>1,

解不等式②，得x>竽，

???這個不等式組的解集為X>1,

.?.≡±i<l,

2-

???口+1≤2,

??.□≤1,

???□里是一個正整數(shù)，

*,?□=1,

團里原來是L

【解析】求出該不等式組中兩個不等式的解，根據(jù)該不等式組的解集為％>1可得，嚶≤1,再

根據(jù)團里是一個正整數(shù)即可求得口=1.

本題考查了解一元一次不等式組：解一元一次不等式組時，一般先求出其中各不等式的解集，再

求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集.同大取大；同小取??；大

小小大中間找；大大小小找不到.

19.【答案】解：(I)由題意可知BP'=PC=5,AP'=AP,

?PAC=/.P'AB,

而“4C+?BAP=60°,

所以"HP'=60度.

故△力PP'為等邊三角形，

所以PP'=AP=AP'=3；

(2)利用勾股定理的逆定理可知：

PP'2+BP2=BP'2,

所以△BPP'為直角三角形,

且NBPP'=90°

可求〃PB=90°+60°=150°.

【解析】(I)由已知繞點4逆時針旋轉后，得到AP'4B,可得△P4C?AP'4B,PA=P'A,

旋轉角NP'4P=4BAC=60。，所以AAPP'為等邊三角形，即可求得PP';

(2)由△力PP'為等邊三角形，得乙4PP'=60。，在aPP'B中，已知三邊，用勾股定理逆定理證出直

角三角形，得出NP'PB=90。，可求ZAPB的度數(shù).

本題考查旋轉的性質，旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.

20.【答案】③

【解析】解：(1)在不等式①尤<-1,@x>4,③X<-3中，是X<一2的“蘊含不等式的是③尤<

-3.

故答案為：③；

(2)解不等式3(%—1)<2%—m可得％<m+3,

則n?+3≥-6,

解得m≥-9.

故ni的取值范圍是m≥-9；

(3)是，理由：

依題意有一2幾+4≤2,解得n≥l,

Λ%>n+3的范圍是％>4,

故》>n÷3是％>2的蘊含不等式.

(1)直接根據(jù)“蘊含不等式”的定義解答即可；

(2)先用m表示出不等式的解集，再由“蘊含不等式”的定義得出關于m的不等式，求出Zn的取值

范圍即可；

(3)根據(jù)題意得出關于上的不等式，求出n的取值范圍，進而可得出結論.

本題考查解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的技能是解題的關鍵.

21.【答案】（I）解：???△ABC是等邊三角形,

???AB=BC,?ABC=ZC=60°,

???在BE和ABCF中,

AB=BC

Z-ABE=?C,

BE=CF

???ZkABE三ZkBCF(SAS),

???Z.BAE=乙FBC,

???乙BGE=乙ABG+乙BAE=乙ABG+乙FBC=?ABC=60°,

：?/-AGB=180o-Z.BGE=120°；

(2)證明：延長GE至點使GH=GB,如圖，

???乙BGE=60°,

.?.△BGH為等邊三角形,

?BG=BH=GH,乙GBH=60°,

???△48。是等邊三角形，

：?AB=BD,?ABD=60°?

VZ-ABH=乙GBH+Z-ABG,乙DBG=乙ABD+Z-ABG,

???Z-ABH=Z.DBG,

v??DBGfU?ABHφf

DB=AB

Z.DBG=LABH,

BG=BH

???ZkOBG三△4BH(SAS),

???DG=AH9

而AH=AG+GH,

?*?DG=AG+BG.

【解析】⑴根據(jù)等邊三角形的性質得到”=BC,?ABC=ZC=60°,再根據(jù)三角形全等的判定

方法可證得△ABENZkBCF,則乙BaE=乙FBC,利用三角形外角性質得NBGE=乙4BG+NBAE,

則ZBGE=ΛABC+ΛFBC=?ABC=60°,然后利用鄰補角的定義可計算出乙4GB的度數(shù)；

(2)延長GE至點H,使GH=GB,由于NBGE=60。，根據(jù)等邊三角形的判定得到△BGH為等邊三

角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質得到BG=BH=GH,乙GBH=60°,且AB=BD,"BD=60°,

易得NABH=乙DBG,根據(jù)三角形全等的判定方法可證得△DBG≡ΔABH(SAS),則OG=AH,即

可得到CG—AG+BG.

本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組邊對應相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個三

角形全等；全等三角形的對應邊相等.也考查了等邊三角形的判定與性質.

22.【答案】解(1)設4獎品的單價是X元，B獎品的單價是y元，由題意，得

(3x+2y=60

∣5x+3y=95,

解得:g:iθ-

答：力獎品的單價是10元，B獎品的單價是15元.

(2)由題意,得

W=IOm+15(100-m)=-5m+1500

f-5m+1500<1150

?(m≤3(100-m)'

解得：70≤τn≤75.

???加是整數(shù)，

.?.m=70,71,72,73,74,75.

W=-5m+1500,

■■k=—5<0,

加隨771的增大而減小，

m=75時，“炭?≠=1125.

???應買4種獎品75件，B種獎品25件，才能使總費用最少為1125元.

【解析】(1)設4獎品的單價是X元，B獎品的單價是y元，根據(jù)條件建立方程組求出其解即可；

(2)根據(jù)總費用=兩種獎品的費用之和表示出W與巾的關系式，并由條件建立不等式組求出X的取值

范圍，由一次函數(shù)的性質就可以求出結論.

本題考查了一次函數(shù)的性質的運用，二元一次方程組的運用，一元一次不等式組的運用，解答時

求一次函數(shù)的解析式是關鍵.

23.【答案】解：(1)等邊三角形

(2)過點。作。EJ.48于點E.

由(1)知，ABCDMB'AD,

???四邊