2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高一年級下冊第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題2

2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高一下冊第一次月考數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.已知向量相=(4,-1),〃=(-5,2),且(6+72)//(制刀一〃)，則實數(shù)X=()

77

A.1B.—IC.-D.—

55

【正確答案】B

【分析】分別求，"+〃和M7-”的坐標(biāo)，再根據(jù)向量平行，列式求解.

【詳解】wι+n=(-1,1),xm-n-[4x+5,-x-2),

因為(〃7+司〃(X歷一〃),所以(T)x(-x-2)-(4x+5)=0,

解得.x=-I

故選：B

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，重點考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

113

2.已知點42,—m,W],]),則與向量AB同方向的單位向量是

/34、4334V

A.(-,——)B.z(-,——)xC.(z—，一)D.(-言

555555

【正確答案】C

3AB(-7，2)2/3

【詳解】試題分析:與向量=2)同方向的單位向量是G=Y==W(-亍2)

2M∕2+432

單位向量的求法.

3.在443C中，A。為BC邊上的中線，E為A。的中點，則EB=

3113

A.-AB——ACB.-AB--AC

4444

3113

C.一ΛBH—ACD.—ABH—AC

4444

【正確答案】A

【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應(yīng)用三角形中線向量的特征，求得BE=；BA+gBD,之后應(yīng)

3I

用向量的加法運算法則——三角形法則，得到BC=84+AC,之后將其合并，得到5E=τB4+二AC,

44

31

下一步應(yīng)用相反向量，求得必=從而求得結(jié)果.

44

【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC}=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424v724444

31

所以EB=-AB--AC,故選A.

44

該題考查的是有關(guān)平面向量基本定理的有關(guān)問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的

三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認(rèn)真對待每一步運算.

4.對任意向量α,b,下列關(guān)系式中不恒成立的是

A.∣α??∣<∣a∣∣?∣

B.∣α-?∣≤∣∣a∣-∣?∣∣

C.(α+fr)2=∣α+?∣2

D.(a+b)(a-b)=a2-b2

【正確答案】B

【詳解】因為IaT=同琲。s<"M∣≤同陣所以選項A正確；當(dāng)α與方方向相反時，|"電M-WI不

成立，所以選項B錯誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項C正確；(a+b)(a-h)=a2-b2,

所以選項D正確.故選B.

【考點定位】1、向量的模；2、向量的數(shù)量積.

Tr

5.已知ABC中角A、B、C對邊分別為。、b、c,若。=4,A=-,則6+c的最大值為()

A.4B.6C.8D.以上都不對

【正確答案】C

【分析】利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得b+c的最大值.

【詳解】由余弦定理可得16=/=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc={b+c?-3>bc

≥S+*3(HC)一,

v7、

44

所以，(b+c)2≤64,即"+c≤8,

當(dāng)且僅當(dāng)匕=c=4時，等號成立，故b+c的最大值為8.

故選：C.

6.已知三個向量a,b，C共面，且均為單位向量，a/=。，則Iα+b-c∣的取值范圍是

A.[√2-l,√2+l]B.[1,√2]C.[√2,√3]D.[√2-l,l]

【正確答案】A

【詳解】因為“?8=0,所以|4+」『=必+242+52=2,所以∣“+W=√Σ,所以∣α+O-cf=

a2+/?2+c2+2a?b-2(a+b)?c=3-2(a+b)?c,則當(dāng)C與(〃+〃)同向時(α+0)?c最大，|〃一UF最

o

小,此時(々+人)七=卜+?∣∣?∣cθs0=5/2"〃+/?—0「=3—2>/2,所以IQ+b—c∣nιin=5/2—1;當(dāng)C與(〃+〃)

反向時(o+b)?c最小，I〃+—c/最大，止匕時(Q+A)?C=∣cz+?∣∣c∣cos^?=-λ∕2,I〃+〃一c『=3+2友,

所以|。+》-d∣max=√5+l,所以|〃+h-c∣的取值范圍為[0T√Σ+1],故選A.

7.如圖所示，等邊JISC的邊長為2,。位邊AC上的一點，且A。=；IAC,VADE也是等邊三角形,

44

若BEBD=則4的值是()

A.2B?近

33

c3n1

C.—D.—

43

【正確答案】A

根據(jù)向量表示以及向量數(shù)量積定義化簡條件，解得結(jié)果.

【詳解】BE?BD=(BA+AE)?(BA+AE+ED)

22

=BA+BA?AE+BA?ED+AE?BA+AE+AEED

=22+2-2Λcos--2-2Λ+2-2Λcos-+422+4Λ2cos-

333

=2Λ2+4

C44C42

則2萬+4=三因為2?0,所以a=：.

故選：A.

本題考查向量表示以及向量數(shù)量積，考查基本分析求解能力，屬中檔題.

8.在JiBC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,a=b=5,c=8,/是-ABC內(nèi)切圓的圓

心，AI=xAB+yAC,則x+y的值為（）

?2010313

A.Dr.—C.—JJ.--

33218

【正確答案】D

【分析】計算出一ABC的內(nèi)切圓半徑，以AB直線為X軸，AB的垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)

系，利用平面向量的坐標(biāo)運算可求得*、）'的值，即可得解.

【詳解】a=b=5,c=8,所以，_ABe內(nèi)切圓的圓心/在AB邊高線OC上（也是48邊上的中線），

.?OA=OB=4,OC=4BC2-OB1=√52-42=3>

以AB直線為X軸，AB的垂直平分線為V軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則A(T0)、8(4,0)、C(0,3),

設(shè)一ΛBC的內(nèi)切圓的半徑為「，根據(jù)等面積法可得：^a-OC=^a+b+c）r,

解得r=ilf?=g,即點/1°g｝則A8=(8,0),AC=(4,3),

5

-8x+4γ=4X=一

18,13

因為α/=_n48+）/。，則，?4,解得,則πx+y=—.

418

3y=-

9

故選：D.

二、多選題

9.已知向量”,b是同一平面ɑ內(nèi)的兩個向量，則下列結(jié)論正確的是()

A.若存在實數(shù)2,使得力=2α,則α與b共線

B.若“與人共線，則存在實數(shù)2,使得Ia

C.若“與/,不共線，則對平面ɑ內(nèi)的任一向量c,均存在實數(shù)使得C=/la+〃b

D.若對平面ɑ內(nèi)的任一向量c,均存在實數(shù)2〃，使得c=Aa+〃b,則“與匕不共線

【正確答案】ACD

根據(jù)平面向量共線、平面向量的基本定理判斷出正確選項.

【詳解】根據(jù)平面向量共線的知識可知A選項正確.

對于B選項，若〃與6共線，可能α=0,當(dāng)6為非零向量時，不存在實數(shù)2,使得b=4α,所以B選

項錯誤.

根據(jù)平面向量的基本定理可知C、D選項正確.

故選：ACD

本小題主要考查平面向量共線、平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

10.已知兩個單位向量e「e2的夾角為仇則下列結(jié)論正確的是()

A.不存在仇使q?e2=??/^B.∣e∣-2e,∣=∣2el-e2∣

13

C.當(dāng)6=120?時，(2%-4)3-24)=萬D.q在e2方向上的投影數(shù)量為Sind

【正確答案】ABC

【分析】根據(jù)條件知同=WI=I,再利用數(shù)量積的定義及運算逐一對各個選項分析判斷即可得出結(jié)果.

【詳解】因為兩個單位向量勺，.的夾角為凡所以同=Wl=1,

選項A,因為L=同同CoSe=Cc>s8,又。e[0,π],所以、??≤1,故選項A正確;

選項B,因為卜∣-2ez∣=∣e∣∣-4el?e2+4∣e,∣=5-4e1?e2=5-4cosθ,

,,

∣2el-e2∣=4IeIl-4ele2+∣?2∣=5-4e∣?e2=5-4cos9,所以卜∣—Ze2]=∣2el-e2∣,BP∣e∣-2e2∣=∣2el-^2∣>

故選項B正確；

選項C,因為(2e∣_?2>佰_26)=2同-5el?e2+2∣e21=4-5el?e2=4-5cosθ,

113

又6=120?,所以(2q—6),(4-262)=4-5、(一5)=3,故選項C正確；

選項D,因為％在C?方向上的投影數(shù)量為甘=同c°sO=cosO,故選項D錯誤.

故選：ABC.

11.已知。為坐標(biāo)原點，點[(COSa,sinα),(cos-sin/?),月(CoS(C+y0),sin(α+尸))，A(l,0),

則()

A?I。耳=IoqB.?AP}=?AP2?

C.OA-OPiOP1OP2D.OA-OP,=OP1OPy

【正確答案】AC

UUlUUUU

【分析】A、B寫出。4，0P/APl,4g的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)

向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.

【詳解】A：OE=(COSa,sina),OP2=(cos∕7,-siny0),所以IoaI=JCOSα+sin%=1,

IOP11="(cosβf+(—Sin萬尸=1，故∣O[∣=∣O8∣,正確；

B：APx=(cosa-l,sina),AP1=(cosy0-l,-sin∕7),所以

222

IAP]∣=J(COSa-if+sin，a=V∞sa-2cosɑ÷l÷sina=λ∕2(l-cosa)=sin?=2∣si∏y∣,同理

IApiI=J(CoS尸-1)2+sir??=21sin，I,故∣∣,∣AR∣不一定相等，錯誤；

C：由題意得：OA-OP3=1×cos(a÷∕?)÷0×sin(a+/7)=cos(a+β),

OPx-OP2=cosa?cosβ+s?na?(-sinβ)=cos(a+β),正確；

D：由題意得：OA?OF]=IXCoSa+0XSina=COso,OP2OP、=cosβ×cos(6z÷/7)+(—sinβ)×sin(□r÷β)

=CoS(B+(α+P))=COS(α+2β),故一般來說工OR故錯誤；

故選：AC

〃力,當(dāng)a,Z?不共線時

12.定義一種向量運算“軟'：叫當(dāng)〃/?共線時‘b是任意的兩個向量)對于同一平

面內(nèi)的向量a,6,c，e，給出下列結(jié)論，其中正確的選項是()

A.a?b=b?aB.=(2a)?力(4∈R)；

C.(a+b)?c=a?c+b?c；D.若e是單位向量，則卜③e∣≤∣α∣+l

【正確答案】AD

【分析】AD可根據(jù)定義及向量運算法則計算得到；BC可舉出反例.

【詳解】A選項，因為q?3="α,卜-目=卜-。|,故"位人=皿",A正確；

B選項，當(dāng)0,b不共線時，λ(a^h)=λa-b,[λa)<^b=λa-b,

當(dāng)α,6共線時，2(a0fo)=Λ∣α-6∣,(2?)?*=∣Λa-fe∣,

不妨設(shè)4=2,”=(1,0),6=(2,0),則用-H=2,∣2α-b∣=忖=。，故B錯誤；

C選項，不妨設(shè)a=(0,l),b=(2,0),c=(2,l),滿足〃+/?,C共線，。與Ac均不共線,

當(dāng)α+∕>,c共線時，(Λ+?)^c=∣α+?-c∣=0,

α,c與6,c均不共線時,a&c+h0c=a-c+hc=l+4=5<

此時兩者不相等，故C錯誤；

D選項，e是單位向量，當(dāng)α,e不共線時，,@e∣=∣〃?e∣=Mcos0≤∣”∣<∣α∣+l,

當(dāng)0,e共線時，∣α<≡>e∣=k-e∣≤W+M≤∣θ∣+l,

故若e是單位向量，則卜8eR|a|+l,D正確.

故選：AD

三、填空題

13.ABCD是邊長為1的正方形，E、尸分別是BC、CD的中點，則AE?AF=.

【正確答案】1

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，得出點坐標(biāo)，向量的坐標(biāo)，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得答案.

【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示；

則A（0,0）、8（1,0）、C（l,l）、3（0,1）,

因為E、F分別是BC、CO的中點，則E

所以AE=AFU,故AE"=lx；+gxl=L

故答案為.1

本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知.ABC中角4、B、C對邊分別為“、b、c,若a:8:c=3:2:百，則45C中最大角的余弦值

為.

【正確答案】-立

6

【分析】根據(jù)大邊對大角，結(jié)合余弦定理求解即可.

【詳解】因為〃:。：。=3:2:6，不妨設(shè)α=3左,8=2k,c=百々（左＞0）,

在三角形中，大邊對大角，所以最大角為A,

b1+c2-a222+3-32_-2_√3

根據(jù)余弦定理,COSA=

2bc2×2×√3^4√3^6

故答案為.

6

15.如圖，在JIBC中，。是BC的中點，E在邊A3上，BE=2EA,AD與CE交于點。.若

Aft

AB.AC=6AO-EC,則就的值是

【正確答案】√3.

【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積，然后利用幾何性質(zhì)可得比值.

【詳解】如圖，過點/）作DF"CE,交A8于點兒由BE=2E4,D為BC中點,知"=FE=EA,4O=OD

BDC

O

6AO?EC=3AD?(AC-AE)=∣(AB+AC).(AC-AE)

=∣(AB÷AC)^AC-∣AB^=∣^AB.AC-∣AB2+AC2-∣ΛB.AC^

3(r2122、1232

=--AB.AC——AB+AC=ABMC——AB+-AC=AB?AC,

2(33)22

得，癡=，°;即網(wǎng)=6,4故空=技

22AC

本題考查在三角形中平面向量的數(shù)量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取幾何

法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題.

16.已知M=W="?b=2,?a-c∣=√3,則從。的取值范圍為.

【正確答案】[2-2√3,2+2^]

【分析】設(shè)”=(2.0),根據(jù)W=W=α?6=2,得至IJb=(I,6)，設(shè)C?=(x,y),根據(jù)Ia-CI=得到

(x-2)2+y2=3,再由f=6?c=x+6y,利用直線與圓的位置關(guān)系求解.

【詳解】設(shè)(α,6)=α,

因為W=W=4力=2,

所以CoSa=1,

2

因為a∈[0,句，

所以ɑ=1,

設(shè)°=(2,0),則6=(1,6),設(shè)C=(X,y),

因為Ia-c∣=√3,

所以(X-2p+y2=3,表示以(2,0)為圓心，以G為半徑的圓，

則f=b?c=x+石y,表示一條直線在y軸上的截距，

當(dāng)直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于半徑，

BPd=—~-=r=?/?,

2

解得f=2+2百或f=2-2√L

所以從C的取值范圍為[2-26,2+26],

?[2-2√3,2+2√3]

四、解答題

17.已知七、χ2,>%、%是正實數(shù)，證明：XX2+M必4JX:+y：J*+y；(并說明式子左邊與右邊

相等時的條件)

【正確答案】證明見解析

【分析】利用向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)運算可得答案.

【詳解】設(shè)a=(x∣,χ),b=(x2,y2),

?.?"型∣耶

.?.x1x2+Xy2≤J%：+y；加+及，當(dāng)且僅當(dāng)Xly2=/力時取等號.

18.如圖，在408C中，點A是BC的中點，點拉是08上靠近點B的一個三等分點，OC和OA交

于點￡設(shè)04=。,08=從

(1)用向量表示。COC,

(2)若OE=AQA,求實數(shù)2的值.

Uiunrruuur5r

【正確答案】(DOC=2。-=-

4

⑵4=M

【分析】(1)根據(jù)平面向量的線性運算求解；

(2)根據(jù)三點共線結(jié)合平面向量基本定理運算求解.

ini'1num1uuπr∣i?uoIr

【詳解】(1)Y點A是3C的中點，則04=；；OC+;7。3,即〃=7。。+；；〃，

2222

整理得OC=2。-八

.一一.一”225

可得OC=OC-OD=OC--OB=2a-b--b=2a--b,

333

uu≡rrUUUrrSr

故OC=2afDC=2a——h.

3

(2)由題意可得：OE=λOA^λa.

-CC,....I.UUUULlUlUUOl

???CRE三點共線，則0E=m0C+〃。。，且加+〃=1,

uniUUalUUDf2∩r2Vr

則OE=mOC+∏OD=mn?—b=2ma+-n-m?b=λa.

13J3J

2

in=—

2m=λ5

23

可得-n-m=O解得n=-

3f5

+〃=12,

5

故4二1,

19.已知向量Q=(CoSaSin9),夕∈[θ,句，向量∕?=(J5,-1)?

(1)若「上。求。的值;

(2)若2：-,<”恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【正確答案】(1)?;(2)m>4.

(1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示得tan。=百，再結(jié)合e?。,司得e=g；

(2)先根據(jù)坐標(biāo)運算得2:-1=(2cose-√5,2sin6+l),再根據(jù)模的坐標(biāo)表示得

→→(π?→→→→

2a-b=8+8sinlI,故2α-h的最大值為16,,進(jìn)而得2α-。,故加>4.

【詳解】解：(1).丁a_Lb,

?*?Gcos。一Sine=O,即：tan6=G,

又夕∈[o,句，??.e=q

(2):2〃一Z?=(2CoSe-G,2sin6+l),

2/r~

.*.2a-h=(2COSe-6)+(2Sine+1)?=8+8?sin^-----cos

122

=8+8Sinle-J∣?],

又?.?e∈[o㈤,

cππ2π

：.θ——∈——,—

3L33

???2a-b的最大值為16,

—>—>—>—>

.,.2a-b的最大值為4,又2a-b<加恒成立，

m>4.

本題考查向量垂直的坐標(biāo)表示，向量模的計算，三角函數(shù)求最值，考查運算能力，是中檔題.

20.如圖，。是JIBe內(nèi)一點，NAO8=150。，NAoC=I20。，向量OA,O8,OC的模分別為2,√3,4.

⑴求∣04+0B+0C∣;

(2)若。C=根。4+”08，求實數(shù)〃?，"的值.

【正確答案】(1)3

(2)m=n=—4

【分析】(1)應(yīng)用向量數(shù)量積定義，及其運算律求104+08+OCI;

(2)由己知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律OA.θC=mθ∕+"0A.oB'OBOC=mOB-OA+nθ^＞列

方程組求參數(shù).

【詳解】(1)由已知，。408=|。AlIoBlCoS/AOB=-3,OA-OC=?OA∣∣OC∣cosZAOC=-4,

XZBOC≈360o-ZAOB-ZAOC=90°,故OBOC=O,

?'?IOA+Oβ+OC?2=OA+OB+OC+2(OA?OB+OA?OC+OBOC)=9

：.\0A+0B+0C\=3.

(2)由0C=，〃04+〃08得：OAOC=mOAi+nOAOB'OBOC=mOB-OA+nθl^`

?4/n-3〃二T

.?.{Q?可得，"="=-4?

[-3fn+3n=u

21.在工ABC中，角A、B、C對邊分別為a、b、c,向量m=(SinA,GsinB)與〃=(COSASin8)平行.

⑴求角A；

(2)若人=3,點。滿足8=208，∣AZ)∣=√2T,求。.

【正確答案】(I)A=?

(2)a=??/?

【分析】(1)根據(jù)平行的數(shù)量積公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

(2)過點。作龐〃47交AB于點E,根據(jù)三角形中平行線的性質(zhì)可得EO=4與A3=6,再在ABC

中由余弦定理求解即可.

【詳解】(1)*?*m//n

?β?sinAsinβ=?/?cosAsinB

'.*β∈(0,π),.?sinB≠O,

.,?sinA=y∣3cosA

?'?tanA=>∕3

V