高考數(shù)學(xué)考前最后一輪基礎(chǔ)知識(shí)鞏固之第八章第1課直線的方程

第1課直線的方程

【考點(diǎn)導(dǎo)讀】

理解直線傾斜角、斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的幾種形

式，能根據(jù)條件，求出直線的方程.

高考中主要考查直線的斜率、截距、直線相對(duì)坐標(biāo)系位置確定和求在不同條件下的直線

方程，屬中、低檔題，多以填空題和選擇題出現(xiàn)，每年必考.

【基礎(chǔ)練習(xí)】

+v13y+2=0的傾斜角X圍是0,：5兀

1.直線xcosaU.一?，兀

O6

2.過(guò)點(diǎn)。(2,3),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線方程是

x-y+1=0或3x-2y=0

3.直線1經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-1),且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，則直線1的方程為

y=x-4或y=-x+2

4.無(wú)論左取任何實(shí)數(shù)，直線(1+4左卜-(2-3k%+(2-14k)=0必經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)p,則p的坐

標(biāo)為(2,2)

5.已知直線1過(guò)點(diǎn)P(-5,-4),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為5個(gè)平方單位，求直線1的

28

方程y=~~x~6或y=--%—12

【X例導(dǎo)析】

例1.已知兩點(diǎn)A(―1,2)、B(m,3)

(1)求直線AB的斜率k；

(2)求直線AB的方程；

(3)已知實(shí)數(shù)me---1,73-1,求直線AB的傾斜角a的取值X圍.

分析：運(yùn)用兩點(diǎn)連線的子斜率公式解決，要注意斜率不存在的情況.

解：(1)當(dāng)m=—1時(shí)，直線AB的斜率不存在.

,1

當(dāng)mW—1時(shí)，k=——-)

m+1

(2)當(dāng)m=-l時(shí)，AB：x=-l,

當(dāng)mWl時(shí)，AB：y-2=_J—(x+l).

m+1

71

(3)①當(dāng)m=—1時(shí)，。=,；

②當(dāng)mW—1時(shí)，

-1-/5

1

k

m+1

712兀

故綜合①、②得，直線AB的傾斜角ae

o3

點(diǎn)撥：本題容易忽視對(duì)分母等于0和斜率不存在情況的討論.

例2.直線1過(guò)點(diǎn)P(2,1),且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B、0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)△AOB的面積最小時(shí),求直線1的方程；

⑵當(dāng)|PA|?|PB|取最小值時(shí),求直線1的方程.

分析：引進(jìn)合適的變量,建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù),通過(guò)尋找函數(shù)最值的取得條件來(lái)求1的方程.

11

解(1)設(shè)直線1的方程為yT=k(x-2),則點(diǎn)A(2-丁，0),B(0,l-2k),且2-丁>0,l-2k〉0,即

kk

k<0.

111111

△AOB的面積S=-(l-2k)(2-—)=一[(-妹)+—+4]24,當(dāng)-4k=—，即k=一—時(shí)，ZSAOB的面

2k2-k-k2

積有最小值4,則所求直線方程是x+2y-4=0.

(2)解法一：由題設(shè),可令直線方程1為y-l=k(x-2).

分別令y=0和x=0,得A(2-J,0),B(0,l-2k),

k

|PA|?|PB|=J(4+4左2)(1+')=小8+4(左2+2)24,當(dāng)且僅當(dāng)b=1,即k=+1時(shí)，

PA?PB取得最小值4.又k<0,.-.k=-l,這是直線1的方程是x+y-3=0.

兀\PB\PF\4

解法二:如下圖，設(shè)NBA0=。，由題意得?！?0,方)，且|PA|?|PB|二F?一二「布24

2sirocos?sin2b

兀

當(dāng)且僅當(dāng)下時(shí)，|PA|?|PB|取得最小值4,此時(shí)直線1的斜率為-1,直線1的方程是

4

點(diǎn)評(píng)①求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直

線的基本量.②在研究最值問(wèn)題時(shí)，可以從幾何圖形開(kāi)始，找到取最值時(shí)的情形，也可以從代

-2-/5

數(shù)角度出發(fā)，構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等知識(shí)來(lái)求最值.

例3.直線1被兩條直線1：4x+y+3=0和1：3x-5y-5=0截得的線段中點(diǎn)為P(T,

12

2).求直線1的方程.

分析本題關(guān)鍵是如何使用好中點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.

解：解法一設(shè)直線1交1于A(a,b),則點(diǎn)(-2-a,4-b)必在1,所以有

12

4。+/?+3—0a=—2

<角率V

3(—2—〃)一5(4—與一5:0、[b=5

直線1過(guò)A(-2,5),P(-1,2),它的方程是3x+y+1=0.

解法二由已知可設(shè)直線1與1的交點(diǎn)為A(-1+m,2+n),則直線1與1的交點(diǎn)為B(一

n4(-1++(2+")+3=0

1—m,2—n),且1的斜率k=—,：A,B兩點(diǎn)分別L和12上,

m3(-1-m)-5(2-0)-5=0

消去常數(shù)項(xiàng)得一3m=n,所以k=-3,

從而直線1的方程為3x+y+l=0.

解法三設(shè)1、12與1的交點(diǎn)分別為A,B,則,關(guān)于點(diǎn)P(—1,2)對(duì)稱的直線m過(guò)點(diǎn)B,

利用對(duì)稱關(guān)系可求得m的方程為4x+y+l=0,因?yàn)橹本€1過(guò)點(diǎn)B,故直線1的方程可設(shè)為3x

—5y—5+入(4x+y+l)=0.由于直線1點(diǎn)P(―1,2),所以可求得入=—18,從而1的

方程為3x—5y—5—18(4x+y+l)=0,即3x+y+l=0.

點(diǎn)評(píng)本題主要復(fù)習(xí)有關(guān)線段中點(diǎn)的幾種解法，本題也可以先設(shè)直線方程，然后求交點(diǎn)，

再根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)求出直線1的斜率，但這種解法思路清晰，計(jì)算量大，解法一和解法二靈活

運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，使計(jì)算簡(jiǎn)化，對(duì)解法二還可以用來(lái)求已知中點(diǎn)坐標(biāo)的圓錐曲線的弦所在

直線方程，解法三是利用直線系方程求解，對(duì)學(xué)生的思維層次要求較高。

反饋練習(xí)：

1.已知下列四個(gè)命題①經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P°(x°,y。)的直線都可以用方程y-y°=k(x-x。)表示；②經(jīng)過(guò)任

意兩個(gè)不同點(diǎn)P](xjy)、P,&y.)的直線都可以用方程(y-y)(x[X])=(x-x)(y「y)表示；③

不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線都可以用方程一x+；y=1表示；④經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(0,b)的直線都可以用方程y

ab

=kx+b表示，其中正確的是①③④

2.設(shè)直線1的方程為2x+(左-3%-2k+6=0缶w3),當(dāng)直線1的斜率為-1時(shí),k值為2,

當(dāng)直線1在x軸、y軸上截距之和等于0時(shí)，k值為1或3

3.設(shè)直線ax+by+c=o的傾斜角為a,且sina+cosa=0,則a,b滿足的關(guān)系式為a-1=0

4.若直線1：y=kx-y/3與直線2x+3y-6=0的交點(diǎn)位于第一象限，則直線1的傾斜角的取

-3-/5

兀71

值X圍是(d,1)

11

5.若直線4x-3y-12=0被兩坐標(biāo)軸截得的線段長(zhǎng)為-，則c的值為三

c5

6.過(guò)點(diǎn)P(l,1)作直線1，與兩坐標(biāo)軸相交所得三角形面積為10,則直線1有生條

7.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(Q,b)(abw0)共線，則1+；的值等于1.

ab2

8.若直線(m2—l)x—y—2m+『0不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值X圍是;,1

9.已知直線,被兩直線/：4x+y+6=0與/：3x—5y—6=0截得的線段中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

12

那么直線，的方程是x+6y=0.

10.已知兩直線ax+by+l=0和ax+by+l=0的交點(diǎn)為P(2,3),求過(guò)兩點(diǎn)Q(a,b)、Q(a,

112211122

b)(aWa)的直線方程

212

務(wù)析：利用點(diǎn)斜式或直線與方程的概念進(jìn)行解答

解：(2,3)在已知直線上,

2a+3b+1—0,2a+3b+1=0

1122

9

???所求直線方程為y—b二一—(x-a)

131

/.2x+3y—(2a+3bp=0,BP2x+3y+l=0

點(diǎn)撥：1.由已點(diǎn)求露率；2.運(yùn)用了整體代入的思想，方法巧妙.

11.在4ABC中,BC邊上的高所在的直線方程為x-2y+l=0,ZA的平分線所在直線方程為

y=0,若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).

分析：利用高線與NA的平分線求得點(diǎn)A坐標(biāo),然后求出直線AC與BC的方程,從而求出C

點(diǎn)坐標(biāo).

解A點(diǎn)既在BC邊的高線上，又在NA的平分線上，

x-2y+l=0

由，八得A(T,0),Jk=1,而x軸是角A的平分線，.?.k=-1,

y=0皿AC

???AC邊所在直線方程為y=-(x+1)①

又k二-2,?,?BC邊所在直線方程為y-2=-2(x-1)②

BC

聯(lián)立①②得C的坐標(biāo)為(5,-6)

點(diǎn)撥：綜合運(yùn)用三角形和直線有關(guān)知識(shí),尋找解題突破口，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為先求一些直線方

程,再求直線的交點(diǎn).這是解決這一類問(wèn)題的常用辦法.

12.一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,2),并且分別滿足下列條件，求直線方程：

-4-/5