談?wù)動嬎銠C怎樣解幾何題

談?wù)動嬎銠C怎樣解幾何題張景中彭翕成近幾年，我們在向中學(xué)老師介紹信息技術(shù)的時候，不少老師對計算機自動解幾何題表示出強烈的興趣，想了解得更多一些。關(guān)于這個問題，筆者曾寫過一本科普讀物(文山)，但考慮到該書已經(jīng)脫銷，讀者難以買到；再加上近幾年智能教育軟件又有了新進(jìn)展，所以很有必要再來談?wù)勥@個問題。認(rèn)真起來，所謂計算機解幾何題這個說法，其實是有問題的。人是萬物之靈，計算機是人造出來的，它并不會解題。是人設(shè)計了一套一套用計算機解題的辦法。計算機只不過是工具，所以應(yīng)當(dāng)是人怎樣用計算機解幾何題。至于自動推理，其實也并不能自動，也是人出了主意推動計算機進(jìn)行推理。就像自行車不會自己跑路，自來水不會自己到來一樣．不過大家仍然說自行車，自來水，這樣通俗生動．反正心里明白，自行車要人蹬，自來水是水塔水泵壓過來的。1．計算機的基本功能我們?nèi)粝脒\用計算機解題，首先就必須了解計算機的一些基本功能。計算機可供解題使用的基本功能大體上有4類：變量賦值，基本運算，條件選擇，循環(huán)操作。第一，要記得住東西．如果記不住題目，或者是記不住解題的有關(guān)知識和方法，還解什么題呢?光記住還不夠，還要能表達(dá)出來。解了題悶在肚里表達(dá)不出來，不是白白辛苦一場了嗎?能記住我們要它記住的信息，又能表達(dá)出來，這種功能主要通過變量賦值來實現(xiàn)。第二，要會做基本的運算。計算機作計算肯定是不成問題的，否則怎么叫計算機呢?不過我們這里所講的計算，除了包含一般所說的數(shù)值計算，還包括符號計算功能。因為數(shù)值運算通常容易出現(xiàn)誤差，多步推導(dǎo)之后，誤差被積累，可能導(dǎo)致結(jié)果謬以千里。第三，求解問題時，常常要根據(jù)不同的情形使用不同的公式和方法。簡單到如計算一封信的郵費，還分平信、掛號、本地、外地以及是否超重。幾何問題的條件更是千差萬別。計算機可以根據(jù)條件安排，自動區(qū)別不同的情形，執(zhí)行不同的運算，這叫做條件選擇的功能。第四，計算機的另一長處就是不怕枯燥麻煩。一個運算或一套操作，讓它重復(fù)多少次它也不會罷工或埋怨。幾何問題有時要多次檢驗，有時要反復(fù)探索，有時又要作大量演算。只要你一聲令下，它就老老實實干起來，直到完成預(yù)定次數(shù)或達(dá)到某個目標(biāo)．這叫做循環(huán)操作功能。那么，又如何調(diào)用計算機的這些基本功能來解題呢?鳥有鳥言，獸有獸語。計算機也有它與人交流的語言，就是程序設(shè)計語言．程序設(shè)計語言種類很多，各有特色。常用的如廣泛流行的BASIC語言，適于專業(yè)軟件開發(fā)的C語言，利于網(wǎng)上交流的JAVA語言，長于人工智能程序的LISP語言等等。語言千變?nèi)f化，但萬變不離其宗，核心語句就是4類：賦值語句、基本運算語句、條件語句和循環(huán)語句，作用無非是用來指揮計算機執(zhí)行4類基本功能。要想充分利用好計算機，首先得懂它的語言。而不管是什么程序設(shè)計語言，熟練運用就好。這里就不多說了。2．幾何解題花樣多幾何題有計算題、證明題，還有作圖題。他們各有特點，又是相通的。兩千年來，人們積累了豐富的解幾何題的經(jīng)驗、技巧和方法。這些有待教給計算機的解題本領(lǐng)，大體可以分為4類：檢驗、搜索、歸約和轉(zhuǎn)換。計算和作圖都要有個道理。講清楚道理就是證明．古希臘人研究幾何最講究證明。中國古代的幾何學(xué)則講究計算，把畫圖和推理都?xì)w結(jié)為計算，叫做寓理于算。計算、作圖和證明，問題的形式不同，卻也有相同之處。三類問題的前提，都可以用幾何圖形來表示。證明題可以轉(zhuǎn)化為計算。要證明兩條線段相等，只要算出兩者的比為1或差為0就行了。要說明計算是準(zhǔn)確的，作圖過程是合理的，歸根結(jié)底要證明。三類問題在解決過程中都要推演論證，推演論證所用的規(guī)則又是一致的。這就是三者的相通之處。要問計算機如何解幾何題，就得先看人如何解幾何題。當(dāng)然，人和人不同，應(yīng)該說要看幾何學(xué)家如何解幾何題。幾何學(xué)家拿到一個幾何題，有哪些高招呢?第一，要畫畫看看，量量算算，看題目出得對不對，合理不合理。不合理就不做下去了．這叫做檢驗。第二，根據(jù)條件，參照問題，試著東推推，西試試，推出來的東西有用沒用先記下來。這樣或許就解決了問題。解決不了，再想別的出路．說不定記下來的材料還有用。這叫搜索。第三，搜索不出來，還可以抓住問題的目標(biāo)(待證的結(jié)論、待求的幾何量、或待作的點與線)，分析計算，化簡條件，消去中間的參數(shù)或幾何元素，力求水落石出。這叫歸約。第四，當(dāng)上述常規(guī)方法不能奏效時，人的智慧和靈感就成為取勝的源泉了。或用反證法、同一法，或加輔助線，或?qū)Σ糠謭D形作平移旋轉(zhuǎn)，總之是改變問題的形式，以求化繁為簡。這叫轉(zhuǎn)換。計算機是人的學(xué)生。它的本領(lǐng)是人教的，它是笨學(xué)生，不教不會．但它又是好學(xué)生，會牢牢記住你教給它的方法，一絲不茍地按你寫好的程序去做。如果你循循善誘，它又能青出于藍(lán)。計算機解題靠人教。人會解一道題，把方法教給計算機，計算機就會解這道題。這道題中的數(shù)字換成字母，成了更一般化的一個題型，把處理這個題型的竅門教給計算機，計算機就會解這個題型的題．人掌握了一類題目的規(guī)律，把這規(guī)律總結(jié)提煉成有章可循的算法，實現(xiàn)為程序，計算機本領(lǐng)就更大，會解這一類題了。人掌握了方法，推演計算論證繁了或者累了，容易走神出錯；甚至?xí)r間長了，所掌握的方法遺忘了都有可能，但計算機一旦學(xué)會一套方法，就不會忘記，也很難出錯，做得飛快。幾千年來，人們解幾何題的招數(shù)，層出不窮，爭奇斗艷。概括起來，不外這4類：檢驗、搜索、歸約和轉(zhuǎn)換。50多年來，數(shù)學(xué)家和計算機科學(xué)家費盡心思，循循善誘，把個中奧秘向計算機傳授。使得計算機解幾何題的能力日新月異，大放光彩，除了靈機一動加輔助線，或干變?nèi)f化的問題轉(zhuǎn)換之外，前三種方法計算機都學(xué)得十分出色了。用機器幫助，以至在某種程度上代替學(xué)者研究幾何，幫助以至代替老師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何，已經(jīng)從古老的夢想變?yōu)楝F(xiàn)實。3．幾何代數(shù)化的道路在幾何定理機器證明中，采用代數(shù)方法，引進(jìn)坐標(biāo)，將幾何定理的敘述用代數(shù)方程的形式重新表達(dá)，證明問題就轉(zhuǎn)化成判定是否能從假設(shè)的代數(shù)方程推出結(jié)論的代數(shù)方程的問題。這樣把幾何問題代數(shù)化，自笛卡爾以來已是老生常談，并無實質(zhì)困難。然而代數(shù)化的過程，坐標(biāo)點的選取和方程引進(jìn)的次序都可能影響到后續(xù)證明的難度，甚至由于技術(shù)條件的限制，影響到證明是否可能完成。也就是說，幾何問題化成純代數(shù)問題之后，也并不見得一定容易，更不能說就能實現(xiàn)機械化了。這不僅是因為解決這些代數(shù)問題的計算量往往過大，令人望而卻步，還因代表幾何關(guān)系而出現(xiàn)的那些代數(shù)等式或不等式常常雜亂無章，使人手足無措。從這些雜亂無章的代數(shù)關(guān)系式中要找出一條途徑，以達(dá)到所要證的結(jié)論，往往要用到高度的技巧。換句話說，即使你不怕計算，會用計算機來算，也不知道從何算起。解幾何題是思維的體操，是十分有吸引力的智力活動之一。圖形的直觀簡明，推理的曲折嚴(yán)謹(jǐn)，思路的新穎巧妙，常給人以美的享受。許多青少年數(shù)學(xué)愛好者，往往首先是對幾何有了濃厚的興趣。用計算機證明幾何問題，如果僅限于用平凡而繁瑣的數(shù)值計算代替巧妙而難于入手的綜合推理，則未免大煞風(fēng)景。通過計算機的大量計算判斷命題為真，確實是證明了定理：這是有嚴(yán)謹(jǐn)理論基礎(chǔ)的。但這樣的證明寫出來只是一大堆令人眼花繚亂的算式、數(shù)字或符號，既沒有直觀的幾何意義，又難于理解和檢驗，這跟幾何教科書上十行八行就說得參考文獻(xiàn)[1]張景中．計算機怎樣解幾何題一談?wù)勛詣油评恚迦A大學(xué)出版社；暨南大學(xué)出版社．2000，[2]吳文俊主編．王者之路一機器證明及其應(yīng)用．湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1999．[3]張景中．平面幾何新路解題研究。四川教育出版社．1994。[4]孫熙椿．平面幾何定理的機器證明．廣西教育出版社。1999．[5]吳文?。畮缀味ɡ頇C器證明的基本原理初等幾何部分．科學(xué)出版社．1984．[6]Shang-ChingChou，Xiao-shanGao，Jing-zhong