數(shù)學(xué)-端點(diǎn)效應(yīng)（洛必達(dá)法則）專題

端點(diǎn)效應(yīng)(洛必達(dá)法則)專題例如：當(dāng)x>0時(shí)，求的值.解答：(由題設(shè)可得，當(dāng)x>0,x≠1時(shí)，:k≤0,即k的取值范圍為(-o,0)2(個(gè)人原創(chuàng))已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2,當(dāng)a=-1時(shí)，若Vx∈(-o,0),恒成立則...恒成立，求a的取值范圍.記g(x)=3sinx-xcosx-2x,則g(x)=2cosx+xsin因?yàn)間”(x)=xcosx-sinx=cosx(x-tanx)上單調(diào)遞減，且g”(x)<0,上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減.由洛必達(dá)法則有恒成立.【評注】通過以上例題的分析，我們不難發(fā)現(xiàn)應(yīng)用洛必達(dá)法則解決的試題應(yīng)①可以分離變量；③用導(dǎo)數(shù)可以確定分離變量后一端新函數(shù)的單調(diào)性；③出現(xiàn)型或型式子.4、4、設(shè)函數(shù)f(x)=1-e*.求a的取值范圍.設(shè)解：由題設(shè)x≥0,此時(shí)f(x)≥0.;記h(x)=e2-x2-2+e-*,則h(x)=e?-2x-e-*,h"(x)=e2+e*-2>0.,:若x>0,則h'(x)=2cosx-2xsinx-2cosx-cos=-2xsinx-cos2x+1=2sin2x-2xsinx=2sinx·(Ⅱ)若對所有x.0都有f(x).ax,求a的取值范圍.(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立).()令g(x)=f(x)-ax,則g(α)=f2(x)-a=e?+e*(ii)若a>2,方程g’(x)=0的正根為此時(shí)，若x∈(0,x),則g'(x)<0,故g(x)在該區(qū)間為減函數(shù).綜上，滿足條件的a的取值范圍是(-0,2)8.(理)已知函數(shù)8.(理)已知函數(shù)f(x)=sinx+ln(1+x).(Ⅱ)①當(dāng)a.2時(shí)，對x.0,由(1)的證明知f(x)xax.取.則x?>0.∴F(x)遞增→F(x)>F(O)=0,即f(x)>ax,不合題意.9.設(shè)函數(shù)f(x)=ax·lnx(a>0).(Ⅱ)若對所有(Ⅱ)若對所有x..1,都有f(x),,x2-1,求正數(shù)a的取值范圍.綜上所述，函數(shù)g(x)=f(x)-4(x-1)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.求導(dǎo)，再令G(x)=F(αx)=a(lnx+1)-2x故G(x)在(1,+o)上為減函數(shù)，則F(x)在(1,+)上為減函數(shù)，(ii)若a>2,方程G(x)=0的解為故Gu)在,上為增函數(shù)，所以當(dāng)1時(shí)，G(x).G(1)=a-2>0,即F(x)>0,(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對所有的x..0,均有f(x)..ax成立,.(2)令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax.“不等式f(x).ax在x.0時(shí)恒成立”?“g(x).g(O)在x..0時(shí)恒成立.”g'(x)=1n(x+1)+1-a=0→x=e?-1-1.故a的取值范圍是(-0,1).(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程；(Ⅱ)求f(x)的極小值；(Ⅲ)若對所有的x..0,都有f(x),,(Ⅱ)設(shè)f(x)=0,切點(diǎn)為010,0),∴所求切線方程為y=2x.…(2分).…(6分)則g'(x)=2m(2x+1)+2-2a=2[m(2x+1)+1-a].令g(x)=0,得In(2x+1)=a-1,得得In(2x+1)>a-1,得;又g(O)=0,于是對所有x..0,都有g(shù)(x).g(O)=0成立.故當(dāng)a,,1時(shí)，對所有的x.0,都有f(x)..2ax成立.÷.g(),上是減函數(shù).綜合(1),(2)可知實(shí)數(shù)a的取值范圍(-0,1).…(12分)13.已知函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,其中a>0.(1)求a的值；(2)若對任意的x∈(0,+x),有f(x),kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值.令f(x)=0,可得x=1-a>-a,∵函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)的最小值為0,當(dāng)k>0時(shí)，令g(x)=f(x)-kx2,即g(x)=x-ln(x+,,,g(x)在,+2)上g(w)<0,g(s)為減函數(shù)；,對任意的x∈(0,+o),有f(x),,kx2成立，14.14.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅱ)設(shè)f(x),,1+sinx,求a的取值范圍.【解析】(1)求導(dǎo)函數(shù)，可得f(x)=a-sinx,xe[0,π],sinx∈[0,1];當(dāng)0<a<1時(shí)，由f(x)=0得x;=arcsina,x?=π-單調(diào)遞減),①當(dāng)0歿y-0=-2(x-1),即2x+y-2=0.).(2)令g(x)=(x+1)·f(x),若對任意x.e,有g(shù)(x)>0恒成立，求a的取值范圍；,,,檢驗(yàn)：當(dāng)a=9時(shí)，f')=2-2a2y=“2)X,2+0 0+增減增(2)因?yàn)間(x)=(x+1)lnx-a(x-1),因?yàn)閤.e,令,則,所以t(x)>0,故t(x)在[e,+o]上單調(diào)遞增，(3)證明：當(dāng)a=2時(shí)，即因?yàn)閙>n,所以e-”>1,所以,園為,所以.,.(2)函數(shù)h(x)=f(x+1)+g(x)=1n(x+1)-ax+e.∴h(x)在[0,+o]上遞增.綜上(i),(ii)知實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-0,2)(Ⅱ)若過原點(diǎn)作曲線y=f(x)的切線1與直線y=-ex+1垂直，證明：設(shè),,,,,,在則x?=e,則x?=e,,,【解析】(1)依題意，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+o),對f(x)求導(dǎo)，得,,4的方程為,·;,所以,所以,而,在而,oh(x)在(0,+o)上遞增，h(x).h(O)=1恒成立，符合題意.所以h(x)在(0,+o)上遞增，且h(O)=2-a<0,則存在x?∈(0,+x),使得h(O)=0.綜合①②可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-0,2)第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算型未定式型大),那么極限型及型未定式.3.定理23.定理21、0·o型的轉(zhuǎn)化：或2、o-0型的轉(zhuǎn)化：高頻考點(diǎn)一：洛必達(dá)法則的簡單計(jì)算1、判斷下列計(jì)算是否正確解：由于中分子記為f(x)=6x,不能直接使用洛必達(dá)法則.分母記為g(x)=6x-2,2、求(本題屬于型；)(不屬于未定型，直接將x=1代入分子分母)(本題屬于型；可使用洛必達(dá)法則)(不屬于未定型，直接將x→+0代入分母)4、求)(本題屬于0·0型，可使用洛必達(dá)法則)(不屬于未定型，直接將x→0*代入分子)5.(2021·江蘇省阜寧中學(xué)高三階段練習(xí))我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)x→0時(shí)，的極限即為型.兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：【答案】D【詳解】6.(2022.重慶市萬州第二高級中學(xué)高二階段練習(xí))我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱頭型，比如：當(dāng)x→0時(shí)，的極限即型.兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.如：則【詳解】7.(2022·山東省臨沂第一中學(xué)高二階段練習(xí))我們把分子，分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱斗型，比如：當(dāng)x→0時(shí)，的極限即斗型，兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在.早在1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造一種算法(洛必達(dá)法則),用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，法則的大意為：在一定條件下通過【答案】2【詳解】1.(2021全國高三專題練習(xí))若不等式ac>sinx對于【詳解】時(shí)，原不等式等價(jià)于,時(shí)，令g(x)=tanx-x,則以g(x)=tanx-x>g(0)=0,即x-tanx<所以f(x)<0.因此上單調(diào)遞減.處取得極值，且曲恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.;(1,+x)是減函數(shù)，進(jìn)而m(x)<0).3.(2022·陜西·西安工業(yè)大學(xué)附中高三階段練習(xí)(理))已知函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為x+2y-3=0.(1)求a、b的值；(2)如果當(dāng)x>0,且x≠1時(shí)，求k的取值范圍.x>0,且x≠1x>0,且x≠1【詳解】的斜率b=1,(2)當(dāng)x>0,且x≠1時(shí)，,,從而h(x)在(0,+~)上單調(diào)遞增，且h(1)=0,因此當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h(x)<0,當(dāng)x∈(1,+0)上單調(diào)遞減，在(1,+~)上單調(diào)遞增.處取得極值，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線與直線x-y+1=0垂直(1)求實(shí)數(shù)a,b的值恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】函數(shù)f(x)=al