第01講 直線的方程 高頻考點(diǎn)精講（解析版）備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練（藝考生基礎(chǔ)版）

第第頁第01講直線的方程(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：直線的傾斜角與斜率題型二：求直線的方程題型三：直線方程的綜合應(yīng)用角度1：直線過定點(diǎn)問題角度2：與直線方程有關(guān)的最值問題角度3：其它綜合問題第一部分：知第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角以軸為基準(zhǔn)，軸正向與直線向上的方向之間所成的角叫做直線的傾斜角.（1）當(dāng)直線與軸平行或者重合時(shí)，我們規(guī)定它的傾斜角為；所以傾斜角的取值范圍為：；特別地，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為.（2）所有直線都有唯一確定的傾斜角，傾斜角表示的是直線的傾斜程度.知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率1、我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用字母表示，即（1）傾斜角不是的直線都有斜率，傾斜角不同，直線的斜率也不同；（2）傾斜角時(shí)，直線的斜率不存在.2、如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時(shí)，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時(shí)調(diào)換；（3）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行。知識(shí)點(diǎn)三：直線方程的五種形式1、直線的點(diǎn)斜式方程已知條件（使用前提）直線過點(diǎn)和斜率（已知一點(diǎn)+斜率）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）2、直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）3、直線的兩點(diǎn)式方程已知條件（使用前提）直線上的兩點(diǎn)，（，）（已知兩點(diǎn)）圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件斜率存在且不為0；當(dāng)直線沒有斜率()或斜率為時(shí)，不能用兩點(diǎn)式求出它的方程4、直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點(diǎn)斜式方程形式適用條件，5、直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時(shí)，方程可變形為，它表示過點(diǎn)，斜率為的直線．當(dāng)，時(shí)，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)關(guān)于、的二元一次方程對(duì)應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對(duì)應(yīng)著無數(shù)個(gè)關(guān)于、的一次方程.3.解題時(shí),如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：直線的傾斜角與斜率典型例題例題1．（2022·遼寧鞍山·高二期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線方程即為，該直線與軸垂直，故直線的傾斜角為.故選：C.例題2．（2022·山東·青島超銀高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】經(jīng)過兩點(diǎn),的直線的斜率為：；故選：D.例題3．（2022·河南·鄭州市第九中學(xué)高二階段練習(xí)）若直線的斜率滿足，則該直線的傾斜角的范圍是______．【答案】【詳解】根據(jù)，得到，結(jié)合正切的函數(shù)圖象可得：.故答案為：例題4．（2022·吉林吉林·高二期中）直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)傾斜角為，則斜率，因?yàn)?，所以，即傾斜角的取值范圍是.故選：D.例題5．（2022·山東·濟(jì)寧市育才中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線和以為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【詳解】直線，即，其恒過定點(diǎn)，根據(jù)題意，作圖如下：數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最小值，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，其斜率取得最大值，故，解得.故選：C.同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線的傾斜角為（

）A．120° B．60° C．30° D．150°【答案】C【詳解】設(shè)傾斜角為，由直線方程得斜率，即，因?yàn)?，所?故選：C.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)直線的斜率為，且，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，且，，因?yàn)椋?故選：A.3．（2022·廣東·深圳市南頭中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，．若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】直線，令，解得，直線必過定點(diǎn)．，．直線與線段相交，由圖知，或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（文））若直線過點(diǎn)，則此直線的斜率是_____________．【答案】【詳解】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以此直線的斜率是.故答案為：.5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，直線不過第四象限，求的范圍.【答案】【詳解】則直線恒過定點(diǎn)，即直線為過定點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)的動(dòng)直線，斜率為.如下圖所示，當(dāng)直線的傾斜角時(shí)，直線不過第四象限；當(dāng)時(shí)，直線過第四象限.故的取值范圍為題型二：求直線的方程典型例題例題1．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二期中（理））過點(diǎn)且與直線平行的直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，將代入，得，解得：，故直線方程為.故選：D例題2．（2022·山東菏澤·高二期中）過點(diǎn)與的直線的一般式方程為___________.【答案】【詳解】可得直線的斜率為，所以直線方程為，整理得.故答案為：.例題3．（2022·重慶八中高二期中）經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】直線的斜率為，所以所求直線的斜率為，所以所求直線的方程為.故選：B例題4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)高二期中（文））已知頂點(diǎn)(1)求邊上中線所在的直線方程(2)求邊上高線所在的直線方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，所以邊上中線所在的直線方程為：，整理得：；（2）直線的斜率為，所以邊上高線所在直線的斜率為，所以邊上高線所在直線的方程為，整理得：例題5．（2022·浙江杭州·高二期中）己知直線和直線的交點(diǎn)為.(1)求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(2)若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程.【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由解得,所以，設(shè)所求直線為,因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以解得，所以所求直線方程為.（2）直線與直線垂直,所以可設(shè)為，又因?yàn)榈降木嚯x等于，解得或，所以所求直線方程為或.同類題型歸類練1．（2022·北京·匯文中學(xué)高二期中）已知直線在軸上的截距為-2，則此直線方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】A、B、D：將代入方程，可得，不合要求；C：時(shí)，，符合要求；故選：C2．（2022·福建福州·高二期中）直線過點(diǎn)，則直線的方程為_________________．【答案】【詳解】解：因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的方程為.故答案為：.3．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高二期中（理））過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是__________________.【答案】【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，代入點(diǎn)得，解得所以過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程是故答案為：4．（2022·湖北·仙桃市田家炳實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二期中）求直線L的方程：(1)求過點(diǎn)且與直線平行的直線的一般式方程；(2)求過點(diǎn)且與直線垂直的直線的一般式方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線的斜率也為，由點(diǎn)斜式得整理得,所以直線L的方程：.（2）因?yàn)橹本€的斜率為，所以所求直線的斜率為，由點(diǎn)斜式得整理得,所以直線L的方程：.5．（2022·江蘇·贛榆智賢中學(xué)高二階段練習(xí)）已知中，、、，寫出滿足下列條件的直線方程．(1)BC邊上的高線的方程；(2)BC邊的垂直平分線的方程．【答案】(1)(2)（1）因?yàn)?，所以BC邊上的高線的斜率，故BC邊上的高線的方程為：,即所求直線方程為：.（2）因?yàn)?，所以BC邊上的垂直平分線的斜率，又BC的中點(diǎn)為，故BC邊的垂直平分線的方程為：，即所求直線方程為：.題型三：直線方程的綜合應(yīng)用角度1：直線過定點(diǎn)問題典型例題例題1．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高二期中）已知直線，當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，恒過點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】直線的方程可化為，由，解得，因此，直線恒過定點(diǎn).故選：B.例題2．（2022·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線恒過定點(diǎn)，恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)的距離為________．【答案】5【詳解】對(duì)于：，所以；對(duì)于：，所以；所以.故答案為：同類題型歸類練1．（2022·江蘇省儀征中學(xué)高二期中）直線恒過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】變形為，故恒過點(diǎn).故選：B2．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高二階段練習(xí)）直線必過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由，得，因?yàn)樯鲜綄?duì)任意恒成立，所以，得，所以直線必過定點(diǎn)，故選：A角度2：與直線方程有關(guān)的最值問題典型例題例題1．（2022·江西·南昌縣蓮塘第一中學(xué)高二階段練習(xí)）點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【詳解】解：直線恒過點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的直線垂直直線且垂足為時(shí)，該距離為最大距離，；故選：B．例題2．（2022·山東·梁山縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，直線過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】##【詳解】直線，，，解得，所以過定點(diǎn)，直線，，，解得，所以過定點(diǎn)；由，得到，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值為．故答案為：例題3．（2022·山東·德州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線．(1)判斷直線是否過定點(diǎn)，如果過定點(diǎn)求出此定點(diǎn)，不過說明理由；(2)若直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)B，為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的面積為，求的最小值及此時(shí)直線的方程．【答案】(1)直線恒過定點(diǎn)(2)，直線l的方程為x﹣2y+4＝0（1）將直線整理成，令，解得，，直線恒過定點(diǎn)．（2）由題意知，直線在軸，軸上的截距分別為，，所以，，，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，此時(shí)直線的方程為．同類題型歸類練1．（2022·天津薊州·高二期中）點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】變形為，故，解得：，故直線過定點(diǎn)，故為點(diǎn)到直線的距離最大值，即，且此時(shí)直線的斜率為，故此時(shí)直線方程為，整理得：.故選：C2．（2022·湖南省祁東縣育賢中學(xué)高二階段練習(xí)）設(shè)，已知直線l1：，過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，則直線l1與l2之間距離的最大值是__．【答案】【詳解】解：由于直線l1：，整理得，由，解得，即直線l1恒過點(diǎn)；則過點(diǎn)作直線l2，且l1∥l2，所以直線l1與l2之間距離的最大值為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離．故答案為：．3．（2022·新疆·烏市八中高二期中）已知直線.O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn).(1)設(shè)直線所過定點(diǎn)為，求過點(diǎn)且與垂直的直線方程.(2)記，求的最小值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）由直線，可得，所以直線過定點(diǎn)，又的斜率為，所以所求直線的斜率為，所以過點(diǎn)且與垂直的直線方程為，即；（2）因?yàn)橹本€過定點(diǎn)，直線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸正半軸于點(diǎn)，所以直線斜率小于0，即，可得，令，可得，即，令，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最小值為.角度3：其它綜合問題典型例題例題1．（2022·天津·南開大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，.(1)求邊上的中線所在直線的方程；(2)求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；(3)若點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線傾斜角的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）解：，，，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，中線的斜率為，中線所在直線的方程為：，即；（2）解：由已知可得AB的斜率為，與直線平行的直線的斜率也為，所求直線的方程為，化為一般式可得；（3）解：可得直線AD的斜率為，直線傾斜角的取值范圍為.例題2．（2022·山東省鄆城第一中學(xué)高二期中）已知三條直線；，，：，且原點(diǎn)到直線的距離是．(1)求的值；(2)若，能否找到一點(diǎn)，使同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：①點(diǎn)在第一象限；②點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍；③點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是，若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由．【答案】(1)(2)存在理由見詳解.【詳解】（1）因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離是，即所以（2）若，由（1）得，所以設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，則：點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍有即

①點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是

②

③聯(lián)立①②③解的：故存在滿足上述三個(gè)條件的點(diǎn)例題3．（2022·湖南益陽·高二期中）已知點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)(1)求點(diǎn)坐標(biāo)；(2)在中，，求面積的最大值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)B的坐標(biāo)為，則，解得，則B的坐標(biāo)為（2）設(shè)，，圓心為，半徑為，當(dāng)點(diǎn)在或時(shí)，三角形的面積最大，此時(shí)故面積的最大值為.例題4．（2022·江蘇省震澤中學(xué)高二階段練習(xí)）一條直線經(jīng)過點(diǎn).分別求出滿足下列條件的直線方程.(1)與直線垂直；(2)交軸?軸的正半軸于，兩點(diǎn)，當(dāng)三角形的面積最小值時(shí)直線方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)橹本€的斜率為，且所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率為，從而所求直線方程為：，即.（2）由題意可知，所求直線方程的斜率必存在，且，則所求直線方程為：，令，則；令，則，從而，，故，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，不等式取等號(hào)，所以，即三角形的面積最小值為24時(shí)，直線的斜率為，此時(shí)直線方程為：，即.同類題型歸類練1．（2022·海南·瓊山中學(xué)高二期中）已知平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn).(1)若M為的中點(diǎn)，求直線的斜率；(2)求點(diǎn)C到直線的距離.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)镸為的中點(diǎn)，且，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)