湖南省2017高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學理試題

醴陵二中，醴陵四中2018年上學期兩校聯(lián)考高二年級數(shù)學（理）科期中考試試卷命題學校：醴陵二中命題人：審題人：（時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：（每小題5分，共計60分）1、設是虛數(shù)單位,若,則復數(shù)（）A．B．C．D．2、下列推理正確的是（）（A）把與類比，則有（B）把與類比，則有（C）把與類比，則有（D）把與類比，則有3、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時,反設正確的是（）A．假設三內(nèi)角都不大于60度B．假設三內(nèi)角都大于60度C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60度4、若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：，結(jié)論是：，那么這個演繹推理（）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．沒有錯誤5、在極坐標系中，直線被圓ρ＝4截得的弦長為()A.B.C.4D.56、,,則,的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．由的取值確定7、,則()A.1B.2C.4 D.8、設，是虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9、為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為，其中（），傳輸信息為，，，運算規(guī)則為：，，，．例如原信息為，則傳輸信息為．傳播信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列信息一定有誤的是（）（A）（B）（C）（D）10、用數(shù)學歸納法證明“”時,由的假設證明時,如果從等式左邊證明右邊,則必須證得右邊為（）A．B．C．D．11、平面幾何中,有邊長為的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值,類比上述命題,棱長為的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為（）A．B．C．D．12、曲線在點處的切線為,則由曲線、直線及軸圍成的封閉圖形的面積是（）．A．B．C．1D．二、填空題（每小題5分，共20分）13、已知復數(shù)，且有，則________．14、已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，則a的值為__________．15、曲線的參數(shù)方程是，它的普通方程是．16、如下面數(shù)表為一組等式：某學生猜測,若該學生回答正確,則．三、解答題：（共70分）17、(本題滿分10分)已知在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程是,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;(2)設M為曲線C上任意一點,求的取值范圍.18、(本題滿分12分)在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，且，已知，求：(1)和的值；(2)的值．19、(本題滿分12分)在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設.（1）求的值；（2）求三棱錐的體積．20、(本題滿分12分)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,?n∈N*,an與an+1的等差中項為n.(1)求a1與d的值;(2)設bn=2n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.21、(本題滿分12分)已知動點P到定點F(2,0)的距離和它到定直線x=4的距離的比值為.(1)求動點P的軌跡Ω的方程;(2)若過點F的直線與點P的軌跡Ω相交于M,N兩點(M,N均在y軸右側(cè)),點A(0,2),B(0,-2),設A,B,M,N四點構(gòu)成的四邊形的面積為S,求S的取值范圍.22、（本題滿分12分）已知函數(shù)).(1)討論的單調(diào)性;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù));

醴陵二中，醴陵四中2018年上學期兩校聯(lián)考高二年級數(shù)學（理）科期中考試答案命題學校：醴陵二中命題人：賀建軍審題人：寧盼（時間120分鐘，滿分150分）一、選擇題：（每小題5分，共計60分）1、設是虛數(shù)單位,若,則復數(shù)（C）A．B．C．D．2、下列推理正確的是（D）（A）把與類比，則有（B）把與類比，則有（C）把與類比，則有（D）把與類比，則有3、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時,反設正確的是（B）A．假設三內(nèi)角都不大于60度B．假設三內(nèi)角都大于60度C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60度D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60度4、若大前提是：任何實數(shù)的平方都大于0，小前提是：，結(jié)論是：，那么這個演繹推理（A）A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．推理形式錯誤D．沒有錯誤5、在極坐標系中，直線被圓ρ＝4截得的弦長為(A)A.B.C.4D.56、,,則,的大小關(guān)系為（C）A．B．C．D．由的取值確定7、,則(D)A.1B.2C.4 D.8、設，是虛數(shù)單位，則“”是“復數(shù)為純虛數(shù)”的（A）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件9、為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)則加入相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設定原信息為，其中（），傳輸信息為，，，運算規(guī)則為：，，，．例如原信息為，則傳輸信息為．傳播信息在傳輸過程中受到干擾可能導致接收信息出錯，則下列信息一定有誤的是（C）（A）（B）（C）（D）10、用數(shù)學歸納法證明“”時,由的假設證明時,如果從等式左邊證明右邊,則必須證得右邊為（D）A．B．C．D．11、平面幾何中,有邊長為的正三角形內(nèi)任一點到三邊距離之和為定值,類比上述命題,棱長為的正四面體內(nèi)任一點到四個面的距離之和為（B）A．B．C．D．12、曲線在點處的切線為,則由曲線、直線及軸圍成的封閉圖形的面積是（A）．A．B．C．1D．二、填空題（每小題5分，共20分）13、已知復數(shù)，且有，則________．14、已知x∈R＋，不等式x＋eq\f(1,x)≥2，x＋eq\f(4,x2)≥3，x＋eq\f(27,x3)≥4，…，可推廣為x＋eq\f(a,xn)≥n＋1，則a的值為__________．15、曲線的參數(shù)方程是，它的普通方程是．16、如下面數(shù)表為一組等式：某學生猜測,若該學生回答正確,則8．三、解答題：（共70分）17、(本題滿分10分)已知在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程是,以原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.(1)判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系;(2)設M為曲線C上任意一點,求的取值范圍.解:(1)由題意可得,直線l的普通方程為x-y+4=0,曲線C的直角坐標系下的方程為=1,是以為圓心,1為半徑的圓,該圓圓心到直線x-y+4=0的距離為d==5>1,所以直線l與曲線C的位置關(guān)系為相離.5分(2)由(1)得曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),因為M為曲線上任意一點,故設M,則x+y=cosθ+sinθ=sin∈[-].10分18、(本題滿分12分)在中，內(nèi)角、、的對邊分別為，且，已知，求：(1)和的值；(2)的值．解：(1)由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2得c·acosB＝2．又cosB＝eq\f(1,3)，所以ac＝6．2分由余弦定理得a2＋c2＝b2＋2accosB．又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×eq\f(1,3)＝13．解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ac＝6,a2＋c2＝13))，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2．5分因為a>c，所以a＝3，c＝2．6分(2)在△ABC中，sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\f(1,3)2)＝eq\f(2\r(2),3)．由正弦定理，得sinC＝eq\f(c,b)sinB＝eq\f(2,3)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(4\r(2),9)．8分因為a＝b>c，所以C為銳角，因此cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\r(1－\f(4\r(2),9)2)＝eq\f(7,9)．10分于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝eq\f(1,3)×eq\f(7,9)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(4\r(2),9)＝eq\f(23,27)．12分19、(本題滿分12分)在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設.（1）求的值；（2）求三棱錐的體積．解：【解答】如圖建立空間直角坐標系，則由題意得，，所以。3分設向量所成角為，則，或，由于，所以，得，解得6分（2）連接，則三棱錐的體積等于三棱錐的體積，的面積，的面積，（10分）又平面，所以，所以（12分）20、(本題滿分12分)已知{an}是公差為d的等差數(shù)列,?n∈N*,an與an+1的等差中項為n.(1)求a1與d的值;(2)設bn=2n·an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解:(1)依題意,an=a1+(n-1)d.(方法一)由an與an+1的等差中項為n得=n,即=a1+d=n.所以解得a1=,d=1.5分(方法二)由an與an+1的等差中項為n得,a1與a2的等差中項為1,a2與a3的等差中項為2.解得a1=,d=1.(2)由(1)得an=n-,bn=2n·an=n×2n-2n-1.7分(方法一)記Tn=1×2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,則2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1.兩式相減得,Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=n×2n+1-2n+1數(shù)列的前n項和1+2+22+…+2n-1=2n-1.∴Sn=(n×2n+1-2n+1+2)-(2n-1)=n×2n+1-3×2n+3.12分(方法二)Sn=(1×2-20)+(2×22-21)+(3×23-22)+…+[(n-1)×2n-1-2n-2]+(n×2n-2n-1),2Sn=(1×22-21)+(2×23-22)+(3×24-23)+…+[(n-1)×2n-2n-1]+(n×2n+1-2n),兩式相減得Sn=-(1×2-20)-(1×22+1×23+…+1×2n)+(n×2n+1-2n)=n×2n+1-3×2n+3.21、(本題滿分12分)已知動點P到定點F(2,0)的距離和它到定直線x=4的距離的比值為.(1)求動點P的軌跡Ω的方程;(2)若過點F的直線與點P的軌跡Ω相交于M,N兩點(M,N均在y軸右側(cè)),點A(0,2),B(0,-2),設A,B,M,N四點構(gòu)成的四邊形的面積為S,求S的取值范圍.解:(1)設動點P(x,y),則,化簡得=1.4分(2)由(1)知,軌跡Ω是以F(2,0)為焦點,離心率為的橢圓,如圖,連接OM,ON,設直線MN的方程為x=my+2,點M(x1,y1),N(x2,y2).聯(lián)立消去x,得(m2+2)y2+4my-4=0,則y1+y2=-,y1y2=-,6分所以|y1-y2|==.由于M,N均在y軸右側(cè),則x1>0,x2>0,且0≤|m|<1,則S=S△OAM+S△OBN+S△OMN=×2(x1+x2)+×2|y1-y2|=m(y1+y2)+4+|y1-y2|=-+4+=,8分令t=,則1≤t<,則S=.方法一:S'=<0,10分故面積函數(shù)S=在1≤t<上單調(diào)遞減,所以S∈,所以面積S的取值范圍是.12分方法二:S===,因為1≤t<,則t+,所以(t+)+-2,則,即S∈,所以面積S的取值范圍是.22、（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=alnx-ax-3(a≠0).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)+(a+1)x+4-e≤0對任意x∈[e,e2]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù));(1)解: