2023-2024學(xué)年河北省滄州市泊頭一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省滄州市泊頭一中高一（下）月考數(shù)學(xué)試卷（3月份）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知i是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．2 B．2i C．1 D．i2．已知向量，滿足|+|＝2，?＝2，則|﹣|＝（）A．8 B．4 C．2 D．13．歐位在1748年給出的著名公式eiθ＝cosθ+isinθ（歐拉公式）是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中，底數(shù)e＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式eiθ＝cosθ﹣isinθ．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)z1＝2ei，z2＝ei，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC5．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，bc＝6，則b+c＝（）A．9 B．8 C．5 D．46．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則＝（）A． B． C． D．7．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若+＝2c，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC內(nèi)切圓的圓心，若＝x+y，則x+y的值為（）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），則下列說法不正確的是（）A．當(dāng)＝（﹣4，4）時(shí)，t＝﹣1 B．當(dāng)時(shí)，t＝4 C．與夾角為鈍角時(shí)，則t的取值范圍為（﹣∞，4） D．當(dāng)t＝2時(shí)，在上的投影向量為（多選）10．若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1﹣i|＝1，則|z+2+3i|可能為（）A．2 B．4 C．6 D．8（多選）11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．在向量上的投影向量為 C．若，則P為ED的中點(diǎn) D．若P在線段BC上，且，則x+y的取值范圍為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第13題第一空2分，第二空3分）12．設(shè)z∈C，且，其中i為虛數(shù)單位，則的模為．13．已知向量，，，＝；在上的投影向量的坐標(biāo)為．14．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若?＝6?，則的值是．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．如圖所示，△OBC中，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，CD，OA相交于點(diǎn)E，設(shè)＝，＝．（1）用，表示，；（2）若＝λ，求λ．16．已知復(fù)數(shù)z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實(shí)數(shù)．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．17．已知，，在同一平面內(nèi)，且＝（1，2）．（1）若||＝3，且∥，求；（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求與的夾角的余弦值．18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足b＝acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB＝，BC＝5，＝，求CD的長(zhǎng)．19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)．試用以上知識(shí)解決下面問題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos2B+cos2C﹣cos2A＝1．（1）求A；（2）若bc＝2，設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，求；（3）設(shè)點(diǎn)P為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，|PB|+|PC|＝t|PA|，求實(shí)數(shù)t的最小值．

參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．已知i是虛數(shù)單位，則的虛部為（）A．2 B．2i C．1 D．i【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，即可求解．解：＝＝1+2i，其虛部為2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．2．已知向量，滿足|+|＝2，?＝2，則|﹣|＝（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算可得到，進(jìn)而求出的值，從而得出的值．解：＝＝4；∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】考查數(shù)量積的運(yùn)算，求而求的方法．3．歐位在1748年給出的著名公式eiθ＝cosθ+isinθ（歐拉公式）是數(shù)學(xué)中最卓越的公式之一，其中，底數(shù)e＝2.71828…，根據(jù)歐拉公式eiθ＝cosθ﹣isinθ．任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝r（cosθ+isinθ）都可以表示成z＝reiz的形式，我們把這種形式叫做復(fù)數(shù)的指數(shù)形式，若復(fù)數(shù)z1＝2ei，z2＝ei，則復(fù)數(shù)z＝在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】復(fù)數(shù)z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．解：復(fù)數(shù)z1＝2ei＝2＝1+i，z2＝ei＝＝i，則復(fù)數(shù)z＝＝＝＝﹣i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的指數(shù)與三角函數(shù)形式、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4．用斜二測(cè)畫法畫水平放置的△ABC的直觀圖△A′B′C′如圖所示，則在△ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（）A．AB B．AD C．BC D．AC【分析】由斜二測(cè)畫法法則知直觀圖△A′B′C′對(duì)應(yīng)的原圖形△ABC是直角三角形，由此判斷出結(jié)論．解：由斜二測(cè)畫法法則知，直觀圖△A′B′C′對(duì)應(yīng)的原圖形△ABC是直角三角形，其中AC是斜邊，AD是直角邊上的中線，所以最長(zhǎng)的線段是AC．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了斜二測(cè)畫法法則應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．5．已知銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，bc＝6，則b+c＝（）A．9 B．8 C．5 D．4【分析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡(jiǎn)已知條件，求得A，利用余弦定理求得b+c．解：∵，A+B+C＝π，∴，，∴，∵△ABC為銳角三角形，∴sinB≠0，∴．而，∴，由余弦定理可得，∴7＝b2+c2﹣6，∴b2+c2＝13，則．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式，屬于中檔題．6．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示．在“趙爽弦圖”中，若，，，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可．解：過F作FG⊥BC于G，不妨設(shè)BE＝3，EF＝1，則BF＝4，F(xiàn)C＝BE＝3，所以BC＝5，F(xiàn)G＝，BG＝，所以＝，＝所以＝+＝+＝+．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7．已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，若+＝2c，則△ABC是（）A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【分析】由已知及正弦定理可得：，而+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA＝sinB時(shí)取等號(hào)，即2sinC≥2，解得∠C＝90°，A＝B，從而得解．解：∵+＝2c，∴由正弦定理可得：，而+≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA＝sinB時(shí)取等號(hào)．∴2sinC≥2，即sinC≥1，又sinC≤1，故可得：sinC＝1，∴∠C＝90°．又∵sinA＝sinB，可得A＝B，故三角形為等腰直角三角形．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理，基本不等式的解法，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a＝b＝5，c＝8，I是△ABC內(nèi)切圓的圓心，若＝x+y，則x+y的值為（）A． B． C． D．【分析】建系，根據(jù)坐標(biāo)法，平面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想即可求解．解：如圖，∵a＝b＝5，c＝8，∴△ABC內(nèi)切圓的圓心I在AB邊高線OC上（也是AB邊上的中線），∴OA＝OB＝4，OC＝，以AB直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A（﹣4，0），B（4，0），C（0，3），設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，根據(jù)等面積算法可得：，∴，解得r＝，故內(nèi)心I為（0，），∴，，，∵＝x+y，∴（4，）＝x（8，0）+y（4，3），∴，∴，∴，∴x+y＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查面向量坐標(biāo)運(yùn)算，三角形內(nèi)心性質(zhì)，方程思想，坐標(biāo)法，屬基礎(chǔ)題．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分）（多選）9．已知向量＝（﹣6，3），＝（2，t），則下列說法不正確的是（）A．當(dāng)＝（﹣4，4）時(shí)，t＝﹣1 B．當(dāng)時(shí)，t＝4 C．與夾角為鈍角時(shí)，則t的取值范圍為（﹣∞，4） D．當(dāng)t＝2時(shí)，在上的投影向量為【分析】對(duì)于A，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解；對(duì)于B，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于C，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及向量共線的性質(zhì)，即可求解；對(duì)于D，結(jié)合投影向量的公式，即可求解．解：＝（﹣6，3），＝（2，t），則＝（﹣4，4）＝（﹣4，3+t），即3+t＝4，解得t＝1，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則（﹣6）×2+3t＝0，解得t＝4，故B正確；當(dāng)與夾角為鈍角時(shí)，則，解得t＜4且t≠﹣1，故t的取值范圍為（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，4），故C錯(cuò)誤；t＝2，則＝（﹣6，3），＝（2，2），故在上的投影向量為＝，故D錯(cuò)誤．故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．（多選）10．若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣1﹣i|＝1，則|z+2+3i|可能為（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】設(shè)z＝x+yi，由復(fù)數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面的軌跡，再由距離公式結(jié)合圓的性質(zhì)得|z+2+3i|的范圍即可求解．解：設(shè)z＝x+yi（x，y∈R），∵|z﹣1﹣i|＝1，∴，∴（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，表示以A（1，1）為圓心，1為半徑的圓，|z+2+3i|＝|x+2+（y+3）i|＝，表示點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)B（﹣2，﹣3）之間的距離，連接AB交圓A于點(diǎn)C，延長(zhǎng)線交圓A于點(diǎn)D，如圖所示：|BC|＝|AB|﹣1＝5﹣1＝4，|BD|＝|AB|+1＝6，即|z+2+3i|∈[4，6]，觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，|z+2+3i|可能為4，6．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，考查了兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為，P是正八邊形ABCDEFGH邊上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．在向量上的投影向量為 C．若，則P為ED的中點(diǎn) D．若P在線段BC上，且，則x+y的取值范圍為【分析】以AE所在直線為y軸，GC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算，A錯(cuò)誤，投影向量為，B正確，直線與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，C錯(cuò)誤，，D正確，得到答案．解：如圖所示：以AE所在直線為y軸，GC所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝OG＝OH＝a，則，整理得到，，G（﹣a，0），，設(shè)P（x0，y0），對(duì)選項(xiàng)A：，，，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，，，即投影向量為，正確；對(duì)選項(xiàng)C：，，，整理得到，即，與正八邊形有兩個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，，，，，整理得到，，故，正確．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分，第13題第一空2分，第二空3分）12．設(shè)z∈C，且，其中i為虛數(shù)單位，則的模為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．解：，則z（1﹣i）＝2+2i，即z＝，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．13．已知向量，，，＝；在上的投影向量的坐標(biāo)為．【分析】由條件結(jié)合向量的模的坐標(biāo)表示求，根據(jù)向量的模與數(shù)量積的關(guān)系由條件求，再由投影向量的定義求在上的投影向量的坐標(biāo)．解：因?yàn)?，所以，由可得，所以，即，所以，所以在上的投影向量為．故在上的投影向量的坐?biāo)為．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．14．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE＝2EA，AD與CE交于點(diǎn)O．若?＝6?，則的值是．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，結(jié)合?＝6?得＝，進(jìn)一步可得結(jié)果．解：設(shè)＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6?＝6×（）?（﹣+）＝（++）＝++，∵?＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的表示以及計(jì)算，考查計(jì)算能力．四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．如圖所示，△OBC中，點(diǎn)A為BC中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段OB上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，CD，OA相交于點(diǎn)E，設(shè)＝，＝．（1）用，表示，；（2）若＝λ，求λ．【分析】（1）直接利用向量的線性運(yùn)算和加減法的應(yīng)用求解；（2）直接利用向量的線性運(yùn)算和共線向量的充要條件求λ．解：（1）∵＝，＝，∴＝＝＝2＝；＝＝＝；（2）設(shè)＝μ（μ＞0），∴＝＝＝＝（1﹣μ）+μ，∵＝，，∴＝，又＝λ＝，且，不共線，∴λ＝2μ且，得λ＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性運(yùn)算，平面向量基本定理，向量的加法和減法運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．16．已知復(fù)數(shù)z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，其中p，q是實(shí)數(shù)．（1）求p和q的值；（2）若（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合一元二次函數(shù)在復(fù)平面中的復(fù)數(shù)根互為共軛復(fù)數(shù)，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，即可求解．解：（1）∵z＝1+i（i是虛數(shù)單位）是方程x2﹣px+q＝0的根，∴也是方程x2﹣px+q＝0的根，∴，解得p＝q＝2．（2）由（1）可得，（p+qi）?（m2+2mi）＝（2+2i）?（m2+2mi）＝2m2﹣4m+（4m+2m2）i，∵（p+qi）?（m2+2mi）是純虛數(shù)，∴，解得m＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．17．已知，，在同一平面內(nèi)，且＝（1，2）．（1）若||＝3，且∥，求；（2）若||＝，且（+2）⊥（﹣），求與的夾角的余弦值．【分析】（1）由題意利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出求得的坐標(biāo)．（2）由題意利用兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，求得與的夾角的余弦值．解：（1）設(shè)＝（x，y），∵＝（1，2），||＝3，且∥，∴y＝2x，x2+y2＝45，解得x＝3，y＝6；或x＝﹣3，y＝﹣6，即＝（3，6），或＝（﹣3，﹣6）．（2）∵||＝，且（+2）⊥（﹣），∴（+2）?（﹣）＝﹣2+＝5﹣4+＝0，∴＝﹣1．故與的夾角的余弦值為＝＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量平行垂直的性質(zhì)，兩個(gè)向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（17分）已知在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c且滿足b＝acosC+csinA．（1）求A的大小；（2）若cosB＝，BC＝5，＝，求CD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式得出tanA；（2）在△ABC中，使用正弦定理求出AB，得出DB，再在△BCD中使用余弦定理求出CD．解：（1）在△ABC中，∵b＝acosC+csinA中，∴sinB＝sinAcosC+sinCsinA，又∵sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，∴sinAcosC+cosAsinC＝sinAcosC+sinCsinA，∴cosAsinC＝sinCsinA，∵sinC≠0，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1．∴．（2）∵cosB＝，∴sinB＝＝，∴sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB＝．在△ABC中，由正弦定理得，即，解得AB＝7．∵＝，∴BD＝．在△BCD中，由余弦定理得CD2＝BD2+BC2﹣2BC?BDcosB＝1+25﹣2×＝20．∴CD＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，正弦定理，余弦定理，屬于中檔題．19．（17分）“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問題．該問題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最?。币獯罄麛?shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB＝∠BOC＝∠COA