壽險精算學(xué)課件：多重損因模型

多重損因模型本章中英文單詞對照多重損因模型隨機殘存組確定性殘存組絕對損失率MultipledecrementmodelsRandomsurvivorshipgroupDeterministicsurvivorshipgroupAbsoluterateofdecrement第八章多重損因殘存組確定多重損因模型多重損因表的構(gòu)造多重損因模型構(gòu)造使用背景如果被保險人投保壽險且在繳費期間死亡，那就意味著他將獲得保險賠付而且不再繳納保險費了。就此人而言，保險人遭受到了損失。在前面七章中我們都是討論在以死亡為唯一損失變量時，各種保險要素的確定。在實際中，除了死亡這個損失變量，我們可能還會遇到其它的提前終止繳費的損失變量，比如，壽險中，被保險人退保；勞動力計劃中，雇員辭職、殘疾或者退休等，都會對單一考慮死亡因素時的繳納——賠付之間的平衡構(gòu)成影響。多重損因模型就是在這種背景下產(chǎn)生的。

一、多損失模型的構(gòu)造兩變量模型

多種損失模型的實質(zhì)就是一個兩變量模型。變量一是狀況終止的時間，在壽險場合它可以表示為剩余壽命；變量二是狀況終止的原因，這是一個離散隨機變量，比如在壽險場合，我們可以令表示死亡，，表示退保。

相關(guān)函數(shù)聯(lián)合密度函數(shù)邊際分布函數(shù)事件的概率多重損因函數(shù)（一）

由原因j引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率

由原因j引起的損失發(fā)生的概率

多重損因函數(shù)（二）的密度函數(shù)的分布函數(shù)

多重損因函數(shù)（三）由各種原因引起且損失發(fā)生在時間t之前的概率

損失不會發(fā)生在時間t之前的概率

多重損因函數(shù)（四）x+t時刻由原因j造成的損失效力

x+t時刻由所有原因造成的總損失效力

多重損因函數(shù)（五）給定損失時間t，J的條件概率函數(shù)

例8.1考慮2個損失原因的多重損因模型，其損失效力分別為：計算該模型的聯(lián)合、邊際、條件概率密度函數(shù)。計算例8.1答案例8.1答案例8.1答案第八章多重損因殘存組確定多重損因模型多重損因表的構(gòu)造多重損因模型構(gòu)造殘存組定義考察一組a歲的個生命，每一個生命的終止（損失）時間與原因的分布由下列聯(lián)合概率密度函數(shù)確定：隨機殘存組函數(shù)：在年齡

x與x+n之間因原因j而離開的成員的期望個數(shù)

：在年齡

x與x+n之間因各種原因而總共離開的成員的期望個數(shù)

隨機殘存組函數(shù)：原先個a歲成員在x歲時的殘存數(shù)隨機變量的期望確定性殘存組的定義總的損失效力可以看作總的損失率，而不作為條件密度函數(shù)。則一組個a歲成員隨著年齡的增加按決定性損失效力演變，則原先個歲成員在x歲時的殘存數(shù)為：在年齡

x與x+n之間因各種原因而離開的成員數(shù)

殘存組函數(shù)：因原因j而引起的損失效力：各種原因引起的總損失效力例8.2有10000名60歲的老人購買5年定期壽險。假設(shè)在第K年里有50+10K位老人去世，有10-2K位老人退保（K=0,1,2,3,4）。試確定(1)該批老人的殘存組；(2)60歲的老人能活到65歲的概率；(3)60歲的老人在63歲之前死亡的概率；(4)60歲的老人在64歲之前退保的概率。例8.2解例8.2解第八章多重損因殘存組確定多重損因模型多重損因表的構(gòu)造多重損因模型構(gòu)造絕對損失率絕對損失函數(shù)定義

稱為絕對損失率，是指原因j在的決定過程中不與其它損失原因競爭。它也稱為凈損失率（netprobabilitiesofdecrement）或獨立損失率(independentrateofdecrement)。基本關(guān)系例8.3對于一個雙重損因模型，已知：試計算例8.3解例8.3解例8.3解多重損因與絕對損因多重損因絕對損因例8.4-1在多重損因模型中已知求例8.4-1解例8.4-2在絕對損因模型中已知求例8.4-2解多重損因表構(gòu)造示例年齡絕對損因表多重損因表…………650.02……0.040.019……0.039660.025……0.060.024……0.059常數(shù)損失效力假定假定條件等價推出關(guān)系式均勻分布假定假定條件等價推出由單重損失函數(shù)推導(dǎo)多重損因函數(shù)關(guān)系式各損因在年內(nèi)服從均勻分布假定例8.5對于兩重損因模型，已知每一個損因在年內(nèi)服從均勻分布，試計算例8.5答案例8.6有一兩重損因生命表如下，請根據(jù)已有數(shù)據(jù)，完善生命表數(shù)據(jù)：850.050.200.195860.100.300.280例8.6解850.050.200.0450.195860.100.300.0900.28例8.7對于一個多重損因表，假設(shè)各損因在分數(shù)期服從均勻分布，且已知：求例8.7解損失發(fā)生時點的影響有些特殊場合，會指定不同損因?qū)е聯(lián)p失發(fā)生的時點。要考慮時點的影響例8.8有一兩重損因生命表如下，已知損因1在每年內(nèi)均勻發(fā)生，損因2只發(fā)生在年末，損因3只發(fā)生在每年年初，求601000000.140.10.1610.10.26245516例8.8解課堂習題已知某校一屆有1000名學(xué)生，學(xué)生狀況統(tǒng)計如下學(xué)年概率學(xué)業(yè)失敗輟學(xué)其他原因輟學(xué)完成一年學(xué)業(yè)10.20.20.620.150.150.730.10.10.8400.10.9課堂習題求每屆學(xué)生中，順利畢業(yè)的期望人數(shù)等于多少，方差