2024年中考數(shù)學探究性訓練專題20四邊形

備考2024年中考數(shù)學探究性訓練專題20四邊形一、選擇題1．我們在探究“任意一個四邊形內角和是多少度？”時，采用的方法是連接四邊形的一條對角線，把四邊形分割成兩個三角形，從而探究出任意四邊形的內角和等于360°，這一過程體現(xiàn)的數(shù)學思想是（）A．轉化思想 B．方程思想C．函數(shù)思想 D．數(shù)形結合思想2．對于一元二次方程，我國古代數(shù)學家還研究過其幾何解法．以方程x(x+6)=72為例加以說明．數(shù)學家趙爽在其所著的《勾股圓方注》中記載的方法是：如圖，將四個長為x+6，寬為x的長方形紙片拼成一個大正方形，則大正方形的邊長是x+6+x，面積是四個矩形的面積與中間小正方形的面積之和，即4×72+62，據(jù)此易得x=18?62=6A．2 B．4 C．6 D．83．在《類比探究菱形的有關問題》這節(jié)網課中，老師給出了如下畫菱形的步驟，請問這么畫的依據(jù)是（）A．四條邊都相等的四邊形是菱形B．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形C．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形D．兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，兩條對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4．數(shù)學家莫倫在1925年發(fā)現(xiàn)了世界上第一個完美長方形（如圖1），即它恰好能被分割成10個大小不同的正方形，從這以后人們開始熱衷圖形完美分割的研究，平行四邊形EFGH被分割成13個小正三角形（如圖2），已知中間最小的兩個正三角形△ABC和△ADC邊長均為4，平行四邊形A．152 B．156 C．160 D．164二、填空題5．如圖是蹺蹺板的示意圖，立柱OC與地面垂直，以O為橫板AB的中點，AB繞點O上下轉動，橫板AB的B端最大高度h是否會隨橫板長度的變化而變化呢？一位同學做了如下研究：他先設AB=2m，OC=0.5m，通過計算得到此時的h1，再將橫板AB換成橫板A'B'，O為橫板A'B'的中點，且A'B'=3m，此時B'點的最大高度為h2，由此得到h16．在圖1所示的3×3的網格內有一個八邊形，其中每個小方格的邊長均為1.經探究發(fā)現(xiàn)，此八邊形可按圖2的方式分割成四個全等的五邊形和一個小正方形①.現(xiàn)將分割后的四個五邊形重新拼接（即圖2中的陰影部分），得到一個大正方形ABCD，發(fā)現(xiàn)該正方形中間的空白部分②也是一個正方形，且正方形②的面積恰好是正方形①的面積的2倍，則AE的長為.7．利用圖形的分、和、移、補探索圖形關系，是我國傳統(tǒng)數(shù)學的一種重要方法．如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，將△BCD分割成兩對全等的直角三角形和一個正方形，然后按圖2重新擺放，觀察兩圖，若a=5，b=3，則矩形ABCD8．何老師在一次“探析矩形折疊問題”的公開課上，與同學們一起對折紙進行了如下探究：已知正方形ABCD邊長為1，G是AB邊的中點，E是射線DC上的一個動點.（1）如圖①，若點E在線段DC上且點E與點C不重合，連結BE，將△BCE沿著BE翻折，使點C落在DG上的點M處，連結CM延長交AD邊于點F且CF⊥DG，則EH·（2）若點E與點C不重合，以點C為圓心，線段GE的長為半徑作⊙C，當⊙C與線段DG只有一個公共點時，CE的取值范圍是9．綜合實踐課上，小聰用一張長方形紙ABCD對不同折法下的折痕進行了探究，已知AB＝12，∠CAB＝30°，點E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE＝5，（1）把長方形紙片沿著直線EF翻折，使點A的對應點A′恰好落在對角線AC上，點D的對應點為D′，如圖①，則折痕EF長為；（2）在EF，A′D′上取點G，H，沿著直線GH繼續(xù)翻折，使點E與點F重合，如圖②，則折痕GH長為.10．如圖，某數(shù)學興趣小組在學完矩形的知識后一起探討了一個紙片折疊問題：如何將一張平行四邊形紙片ABCD的四個角向內折起，拼成一個無縫隙、無重疊的矩形EFGH．圖中EF，F(xiàn)G，GH，HE表示折痕，折后B，D的對應點分別是M，N．若AB=8cm，AD=10cm，∠B=60°，則紙片折疊時AH的長應?。嵺`探究題11．綜合與探究如圖，經過B(3，0)，C(0（1）求拋物線的解析式；（2）點D在拋物線的對稱軸上，當△ACD的周長最小時，求D（3）已知點M在拋物線上，求S△ABM=8（4）已知E(2，?3)，請直接寫出能以點A，B，E12．【問題】北師大版數(shù)學八年級下冊P32第2題：已知：如圖1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE求證：點F在∠DAE某數(shù)學興趣小姐的小明同學提出了如下的解題方法：如圖2，過點F作FG⊥AD于點G，作FH⊥AE于點H，作FM⊥BC于點M，由角平分線的性質定理可得：FG=FM，F(xiàn)H=FM．∴FG=FH．∵FG⊥AD，F(xiàn)H⊥AE，∴F在∠DAE【探究】（1）小方在研究小明的解題過程時，還發(fā)現(xiàn)圖2中BG、BC和CH三條線段存在一定的數(shù)量關系，請你直接寫出它們的數(shù)量關系：（2）小明也發(fā)現(xiàn)∠BFC和∠GFH之間存在一定的數(shù)量關系．請你直接寫出它們的數(shù)量關系：（3）如圖3，邊長為3的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊CD、BC上的點，且DE=1．連接AE，AF，（4）如圖4，△ABC中，AB=AC=5，BC=4．△DEF中，∠EDF=∠B．將△DEF的頂點D放在BC邊的中點處，邊DF交線段AB于點G，邊DE交線段AC于點H，連接GH．現(xiàn)將△DEF繞著點D旋轉，在旋轉過程中，13．小星和小紅在學習了正方形的相關知識后，對正方形內一些特殊線段的關系進行探究.（1）問題解決如圖(1)所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，連接AE，BF，且AE⊥BF，求證：△ABE≌△BCF；（2）類比探究如圖(2)所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，AD，AB，CD邊上的點，連接EF，GH，且EF⊥GH，求證：EF=GH；（3）遷移應用如圖(3)所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，D是BC的中點，E是AC邊上的點，連接AD，BE，且BE⊥AD，求AE∶CE的值.14．某校數(shù)學活動小組探究了如下數(shù)學問題：

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.點P是底邊BC上一點，連接AP，以AP為腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ=90°，連接CQ、則BP和（2）變式探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.點P是腰AB上一點，連接CP，以CP為底邊作等腰Rt△CPQ，連接AQ，判斷（3）問題解決；如圖3，正方形ABCD的邊長為10，點P是邊AB上一點，以DP為對角線作正方形DEPQ，連接AQ.若設正方形DEPQ的面積為y，AQ=x.求y與15．[探究與證明]折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘.[動手操作]如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF.上，并使折痕經過點A，得到折痕AM.點B，E的對應點分別為B'，E'，展平紙片，連結AB'，BB'，BE'.請完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系.（2）證明（1）中的猜想.（3）[類比操作]如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連結BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B'，P'，展平紙片，連結BB'，P'B'.請完成：證明BB'是∠NBC的一條三等分線.16．小王在學習浙教版九上課本第72頁例2后，進一步開展探究活動：將一個矩形ABCD繞點A順時針旋轉α（0°<a≤90°）得到矩形AB'C'D'，連結BD..（1）【探究1】如圖1，當α=90°時，點C'恰好在DB的延長線上.若AB=1，求BC的長.（2）【探究2】如圖2，連結AC，過點D'作D'M//AC'交BD于點M.線段D'M與DM相等嗎？請說明理由.（3）【探究3】在探究2的條件下，射線DB分別交AD'，AC'于點P，N（如圖3），發(fā)現(xiàn)線段DN，MN，PN之間存在一定的數(shù)量關系，請寫出這個關系式，并加以證明.17．【探究與證明】折紙，操作簡單，富有數(shù)學趣味，我們可以通過折紙開展數(shù)學探究，探索數(shù)學奧秘．【動手操作】如圖1，將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B'，E'，展平紙片，連接AB'，請完成：（1）觀察圖1中∠1，∠2和∠3，試猜想這三個角的大小關系；（2）證明（1）中的猜想；【類比操作】如圖2，N為矩形紙片ABCD的邊AD上的一點，連接BN，在AB上取一點P，折疊紙片，使B，P兩點重合，展平紙片，得到折痕EF；折疊紙片，使點B，P分別落在EF，BN上，得到折痕l，點B，P的對應點分別為B'，P'，展平紙片，連接，（3）證明BB'是18．【問題情境】：數(shù)學活動課上，同學們開展了以折疊為主題的探究活動，如圖1，已知矩形紙片ABCD(AD>AB)（1）【動手實踐】：如圖1，威威同學將矩形紙片ABCD折疊，點A落在BC邊上的點M處，折痕為BN，連接MN，然后將紙片展平，得到四邊形ABMN，則折痕BN的長度為．（2）【探究發(fā)現(xiàn)】：如圖2，勝勝同學將圖1中的四邊形ABMN剪下，取AN邊中點E，將△ABE沿BE折疊得到△A'BE，延長BA'交MN于點F．點Q為BM邊的中點，點P是邊MN上一動點，將△MQP沿PQ折疊，當點M（3）【反思提升】：明明同學改變圖2中Q點的位置，即點Q為BM邊上一動點，點P仍是邊MN上一動點，按照（2）中方式折疊△MQP，使點M'落在線段BF上，明明同學不斷改變點Q的位置，發(fā)現(xiàn)在某一位置∠QPM與（2）中的∠PQM相等，請直接寫出此時19．某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中，對矩形內兩條互相垂直的線段做了如下探究：（1）[觀察與猜想]如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別是AB、AD上的兩點，連接DE、CF，DE⊥CF，則DECF的值為＝（2）如圖②，在矩形ABCD中，AD=7，CD=4，點E是AD上的一點，連接CE，BD，且CE⊥BD，則CEBD的值為（3）[性質探究]如圖③，在四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°．點E為AB上一點，連接DE，過點C作DE的垂線交ED的延長線于點G，交AD的延長線于點F．求證：DE?AB=CF?AD；（4）[拓展延伸]已知四邊形ABCD是矩形，AD=6，AB=8如圖④，點P是BC上的點，過點P作PE⊥CF，垂足為O，點O恰好落在對角線BD上．求OCOE（5）如圖⑤，點P是BC上的一點，過點P作PE⊥CF，垂足為O，點O恰好落在對角線BD上，延長EP、AB交于點G．當BG=2時，DE=．20．問題提出

如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點，△AEF是等腰三角形，AE=EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點G，探究∠GCF與α的數(shù)量關系.（1）問題探究先將問題特殊化，如圖（2），當α=90°，直接寫出∠GCF的大?。唬?）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關系．問題拓展

將圖（1）特殊化，如圖（3），當α=120°，若DGCG=121．綜合與探究問題情境：數(shù)學課上，老師引導同學們以“正方形中線段的旋轉”為主題開展數(shù)學活動.已知正方形ABCD中，AB=2，點E是射線CD上一點（不與點C重合），連接BE，將BE繞點E順時針旋轉90°得到FE，連接DF.（1）特例分析：如圖1，當點E與點D重合時，求∠ADF的度數(shù)；（2）深入談及：當點E不與點D重合時，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請在圖2與圖3中選擇一種情況進行證明；若不成立，請說明理由；（3）問題解決：如圖4，當點E在線段CD上，且DF=DA時，請直接寫出線段BF的長.22．小明學習了平行四邊形這一章后，對特殊四邊形的探究產生了興趣，發(fā)現(xiàn)另外一類特殊四邊形，如圖1，我們把兩條對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形．（1）概念理解：在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是（2）性質探究：通過探究，直接寫出垂直四邊形ABCD的面積S與兩對角線AC，BD之間的數(shù)量關系：．（3）問題解決：如圖2，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CG，BE，GE，已知AC＝4，AB＝5．①求證：四邊形BCGE為垂美四邊形；②求出四邊形BCGE的面積．23．綜合與實踐問題情境：數(shù)學課上，同學們以特殊四邊形為基本圖形，添加一些幾何元素后探究圖形中存在的結論.已知在□ABCD中，AB<BC，∠ABC的平分線交AD邊于點E，交CD邊的延長線于點F，以DE，DF為鄰邊作□DEGF.（1）特例探究：如圖1，“創(chuàng)思”小組的同學研究了四邊形ABCD為矩形時的情形，發(fā)現(xiàn)四邊形DEGF是正方形，請你證明這一結論；（2）“敏學”小組的同學在圖1基礎上連接BG，AC，得到圖2，發(fā)現(xiàn)圖2中線段BG與AC之間存在特定的數(shù)量關系，請你幫他們寫出結論并說明理由；（3）拓展延伸：“善問"小組的同學計劃對□ABCD展開類似研究.如圖3，在□ABCD中，∠ABC=60.請從下面A，B兩題中任選一題作答.我選擇▲題.A：當AB=4，BC=6時，請補全圖形，并直接寫出A，G兩點之間的距離.B：當BC=6時，請補全圖形，并直接寫出以A，C，G為頂點的三角形面積的最小值.24．通過以前的學習，我們知道：“如圖1，在正方形ABCD中，CE⊥DF，則CE=DF”．某數(shù)學興趣小組在完成了以上學習后，決定對該問題進一步探究：（1）【問題探究】如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH=（2）【知識遷移】如圖3，在矩形ABCD中，AB=m，BC=n，點E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上，且EG⊥FH，試猜想EGFH（3）【拓展應用】如圖4，在四邊形ABCD中，∠DAB=90°，∠ABC=60°，AB=BC，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且CE⊥BF，求CEBF25．在數(shù)學活動課上，老師讓同學們以“三角形紙片的折疊、旋轉”為主題開展數(shù)學活動，探究與角的度數(shù)、線段長度有關的問題．對直角三角形紙片ABC(（1）【初步探究】如圖1，折疊三角形紙片ABC，使點C與點A重合，得到折痕DE，然后展開鋪平，則AB與DE位置關系為，AB與DE的數(shù)量關系為；（2）【再次探究】如圖2，將△CDE繞點C順時針旋轉得到△CMN，連接BM，AN，若BC=5，AB=3，求ANBM（3）【拓展提升】在（2）的條件下，在順時針旋轉一周的過程中，當CN∥AB時，求AM的長．26．綜合與探究：如圖，直線l1：y=34x與直線l2：y=?34x+6交于點A（4，m），直線l2與x軸交于點B（n，0），點C從點O出發(fā)沿OB向終點B運動，速度為每秒1個單位，同時點D從點B出發(fā)以同樣的速度沿BO向終點（1）求A，B點的坐標；（2）在點C，點D運動過程中，①當點M，N分別在OA，AB上時，求證四邊形CMND是矩形；②在點C，點D的整個運動過程中，當四邊形CMND是正方形時，請你直接寫出t的值；（3）點P是平面內一點，在點C的運動過程中，問是否存在以點P，O，A，C為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出點P的坐標，若不存在，請說明理由．27．一張矩形紙片ABCD（如圖1），AB=6，AD=3.點E是BC邊上的一個動點，將△ABE沿直線AE折疊得到△AEF，延長AE交直線CD于點G，直線AF與直線CD交于點Q.【初步探究】（1）求證：△AQG是等腰三角形；（2）記FQ=m，當BE=2CE時，計算m的值；（3）【深入探究】

將矩形紙片放入平面直角坐標系中（如圖2所示），點B與點O重合，邊OC、OA分別與x軸、y軸正半軸重合.點H在OC邊上，將△AOH沿直線AH折疊得到△APH.①當AP經過CD的中點N時，求點P的坐標；

②在①的條件下，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經過A、D兩點.若將直線AH右側的拋物線沿AH對折，交y軸于點M，請求出AM的長度.28．【性質探究】如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AE平分∠BAC，交BC于點E.作DF⊥AE于點H，分別交AB，AC于點F，G.（1）判斷△AFG的形狀并說明理由.（2）求證：BF=2OG.（3）【遷移應用】

記△DGO的面積為S1，△DBF的面積為S2，當S1S2（4）【拓展延伸】

若DF交射線AB于點F，【性質探究】中的其余條件不變，連結EF，當△BEF的面積為矩形ABCD面積的11029．某“數(shù)學學習興趣小組”成員在復習《圖形的變化》時，對下面的圖形背景產生了濃厚的興趣，并嘗試運用由“特殊到一般”的思想進行了探究：（1）【問題背景】如圖1，正方形ABCD中，點E為AB邊上一點，連接DE，過點E作EF⊥DE交BC邊于點F，將△ADE沿直線DE折疊后，點A落在點A′處，當∠BEF＝25°，則∠FEA′＝（2）【特例探究】如圖2，連接DF，當點A′恰好落在DF上時，求證：AE＝2A（3）【深入探究】若把正方形ABCD改成矩形ABCD，且AD＝mAB，其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)AE與A′F之間也存在著一定的數(shù)量關系，請直接寫出AE與A（4）【拓展探究】若把正方形ABCD改成菱形ABCD，且∠B＝60°，∠DEF＝120°，其他條件不變，他們發(fā)現(xiàn)AE與A′30．如圖1，小麗借助幾何軟件進行數(shù)學探究：第一步，畫出矩形ABCD和矩形EFGH，點E、F在邊AB上（EF<AB），且點C、D、G、H在直線AB的同側；第二步，設置ABAD=m，EFEH=n，矩形EFGH能在邊AB上左右滑動；第三步，畫出邊EF的中點O，射線OH與射線AD相交于點P（點P、D不重合），射線OG與射線BC相交于點Q（點Q、（1）如圖2，小麗取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑動矩形EFGH，當點E（2）小麗滑動矩形EFGH，使得O恰為邊AB的中點．她發(fā)現(xiàn)對于任意的m≠n，（3）經過數(shù)次操作，小麗猜想，設定m、n的某種數(shù)量關系后，滑動矩形EFGH，DP=CQ總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．

答案解析部分1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】=；不變6．【答案】27．【答案】308．【答案】（1）1（2）19．【答案】（1）8（2）210．【答案】3+11．【答案】（1）解：將B(3，0)9?3b+c=0c=?3，解得，b=2∴拋物線的解析式為y=x（2）解：如圖所示，連結BC與對稱軸直線x=1的交點為點D，此時△ACD設直線BC的解析式為y=mx+n，將B(3，3m+n=0n=?3，解得m=1∴直線BC為y=x?3，當x=1時，y=∴點D的坐標為(1（3）解：在y=x2?2x?3中，令y=0∴A(?1，∴AB=4，∵S∴12×4·|y當yM=4時，x2∴M(1+22當yM=?4時，x2∴M(綜上所述，M的坐標為：(1+22，4（4）解：P坐標為(?2，?3)12．【答案】（1）BC=BG+CH（2）∠GFH=2∠BCF（3）3（4）不改變|4213．【答案】（1）證明：如圖①所示，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=∠C=90°，AB=BC.∵AE⊥BF，∠ABC=90°，∴∠1+∠ABC=∠2+∠ABF=90°.∴∠1=∠2.∴△ABE≌△BCF.（2）證明：如圖②所示，分別過點G，E作GM⊥CD，EN⊥AD垂足分別為M，N，∵四邊形ABCD為正方形.∴AB=BC=CD，AB∥CD，∠A=∠B=∠D=90°.∵GM⊥CD，∴∠GMD=∠D=∠A=90°.∴四邊形ADMG為矩形.∴GM∥AD，GM=AD.同理EN∥AB，EN=AB.∴GM⊥EN，GM=EN.∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴∠1=∠2.∵∠ENF=∠GMH=90°，∴△ENF≌△GMH.∴EF=GH.（3）解：如圖③所示，分別過點A，C作AG∥BC，CG∥AB，交于點G，延長BE交CG于點H，∵AG∥BC，CG∥AB，∴四邊形ABCG為平行四邊形.∵∠ABC=90°，∴平行四邊形ABCG為矩形.∵AB=BC，∴矩形ABCG為正方形.∵BE⊥AD，由(1)得△ABD≌△BCH.∴BD=CH.∵D是BC的中點，∴BC=2BD=2CH=AB.∵CG∥AB，∴∠BAC=∠1，∠2=∠3.∴△BAE∽△HCE.∴AECE=AB即AE∶CE=2∶1.14．【答案】（1）BP=CQ（2）解：BP=2AQ，理由如下：

∵△CPQ是等腰直角三角形，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴QCPC=ACBC=22，∠ACB=∠QCP=45°．

∵∠BCP+∠ACP=∠ACQ+∠ACP=45°，

（3）解：連接BD，

∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DEPQ是正方形，

∴△BAD和△PQD都是等腰直角三角形，

∴QDPD=ADBD=22，∠BDA=∠PDQ=45°，

∵∠BDP+∠PDA=∠PDA+∠ADQ=45°，

∴∠BDP=∠ADQ，

∴△BPD∽△AQD，

∴QDPD=ADBD=AQBP=22，

∵AQ=x，AD=10，

∴BP=2x，AP=10?2x，

在Rt15．【答案】（1）∠1=∠2=∠3（2）證明：設AM、EF相交于點O，

由題意得；EF是AB的垂直平分線，AM是BB′的垂直平分線，AB=AB′，

∴AB′=BB′，OA=OB=OB′，

∴AB′=BB′=AB，O為外心，

∴∠ABB′=60°，則∠1=∠2=30°，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，

∴∠3=90°-60°=30°，

∴∠1=∠2=∠3；（3）證明：如圖，

同理（2）可得：OB=OB′=OP=OP′，BP′=PB′=BB′，

∴∠P′BO=∠B′BO，∠BB′O=∠OBB′，

∵EF∥BC，

∴∠BB′O=∠CBB′，

∴BB'是∠NBC的一條三等分線.16．【答案】（1）解：如圖1，設BC=x，

則AD'=AD=BC=x，D'C'=AB'=AB=1，

∴D'B=AD'-AB=x-1，

∵∠BAD=∠D'=90°，∠D'BC'=∠DBA，

∴△D'C'B∽△ADB，

∴D'C'AD=D'BAB，

（2）解：D'M=DM，理由如下：

如圖2，連接DD'，

∵D'M∥AC'，

∴∠AD'M=∠D'AC'，

∵AD'=AD，∠AD'C'=∠DAB=90°，D'C'=AB，

∴△AC'D'≌△DBA（SAS），

∴∠D'AC'=∠ADB，

∴∠ADB=∠AD'M，

∵AD'=AD，

∴∠ADD'=∠AD'D，

∴∠MDD'=∠MD'D，

∴D'M=DM；（3）解：MN2=PN·DN．理由如下：

如圖3，連接AM，

∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，

∴△AD'M≌△ADM（SSS），

∴∠MAD'=∠MAD，

∵∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，

∴∠AMN=∠NAM，

∴MN=AN（等角對等邊），

在△NAP和△NDA中，∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，

∴△NPA∽△NAD，

∴PNAN=ANDN，

∴AN2=PN·DN，

∴17．【答案】（1）解：∠1=∠2=∠3

理由：設AM與EF交于點O，

∵將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，折疊紙片，使點B落在EF上，并使折痕經過點A，得到折痕AM，點B，E的對應點分別為B'，E'，

∴AM垂直平分BB′，EF垂直平分AB，

∴AB=AB′，OB=OB′=OA，

∴AB=AB′=BB′，

∴△ABB′是等邊三角形，

∴∠ABB′=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠3=90°-30°-30°=30°，

∴（2）證明：由折疊的性質可得：AB'=BB'，AB=A∴AB'=B∴△AB∵AE'=∴∠ABE∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠3=30°，∴∠1=∠2=∠3；（3）證明：設折痕l與線段EF的交點為M，連接BM并延長，交B'P'于點H，連接MP由折疊的性質可知：EF、折痕l分別垂直平分BP，∴BM=MP=BM=MP'，∴∠MBB∵MP'=M∴BH垂直平分B'∴BP∴∠P∴BB'是18．【答案】（1）8（2）解：連接EF，如圖，在（1）中已得矩形ABMN是正方形，∴AN=MN=BM=AB=8，∠A=∠N=90∵E為AN中點，Q為BM中點，∴AE=EN=4=BQ=QM，∴根據(jù)翻折的性質有AE=A'E，MQ=M'Q，∴AE=A'E=EN=4，∴∠BM∵∠BM∴∠M∵∠EA'F=∠BA'∴△E∴∠A又∵∠AEB=∠A'EB∴∠AEB+∠NEF=90∵∠AEB+∠ABE=90∴∠NEF=∠ABE，∴結合∠A=∠N=90°有∴ABAE∵AB=8，AE=EN=4，∴84∴MF=MN-NF=8-2=6，∴在Rt△BFM中，tan∠FBM=∵∠M∴tan∠PQM=（3）解：BQ=3919．【答案】（1）1（2）4（3）證明：過F作FK⊥BC于K，如圖：∵∠A=∠B=90°，F(xiàn)K⊥BC∴四邊形ABKF是矩形，∴AB=FK，AF∥∴∠FCK=∠GFD，∵∠G=∠A=90°，∠ADE=∠GDF∴∠AED=∠GFD，∴∠FCK=∠AED，∵∠FKC=90°=∠A∴△∴FKAD∴FK?DE=AD?CF，∴DE?AB=CF?AD；（4）解：過O作OM⊥AD于點M，ON⊥CD于點N，如圖：∴∠OMD=∠OND=90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=6，AB=CD=8，∠MDN=∠A=∠BCD=90°，∴四邊形OMDN是矩形，∴∠MON=90°，∵PE⊥CF∴∠COE=90°，∴∠CON=∠EOM=90°?∠EON，∵∠ONC=∠OME=90°∴△∴OCOE∵∠OND=∠BCD∴ON∥∴△∴ONBC同理OMAB∴ONBC∴ONOM∴OCOE（5）820．【答案】（1）解：∠GCF=45°；（2）解：結論：∠GCF=3理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE．∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，∠ABC＝∠AEF，∴∠EAN＝∠FEC．∵AE＝EF，∴△ANE≌△ECF（SAS）．∴∠ANE＝∠ECF．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AB∥CD，

∴AB-AN=BC-EC，

即BN＝BE，

∴∠ENB=∠NEB∵∠EBN＝α，

∴∠ENB=∠NEB=12180°-α=90°-12α，

∴∠ANE=180°-∠ENB=180°-90°-∴∠GCF=∠ECF-∠BCD=∠ANE-∠BCD＝(90°+1問題拓展：過點A作CD的垂線交CD的延長線于點P，設菱形的邊長為3b．

∵α＝120°，

∴∠GCF=32α?90°=32×120°-90°=90°，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠ADC=α＝120°，

∴∠PAD＝∠ADC-90°=120°-90°=30°，

∴AD=2PD，

∴PD=32b，

則AP=AD2-P∵∠AGP＝∠FGC，∠AGP=∠CGF，∴△APG∽△FCG．∴APCF∴33∴CF=635b，

在AB上截取AN，使AN＝EC，連接NE，過點B作BH⊥NE，

則NH=EH，

∵∠ENB=∠NEB=90°-12α=90°-12×120°=30°，

∴BE=2BH，

設BH=x，則BE=2x，EH=BE2-BH2=2x∴CE=BC-BE=3b-6∴BECE21．【答案】（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠A=90°∴∠ADB=∠ABD=由旋轉可知∠BDF=90°，∴∠ADF=∠BDF?∠ADB=45°.（2）解：仍然成立若選圖2，證明如下：如圖，過點F作FG⊥CD交CD的延長線于點G，則∠FGD=90°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C=∠ADC=90°，BC=CD∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°.由旋轉的性質可知EF=BE，∠BEF=90°.∴∠BEC+∠FEG=90°.∴∠FEG=∠CBE∴△∴FG=EC，EG=BC=CD.∴EG?DE=CD?DE，即CE=DG.∴FG=DG又∵∠FGD=90°，∴∠FDG=45°.∵∠ADC=90°，∠FDA=180°?∠FDG?∠ADC=45°若選圖3，證明如下：如圖，過點F作FG⊥CD交CD的延長線于點G，則∠FGD=90°∵四邊形ABCD是正方形，∠C=∠ADC=90°，BC=CD∴∠FGD=∠C，∠CBE+∠BEC=90°.由旋轉的性質可知EF=BE，∠BEF=90°.∴∠BEC+∠FEG=90°.∴∠FEG=∠CBE∴△∴FG=EC，EG=BC=CD.∴EG+DE=CD+DE，即CE=DG.∴FG=DG又∵∠FGD=90°，∴∠FDG=45°.∵∠ADC=90°，∴∠FDA=180°?∠FDG?∠ADC=45°.（3）BF=222．【答案】（1）菱形、正方形（2）1（3）解：①證明：連接CG、BE，AB與CE交于點M，BC與CE交于點N，如圖：

∵四邊形ACFG和四邊形ABDE是正方形，

∴∠F=∠CAG=∠BAE=90°，F(xiàn)G=AG=AC=CF，AB=AE，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

AG=AC∠GAB=∠CAEAB=AE，

∴△GAB≌△CAE（SAS），

∴BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又∵∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMN，

∴∠ABG+∠BMN=90°，

∴∠BNM=90°，

∴BG⊥CE，

∴四邊形BCGE為垂美四邊形；

②解：∵FG=CF=AC=4，∠ACB=90°，AB=5，

∴BC=AB2?AC2=52?42=3，

∴BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，23．【答案】（1）解：證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠C=90°，AD∥BC，AB∥CD∴∠FED=∠EBC，∠EFD=∠ABE，∠FDE=∠C=90°∵四邊形DEGF平行四邊形，∴平行四邊形DEGF為矩形∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=12∠ABC.∴∠FED=∠EFD.∴∴矩形DEGF為正方形.（2）解：BG=AC.理由：連接DG交BF于點O，連接BD.∵由(1)得四邊形DEGF為正方形，∴DG⊥EF，GO=OD∴BF垂直平分DG.∴BG=BD∵四邊形ABCD為矩形，∴AC=BD，∴BG=AC.（3）A：補全圖形如下：此時，A，G兩點之間的距離為27B：補全圖形如下：以A，C，G為頂點的三角形面積的最小值為27324．【答案】（1）1（2）解：過點A作AM∥HF交BC于點M，作AN∥EG交∴AM=HF，AN=EG，在長方形ABCD中，BC=AD，∠ABM=∠BAD=∠ADN=90°，∵EG⊥FH，∴∠NAM=90°，∴∠BAM=∠DAN，∴△ABM∴AMAN∵AB=m，BC=AD=n，∴AMAN∴EGFH（3）解：如圖所示：過C點作CM⊥AB于點M，設CE交BF于點O，∵CM⊥AB，∴∠CME=90°，∴∠1+∠2=90°，∵CE⊥BF，∴∠BOE=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，∴△CME∴CEBF∵AB=BC，∠ABC=60°，∴CE25．【答案】（1）DE∥AB；DE=（2）解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=∵DE∥AB，CE=AE，

∴CDBC∴CD=1由旋轉的性質可得CM=CD=2.5，CN=CE=12AC=2，NM=DE=∴∠ACN=∠BCM，∵ACBC∴△ACN∽△BCM，∴ANBM（3）解：如圖3-1所示，當CN∥AB時，延長MN交AB于T，

∵CN∥AB，∴∠ACN=180°?∠BAC=90°，又∵∠BAC=∠CNT=∠CNM=90°，∴四邊形ACNT是矩形，∴NT=AC=4，∠ATM=90°，AT=CN=2，∴TM=NT+MN=11在Rt△ATM中，由勾股定理得：AM=A如圖3-2所示，當CN∥AB時，過點M作MH⊥AC于H，

∵CN∥AB，∴∠ACN=∠BAC=90°，又∵∠CNM=∠CHM=90°，∴四邊形CHMN是矩形，∴CH=MN=3∴AH=AC?CH=5在Rt△AHM中，由勾股定理得：AM=A綜上所述，AM的長為1372或4126．【答案】（1）解：當x=4時，y∴A當y=0時，x∴B∴A，B點的坐標分別為(4，（2）解：①證明：∵A(4，∴OA∴∠AOB∵MC⊥x軸，∴∠OCM=∠BDN由點C，D的運動可知，OC=∴△OMC≌△BND∴MC∴