2022-2023學(xué)年上海市高一年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年上海市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬試題

(含解析)

一、填空題(本大題共有12小題，滿(mǎn)分54分)考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格

內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，1-6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，7-12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否

則一律得0分.

sina-cosa

［若tanα=2,則Sinα+CoSa的值為.

【正確答案】-

3

【分析】將SIna-CoSa分子分母同除以COSα,即可求得答案.

sina+cosa

【詳解】由題意tana=2,則CoSaW0,

…Sina-cosatana-?2-11

則二----------=--------=——=-,

Sina+cosatana+12+13

故L

3

2.已知向量4=(1,1),B=(2,3),則Z在5方向上的數(shù)量投影為

【正確答案】之匡

13

【分析】根據(jù)平面向量投影的定義計(jì)算即可

【詳解】向量N=(1,1),B=(2,3),

.?.Hχ2+lχ3=5，∣^∣=√22+32=√13,

所以5在E方向上的數(shù)量投影為

LlAa-b55√13

同s'"%=而=工；

故也

13

?(兀、(71、

3.若CoSa=一,α∈0,—,則COSa+—=

【正確答案】一旦

14

【分析】首先根據(jù)正余弦的平方關(guān)系求出Sina的值，再利用余弦兩角和公式化簡(jiǎn)

TT

cos(σ+y),把得到的Sinα,CoSa代入即可.

1π

【詳解】解：???若CoSa=—,σ∈(0,-)

72

???sin'=√Γ^

,無(wú)、π.兀114√i√J11

.,.cos(?+—)=cosacos——SlnaSm—=—χ----------X——=------

333727214

故答案為.----

14

4.若向量5,B的夾角150°,m∣=百,∣B∣=4,則∣2G+3∣=.

【正確答案】2

【分析】直接根據(jù)平面向量數(shù)量積的概念以及向量模的表示即可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橄蛄咳f(wàn)，B的夾角為為0。，同=6，問(wèn)=4,

所以4?B=WXBlXCOSl50°=?/?×=-6,

i22

所以I2G+BI=y∣?2a+b?=y∣4a+4a-b+b=√12-24+16=2

故2.

■■■?2Ji■?■■

5.已知e∣,C2是夾角為彳的兩個(gè)單位向量，若向量方=3q-2e2，則展q=.

【正確答案】4

【分析】直接由數(shù)量積的定義計(jì)算即可.

------2π1

【詳解】依題意得，e,?e=I-Icos-=一一，于是

1232

—?/..\—**2*.

a?ex=13e1-2e21?β1=3β1-2β1?β2=3+1=4.

故4

6.已知函數(shù)y=2cos2x—：,當(dāng)函數(shù)值為—2時(shí)，自變量X的取值集合為.

【正確答案】,引X=癡+,兀,左∈Z

8

【分析】由題意可求CoS(2x—：J=-1,進(jìn)而利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】函數(shù)y=2cos[2x_W)當(dāng)函數(shù)值為—2時(shí)，則cos[2x-?)=-l,

兀5

所以2x----=π+2kπ,k∈Z,則X=E:+—π,k∈Z，

48

故自變量X的取值集合為｛Hx=hr+∣πΛ∈Zk

故答案為.jx∣x-kπ+^π,k≡Z

已知函數(shù)/(，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸π

7.X)=2Sin(OX+8)[⑦>O,I3∣<W)/(x)X——

4

的最小距離為￡,則/(X)=_______

6、

【正確答案】2sin3x--

I4/

)n)仃口

【分析】由題設(shè)知函數(shù)的周期T=——=—,即可求出3,再由X=一是函數(shù)/(x)的對(duì)

3ω4

稱(chēng)軸可求出0,即可求出函數(shù)的解析式.

【詳解】由函數(shù)/(X)的對(duì)稱(chēng)中心與對(duì)稱(chēng)軸X=?的最小距離為,??∕4

T2424C

即αrτT==,69=3

3ω

由X=￡是函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)軸，.?.3x?+9=ATT+｝左∈Z,即夕=ATr—

又∣9∣<?∣,令人=0,則e=—(，故/'(X)=2sin(3x—彳]

故2sin3x--I

方法點(diǎn)睛：本題主要考查由函數(shù)N=NSin(ox+。)的部分圖像求解析式，由函數(shù)的周期可求

出口,由五點(diǎn)法作圖可求得9,即可求出函數(shù)的解析式，考查學(xué)生的邏輯推理與運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

8.已知關(guān)于X的方程2siι√χ-6sin2x+，〃一1=0在~,π上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

m的取值范圍是.

【正確答案】

【分析】利用三角函數(shù)的倍角公式和輔助角公式，將方程整理化簡(jiǎn)，利用三角函數(shù)的圖象和

性質(zhì)，確定條件關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

【詳解】；2sin2x-?∕3sin2x+m-l=0>

1-cos2x-?/?sin2x+w-1=O>

即cos2x+?/?sin2x-/77=O>

，2sin(2x+^)=w,即sin(2x+工)=',

662

/π7π?3π

?XE匕㈤，2x+—∈,——J,

2666

TiIjr]3ττm1Ti13τr

設(shè)2x+—=一],則sin/=竺在fe[-,——]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

666266

?(-2,-l]

9.聲音是由物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)

模型是函數(shù)V=Nsinsj某技術(shù)人員獲取了某種聲波，其數(shù)學(xué)模型記為y=H(f),部分圖

象如圖所示，對(duì)該聲波進(jìn)行逆向分析，發(fā)現(xiàn)它是由兩種不同的純音合成的，滿(mǎn)足

98)，其中需、

Z∕(∕)=sin2πt+—sinωπt[0<ω<≈—0.866,則G=..(參

7

【分析】將代入結(jié)合題干數(shù)據(jù)可得5π

f=gSin-ω=0,又"(1)=0,可得0=3

或。=6,又1不是”(x)的周期，從而可求出滿(mǎn)足題意的⑷的值.

98),且布

【詳解】由//(Z)=Sin2πZ+記si∏69πz(0<GV≈—0.866,

得嗚_595

sin2π×-1+—sinωπ×-

√I3103

因?yàn)镴laI.732,所以3αU^2=0.866,所以Sin[?0>]=0.

22k?J

99

由圖可知H(I)=Sin2πH----sinωπ--sinωπ-O,

'J1010

故①兀=kπ,k∈Z,即G=k,k∈Z.

.(5兀、

因?yàn)?<d><8,且Sin—co—O,所以(y=3或G=6.

I3)

由圖可知，1不是“(X)的周期,

9

當(dāng)①二6時(shí)，H(I)=sin2πtH----sin6π∕，

v710

99

此時(shí)H(∕+l)=sin2π(∕+l)+j^sin6τr(∕+l)=si∏2π∕÷-sin6π∕=7/(/)

周期為1,不符合題意.

Q

當(dāng)0=3時(shí)，Z∕(/)=sin2π∕+-sin3π∕,易知”(f+l)≠∕∕Q),滿(mǎn)足題意.

綜上，69=3.

故答案為:3.

π3π

10.已知函數(shù)∕*(x)=JJSinS:-cos>0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在區(qū)間

35T

[0,可上只取得一次最大值，則口的最大值是

Q

【正確答案】一

9

【分析】根據(jù)輔助角公式，結(jié)合換元法、正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】∕(x)=GSin5-CoS/X2sinωx--

I6

..「兀3πl(wèi)~,「αzπ兀3師π

l因?yàn)閒x∈——，所以∕∈—-——,-...-,

L34J13646J

因?yàn)?9〉0,所以/⑺=2sin∕在/∈—-——,-----上時(shí)單調(diào)遞增,

L3646_

3ωπ兀兀

-------——S—

所以有V462ZZ>O<69≤^,

ωππ>Ti9

^T-6^-2

兀TL

當(dāng)X∈[θ,兀]時(shí)，t∈---,COTl—,

66

所以/(f)=2Sinf在fe-?0>π-y時(shí)，只取得一次最大值,

66

兀,π5π2/8

因此有一≤COTl----<----=*—≤69<一，

26233

2QQ

綜上所述：一≤3≤-,所以。的最大值是一，

399

槨

關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用換元法，根據(jù)正弦型函數(shù)的最值性質(zhì)和單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

ππ2π3π?

tanx,x∈u7kLm)在區(qū)間。上的最大值存在,

5'5

11.已知函數(shù)/(x)="

一述x+3√i,x∈π24

πτ,τ

記該最大值為K｛。｝,則滿(mǎn)足等式K｛［0,α)｝=3?K｛［α,2α］｝的實(shí)數(shù)α的取值集合是

4πl(wèi)π

【正確答案】V,T2^

\

【分析】先確定.f(χ)在區(qū)間［0,α)上有最大值百，且&c∣,y,因此/(χ)在區(qū)間［α,2α］

/

上的最大值為立.然后按/U)在X=。處或x=2α處取最大值立分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合,

33

進(jìn)而可得結(jié)果.

(7141、

【詳解】依題意可知，/(X)在區(qū)間［O,α)上有最大值必然為百，且αe

3司，所以/(χ)

在區(qū)間［a,2a］上的最大值為乎.

(1)若/(χ)在x=α處取最大值且，即一6√3√3=-.解得α=儀，此時(shí)

-------Q+3

3π39

2d=—<—，所以Q=—適合題忌;

969

(2)若/(χ)在x=2α處取最大值苴，即tan2αT,解得。哈，此時(shí)“吟,所

3

7乃

以4=——適合題意.

12

4π7?

綜上可知，。的取值集合是

V5TI

4πl(wèi)π

故答案為.

π4π

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于確定/(X)在區(qū)間［0,α)上有最大值百，且αe3^T

進(jìn)而可得/(χ)在區(qū)間［α,2a］上的最大值為B

12.在Δ√I8C中，角C的對(duì)邊分別為久權(quán)c,且以AC為正數(shù)，NBNC=120°,AO

為BC邊上的中線(xiàn)，AO=B則c-2b的取值范圍是,

【正確答案】卜40,20)

【分析】先利用平面向量得到2萬(wàn)=荔+就，從而求得/+c2=12+bc,設(shè)z=c-2b,

代入消去C得到關(guān)于b的一元二次方程，從而由判別式得到-4G≤z≤4百，再分類(lèi)討論

對(duì)稱(chēng)軸的正負(fù)求得0<z<2√J,最后由余弦定理得到12+2bc>0,從而利用恒成立問(wèn)題

求得2〉-4行，綜上即可得解.

【詳解】依題意得，AB=C,4C=b,BC=a,4,b,c為正數(shù).

又&48C中，NA4C=120°,/。為6C邊上的中線(xiàn)，AO=5

所以21萬(wàn)=海+祝，兩邊平方得4而2=方2+2萬(wàn).就+就O

則12=∕+c2-6c，故/+C?=12+bc①，

設(shè)Z=AB-2AC=c-2b,c=z+2b,代入①得b?+(z+2b>=12+b(z+2b),

整理得3b2+3zb+z2-12=0②，此方程至少有1個(gè)正根，

首先A=9Z2-12卜2f2)≥0,解得-4√i≤z≤4√i③，

對(duì)于方程②：

若對(duì)稱(chēng)柚—二=一z>O,z<O,則方程②至少1個(gè)正根，符合題意；

3

若對(duì)稱(chēng)軸—￡_=一Z<O,Z>O,要使方程②至少有一個(gè)正根，則需z2—12<0,解得

3

0<z<2#>；

在三角形ZBC中，由余弦定理得/=從+。2一2bccosl200=b2+c2+bc=12+2bc>0

恒成立，

所以一一，^?z=c-2b>-2b一一恒成立，

hc

由于一2b-g=-12b+g]≤-2j2b?9=-4√i,當(dāng)且僅當(dāng)26=9,即b=√5時(shí)，等號(hào)成

b?b)?bh

立，

所以z>-4?χΛ,結(jié)合③可得-4G<z≤4j5

綜上所述，Z也即AB-IAC的取值范圍是卜4JJ,2JJ).

故答案為.(―4百,2百)

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的解決關(guān)鍵是假設(shè)z=c-2b,將兩變量范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量Z的范圍

問(wèn)題，再由平面向量與余弦定理依次縮小Z的范圍，從而得解.

二,選擇題(本大題共有4小題，滿(mǎn)分20分)每小題給中4個(gè)選項(xiàng)，其中有且只

有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂

黑，選對(duì)得5分，否則得0分.

--1

13.已知兩個(gè)單位向量α與B的夾角為6,貝IJ“。=60°”是"。力=5''的()

A.充分必要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】用定義法，分充分性和必要性分別討論即可.

【詳解】充分性:若8=60°,則由Z、g是單位向量可知a?b=同XWXCOS60°=1X1X；=L

即充分性得證；

必要性：若α?B=g,則α?B=∣α∣χ同XCOSe=；由￡、B是單位向量可知CoSe=；,因?yàn)?/p>

0°≤6≤180°,所以8=60°,必要性得證.

--1

所以"6?=60°”是“4?b=—”的充分必要條件.

2

故選：A

14.已知函數(shù)T(X)=CoSX—ISinX那么下列命題中假命題是()

A.√(x)是偶函數(shù)B.√(x)在［一兀,0］上恰有一個(gè)零點(diǎn)

Cj(X)是周期函數(shù)D.√(x)在［―兀,0］上是單調(diào)函數(shù)

【正確答案】D

【分析】一次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】?.?√(-χ)=COS(-χ)?-kin(—X)I=CoSX—ISinXl=/(x),.?∕(x)為偶函數(shù)，A正確；

Tl

由/(x)=CoSX—ISinXl=0,xG[一π,0]時(shí),可得COSX=-Sinx,.'.x———,即/(x)在[―兀，°]

4

上恰有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；

,,--

.∕(χ+2π)=cos(x÷2π)∣sin(x÷2π)∣=cosx∣sinx?=flix),.?∕(x)為周期函數(shù)，C正確；

當(dāng)χG[-π,0],/(X)=COSX+sinx=λ∕2sm∣x+二I,則XT"—∈[------,—]>故危)在[―兀,0]

(4J444

上不單調(diào)，D為假命題，

故選：D.

—TT

15.已知銳角/BC,AB=2日C=-,則/3邊上的高的取值范圍為()

A.(0,3]B.(0,3)C.(2,3]D.(2,3)

【正確答案】C

【分析】設(shè)/8邊上的高為力，根據(jù)題意得＜5,再結(jié)合條件得〃=2Sin2A-y?+l,

62I6)

再分析求值域即可.

TT

【詳解】因?yàn)椤˙C為銳角三角形，C=-,設(shè)48邊上的高為〃，

3

o<γ

所以V解得g<∕<g

62

a_b_c_2Λ∕3

由正弦定理可得，sin/SinBsinC?/?

2

IIττ

所以a=4sin∕,b=4sinB，因?yàn)镾=—ch=—absin—,

223

6h

4sin/Sn-/)=4SinZCoSN+LinN

2√32

二2Λ∕3sinAcos√4+2sin2/=GSiil2/+1-COS2Z=2sin2A--+1

<6)

因?yàn)?</<￡，所以5<2∕-∕<=,所以:<sin(24—g]≤l,

6266626J

所以2<2sin+1≤3,所以/8邊上的高的取值范圍為(2,3].

故選：C.

16.設(shè)函數(shù)/(x)=q?sin(x+/J+々+sin(x+p2)+α3?sin(x+q3)，其中4、

4(i=1,2,3)為已知實(shí)常數(shù)，χ∈R,有如下命題：

(1)若/(O)=/(5=0,則/(x)=O對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立；

(2)若/(0)=0,則函數(shù)/(x)為奇函數(shù)：

(3)若/(])=0,則函數(shù)/(x)為偶函數(shù)；

(4)當(dāng)/(O)+/O0時(shí)，若〃苞)=〃％)=。，則玉-W=AMkeZ).

則所有正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【正確答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷(1)(2)(3),對(duì)于(4),當(dāng)/2(0)+/2g≠()時(shí),

12)

由/（石）=/。2）=0,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，故可得結(jié)論.

【詳解】(1)若/(0)=0,則/(O)=%?sin(αJ+Q2?sin(%)+%?sin(%)=0

則/(-x)+/(x)=q?sin(-X+σ1)+tz2?sin(-x+a2)+a3?sin(-x+?)

+%?sin(x+α∣)+勺?sin(x+ɑ2)+tz3?sin(x+α3)

=cosx[a1?sina1+α2?sina2+a3-sinɑ?]=0

???函數(shù)/(x)為奇函數(shù);

=-al?COSal-a2-cos6z2-a3?CoSa3=0,

/.?(-?)-?(X)=α1?sin(-x÷αl)+?2?sin(-x+ɑ2)+α3?sin(-x+ɑ3)

-6Z1?sin(x+σ1)-6Z2?sin(x÷6Z2)-<73?sin(x+α3)

=sinx[ai?cosσ1+a2?coscr2+...+afj?cosaw]=0

???函數(shù)/(X)偶函數(shù)，故/(χ)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，

故/(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立，故(1)正確；

(2)由(1)的證明過(guò)程可知當(dāng)/(O)=O時(shí)，函數(shù)/(χ)為奇函數(shù)，正確.

(3)由(1)的證明過(guò)程可知當(dāng)∕{1)=0時(shí)，函數(shù)/'(尤)為偶函數(shù)，正確.

(4)對(duì)于命題(4),當(dāng)/(O)+/]]≠0時(shí)，

,.'/(x)=α∣?sin(x+&j+a2?sin(x+a2)+/?sin(x+。3)

=(qcosα∣+β2cosσ2+a3cosa.)sinx+(?1sin6zl+a2sina2+tz3sin6z3)cosx

令α=α1cosQf1+a2cos6Z2+a3cosa3=f

=

b=α1sintz1+α2sina2+%tsin%?(θ)

則/+/"(O"(撲0,

由輔助角公式得

∕'(X)=tzsinx+?cosx=y∣a^+b2sm(x+0)

a,sin?9=bf(?=f(Λ=0

其中cosφl(shuí)rxx則（χ,O）,（三,0）是函數(shù)

V=∕（χ）的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn),

函數(shù)y=∕（x）的最小正周期為2兀，該函數(shù)的兩個(gè)相鄰對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為周期的一半,

因此，∈）命題（）正確.

x1-x2=kπ（kZ,4

故選：D.

三、解答題（本大題滿(mǎn)分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相

應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

17.設(shè)兩個(gè)向量Z,B滿(mǎn)足α=（2,0）,B=f?回

（1）求￡+5方向的單位向量;

（2）若向量2扇+7坂與向量Z+正的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)f的取值范圍.

'5√7叵

【正確答案】（1）

C1jj?

【分析】（I）根據(jù)4=（2,0）,B=-,?-,求得Z+B的坐標(biāo)和模后求解；

（2）根據(jù)向量2小+7石與向量Z+正的夾角為鈍角，由（2fZ+7B）（Z+與）＜0,且向量

2ta+Ib不與向量3+R反向共線(xiàn)求解.

【小問(wèn)1詳解】

由已知α+5=（2,0）+

所以B++百Z圖S

所以Z+加=4（亞,立］

1414

/

即7+B方向的單位向量為（沙，冬］；

I1414）

【小問(wèn)2詳解】

由已知α?b=l?|"|=2，W=1，

所以（2心+7到?僅+正）=2浸+（2r+7）G1+Itb=2/+157+7,

因?yàn)橄蛄?扇+7很與向量7+4的夾角為鈍角，

所以（2i+7可?+正）＜0,且向量2i+75不與向量Z+正反向共線(xiàn),

It=k?z

^2ta+7b=k(a+tb^(k<0),則，解得￡=一叱L

7=kt2

2∕2+15∕+7<0

從而,√14

t≠-------

2

18.已知函數(shù)/（χ）=2Λ∕Jsinxcosx-2cos2x+1.

（?）求函數(shù)/（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求函數(shù)/"）在區(qū)間［-2,3的值域；

TTTT

【正確答案】（1）最小正周期為7=兀，遞增區(qū)間為［一一+kπ,-+kπ］,keZ；

63

（2）［-2,1］

【分析】⑴由二倍角公式,結(jié)合輔助角公式得/'（X）=2sin（2x-［）再利用周期T=--、

正弦型函數(shù)單調(diào)性求結(jié)果；

（π?

（2）由X的范圍求2x-1的范圍，進(jìn)而可求出Sin2x--的范圍，從而可求/（x）的值

6?e√

域.

【小問(wèn)1詳解】

/（x）=∕sin2x-cos2x=2?sin2x-^cos2x=2sin（2x-^）,

??.函數(shù)/（χ）的最小正周期為T(mén)=會(huì)=兀.

令---F2ZTT≤2x------≤—l-2kn,kwZ,則---ρAτt≤x≤—卜kτι,ZeZ,

26263

JTTT

所以單調(diào)遞增區(qū)間為[一一÷hc,-+Λπ],kwZ?

63

【小問(wèn)2詳解】

5πππTlr,.∣?兀

*.*X∈Γr------,一1n,則2x—∈[r―7Γ,―1,Λ-1≤sin2x—≤_,

12666I6j2

.?.一2≤2sin（2x-41,故函數(shù)/（x）在區(qū)間[一2,口的值域?yàn)樵?1].

V6J126

19.近年來(lái),為“加大城市公園綠地建設(shè)力度,形成布局合理的公園體系”,許多城市陸續(xù)建起眾

多“口袋公園”、現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長(zhǎng)為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”、

如圖所示,以E/中點(diǎn)4為圓心,FG為半徑的扇形草坪區(qū)/8C,點(diǎn)P在弧8C上（不與端點(diǎn)重

合）/8、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道,其中PQ與AB垂直,尸及與AC垂直.設(shè)NPAB=θ.

（1）如果點(diǎn)尸位于弧BC的中點(diǎn),求三條步行道尸。、PR、火。的總長(zhǎng)度；

（2）“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對(duì)于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用.為此

街道允許在步行道尸。、PR、R。開(kāi)辟臨時(shí)攤點(diǎn),積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)''發(fā)展,預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的

經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬(wàn)元、5萬(wàn)元及5.9萬(wàn)元.則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最

高為多少？（精確到1萬(wàn)元）

【正確答案】（1）200+10OG（米）

（2）2022萬(wàn)元

【分析】（1）根據(jù)圖依次求出三條線(xiàn)段長(zhǎng)度即可求出總長(zhǎng)度；

（2）將尸。、PR、R0三邊通過(guò)圖中的關(guān)系用關(guān)于6的等式表示,再記經(jīng)濟(jì)總效益%,將少進(jìn)行

表示,通過(guò)輔助角公式化簡(jiǎn)求出最值即可.

【小問(wèn)1詳解】

解:由題NC=200,EA=IOO,.?.EC=100√3,

.?.NE/C=巴,同理:"FAB=2,故NBAC=-,

333

由于點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn),所以點(diǎn)P位于ZBAC的角平分線(xiàn)上,

則IPq=I尸Rl=IΛ4∣?sinNPAB=200×sin-=100,

6

MQI=M尸ICOSNPAB=20OX等=100√3,

因?yàn)镹BZC=Mq=MM=I006，

所以AZR。為等邊三角形，

則IRQl=MQl=IoO百，

因此三條街道的總長(zhǎng)度為/=I尸。∣+∣PR∣+∣RQl=IOO+100+1006=200+1006(米).

EAF

由圖可知IP。I=MPkinθ=200sinθ,

IPHl=IZ尸卜in—e)=200Sin(I—e)=10°"COSe—100sinθ,

Ma=IZPICoSe=200cosθ,

∣√4Λ∣=IZPICOs仁一。)=200CoS-6)=IOoCoSe+100GSin9,

在AZRQ中由余弦定理可知：

區(qū)。|2=阿+1時(shí)-2閹網(wǎng)COSt

=(200COSe)2+(100CoSe+1006Siney

-2×200cos。(100cos。+1θθ?/?SinekOS?

=30000,

則IRa=IoO后,

設(shè)三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益W,則

%=(∣P0∣+∣PR∣)X5+RQ∣X5.9

=(200Sin6+IOOVJcos6-IOOSine)x5+590G

=lOOOsinf0+-∣+590√3,

I3√

當(dāng)sin(8+=1即6=看時(shí)W取最大值，

最大值為1OOO+590√3≈2022.

答:三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高約為2022萬(wàn)元.

20.已知向量G=(8s5x,sin5x"(2cos(4),2Sin(A/令"(x)=15?

(1)求函數(shù)“(X)的對(duì)稱(chēng)軸方程；

7171Tl,,

(2)設(shè)y(x)=4cos(2xd——),當(dāng)x∈----,一時(shí)，求函數(shù)

6[_612_

/(x)=4〃(X)-2Λv(x)+6λ+5(4∈R)的最小值g(Λ)；

(3)在(2)的條件下，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)且a>b>0,不等式

，一('+2^)(α+26)≤g(∕l)≤2%+α2+4+J對(duì)任意的4∈[θ,5>恒成立，求實(shí)數(shù)

a2baba{a-b)

，的取值范圍.

【正確答案】(1)x=---,k≡Z

412i

2Λ÷1,Λ<2

2

(2)g(λ)=<-∕l+62-3,2≤λ≤4i

-2Λ+13,Λ>4

(3)l≤f≤5.

【分析】(1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式及兩角和的余弦公式可得“(X)=2CoSl4x+?

再由4x+m=kτr可得結(jié)果：

(7、Tt711

(2)令CoS2xH=￡,因?yàn)閄W,—，所以IG—,1貝!|

I6；L612jL2J

/(x)=W)=I6/-84+6/1-3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論三種情況，即可得結(jié)果；

z^)-+?^∣(α+26)≤?

⑶當(dāng)4e［0,5］時(shí)，g(?ιaχ=6,g(∕l)πιuι=l由..，結(jié)合基

2t+a~4-----1—--------≥6

abaya-b)

本不等式即可得結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

——7Γ71

因?yàn)橄蛄喀炼?cos5x,sin5x),b=QCOS(X----),2Sin(X----)),

33

π

所以“(X)=a?b=2cos5xcosx+2sin5xsinx----2cosI4x+y1,

I3

由4x+工=左陽(yáng)攵∈Z,得X=A?一土,k∈Z,

3412

所以函數(shù)"（X）對(duì)稱(chēng)軸方程為X="Z

412

【小問(wèn)2詳解】

+f=4cos2(2x+f-2

?(1)U(x)=2cosI4x+y=2cos22xH—

TT

因?yàn)関(x)=4COS(2X+—)

6

所以/(X)=4〃(X)-22v(x)+62+5(2∈R)

=16COS2(2x+看］-8—8幾cos(2x++62+5

=16COS2(2x+看)-82cos(2x++64-3

/Jl?JlJlππ

令cos2x+-=，，因?yàn)閤∈——,一2xH—∈

I6)_612f67,T

所以/e?1

2

則/(χ)=〃(/)=16/_8力+62—3,

對(duì)稱(chēng)軸為f，

4

當(dāng)L∕l<L,即；1<2,可得〃(。在?1上單調(diào)遞增，

42_2_

所以W)min=〃［；)=16x；—8/lx；+6/l-3=24+1,

當(dāng)L≤L%≤1,即2≤∕l≤4時(shí)，

24

2

A(0min=Λ^=16×^?-8Λ×→6Z-3=-2+62-3,

當(dāng)工4>1,即;I>4時(shí)，在?,l上單調(diào)遞減，

4L2.

所以〃(f)mm=〃(1)=16—84+6；1—3=—24+13

24+1,4<2

所以人≤

g(2)=<-yV+6%-3,2≤4

—22+13,4>4

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng);時(shí),由⑵可得

l∈[05]g(∕)maχ=6,g(4)mjn=l

2Ct+a^2-?---?--1——---1---->6

aha(a-b)

/∏,?r2ba,當(dāng)且僅當(dāng)“=26時(shí)取等號(hào),

(α+2b)=2+——+—≥λ4

1→?',a2h

7117,117,\1,1.

Q―H-----1-------=Cl—-Cl1b+QbH----1--------=Q(Q-b?H—-------+ahH≥2+2=4

aha[a-h)ahaya-b)aya-h)ah

,當(dāng)且僅當(dāng)α=J5,b=YZ時(shí)，取等號(hào),

2

Z-4≤l

所以＜

2∕+4≥6

所以14∕≤5,

即實(shí)數(shù)/的取值范圍為[1,5]

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查二次函數(shù)的最

值的求法，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再換

元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)思想，屬于難題.

21.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量?jī)?(α,6)的“相伴函數(shù)”為

/(X)=0sinλ"+?cosx(x∈R),OW=(α,b)稱(chēng)為函數(shù)/(x)=αsinx+6cosx的“相伴向

旦，，

里.

SU3/?I—..

(1)記OM=(0,2)的“相伴函數(shù)”為y=∕(x),若方程/(X)=￡+1—2百忖同在區(qū)

間[0,2兀]上有且僅有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)％的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)Λ∕(α,b)滿(mǎn)足/一4況,+3/=-1，向量?jī)傻摹跋喟楹瘮?shù)"y=∕(x)在

X=Xo處取得最大值，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，求tan2x0的取值范圍；

__?

(3)已知點(diǎn)M(0,1),向量?jī)傻摹跋喟楹瘮?shù)"y=∕'(x)在X=XO處的取值為父在銳

角A48C中，設(shè)角4氏。的對(duì)邊分別為久b、c,且α=4,cosA=f(x0),求

方+就-布?就的取值范圍.

【正確答案】(1)[1,3)

⑵E引

(3)[-4,2√13-9)

【分析】(1)去絕對(duì)值得函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用交點(diǎn)個(gè)數(shù)求得％的范圍；

(2)由?(?)-asinx+bcosx=y∣a2+b2sin(?+φ)>可求得即Xo=2左乃+萬(wàn)一9化eZ)

時(shí)/(χ)取得最大值，其中tanx°=q,換元求得處的范圍，再利用二倍角的正切可求得

bb

tan2x0的范圍；

3

(3)解法1：由題意可得cos4=,，由余弦定理和向量數(shù)量積定義可得

∣∑5+^C∣-^β?^C=/(z)=-if2+z+4,再由正弦定理化得

b+c=8sinB+4cos5-4^5sin(5+φ),結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可；解法2：結(jié)合三

角形的余弦定理、正弦定理、三角形外接圓、數(shù)量積的運(yùn)算，利用函數(shù)性質(zhì)解范圍即可.

【小問(wèn)1詳解】

UUUl

由題意可得OM=(0,2)的“相伴函數(shù)”/(x)=OXsinx+2×cosx=2cosx,

即方程/(x)=左+1-2∣siax∣為2cosx=k+?-2也∣sinx∣,x∈[0,2π],

則方程2cosx=Zr+l-2√3∣sinx∣,x∈[0,2可有四個(gè)實(shí)數(shù)解.

所以％=2cosx-1+2Λ∕3∣sinx∣,x∈[0,2π]有四個(gè)實(shí)數(shù)解.

令g(x)=2cosx-1+2^3∣sinx∣,x∈[θ,2π]

廠(chǎng).(萬(wàn)、

①當(dāng)x∈[θ,句,g(x)=2cosx-l+2j3sinx=4sinx-?——-1；

k6√

②當(dāng)X￡(肛2;r],g(X)=2cosx-1一26SirLr=-4Sinx---1.